预习专题07 锥体（5知识点+12题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题07 锥体 知识点1 棱锥 1.定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥 依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高 关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 知识点2 圆锥 1. 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做 圆锥 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； （23-24高二上·上海静安·期中）以下命题中，所有真命题的序号为 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边； ③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形； （24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 知识点3 棱台与圆台 1.棱台 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.圆台 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 下列三种叙述，正确的有(　　) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A. ； 【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A. 知识点4 锥体、台体的体积 1.棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2.柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ． （24-25高二上·上海·期中）已知正四棱台两底面边长分别为20和10，侧面积为780，则其体积为 ． 已知圆锥的高为6，体积为高的倍，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台高是3，则该圆台的体积为（    ） A． B． C．7 D．9 知识点5 锥体、台体的表面积与侧面积 1.棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 （24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【答案】18 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 （24-25高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】依题意可求得其母线长，代入侧面积公式计算可得结果. 【详解】由题可知圆锥母线为， 所以其侧面积为. 故答案为： 题型一、棱锥的结构与分类 例1．下列几何体中，有且仅有8个面的是（    ） A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱 变式1 （24-25高一下·福建福州·期中）一个棱锥至少有 个面. 变式2 正棱锥的侧面是等腰三角形.( ) 变式3 底面是正多边形的棱锥是正棱锥.( ) 题型二、正棱锥及其有关计算 例2如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式1 已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 变式2 若一个正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，则侧棱长为 ． 变式3 （24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为 . 变式4 正三棱锥的侧棱长为2，高为1，则该正三棱锥的底面周长为 ． 变式5 （24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为 ． 题型三、棱锥的展开图 例3．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 变式1 如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 变式2 （24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 变式3 （22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 题型四、棱锥中截面的有关计算 例4．已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 变式1 （23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2 如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则 .    变式3 （23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    变式4 若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 变式5 （22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 题型五、圆锥的结构特征辨析 例5．已知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的母线长为 . 变式1 （23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 变式2 已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 . 变式3 圆锥展开图为半径为1的半圆，求圆锥的高． 变式4 （24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 变式5 （2023·上海宝山·一模）如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    变式6 （23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 题型六、圆锥中截面的有关计算 例6．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 变式1 （24-25高二上·上海·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 变式2 （24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 变式3 （23-24高二·上海·课堂例题）已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形．