第05讲 一元二次方程的解法（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

第05讲 一元二次方程的解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解一元二次方程——直接开平方法 题型2 因式分解法解一元二次方程 题型3 配方法 题型4 公式法解一元二次方程 题型5 换元法解一元二次方程 题型6解分式方程（化为一元二次） 题型7一元二次方程根的判别式 题型8一元二次方程的根与系数的关系 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、求根公式、判别式、配方、降次 1. 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解方程的基本思路与步骤。 2. 理解求根公式的推导过程，熟记求根公式，能熟练用公式法解方程。 3. 理解根的判别式的意义，能利用判别式判断一元二次方程根的情况。 4. 能根据方程特点选择最简解法，熟练求解各类一元二次方程。 学习重点：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程、根的判别式的基本应用。 学习难点：配方法的配方变形技巧、根据方程特征选择最优解法、利用判别式解决含参数根的情况问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直接开平方法 适用题型：形如或（）的一元二次方程。 解法步骤：直接对等式两边开平方，得到两个互为相反数的根，再求解未知数。 取值判定：若，方程无实数根。 【易错提醒】 1. 开平方只写正根，遗漏负根，导致丢解。 2. 时强行求解，出现错误实数根。 【方法总结】 左边完全平方、右边常数，非负开方取正负，负数直接判无实根。 即时即练已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 知识点02 配方法 定义：通过配方将一元二次方程化为的完全平方形式，再用直接开平方法求解。 标准步骤：①二次项系数化为1；②常数项移到等式右边；③两边同时加一次项系数一半的平方；④配方开方求解。 适用场景：题目指定配方、求代数式最值、无法因式分解的方程。 【易错提醒】 1. 二次项系数不为1时，直接配方，配方错误。 2. 配方时只给左边加平方数，右边不加，破坏等式平衡。 【方法总结】 系数化1→移项→配平方→开方→求解，等式两边同步变形。 即时即练将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过配方将原方程化为题目要求的形式，即可得到的值. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，得， 整理得 ， 对比，可得. 知识点03 公式法与根的判别式 求根公式：对于，。 判别式定义：，专门判定一元二次方程根的情况。 判别式结论：两个不相等实根；两个相等实根；无实数根。 【易错提醒】 1. 代入时忽略符号，导致公式计算错误。 2. 时仍套用公式求根，忽略无实根的结论。 【方法总结】 先化一般式、再算判别式、有根套公式、无根直接写结论。 即时即练解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 知识点04 因式分解法 核心原理：若，则或，实现二次降为一次求解。 常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 一、提公因式法 多项式每一项共同含有的因式，包含：数字公因数 + 字母公因数 数字：各项系数的最大公约数 字母：各项都出现的字母，取最低次数 标准步骤 ① 找数字最大公约数 ② 找公共字母、最低次幂 ③ 整体提出公因式 ④ 括号内每一项除以公因式，整理符号 整体公因式 公因式可以是多项式整体，不只是单字母 例： 公因式是 原式= 符号公因式（高频易错） 看到相反数结构，统一变号再提公因式 【口诀】 先提数字再提元，最低次幂为公根；整体亦可当因式，提尽干净才算真。 二、平方差公式（二项式专用） 公式原型（必须背死） 可使用的唯一条件 ① 只有两项（二项式） ② 两项一正一负 ③ 两项都能写成平方形式 常见平方形式 整体平方也算 【口诀】 两项异号皆平方，和差相乘立马拆 三、完全平方公式（三项式专用） 两个核心公式 能用完全平方的三大特征 ① 一共三项 ② 首尾两项是平方、同号 ③ 中间项 = 首尾根号乘积 ×2 易错陷阱：中间项符号 首尾同号，中间正→和的平方 首尾同号，中间负→差的平方 【口诀】 三项首尾平方同，中间两倍首尾积，同和异差看符号 四、十字相乘法（二次三项式万能王） 适用题型 标准型： 进阶型：（a≠1） 第一种：二次项系数为1（最简单必考） 公式逻辑： 找两个数：和=一次项系数，积=常数项 符号万能判断法则（不用猜！） ① 常数项 正：两数 同号（跟着一次项符号走） ② 常数项 负：两数 异号（大数跟着一次项符号走） 第二种：二次项系数不为1（真正难点） 形如： 十字相乘核心： 拆二次项系数、拆常数项 交叉相乘再相加 = 中间一次项 【十字相乘满分步骤】 1. 先看能不能提公因式（必做） 2. 拆头、拆尾 3. 交叉凑中间 4. 横向写结果（千万不要交叉写！） 【万能口诀】 首尾拆开交叉凑，和对就把横向收；同正异负看常数，一次定号不发愁。 适用场景：方程易分解、计算速度最快，是解题首选方法。 【易错提醒】 1. 等式两边直接除以含未知数的式子，丢失一个根。 2. 因式分解不彻底，无法正确求解。 【方法总结】 移项凑0→因式分解→拆分一次方程→分别求解，绝不直接除未知数。 即时即练解方程：． 【答案】， 【详解】解：． ， 或， 解得：，． 题型1解一元二次方程——直接开平方法 【例1】小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【答案】 【分析】将原方程整理为，依据平方差公式可得，再整理，并开方可得答案． 【详解】解：， 原方程变形，得 由平方差公式，得， 即， 开方，得， ∴． 【例2】淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则的值为（   ） A．1 B．或 C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据题意得关于a的方程为，解方程即可，注意舍去负值． 【详解】解：由题意得：， 配方得：， 即， ∴（舍去）， 即a的值为； 故选：C． 【变式1-1】若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 【答案】25 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程—直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 【变式1-2】直接写出方程的解：，则___． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；利用直接开平方法解一元二次方程，进行计算即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 题型2 因式分解法解一元二次方程 【例3】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【详解】（1）解：， ， 两边开平方得， 即或， 解得，； （2） 因式分解得 即或 解得，． 【例4】解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， 或， 或， 即原方程的根是，． 【变式2-1】关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 【变式2-2】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， 解得：，． 题型3 配方法 【例5】解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 【例6】解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 开平方得 解得，； （2）解：， 移项得 ， 配方，两边同时加得 ， 整理得 ， 开平方得 ， 解得，． 【变式3-1】（1）____________； （2）____________． 【答案】 25 5 【详解】解：（1）， （2）． 【变式3-2】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 题型4 公式法解一元二次方程 【例7】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由完全平方公式得，再开方可得解； （2）先确定，再求出，然后根据求根公式解答． 【详解】（1）解：， 整理，得， 开方，得， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴， ∴． 【例8】若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 【变式4-1】解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项、整理得：， 其中，， ， 代入一元二次方程求根公式，得 ， ∴，． 【变式4-2】计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解求解． （3）把常数项移项，二次项系数化为1，再配方可得：，进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得： ∵， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，． （3）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 题型5 换元法解一元二次方程 【例9】按要求完成下列各题： (1)解方程：； (2)设，为实数，求的最小值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）先整理、变形得，令，原方程可化为，解得或，从而或，求解检验即可； （2）将展开计算并整理为，再根据平方的性质，可得的最小值． 【详解】（1）解：原方程可整理为，， ， 令，则原方程为， 解得或，即或， 或， 解得，或，， 经检验：，，，是原方程的解； （2）解： ， 当且仅当，时，即，时，取得最小值． 【例10】若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 【变式5-1】已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 【变式5-2】请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 题型6解分式方程（化为一元二次） 【例11】已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式因式分解求解即可． 【详解】解：令，则原方程为 ， ∴， ∴， 解得，即． 【例12】解分式方程：． 【答案】 【分析】把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解：， 方程两边同乘，得： ， 整理得： ， 即 ， 因式分解：， 解得 ， 检验：时，， 是增根，舍去； 时，． ∴原方程的解为． 【变式6-1】解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 【变式6-2】对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解 题型7一元二次方程根的判别式 【例13】若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 【例14】下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，若判别式，则方程没有实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A选项、， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项、， ， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项、， ，方程没有实数根，符合题意； D选项、， ，方程有两个相等的实数根，不符合题意． 【变式7-1】已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 【变式7-2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值是_____． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 题型8一元二次方程的根与系数的关系 【例15】已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 【例16】若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． 【变式8-1】已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】由根与系数的关系求出的值，再把所求式子通分得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 【变式8-2】设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 一、单选题 1．下列方程中有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，整理各方程为标准形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A、方程为，则，，，故，方程无实数根，不符合题意； B、整理方程得，则，，，故，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、整理方程得，则，，，故，方程无实数根，不符合题意； D、方程为，则，，，故，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 2．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，一元二次方程有两个相等的实数根，先将各选项方程化为一般形式，再计算判别式即可判断。 【详解】解：A、将方程化为一般形式得， ， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、将方程化为一般形式得， ， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、方程为， ， ∴方程没有实数根，不符合题意； D、将方程化为一般形式得， ， ∴方程有两个相等的实数根，符合题意． 3．下列关于的方程有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值判断方程是否有实数根，若，则方程有实数根，否则无实数根，整式方程先化简再判断是否成立. 【详解】A选项：方程为， ， ，方程无实数根； B选项：方程为， ， ，方程无实数根； C选项：移项化简方程得，等式不成立，方程无实数根； D选项：方程为， ， ，方程有实数根. 4．关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为（　　） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程有两个正实数根，需满足二次项系数非零、判别式非负、根的和与积均为正，进行解答即可． 【详解】解：∵方程有两个正实数根， ∴，即， ， 解得：， 两根之和，两根之积， ∵分子均为正， ∴，即， 综上，， 故选：D． 5．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，注意二次项系数不为零．一元二次方程有两个实数根需满足判别式且二次项系数，据此求解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，即， 且． ∴． ∴． 又∵， ∴m的取值范围是且． 故选：D． 6．下列关于的方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、解分式方程，利用一元二次方程的判别式判断根的情况是解题的关键．通过计算每个方程的判别式或解方程，判断方程是否有实数根，即可得出答案． 【详解】A、， ， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； B、 去分母，得， 即， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原方程无解，故此选项不符合题意； C、 去分母，得， 整理得， ， ∴方程没有实数根，故此选项不符合题意； D、 ， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项符合题意； 故选：D． 7．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 8．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，化简所求代数式，再利用根与系数的关系得到两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 二、填空题 9．已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】原方程有两个实数根，故为一元二次方程，二次项系数不为，由两根互为相反数得两根之和为，利用根与系数的关系求出，再验证判别式大于，即可得到的值． 【详解】解：原方程有两个互为相反数的实数根， 原方程为一元二次方程，即； 设方程的两根为，由两根互为相反数得， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得 ， ． ， ，解得 由， 将代入得，满足方程有两个实数根的条件，符合题意． 10．设方程的正根介于整数与之间，则________． 【答案】3 【分析】利用配方法解出的根后，利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则． 11．已知是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】10 【分析】本题考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系；先利用方程根的定义得到的表达式，代入所求代数式化简，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的实数根， ∴， 整理得， 将代入得： 原式 ， 是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得， ， 代入得： 原式 ． 