第十九章 二次根式（暑假巩固作业02）2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学二次根式暑假巩固单元卷，以基础巩固为核心，融合高空抛物、口袋公园等社会热点与生活情境，通过分层设计提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|二次根式定义、最简与同类二次根式、性质应用|第8题结合高空抛物公式考查运算，体现数学眼光；第10题口袋公园面积计算，强化模型意识| |填空题|6|有意义条件、大小比较、规律探究|第15题新定义运算，培养数学思维；第16题规律归纳，发展创新意识| |解答题|8|化简求值、实际应用、阅读探究|23题木工裁板问题整合面积计算与估算，24题阅读材料题深化分母有理化应用，突出综合能力

第十九章 二次根式（暑假巩固作业02） 一、选择题 1．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 6．若与的和是的整数倍，则x的值不可能是（    ） A．2 B． C．5 D．14 7．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 8．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 9．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 10．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次根式有意义，则的取值范围是_____． 12．比较大小：________（填“”“”或“”） 13．若，用含的式子表示为___________． 14．若，则的值是______． 15．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：________________． 16．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 三、解答题 17．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 20．已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． (1)若与x是关于1的“平衡数”，求x的值； (2)若，判断与_______（填“是”或“不是”）关于1的“平衡数”，并说明理由． 21．墨迹“”挡住了二次根式运算“计算：．”的一部分． (1)若“”挡住的是，小艺同学进行如下计算： 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 小艺从第______步开始出错，本题正确的计算结果是______； (2)若“”挡住的是，写出二次根式的计算过程． 22．观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 23．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 24．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第十九章 二次根式（暑假巩固作业02） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A B C A C B B 1．C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 2．D 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：=，被开方数含分母，不是最简二次根式， B选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式， D选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 3．C 【分析】根据定义，是最简二次根式，只需让它的被开方数与的被开方数相等，列方程求解即可. 【详解】解：∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ， 解得：. 4．A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 5．B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6．C 【分析】将选项中的数代入求解判断即可． 【详解】解：A．当时，，是的整数倍，不符合题意； B．当时，，是的整数倍，不符合题意； C．当时，，不是的整数倍，符合题意； D．当时，，是的整数倍，不符合题意． 7．A 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 8．C 【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 9．B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 10．B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 11． 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 移项得 系数化为得． 12． 【分析】将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方大的原数更大，据此计算即可解答． 【详解】∵，， 且 ， ， ∵， ∴， ∴． 13． 【详解】解：． 14．5 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 15． 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 16． 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴． 17．(1) (2)8 【分析】（1）先求得和的值，根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ． 18．， 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19． 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 20．(1) (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据“平衡数”的定义得到，进而求解即可； （2）首先求出，然后代入，然后根据“平衡数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：与x是关于1的“平衡数”， ∴， 解得； （2）解：不是．理由： ， 解得， ， 与不是关于1的“平衡数”． 21．(1)二； (2)见解析 【分析】（1）第二步去括号，出现错误，根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 小艺从第二步开始出错，本题正确的计算结果是． （2）解： ． 22．(1)（n为正整数） (2)2025 【分析】（1）根据题意即可得到规律； （2）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：①由得； ②由得； ③由得； ……， 以此类推可知，由得（n为正整数）； （2）解： ． 23．(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，； （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积； （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：． 24．（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $