第01讲 认识二次根式（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第01讲认识二次根式 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1二次根式的识别 题型2求二次根式的值 题型3求二次根式中的参数 题型4二次根式有意义的条件 题型5利用二次根式的性质化简 题型6复合二次根式的化简 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 二次根式、被开方1.理解二次根式的定义，识别二次根式的结构，掌握二次根式的符号表示形 数、算术平方根、双式。 重非负性、二次根式2.掌握二次根式有意义的条件，能根据被开方数非负求解字母的取值范围。 有意义的条件、二次3.理解二次根式的双重非负性，熟练运用二次根式的基本性质进行简单化简 根式的性质、化简二与计算。 次根式 4.能区分普通算术平方根与二次根式，掌握二次根式基础化简方法。 学习重点：二次根式的定义与表示方法、二次根式有意义的条件、二次根式的双重非负性及基本性 质。 学习难点：利用二次根式双重非负性求解参数值、结合取值范围解决含二次根式的综合题型。 02 教材全解 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识1框|架 定义 一般地，形如va(a20)的试子叫做二次根式。其中“√是二次根号，a 叫做被开方数。 定义本质 二次根式是算术平方根的代数表达形式，实质是表示非负数的算术平方根 二次根式的 式子必须含有二次根号 定义 三大判定条件 被开方数a必须是非负数（正数或0） 根指数固定为2（省路不写） 有意义条件 二次根式√Q在实数范围内有意义的唯一前提是：被开方数 a≥0，若被开方数为负数，二次根式无意义。 二次根式的构成要素 一个完整的带系数二次根式由四部分构成 二次根号 运算符号，表示对被开方数进行开平方（求算术平方根）运算。 二次根式的构成要素 被开方数 根号下的整体内容，可以是数、单项式、多项式，是开平方运算的对橡。 根指数 写在根号左上角的数字，代表开方的次数：二次根式的根指数为 认识二次根式 2,通常省略不写。 二次根式的系数 根号前面的数字因数，如32中，3是二次根式的系数，系数为1时通常省略 最简二次根式 按化简程度分类（最核心分类） 非最简二次根式 二次根式的分类 纯数值二次根式 按被开方数特征分类 含字母二次根式 有意义的条件 被开方数大于等于0，即ya有意义a20。 双重排负性 根号下的整体内容，可以是数、单项式、多项式，是开平方运算的对象。 二次根式的运算性质 性质1：√a=a(a20),即非负数的算术平方根的平方等于它本 身 基本运算性质 性质2：Va2=l,即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 知1识I精I讲 知识点01二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，形如ā(a≥0)的式子叫做二次根式。其中“V▣”是二次根号，Q叫做被开方 数。 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义本质：二次根式是算术平方根的代数表达形式，实质是表示非负数的算术平方根。 三大判定条件：①式子必须含有二次根号V叵；②被开方数a必须是非负数（正数或0）；③根指数固定为 2(省略不写)。 有意义条件：二次根式a在实数范围内有意义的唯一前提是：被开方数a≥0，若被开方数为负数，二次 根式无意义。 【易错提醒】/【方法总结】 (1)判断一个式子是否为二次根式，需同时满足“含二次根号”和“被开方数非负”两个条件，仅含根 号不能判定。 (2)被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式等整式，但必须保证整体非负。 (3)根指数为2是隐含条件，Vā的根指数是2，不是没有根指数，注意与三次根式区分 即时即练 下列各式中，属于二次根式的是() AV-3B.5C.x2+1D.2Vx(x<0) 【分析】 选项A:被开方数-3<0，无意义，不是二次根式： 选项B:根指数为3，是三次根式，不是二次根式： 选项C:x+1恒大于0，含二次根号，符合二次根式定义； 选项D:x<0时被开方数为负，无意义，不是二次根式。 【解答】 知识点02二次根式的构成腰素 二次根式的构成要素：一个完整的带系数二次根式由四部分构成。 二次根号：运算符号，表示对被开方数进行开平方（求算术平方根）运算。 被开方数：根号下的整体内容，可以是数、单项式、多项式，是开平方运算的对象。 根指数：写在根号左上角的数字，代表开方的次数：二次根式的根指数为2，通常省略不写。 二次根式的系数：根号前面的数字因数，如32中，3是二次根式的系数，系数为1时通常省略。 【易错提醒】/【方法总结】 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)被开方数是根号下的整体，带多项式时需注意运算优先级，如a+b的被开方数是a+b,不是仅a。 (2)系数与根号是相乘关系，32表示3×2，不可误认为是根号内的部分。 (3)根指数2省略不写，不可将二次根式与一次根式、三次根式混淆。 即时即练 二次根式-5Va-2中，被开方数是，系数是一，根指数是一。 【分析】 根号下的整体是a-2,即被开方数：根号前面的数字因数是-5，即系数；二次根式的根指数为2，省略未 写。 【解答】 a-2:-5;2 知识点03二次根式的分类 按化简程度分类（最核心分类） 最简二次根式：同时满足两个条件：①被开方数不含分母（被开方数是整数或整式）；②被开 方数中不含能开得尽方的因数或因式。 非最简二次根式：不满足最简条件，可通过开方、去分母进一步化简的二次根式。 