12．解方程：，_____________ 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，运用配方法求解即可. 【详解】解： ∴，． 故答案为： ，． 13．若方程可以配方成，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，方程移项后，两边加上变形即可得到结果，熟练掌握完全平方公式和利用配方法解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 14．用配方法解方程，方程可变形为，则________． 【答案】9 【分析】本题考查配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，配方时，先取一次项系数的一半的平方，即，然后两边同时加上4，得，即，与形式对比，从而确定的值． 【详解】原方程移项得：， 左右两边同时加上4，得， 即， 与形式对比，得， 故答案为9． 三、解答题 15．解不等式组和解方程 (1)解不等式组： (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； （2）解：， ， 或， ，． 16．已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）根据m的值先求得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）根据点A和点B在反比例函数图象上，可得，，从而可知m、n为关于x的一元二次方程的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答． （3）同（2）可解． 【详解】（1）解：当，则， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数为， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中，方程有2个不相等的实数根， ∴； （3）解：不变， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中， ∵， ∴，方程有2个不相等的实数根， ∴． 17．若代数式与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得. 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择因式分解法或完全平方公式法． （1）通过因式分解将方程化为两个一次因式的积为0的形式求解； （2）利用完全平方公式将方程化为平方形式后求解． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． （2）解：， 由完全平方公式得， 解得． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第05讲一元二次方程的解法 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解一建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解一元二次方程—直接开平方法 题型2因式分解法解一元二次方程 题型3配方法 题型4公式法解一元二次方程 题型5换元法解一元二次方程 题型6解分式方程（化为一元二次) 题型7一元二次方程根的判别式 题型8一元二次方程的根与系数的关系 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解方程的基本思路 直接开平方法、配方 与步骤。 法、公式法、因式分 2.理解求根公式的推导过程，熟记求根公式，能熟练用公式法解方程。 解法、求根公式、判 3.理解根的判别式的意义，能利用判别式判断一元二次方程根的情况。 别式、配方、降次 4.能根据方程特点选择最简解法，熟练求解各类一元二次方程。 学习重点：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程、根的判别式的基本应用。 学习难点：配方法的配方变形技巧、根据方程特征选择最优解法、利用判别式解决含参数根的情况问 题。 02 教材全解 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|框|架 适用题型 形如r2=p或(mx十n)2=p(p20)的-元二次方程。 直接开平方法 解法步景 直接对等式两边开平方，得到两个互为相反数的根mx+n=土√P,再求解未知数. 取值判定 若部<0，方程无实数根。 定义 通过配方将一元二次方程化为(x+m2=的完全平方形式，再用直接开平方法求解 配方法 二次项系数化为1 常数项移到等式右边 标准步 两边同时加一次项系数一半的平方 配方开方求解。 一元二次方程的解法 求根公式 对于ax24bx4c=0a0,z=-出2匹b2-4ac20. 公式法与根的判 别式 判别式定义 △=b2-4ac,专门判定一元二次方程根的情况。 判别式结论 △>0两个不相等实根；△=0两个相等实根；△<0无实数根。 核心原理 若AB=0,则A=0或B=0,实现二次降为一次求解 提公因式法 平方差公试 因式分解法 常用方法 完全平方公试 十字相乘法 适用场景 方程易分解、计算速度最快，是解题首选方法 知1识1精1讲 知识点01直接开平方法 适用题型：形如x2=p或mx+n}=p(p≥0)的一元二次方程。 解法步骤：直接对等式两边开平方，得到两个互为相反数的根x+n=±Vp,再求解未知数。 取值判定：若p<0,方程无实数根。 【易错提醒】 1.开平方只写正根，遗漏负根，导致丢解。 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.p<0时强行求解，出现错误实数根。 【方法总结】 左边完全平方、右边常数，非负开方取正负，负数直接判无实根。 即时即练已知关于x的一元二次方程mx-h2-k=0(m,h,k均为常数且m≠0)的解是x1=2,x2=5, 则关于x的一元二次方程mx+h+1}=k的解是() A.X1=-2,X2=-5 B.X1=-4,X2=-1 C.X1=1,X2=4 D.X1=-3,X2=-6 知识点02配方法 定义：通过配方将一元二次方程化为(x+m)2=n的完全平方形式，再用直接开平方法求解。 