求该圆锥的高． 变式4 设点为圆锥的高靠近顶点的三等分点，求过与底面平行的截面面积与底面面积之比． 变式5 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 题型七、圆锥的展开图及最短距离问题 例7．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是 . 变式1 （24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    变式2 （24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 变式3 （24-25高三上·上海·阶段练习）顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 ．（精确到） 题型八、圆锥的体积 例8．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 变式1 （24-25高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 变式2 （24-25高二上·上海·期末）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为，求三棱锥的体积. 变式3 （24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 变式4 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1)求证：为正四面体； (2)若，求二面角的大小； (3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由. 题型九、棱锥表面积的有关计算 例9．已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为 . 变式1 如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 变式2 如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 变式3 如图，已知在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 题型十、圆锥表面积的有关计算 例10．已知圆锥的母线长，高，则这个圆锥的侧面积为 ． 变式1 圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 变式2 （24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 变式3 （24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 题型十一、棱台的有关计算 例11．（23-24高二上·上海长宁·期末）若正四棱锥的底面边长是2，高为，棱锥被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为，则该棱台的体积是 ． 变式1 在正四棱台中，，则 ． 变式2 （2025·上海徐汇·三模）已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为 . 题型十二、圆台的有关计算 例12．已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 变式1 （23-24高二上·上海·期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 . 变式2 如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为 . 变式3 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面半径为1 cm，原大圆锥的底面半径为4 cm，原来大圆锥的母线长为12 cm，求圆台的体积. 变式4 已知圆台的上、下底面半径分别为20cm，30cm，高为18cm，过它的两条母线作一平面截去上底面圆周的． (1)求证：这个截面截下底面圆周也是； (2)求这个截面面积． 1．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海虹口·一模）若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 3．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为 . 5．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为 ． 6．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ． 7．如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．    (1)证明：四边形为等腰梯形； (2)若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 8．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.    (1)若，，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 9．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，E，F，G分别是线段，，的中点，若平面交于点H．    (1)求多面体的体积； (2)求证：四边形是正方形． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题07 锥体 知识点1 棱锥 1.定义：有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥 依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高 关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 知识点2 圆锥 1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长，底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； （23-24高二上·上海静安·期中）以下命题中，所有真命题的序号为 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边； ③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形； 【答案】②④ 【分析】对于①，根据公理可得①错误；对于②，由线面垂直的判定和性质得到结论；对于③，可举出反例；对于④，由于圆锥的性质可得④正确. 【详解】对于①，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，①错误； 对于②，直线垂直于三角形两边，因为三角形两边必相交，则此直线垂直于三角形所在的平面，由线面垂直的性质可得直线必垂直第三边，②正确； 对于③，如图所示，满足有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形，    但此多面体不是棱柱，③错误； 对于④，用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面为三角形，且有两条边为圆锥的母线， 由于圆锥母线相等，故所得截面都是全等的等腰三角形，④正确. 故答案为：②④ （24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再判断轴截面三角形形状并求出最大面积. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 知识点3 棱台与圆台 1.棱台 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 2.圆台 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 下列三种叙述，正确的有(　　) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A. ； 【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A. 知识点4 锥体、台体的体积 1.棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 2.柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】应用圆锥的几何特征结合圆锥的体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，轴截面为等边三角形，则，解得，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. （24-25高二上·上海·期中）已知正四棱台两底面边长分别为20和10，侧面积为780，则其体积为 ． 【答案】2800 【分析】根据正四棱台的侧面积结合正四棱台的特征先求侧面高，再计算棱台的高，最后由棱台的体积公式计算计算. 【详解】如图所示正四棱台，其上下底面的中心为， 取的中点， 根据正四棱台的特征可知为侧面的一个高，为棱台的高， 因为上下两底面边长分别为20和10，侧面积为780， 即，则, 所以，则， 所以棱台的体积为. 故答案为：2800. 已知圆锥的高为6，体积为高的倍，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台高是3，则该圆台的体积为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据题意利用等量关系可求得圆锥底面圆半径为，代入计算可得圆台体积. 【详解】如下图所示：    易知圆锥的高，圆台的高， 设圆锥的底面圆半径为，则； 所以，解得； 可得圆台下底面圆面积为，上底面圆面积为， 所以该圆台的体积为. 故选：C 知识点5 锥体、台体的表面积与侧面积 1.棱锥、棱台的表面积 棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 2、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 （24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【答案】18 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 （24-25高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】依题意可求得其母线长，代入侧面积公式计算可得结果. 【详解】由题可知圆锥母线为， 所以其侧面积为. 故答案为： 题型一、棱锥的结构与分类 例1．下列几何体中，有且仅有8个面的是（    ） A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱 【答案】A 【分析】利用棱柱、棱锥的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，六棱柱有6个侧面、2个底面，共8个面，A是； 对于B，六棱锥有6个侧面、1个底面，共7个面，B不是； 对于C，八棱锥有8个侧面、1个底面，共9个面，B不是； 对于D，五棱柱有5个侧面、2个底面，共7个面，D不是. 故选：A 变式1 （24-25高一下·福建福州·期中）一个棱锥至少有 个面. 【答案】4 【分析】根据棱锥的定义推断即可. 【详解】棱锥的面数是由侧面的面数加1个底面得到的，面数最少的棱锥有四个面，它是三棱锥. 故答案为：4. 变式2 正棱锥的侧面是等腰三角形.( ) 【答案】正确 【分析】根据正棱锥的定义和性质，即可判断. 【详解】根据正棱锥的结构特征可知正棱锥的侧面是等腰三角形. 故答案为：正确； 变式3 底面是正多边形的棱锥是正棱锥.( ) 【答案】错误 【分析】根据正棱锥的定义可知错误. 【详解】正棱锥的定义：底面时正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥成为正棱锥. 故答案为：错误. 题型二、正棱锥及其有关计算 例2如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将与展开至位于同一平面内，利用余弦定理求解即可. 【详解】将与展开至位于同一平面内且位于直线的两侧，连接，与交于点， 则此时最小. 在中，由余弦定理可得， 所以，故的最小值为. 故选：B. 变式1 已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 变式2 若一个正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，则侧棱长为 ． 【答案】2 【分析】根据题意，求出对角线的长度，构造直角三角形，求出侧棱长. 【详解】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，则 高 所以侧棱长． 故答案为： 变式3 （24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正四面体的结构特征计算即得. 【详解】依题意，正的外接圆半径，则， 所以顶点到底面的距离. 故答案为： 变式4 正三棱锥的侧棱长为2，高为1，则该正三棱锥的底面周长为 ． 【答案】9 【分析】由题画出图形，求出即可由正三角形重心性质求出正三棱锥底面正三角形中线，从而得底面边长，进而得解. 【详解】如图，三棱锥是侧棱长为2，高为的正三棱锥， 且由正三棱锥以及正三角形性质可知为底面正三角形的重心， 连接并延长交于点， 则D为中点且，故， 设该正三棱锥底面边长为， 则由得， 所以该正三棱锥的底面周长为. 故答案为：. 变式5 （24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，取的中点，证明并求出即可. 【详解】依题意，三棱锥是棱长为2的正四面体，取的中点，连接， 由为的中点，得，因此，， 所以到的距离为. 故答案为：    题型三、棱锥的展开图 例3．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 变式1 （24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论. 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 变式2 （24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 变式3 （22-23高二上·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【答案】 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 题型四、棱锥中截面的有关计算 例4．已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为 . 【答案】 【分析】由平行关系确定相似关系，根据相似比定出面积比，从而得解. 【详解】由题意知, 所求截面是等边三角形, 且与点构成一个小的正三棱锥, 因为, 即, 所以该小的正三棱锥与正三棱锥 的相似比为, 所以 , 所以所求截面的面积 . 故答案为: . 变式1 （23-24高二上·上海浦东新·期中）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【详解】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻， 取中点为，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得；    ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻， 取中点为，连接 ，如图所示，    由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述，的取值范围是， 故选：A． 变式2 如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则 .    【答案】2 【分析】先作出截面，再由截面分析出各三角形的边长，利用相似三角形求解即可. 【详解】过作垂直于四棱锥底面的截面，如图所示，    由条件可知，为底面正方形的对角线，所以， 所以, 长度为正四棱柱底面正方形的对角线，所以， 长度为正四棱柱底面正方形的对角线的一半，所以， 由可得，解得， 由可得，所以， 故答案为：2 【点睛】关键点睛：作出截面把立体几何问题转化为平面几何问题，然后应用相似三角形求解. 变式3 （23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    【答案】①③ 【分析】设，由正四棱锥的性质，易知平面，过M作//分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 【详解】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 变式4 若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【答案】 【分析】设出截面与棱锥底面的距离，利用比例关系列方程求解. 【详解】根据题意，设截面与棱锥底面的距离为，则有，解得， 故该截面和底面的距离是. 变式5 （22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 【答案】(1)详见解析 (2)或； (3) 【分析】（1）不同的直角三角形中，分别表示所求角的余弦值，即可证明； （2）首先将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，再分和两种情况求余弦值； （3）首先作辅助线，构造的高，再设，利用相似关系，勾股定理表示，并表示的面积，求面积的最小值. 【详解】（1）如图，因为底面，平面 所以，又，且， 所以平面，平面， 所以， 所以，，, 所以； （2）如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角， 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 当时，，，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或； （3）如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以， 又因为，， 所以平面，平面，所以， 设，，由， 得，， 中，，得， 当且仅当时，等号成立， 所以. 所以面积的最小值是. 题型五、圆锥的结构特征辨析 例5．已知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的母线长为 . 【答案】 【分析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形求解. 【详解】因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形， 所以母线长. 故答案为： 变式1 （23-24高二上·上海徐汇·期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】由题意可得，几何体如下图所示： 取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， 即原圆锥的母线长为. 故选：A. 变式2 已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】先设出圆锥底面圆半径和母线长，再根据圆锥侧面展开图的性质以及圆锥的高、底面半径和母线的关系来求解. 【详解】设圆锥底面的半径为，则母线①. 根据题意，底面圆的周长等于侧面展开图半圆的弧长， 即，所以②. 联立①②方程可求得，解得. 故答案为：. 变式3 圆锥展开图为半径为1的半圆，求圆锥的高． 【答案】 【分析】根据圆锥的几何性质求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆周半径为， 则，且， 因此圆锥的高为：. 变式4 （24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于 . 【答案】 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 变式5 （2023·上海宝山·一模）如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    【答案】 【分析】将三角形和三角形展开在同一个平面，然后利用余弦定理求得正确答案. 【详解】连接，依题意平面，而平面， 所以，，是的中点，则， 由于，所以， 则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形，    将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示，    连接，交于，在三角形中， 由余弦定理得 ， 所以的周长最小值为. 故答案为： 变式6 （23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 【答案】 【分析】设圆锥的母线为，高为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长求出，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的母线为，高为，底面半径，扇形的半径为. 由已知可得的长为， 又，由可得， 所以圆锥的高. 故答案为：. 题型六、圆锥中截面的有关计算 例6．（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 变式1 （24-25高二上·上海·期中）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 变式2 （24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 【答案】 【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 有题意知，，解得， 所以. 故答案为：. 变式3 （23-24高二·上海·课堂例题）已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形．求该圆锥的高． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为，根据题意求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】根据题意，设圆锥的母线长为， 由题可得，圆锥的底面半径，则，解得， 所以该圆锥的高．      变式4 （23-24高二·上海·课堂例题）设点为圆锥的高靠近顶点的三等分点，求过与底面平行的截面面积与底面面积之比． 【答案】 【分析】作出圆锥的轴截面，利用比例关系求解. 【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设截面圆的半径为，底面半径为， 由已知可得， 于是截面面积和底面面积之比是.    变式5 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 题型七、圆锥的展开图及最短距离问题 例7．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是 . 【答案】 【分析】将其侧面展开，连接，则线段即为最短爬行距离，求出扇形半径和圆心角，由余弦定理求出答案. 【详解】考虑圆锥前侧面的展开图，假设展开后对应的点为，如图， 连接，则线段即为最短爬行距离， 由题意可知圆锥的母线长，底面直径为，则， 设，则，即，则， 在中，． 故答案为：. 变式1 （24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    变式2 （24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【答案】9 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 变式3 （24-25高三上·上海·阶段练习）顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 ．（精确到） 【答案】 【分析】首先在圆锥的底面中利用弧长公式求出，然后在侧面展开图中利用圆心角的求法求出，最后利用余弦定理求出，则即为圆锥侧面上由点到点的最短路线长. 【详解】 由圆锥底面半径为，，则， 又在圆锥的侧面展开图中，， 因此在中，， 故在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为线段的长， 故答案为：. 题型八、圆锥的体积 例8．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【答案】6 【分析】观察几何体，利用切割法的思想进行解决： , ,由即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由， 所以 . 故答案为：6. 变式1 （24-25高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线线平行，即可由线面平行的判定求解， （2）根据平面，即可由面面垂直的判定求解，， （3）利用等体积法，结合锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）在平面上，不在平面上， 所以平面 （2）平面是平面上的直线，， 是正方形，对角线. 是平面上的两条相交直线 平面 平面经过直线平面平面 （3）. 设点到平面的距离为，在三棱锥中，. 由是正方形可知； 由勾股定理有；从而是正三角形， ， ，即. 故点到平面的距离为 变式2 （24-25高二上·上海·期末）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)若底面为梯形，，异面直线与所成角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平行四边形再应用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合线面垂直判定定理及线面平行判定定理应用三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接，， 在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点， 又、分别是、的中点， 所以且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）异面直线与所成角为，则 又因为平面，则平面， 平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为，又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， . 变式3 （24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线和直线平行，得异面直线与所成的角，进而在中求解即可； （2）利用棱锥的体积公式，结合等体积法列方程求解即可. 【详解】（1）连接，，因为分别为线段的中点， 所以，故异面直线与所成角为； 又平面，平面， 所以， 所以， 故异面直线与所成的角为. （2）在正方体中，分别为线段的中点， 所以平面，且 因为F是线段的中点， 所以， 故三棱锥的体积； 因为分别为线段的中点， 所以， 又因为， 所以在中满足，故为直角三角形， 则， 设点D到平面的距离为d， 则三棱锥的体积，解得， 因此点D到平面的距离为. 变式4 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1)求证：为正四面体； (2)若，求二面角的大小； (3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件. 【分析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论；（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由线面垂直的判定可证平面PAM，即是二面角的平面角，进而求其大小；（3）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱. 【详解】（1）由棱台与棱锥的棱长和相等， ∴， 故. 又∵截面底面ABC，则棱锥为正三棱锥，即，， ∴，即， 从而，则， 故为正四面体. （2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM， ∵，则，， ，平面PAM， ∴平面PAM， 而平面PAM，故， 从而是二面角的平面角.   由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以， 由D是PA的中点，得， 在Rt△ADM中，， 故二面角的大小为. （3）存在满足条件的直四棱柱. 棱台的棱长和为定值6，体积为V. 设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为. 设的中心为，连接，则平面，即为三棱锥的高， ， ∴正四面体的体积是， 则，即， 从而， 故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件. 题型九、棱锥表面积的有关计算 例9．已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为 . 【答案】4 【分析】根据正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的斜高，再求出表面积. 【详解】如图，四棱锥为正四棱锥，高，底面边长， 过点作于，则是的中点，连接，于是斜高， 所以正四棱锥的表面积. 故答案为：4 变式1 如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 【答案】 【分析】将上面六棱锥的侧面积求出来，底面六棱柱的侧面积求出来，求和即可. 【详解】解：连接．因为，， 所以． 取的中点为Q，连接、PQ， 易得，， ． 设帐篷上部的侧面积为，下部的侧面积为， 所以， ，所以搭建帐篷的表面积为． 变式2 如图所示，在正四棱锥中，，求 (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，求出，进而求出正四棱锥的侧面积，进而求解； （2）连接交于，则，结合线面平面的判定定理即可证明. 【详解】（1）因为， 取的中点，连接， 由题意可得， 由题意可得， 所以正四棱锥的表面积为； （2）连接交于，由题意可得为的中点， 连接为的中点，在中，得， 平面，平面， 所以平面． 变式3 如图，已知在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)84 (2) 【分析】（1）根据表面积公式即可求解， （2）根据体积公式即可求解. 【详解】（1）连接相交于，连接 过点作于点，连接，则是斜高， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， ． 所以正四棱锥的表面积为84．    （2）， 所以正四棱锥的体积为； 题型十、圆锥表面积的有关计算 例10．已知圆锥的母线长，高，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】135π 【分析】根据圆锥特征以及相关公式直接计算即可. 【详解】圆锥的母线长，高， 所以圆锥的底面半径， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 变式1 圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 【答案】/0.375 【分析】利用圆锥侧面积公式,求出圆锥的底面半径,再由线面角的定义求出圆锥母线与底面所成角的余弦值即可. 【详解】设圆锥的底面半径为, 母线长, ,. 设圆锥母线与底面所成角为, . 故答案为: . 变式2 （24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 【答案】 【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高． 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 变式3 （24-25高二上·上海·阶段练习）据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. (1)求该蒙古包的表面积（不含底面）； (2)求该蒙古包的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆锥部分的母线长，根据圆锥以及圆柱的侧面积公式即可求得答案； （2）根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得，又, 故该蒙古包的表面积为（）； （2）由题意可得该蒙古包的体积为. 题型十一、棱台的有关计算 例11．（23-24高二上·上海长宁·期末）若正四棱锥的底面边长是2，高为，棱锥被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱台的上、下底面边长之比为，则该棱台的体积是 ． 【答案】/ 【分析】利用相似比得到被截去的小棱锥的边长与高，再利用割补法，结合棱锥的体积公式即可得解. 【详解】如图， 因为棱台的上、下底面的边长之比为，正四棱锥的底面边长是，高为， 所以正四棱锥的底面边长为，高为， 所以该棱台的体积为. 故答案为：. 变式1 在正四棱台中，，则 ． 【答案】/ 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 变式2 （2025·上海徐汇·三模）已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为 . 【答案】/ 【分析】过作于，利用勾股定理求出，再利用棱台的体积公式求解即可. 【详解】过作于，则， 因为平面，所以平面， 在中，， 可得， 从而棱台的高， 所以四棱台的体积为： 故答案为：. 题型十二、圆台的有关计算 例12．已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原圆锥的底面半径为2，由圆锥和圆台的表面积公式计算可得. 【详解】不妨设原圆锥的底面半径为2，高为，则原圆锥的表面积为． 小圆台的上下底面积为，侧面积为，表面积为． 故选：A． 变式1 （23-24高二上·上海·期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 . 【答案】/1:7 【分析】由题意，根据圆锥侧面积计算公式，求的圆锥底面半径、母线，结合三角形相似即可求出小圆锥和圆台的体积之比. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 由题意，，，故， 作圆锥轴截面如下图： 所以，，，所以圆锥体积为， 因为用与底面的距离为的平面截圆锥，故，且， 所以小圆锥体积， 所以圆台的体积， 故小圆锥和圆台的体积之比为. 故答案为： 变式2 如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为 . 【答案】 【分析】将圆台补形成圆锥，根据线面平行可得线线平行，由平行四边形以及等腰梯形的性质，求得圆台的高，结合中位线定理可得圆锥的高，利用圆锥的体积公式，可得答案. 【详解】由题意将圆台补形成圆锥，记顶点为，设底面圆心为， 分别连接并延长交圆台侧面为， 记，连接，如下图： 因为平面，平面，平面平面，所以， 易知，则，易知当时，的长取得最小值为， 可得，即，则，解得， 所以，易知， 因为，，所以， 综上可得圆台的体积为. 故答案为：. 变式3 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面半径为1 cm，原大圆锥的底面半径为4 cm，原来大圆锥的母线长为12 cm，求圆台的体积. 【答案】 【分析】根据三角形相似求出，再求出大、小圆锥的体积之比，由体积公式求出大圆锥的体积，即可得到小圆锥的体积，从而求出圆台的体积. 【详解】解：如图，设为大圆锥的一条母线，    过和的平面与两个圆锥的底面的交线分别为直线和， 则由两个平面平行的性质定理，知， ，所以． 由，， 所以，， 同时， 由圆锥体积公式，得， 又， ， 所以 变式4 已知圆台的上、下底面半径分别为20cm，30cm，高为18cm，过它的两条母线作一平面截去上底面圆周的． (1)求证：这个截面截下底面圆周也是； (2)求这个截面面积． 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）易知与必相交于一点，得到是平面图形，再利用面面平行的性质定理得到，同理，利用等角定理证明； （2）分别取AB、的中点，连接，由为梯形求解. 【详解】（1）证明：如图所示： 分别为上下底面的中心，分别在上下底面上， 所以与必相交于一点， 所以是平面图形，则， 同理，又开口方向相同， 所以， 这个截面截下底面圆周也是； （2）分别取AB、的中点，连接， 又因为圆台的上、下底面半径分别为20cm，30cm，高为18cm， 所以， 所以， 所以截面的面积为. 1．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 2．（2024·上海虹口·一模）若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】首先求出母线，再由侧面积公式计算可得. 【详解】因为圆锥的底面半径，高，设母线为，则， 所以该圆锥的侧面积为. 故答案为： 3．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm，求圆台的高． 【答案】 【分析】由圆锥平行于底面的截面的性质求解． 【详解】∵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4． ∵截去的圆锥的母线长是3cm，圆台的上底面半径为1cm， ∴圆台的下底面半径为4cm．作大圆锥的轴截面如图， 设圆台的母线长为y，由，得，解得． ∴圆台的高． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为 . 【答案】 【分析】根据圆锥底面积和侧面积公式可求得之间的比例关系，结合二倍角正弦公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，轴截面顶角为， 圆锥的底面积与侧面积之比为，，即， ，，， . 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为 ． 【答案】 【分析】根据侧面积之比可得．再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到，利用勾股定理得到、关于的式子，即可求出它们高的比值，由体积公式即可得解． 【详解】设圆锥母线长为，侧面积较小的圆锥半径为，侧面积较大的圆锥半径为，它们的高分别为、， 它们的侧面积之比为，则，得． 两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆， ，得． 再由勾股定理，得， 同理可得，， 两个圆锥的高之比为：， 故体积之比为 故答案为：． 6．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ． 【答案】12 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】设圆台的上底面半径为，圆锥的母线长为， 则圆台的下底面的半径为， 作出圆锥的轴截面如图，则， 所以，即． 解得，即圆锥的母线长为12． 故答案为：.    7．如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．    (1)证明：四边形为等腰梯形； (2)若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆台的性质可知，，，故四边形为等腰梯形. （2）剩余部分的体积等于圆台的体积减去圆锥的体积. 【详解】（1）因为，为圆台两条母线， 所以，且它们都在同一个平面内， 又由于圆台的上下底面都是圆，由圆的同心性和圆台的形成可知，， 故四边形为等腰梯形. （2）如图所示： 连接,过点作于点，    则,所以由勾股定理得高， ， ， 故剩余部分的体积. 8．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.    (1)若，，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解； （2）先根据面积关系建立函数解析式，，然后利用二次函数性质求其最值. 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积 正四棱柱的体积 所以仓库的容积. （2）设，下部分的侧面积为， 则，， ， 设， 当，即时，，. 即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是. 9．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，E，F，G分别是线段，，的中点，若平面交于点H．    (1)求多面体的体积； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出多面体与正三棱锥的比例，然后设出底面中心为， 利用勾股定理求出高，再根据锥体体积公式即可计算求解. （2）利用三角形中位线得且，再有直线与平面平行的性质得出，从而证得四边形是平行四边形，最后利用线面垂直的性质推出，从而得证. 【详解】（1）如图：    取 的中点 ,连接 ， 因为，E，F分别是线段 ，，的中点， 所以， 因为E，F，G分别是线段，，的中点， 所以且， 平面,平面, 所以平面, 又因为平面交于点H． 则平面与平面的交线为， 所以，而，所以， 又因为G是线段的中点，则H是线段的中点， 所以,而， 所以几何体为三棱柱，设正三棱锥的高为 ，则三棱柱的高为 ，三棱锥的高也为 ，， 则多面体的体积=三棱柱的体积与三棱锥的体积之和； 所以， 而， 所以， 由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体， 取中点，连接，，取的中点，底面中心为，如图：   ，， 则， 所以多面体的体积：． （2）由（1）可知，H是线段的中点， 所以,而 所以四边形是平行四边形， 又， 如图，    于是为菱形，取的中点，而，， ，平面， 则平面，又平面， 因此，于是，所以四边形是正方形． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$