按被开方数特征分类 纯数值二次根式：被开方数为具体数字，如凡V8、V12: 含字母二次根式：被开方数含有字母，如ab、Vx+y。 拓展：同类二次根式一一几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式， 是二次根式加减运算的基础。 【易错提醒】/【方法总结】 (1)判断最简二次根式时，要确保被开方数的因数都开尽，如18含能开方的因数9，不是最简二次根 式。 (2)被开方数含分数/分式的一定不是最简二次根式，需通过分母有理化化简。 (3)同类二次根式的判断必须先化成最简，再看被开方数是否相同，不能直接看原式。 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即时即练下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A12B. 2 7D. 16 【分析】 选项A:V12=V4×3=23,含开得尽方的因数，不是最简： 选项B:被开方数含分母，不是最简： 选项C:被开方数7是整数，且不含开得尽方的因数，是最简二次根式： 选项D:V16=4,能开得尽方，不是最简。 【解答】 C 知识点04二次根式的运算性质 有意义的条件：被开方数大于等于0，即a有意义a≥0。 双重非负性：二次根式本身和被开方数均为非负数，即a≥0，且Va≥0。 基本运算性质 性质1：Va=aa≥0，即非负数的算术平方根的平方等于它本身： 性质2：Va=a,即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 【易错提醒】1【方法总结】 (1)求含字母的二次根式有意义的条件时，需让所有被开方部分都非负，遇分母时还要保证分母不为O。 (2)双重非负性是高频考点，多个非负式子相加为0时，每个式子都为0，常与绝对值、平方结合考查。 (3)计算√a时，必须先加绝对值，再根据Q的正负去绝对值，极易直接得出Q而忽略正负情况。 即时即练二次根式Vx-3有意义，则x的取值范围是」 若x+2+y-1=0,则x+y的值为 【分析】 二次根式有意义需被开方数非负，即x-3≥20，解得x≥3。 二次根式和绝对值都具有非负性，相加为0则各自为0，因此x+2=0,y-1=0,解得x=-2,y=1, x+y=-1。 【解答】 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x≥3：2.-1 03 题型突破 题型1二次根式的识别 【例1】下列式子是二次根式的是() A.7 B.9 c.V-5 D.X+2 【例2】下列式子不是二次根式的是() A.3 B.Va(a≥0) C.Va2+1 D.-2 【变式1-1】下列各式中，一定是二次根式的是() A.Va+2 B.Va2+1 C.Va D. 【变式1-2】下列是二次根式的是() A.2 B.2 c.-3 D.-1 题型2求二次根式的值 【例3】(1)计算：-2V2+-1224-V8+27: (2)解方程组 7x+6y=23 3x-2y=3 【例4】下列各式是二次根式的有() (1)21;(2)-19:(3)Vx+1:(4)9:(5)-2x-2 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2-1】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩 石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式： d=7只Vt-12,其中d(单位：厘米)代表苔藓的直径，t(单位：年)代表冰川消失的时间.求冰川消失 16年后苔藓的直径， 【变式2-2】计算：-V3+3-1°-3tan30°-V25, 题型3求二次根式中的参数 【例5】已知V8n是整数，则正整数n的最小值为 6/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例6】代数式3-x的值为0时，x的值为 【变式31】下列各式：①y:②a+2:③√X2+5:④3a:⑤y+6y+9;⑥3，其中一定是二 次根式的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式32】已知a为正整数，且12a也为正整数，则a的最小值为 题型4二次根式有意义的条件 【例7】式子2x-/5x+3中x的取值范围是 【例8】若式子10-2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.X>5 B.x<5 C.x≥5 D.X≤5 【变式41】二次根式3-x中，字母x的取值范围是 题型5利用二次根式的性质化简 【例9】下列计算正确的是（) A.-2=-4B.--2=2 c.-2}=2 D.--V2}=-2 【例10】如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AB=10,BD=6,AD=8,AC=16,求CD的长和 S△ABC· B D 【变式51】若x-32=3-x,则x取值范围是 题型6复合二次根式的化简 【例11】先阅读材料，然后回答问题. (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简5-2V6 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： V5-2V6=2-22x3+3@ =(V22-22×3+(32② =(V2-32③ =V2-V3④ 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 (2)化简V9+2V18: (3)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：√8+43 【例12】小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程X-2+ x-7=5的过程. 解：设x-2-x-7=,与原方程相乘得： (Vx-2+Vx-7)×(Vx-2-Vx-7)=5m, x-2-(x-7)=5m,解之得m=1, .Vx-2-Vx-7=1,与原方程相加得： Vx-2+Vx-7)+(Vx-2-x-7)=5+1, 2X-2=6,解之得，x=11,经检验，x=11是原方程的根 学习借鉴解法，解方程x-3-Vx-6=1. 【变式61】化简√6-V20的结果为 04 过关检测 一、单选题 1.若代数式X-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.X≥-2 B.X≥2 C.x>-2 D.x≤2 2.若Va为无理数，则a的值可能是() A.-1 B.0 C.3 D.9 V2x-1 3.在实数范围内，函数y= 一x+1的自变量x的取值范围是() 1 A.X22 B.X≥2且x≠1 c.≤2 D.X且x-1 4.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简√a+(b-a下-(b}的结果是() b 0→ A.-2a B.0 C.2b D.2a-2b 5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点P为AB边上一动点（不与点A、B重合）， PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.若∠DAB=60°，BD=12,则EF的最小值为() 8/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.3 B.3V3 C.6 D.63 6.我国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦提出的海伦一秦九韶公式可通过三角形三边求面积： S=Vpp-ap-bp-c,其中p=a+b+ 2 ,Q,b,C为三角形的三边长.己知等腰三角形的底边长 为6，腰长为5，则该等腰三角形的面积为() A.8 B.10 C.12 D.15 7.若a2+b2=4,ab2-2ab+2b2-8a-4b-16+b2+2b+9的值为() A.3 B.5 C.7 D.9 8.如图，在口ABCD中，AC=BC,∠B=45°，点E在AC上（不与A,C重合），点F在AC的延长线 上，且AE=CF,FG⊥AB于G.连接DE,EG.则下列为定值的是() A G B EG EG EG EG A.AG B.DE C.EF D. BG 9.下列说法正确的是() 1a+1a A.分式a+7。-i,a-1的最简公分母是a+1a-1川a2-1 B.144-1能被15整除，但不能被13整除 C.设m为正奇数，m-1不能被8整除 1 D.二次根式1+ +1n>0,化简后为1+日- n2n+12 nn+l 二、填空题 10.若Vx-1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 1.若代数式Vx,二 二有意义，则实数的取值范围是 12.计算√6-2π的结果是（结果保留π）. 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.若y=3x-7+7-3x+4,则xy= 14.一组数按如下规律排列： 3 6 3 25√1532 √2126 a30 照此规律，回答下列问题： (1)a= (2)如果3记作有序数对1,1，V15记作有序数对3,2，则310记作有序数对 三、解答题 15.计算：21-8+ 16.计算：1V2-2+V8- 1 2 1计：亚+ -3.14-元°+-12025 18.已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示，化简a-b+a+bP. a 06→ 10110 第01讲 认识二次根式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次根式的识别 题型2 求二次根式的值 题型3 求二次根式中的参数 题型4 二次根式有意义的条件 题型5 利用二次根式的性质化简 题型6 复合二次根式的化简 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次根式、被开方数、算术平方根、双重非负性、二次根式有意义的条件、二次根式的性质、化简二次根式 1. 理解二次根式的定义，识别二次根式的结构，掌握二次根式的符号表示形式。 2. 掌握二次根式有意义的条件，能根据被开方数非负求解字母的取值范围。 3. 理解二次根式的双重非负性，熟练运用二次根式的基本性质进行简单化简与计算。 4. 能区分普通算术平方根与二次根式，掌握二次根式基础化简方法。 学习重点：二次根式的定义与表示方法、二次根式有意义的条件、二次根式的双重非负性及基本性质。 学习难点：利用二次根式双重非负性求解参数值、结合取值范围解决含二次根式的综合题型。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，形如（a≥0)的式子叫做二次根式。其中“”是二次根号，叫做被开方数。 定义本质：二次根式是算术平方根的代数表达形式，实质是表示非负数的算术平方根。 三大判定条件：①式子必须含有二次根号；②被开方数必须是非负数（正数或0）；③根指数固定为2（省略不写）。 有意义条件：二次根式在实数范围内有意义的唯一前提是：被开方数，若被开方数为负数，二次根式无意义。 【易错提醒】/【方法总结】 （1） 判断一个式子是否为二次根式，需同时满足“含二次根号”和“被开方数非负”两个条件，仅含根号不能判定。 （2） 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式等整式，但必须保证整体非负。 （3） 根指数为2是隐含条件，的根指数是2，不是没有根指数，注意与三次根式区分 即时即练 下列各式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【分析】 选项A：被开方数-3<0，无意义，不是二次根式； 选项B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 选项C：恒大于0，含二次根号，符合二次根式定义； 选项D：时被开方数为负，无意义，不是二次根式。 【解答】 C 知识点02 二次根式的构成要素 二次根式的构成要素：一个完整的带系数二次根式由四部分构成。 二次根号：运算符号，表示对被开方数进行开平方（求算术平方根）运算。 被开方数：根号下的整体内容，可以是数、单项式、多项式，是开平方运算的对象。 根指数：写在根号左上角的数字，代表开方的次数；二次根式的根指数为2，通常省略不写。 二次根式的系数：根号前面的数字因数，如中，3是二次根式的系数，系数为1时通常省略。 【易错提醒】/【方法总结】 （1） 被开方数是根号下的整体，带多项式时需注意运算优先级，如的被开方数是，不是仅。 （2） 系数与根号是相乘关系，表示，不可误认为是根号内的部分。 （3） 根指数2省略不写，不可将二次根式与一次根式、三次根式混淆。 即时即练 二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______。 【分析】 根号下的整体是，即被开方数；根号前面的数字因数是，即系数；二次根式的根指数为2，省略未写。 【解答】 ；；2 知识点03 二次根式的分类 按化简程度分类（最核心分类） 最简二次根式：同时满足两个条件：① 被开方数不含分母（被开方数是整数或整式）；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 非最简二次根式：不满足最简条件，可通过开方、去分母进一步化简的二次根式。 按被开方数特征分类 纯数值二次根式：被开方数为具体数字，如、； 含字母二次根式：被开方数含有字母，如、。 拓展：同类二次根式——几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式，是二次根式加减运算的基础。 【易错提醒】/【方法总结】 （1） 判断最简二次根式时，要确保被开方数的因数都开尽，如含能开方的因数9，不是最简二次根式。 （2） 被开方数含分数/分式的一定不是最简二次根式，需通过分母有理化化简。 （3） 同类二次根式的判断必须先化成最简，再看被开方数是否相同，不能直接看原式。 即时即练下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【分析】 选项A：，含开得尽方的因数，不是最简； 选项B：被开方数含分母，不是最简； 选项C：被开方数7是整数，且不含开得尽方的因数，是最简二次根式； 选项D：，能开得尽方，不是最简。 【解答】 C 知识点04 二次根式的运算性质 有意义的条件：被开方数大于等于0，即有意义。 双重非负性：二次根式本身和被开方数均为非负数，即，且。 基本运算性质 性质1：，即非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 【易错提醒】/【方法总结】 （1） 求含字母的二次根式有意义的条件时，需让所有被开方部分都非负，遇分母时还要保证分母不为0。 （2） 双重非负性是高频考点，多个非负式子相加为0时，每个式子都为0，常与绝对值、平方结合考查。 （3） 计算时，必须先加绝对值，再根据的正负去绝对值，极易直接得出而忽略正负情况。 即时即练二次根式有意义，则的取值范围是______； 若，则的值为______。 【分析】 二次根式有意义需被开方数非负，即，解得。 二次根式和绝对值都具有非负性，相加为0则各自为0，因此，，解得，，。 【解答】 ；2. 题型1 二次根式的识别 【例1】下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】解：选项A中根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项B中根指数为3，是三次根式，不符合定义， 选项C中被开方数，无意义，不符合定义， 选项D中是多项式，不含二次根号，不符合定义． 【例2】下列式子不是二次根式的是（   ） A． B．（） C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断是否满足非负条件，从而选出不是二次根式的选项． 【详解】解：选项A：∵被开方数， ∴是二次根式，故A项不符合题意． 选项B：∵，满足被开方数非负的条件， ∴是二次根式，故B项不符合题意． 选项C：∵对任意实数，都有， ∴， ∴是二次根式，故C项不符合题意． 选项D：∵被开方数，不满足二次根式的定义， ∴不是二次根式，故D项符合题意． 【变式1-1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式要求被开方数为非负数，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数即可. 【详解】解：A.当时，，不是二次根式，故不符合题意； B. 对任意实数，都有，则 ，因此一定是二次根式，故符合题意； C.当时，不是二次根式，故不符合题意； D.当时，，不是二次根式，故不符合题意. 【变式1-2】下列是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义形如的式子叫做二次根式，逐一判断选项是否满足二次根式的条件即可． 【详解】解：选项A：是带二次根号的形式，且被开方数，符合二次根式的定义； 选项B：是分数，不满足的形式，不是二次根式； 选项C：的被开方数，二次根式无意义，不是二次根式； 选项D：是整数，不满足的条件，不是二次根式． 题型2 求二次根式的值 【例3】（1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查含乘方的实数混合运算和解二元一次方程组， （1）根据运算法则先计算绝对值、乘方、化简二次根式和开立方，再进行加减运算即可； （2）利用加减消元法计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得，，解得， 将代入，，解得， 则方程组的解． 【例4】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 【变式2-1】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【变式2-2】计算：． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质、二次根式的化简，零次幂和特殊角三角函数值计算即可． 本题考查实数运算，熟练掌握运算法则以及特殊三角函数值是解题关键． 【详解】解： ． 题型3 求二次根式中的参数 【例5】已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 【例6】代数式的值为0时，的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键． 根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，解得：． ∴的值为3． 故答案为：3． 【变式3-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 【变式3-2】已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可． 【详解】解：，且开方的结果是正整数， 为某数的平方， 又，是满足题意最小的被开方数， 的最小值为． 故答案为：． 题型4 二次根式有意义的条件 【例7】式子中x的取值范围是___． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意可得：， 移项得 ， 系数化为得 ． 【例8】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用被开方数为非负数列不等式，求解不等式即可得到答案． 【详解】解：有意义需满足 解得． 【变式4-1】二次根式中，字母的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解即可得到字母的取值范围． 【详解】解：由题意得， ∴ ． 题型5 利用二次根式的性质化简 【例9】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A，，A错误； 对于选项B，，B错误； 对于选项C，，C错误； 对于选项D，．等式成立，D正确． 【例10】如图，在中，是上一点，若，，，，求的长和． 【答案】，． 【分析】利用勾股定理的逆定理判断得到为直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而根据面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， 为直角三角形， ， 即， 在中，，， 根据勾股定理得：， ． 【变式5-1】若，则x取值范围是________． 【答案】 【分析】先将等式左边利用二次根式的性质化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 由题意得 ∴ 解得． 题型6 复合二次根式的化简 【例11】先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【例12】小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【答案】x＝7 【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解． 【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得： （﹣）×（+）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴+＝3，与原方程相加得： （﹣）+（+）＝3＋1， 2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根． 【变式6-1】化简的结果为____． 【答案】 【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 一、单选题 1．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 2．若为无理数，则a的值可能是（     ） A． B．0 C．3 D．9 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性排除错误选项，再判断剩余选项中是否为无理数即可得到结果 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足， 因此排除A选项； 对剩余选项逐一判断：当时，，是有理数，不符合要求； 当时，是无限不循环小数，为无理数，符合要求； 当时，，是有理数，不符合要求 3．