标准步骤：①二次项系数化为1；②常数项移到等式右边；③两边同时加一次项系数一半的平方；④配方 开方求解。 适用场景：题目指定配方、求代数式最值、无法因式分解的方程。 【易错提醒】 1.二次项系数不为1时，直接配方，配方错误。 2.配方时只给左边加平方数，右边不加，破坏等式平衡。 【方法总结】 系数化1→移项一→配平方→开方→求解，等式两边同步变形。 即时即练将方程x2-2x-3=0化为(x-mP=n的形式，n的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 知识点03 公式法与根的判别式 求根公式：对TaX2+bx+c=0(a0。X=b±b-4ac(62-4ac≥0。 2a 判别式定义：△=b2-4ac,专门判定一元二次方程根的情况。 判别式结论：△>0两个不相等实根；△=0两个相等实根；△<0无实数根。 【易错提醒】 1.代入a、b、c时忽略符号，导致公式计算错误。 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.△<0时仍套用公式求根，忽略无实根的结论。 【方法总结】 先化一般式、再算判别式、有根套公式、无根直接写结论。 即时即练解方程：3x2-4x-1=0 知识点04 因式分解法 核心原理：若AB=0,则A=0或B=0,实现二次降为一次求解。 常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 一、提公因式法 多项式每一项共同含有的因式，包含：数字公因数+字母公因数 数字：各项系数的最大公约数 字母：各项都出现的字母，取最低次数 标准步骤 ①找数字最大公约数 ②找公共字母、最低次幂 ③整体提出公因式 ④括号内每一项除以公因式，整理符号 整体公因式 公因式可以是多项式整体，不只是单字母 例：a(x-y)+b(x-y 公因式是（x-y) 原式=x-y(a+b) 符号公因式（高频易错） a-b=-(b-a） 看到相反数结构，统一变号再提公因式 【口诀】 先提数字再提元，最低次幂为公根；整体亦可当因式，提尽干净才算真。 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、平方差公式（二项式专用） 公式原型（必须背死） a2-b2=(a+b)(a-b 可使用的唯一条件 ①只有两项（二项式） ②两项一正一负 ③两项都能写成平方形式 常见平方形式 x2、4x2、9x2、16x2、25x2 (x+1)2、(2x-32整体平方也算 【口诀】 两项异号皆平方，和差相乘立马拆 三、完全平方公式（三项式专用） 两个核心公式 a2+2ab+b2=(a+b2 a2-2ab+b2=(a-b2 能用完全平方的三大特征 ①一共三项 ②首尾两项是平方、同号 ③中间项=首尾根号乘积×2 易错陷阱：中间项符号 首尾同号，中间正→和的平方 首尾同号，中间负一差的平方 【口诀】 三项首尾平方同，中间两倍首尾积，同和异差看符号 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四、十字相乘法（二次三项式万能王） 适用题型 标准型：x2+px+q 进阶型：ax+bx+c(a≠1) 第一种：二次项系数为1（最简单必考） 公式逻辑： x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n) 找两个数：和=一次项系数，积=常数项 符号万能判断法则（不用清！） ①常数项正：两数同号（跟着一次项符号走） ②常数项负：两数异号（大数跟着一次项符号走） 第二种：二次项系数不为1（真正难点） 形如：ax+bx+c 十字相乘核心： 拆二次项系数、拆常数项 交叉相乘再相加=中间一次项 【十字相乘满分步骤】 1.先看能不能提公因式（必做） 2.拆头、拆尾 3.交叉凑中间 4横向写结果（千万不要交叉写！） 【万能口诀】 首尾拆开交叉凑，和对就把横向收：同正异负看常数，一次定号不发愁。 适用场景：方程易分解、计算速度最快，是解题首选方法。 【易错提醒】 1.等式两边直接除以含未知数的式子，丢失一个根。 2.因式分解不彻底，无法正确求解。 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【方法总结】 移项凑0→因式分解一拆分一次方程→分别求解，绝不直接除未知数。 即时即练解方程：x2-4x=0. 03 题型突破 题型1解一元二次方程—直接开平方法 【例1】小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程xx+4=6. 解：原方程可变形得 x+2-2x+2+2=6. x+22-22=6, x+22=6+22, x+2}2=10: 直接开平方并整理，得x1=-2+/10,x,=-2-V10 我们称小明这种解法为“平均数法”· 请用“平均数法”解方程：x-5X+3=6 【例2】淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为() A.1 B.1-2或1+V2C.1+2 D.1或V2+1 b 【变式1-1】若一元二次方程ax2=bab>0的两个不相等的根分别是2m+1与m-7,则。为 【变式1-2】直接写出方程的解：x2-9=0,则x=一 题型2因式分解法解一元二次方程 【例3】解方程 (1)x2-2x+1=25: (2)x2+6x-7=0. 【例4】解方程：x+2V3x=0. 【变式2-1】关于x的方程x2+m+3x+2m+2=0有一个小于1的非负数解，那么m的取值范围是() 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1≤m<0 B.-1<m≤0 C.-2≤m<-1 D.-2<m≤-1 【变式2-2】解方程： 1)2x2-x-1=0. (2)x-32+2xx-3=0. 题型3配方法 【例5】解方程：x+8x-9=0. 【例6】解方程 (1)x-32=1 (2)x2-2x-5=0 【变式31】(1)X2+10x+=(x+☐尸： (2)X-3x+=x-. 【变式32】用配方法解一元二次方程2x2-8x-3=0,下列配方正确的是() A.x+42=11B.x-42=11 C.2x+22=11D.2x-22=11 题型4公式法解一元二次方程 【例7】解方程： (1)x2-2x+1=25 (2)x2-5x-5=0 【例8】若记方程x-2x-2=0的两个不相等的实数根为X1,x2x1>x2,则x1-X2的值为() A.4/3 B.2/3 C.4 D.2 【变式41】解方程：3x-x2=5x-7. “x1=-1+2/2,x,=-1-22 【变式42】计算 (1)3x2-4V3x=-2(公式法) 2)3x-22=x2-4(因式分解法) (3)6x2-x-12=0(配方法) 题型5换元法解一元二次方程 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例9】按要求完成下列各题： 1)解方程：2X+7x-13=13-2-7 2)设x,y为实数，求S=y-12+x+y-32+2x-y-1?的最小值. 【例10】若3m2-2m-5=0,5m+2n-3=0,其中m,n为实数且m,n≠1，m 行则m+1 n 【变式51】已知方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3,则方程4x+12+24x+1-3=0的解是 【变式52】请阅读下列材料： 解方程x2-12-5x2-1+4=0. 解法如下： 将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y,则xX-1?=y2, 原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4. (1)当y=1时，x2-1=1,解得x=±V2: (2)当y=4时，x2-1=4,解得x=±V5. 综合(1)(2)，可得原方程的解为x,=2,x2=-2,x,=5,x,=-5 请你参考明明同学的思路，解方程x-14-5x-12-6=0. 题型6解分式方程（化为一元二次） 【制已：1头+是=0，则时年于（) XX A.2 B.1 c +1 【例1】解分式方程：乙x1 2 1-1=4 【变式61】解方程：x-21X2-4 【支式62】对于非零的两个实数a、b,规定0②b=号-若x83x-1=2,则X的值为 b a 题型7一元二次方程根的判别式 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例13】若关于x的一元二次方程x2-4x-c=0有两个不等的实数根，则实数c的值可以为() A.-16 B.-8 c.-6 D.-2 【例14】下列一元二次方程没有实数根的是() A.x2-2X=0 B.x-1=0 C.x2+x+1=0 D.x+2x+1=0 【变式7-1】已知关于x的一元二次方程x2-2k-1x+k2=0. (1)若x=一2是方程的一个根，求k的值： (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围. 【变式7-2】若关于x的一元二次方程x2-4x+3m=0有两个相等的实数根，则m的取值是 题型8一元二次方程的根与系数的关系 【例15】已知4、b是一元=次方程X-x-3=0的两个根，则2+ a b 的值为() A.-3 B.1 c.-3 D.2 【例16】若Q,β是一元二次方程x-5x-3=0的两个实数根，则aβ的值为() A.-3 B.-5 C.3 D.5 1+1 【变式81】已知X,X,是一元二次方程2X-3x-5=0的两个实数根，则元+元的值为 【变式82】设X1,X2是一元二次方程x2-4x-4=0的两个根，则x+x2=() A.4 B.8 C.24 D.26 04过关检测 10112 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.下列方程中有两个不相等的实数根的是() A.2x+1=0 B.4x2+1=-4x C.x2+6=3x D.7x2-4x-1=0 2.下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（) A.x2=2x B.2x2=1 C.3x2-x+1=0D.5x2+1=2V5x 3.下列关于X的方程有实数根的是() A.5x2+2=0 B.2x2+4X+3=0 C.2x2-3=2x2+4 D.-x2+2X-1=0 4.关于x的一元二次方程k-1x2-8x+4=0有两个正实数根，则k的取值范围为() A.k≤5且k≠1B.1<k<5 c.1≤k≤5 D.1<k≤5 5.关于x的一元二次方程m-2x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是() A.m≤4 B.m≥4 c.m≥4且m≠2 D.m≤4且m≠2 6.下列关于x的方程中有实数根的是() A.x2+1=0 1 X B.x-1x-1 1=x C. x x-1 D.x2-mx-1=0 7.在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”·如： A(2,》,B(-3,都是“间数点”.给出下列结论： ①函数y=3x的图象上存在2个“倒数点”： ②函数y=x-1的图象上不存在“倒数点”： ③函数y=2x2+1的图象上存在1个“倒数点”： ④若函数y=k心+2的图象上存在“倒数点”，则k≤-1. 其中正确的个数是() A.1 B.2 c.3 D.4 8.已知，n是关于x的方程x+a-5x+7=0的两个实数根，则m+ma+7n2+na+7的值是 () A.175 B.210 C.245 D.365 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 9.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0.若原方程有两个互为相反数的实数根，则m的值是 10.设方程x2-2x-5=0的正根介于整数n与n+1之间，则n= 11.已知a、β是方程x+3x-2026=0的两个实数根，则a2-3B+a3+1的值是 12.解方程：x2+6x-7=0, 13.若方程x2-4x+n=0可以配方成(x-22=2,则n的值为一· 14.用配方法解方程x2-4x-5=0,方程可变形为x+m2=n,则n= 三、解答题 15.解不等式组和解方程 1)解不等式组： 3x-1+2x23 4-3x<7 ②)解方程：x2-4x-21=0. 16.已知点Am,m+2,点Bn,n+2均在反比例函数y=k>0)上，且m≠n (1)若m=1时，求k的值； (2)若k=3时，求m+n的值： (3)随着k的变化，m+n的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由， 17.若代数式2a2+a-3与-a2+4a+1的值互为相反数，求a的值. 18.解方程： (1)2x-12-9=0: (2)(x+32=2x+5. 19.用适当的方法解下列方程： (1)x2-5x-6=0: (2)x2-2x+1=0. 20.解方程： 1)x2+2x-4=0: (2)x-12=1-x. 12112