在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题根据二次根式和分式有意义的条件求自变量取值范围，二次根式被开方数需为非负数，分式分母不能为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足两个条件： 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 自变量的取值范围是且． 4．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可判断出的符号，根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 5．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质及得出，，为等边三角形，根据，得出四边形为矩形，根据矩形的性质得出，根据垂线段最短得出当时最小，利用“等积法”求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵菱形的对角线、相交于点，， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 当时最小，即最小， ∵， ∴， ∴最小值为． 6．我国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦提出的海伦—秦九韶公式可通过三角形三边求面积：，其中，，，为三角形的三边长．已知等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该等腰三角形的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据题干给出的海伦—秦九韶公式，代入三角形三边长计算即可得到面积，也可结合等腰三角形性质和勾股定理求解． 【详解】解：等腰三角形三边长为 , , ， ， ， 即该等腰三角形的面积为12． 7．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式根号下面部分为， ， ， ， ， ∴， ， ， ，，， ，当且仅当或时，取到等号， 根据二次根式的性质只能等于0， ， 当时，； 当时，； 原式， 故选：D． 8．如图，在中，，，点在上（不与，重合），点在的延长线上，且，于．连接，．则下列为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形性质及等腰三角形性质证得与均为等腰直角三角形，进而证得为等腰直角三角形，设，，利用勾股定理分别表示出与，即可发现二者倍数关系． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， 过点作于， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 可知为定值的是． 9．下列说法正确的是（    ） A．分式，，的最简公分母是 B．能被15整除，但不能被13整除 C．设m为正奇数，不能被8整除 D．二次根式，化简后为 【答案】D 【分析】根据可得最简公分母是，即可判断A，根据平方差公式因式分解判断B,C选项，计算，即可判断D选项． 【详解】解：选项A：∵， ∴三个分式的最简公分母是，不是，A错误． 选项B：∵， ∴能同时被13和15整除，B错误． 选项C：∵是正奇数，可设，为非负整数， ∴， ∵和是相邻整数，必有一个是偶数， ∴是2的倍数， ∴是8的倍数，即能被8整除，C错误． 选项D：计算 ， ∵ ∴，D正确． 二、填空题 10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数，即 ， 解得． 11．若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】，且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列不等式组求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ，， ，且． 12．计算的结果是______（结果保留）． 【答案】 【分析】先比较出，再结合二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， ． 14．一组数按如下规律排列： 照此规律，回答下列问题： （1）_________． （2）如果记作有序数对，记作有序数对，则记作有序数对_________． 【答案】 【分析】（1）将所有数统一转化为的形式，观察被开方数得到规律，从而求出的值； （2）正确理解有序数对的含义，先求出是整体中的第几个数，再结合（1）确定所在的行和列，从而得出记作的有序数对． 【详解】解：（1）第1行（1个数）： 第2行（2个数）：、 第3行（3个数）：、、 第4行（4个数）：、、 由此得出； （2）根据题意得：， 由（1）可知，是整体的第30个数， 第行有个数， 前7行共有：个数， 前8行共有：个数， 第30个数位于第8行，且该数在第8行的位置为，即第2个数， 记作有序数对为． 三、解答题 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，二次根式的化简，化简绝对值，先根据负整数指数幂，二次根式的化简，绝对值进行计算，再计算加减即可． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 17．计算： 【答案】 【详解】解： 18．已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【详解】解：由图可得，且， ∴，， ∴ . 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $