专题05 数据的分析（暑假复习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

专题05 数据的分析 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平均数的意义 题型2 加权平均数 题型3 中位数和众数 题型4 平均数、中位数和众数的选用 题型5 方差 题型6 求四分位 题型7 数画箱线图 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平均数与加权平均数的计算 2. 中位数与众数的概念及应用 3. 方差与数据的波动程度 4. 统计量的意义与合理选择 5. 频数与频率的相关计算 6. 统计图表的综合解读 7. 用样本估计总体的思想 8. 数据分析的实际综合应用 1. 基础考查重概念本质：从单纯的统计量机械计算转向概念深度辨析，围绕平均数、中位数、众数、方差的统计意义设题，考查对各统计量适用场景的理解，突出数据分析核心观念。 2. 计算考查情境化：统计量的计算均嵌入真实生活情境，以学业成绩、销售数据、气温变化、产品质量检测等场景为载体，在具体问题中考查加权平均数、方差等核心计算能力。 3. 统计图表深度融合：频数分布表、条形统计图、扇形统计图等与统计量计算深度结合，要求从图表中提取有效数据完成统计量求解，综合考查数据读取、整理与分析能力，是单元解答题的高频命题形式。 4. 样本估计总体常态化：突出统计的实用价值，以抽样调查为背景，结合样本的平均数、方差特征估计总体情况，渗透用样本估计总体的统计思想，常结合生产、民生类实际问题设题。 5. 决策应用题型增量：强化统计知识的决策功能，以队伍选拔、方案选择、进货规划等实际问题为载体，要求结合多个统计量综合分析并作出合理决策，考查运用统计知识解决实际问题的能力。 6. 知识关联综合化：注重与统计调查、概率初步等前后知识的衔接，也常结合跨学科素材命题，体现统计知识的工具性与综合性，契合新课标核心素养的考查要求。 考情解码：“数据的分析” 是初中统计模块的核心内容，是统计调查知识的延伸，也是后续学习概率统计综合应用的基础，在八年级下册数学中占据重要地位。本专题涉及的统计量计算、统计思想及实际应用，是培养学生数据分析观念、运算能力与决策思维的重要载体。 试题从单一统计量的机械计算，向图表信息提取、多统计量综合分析、实际决策应用转型，着重考查学生的数据处理能力、综合分析能力以及运用统计知识解决现实问题的能力。平均数与方差的计算、统计图表解读、用样本估计总体是高频综合考点，常与统计调查、生活实际场景等内容结合，体现统计知识的实用价值与内在关联。 知识点一 平均数与加权平均数 平均数：平均数：对于n个数，，…，xn，则（+…+）就叫做这n个数的平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． 加权平均数： （1）加权平均数：若n个数，，…，的权分别是，，，…，，则 叫做这n个数的加权平均数． （2)求 n 个数的平均数时，如果 出现 次， 出现 次，…， 出现 次(这里 ++…+ = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中，， ，…， 分别叫做，，，…，的权. 权的意义：权反映了对应数据在整体中的重要程度，权越大，对应数据对平均数的影响越大；权的表现形式可以是频数、百分比、比例等。 拓展性质：若一组数据的每个数都加上（或减去）同一个常数，则平均数也相应加上（或减去）；若每个数都乘以同一个常数，则平均数也乘以。 【易错提醒】 （1）计算加权平均数时，分母是所有数据的总个数（权的和），不是数据的类别数，易出现分母用错的错误； （2）权的形式多样，频数、百分比、占比都属于权的范畴，计算时需统一形式，避免单位或比例换算错误； （3）算术平均数是加权平均数的特殊形式，即各数据的权相等，不能将二者完全割裂。 （4）平均数易受极端值影响，当数据中出现异常大或异常小的值时，平均数不能很好地代表整体平均水平。 即时即练 某班级数学单元测试中，85分的有4人，90分的有10人，95分的有6人，则该班级的平均成绩为____分。 若一组数据的平均数为5，则数据的平均数为____。 【分析】 根据加权平均数公式，总分数；总人数；平均成绩。 根据平均数的性质，每个数据都加2，平均数也加2，因此新数据的平均数为。 【解答】 90.5；7 知识点二 中位数与众数 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为中位数。 众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 统计意义：中位数反映了数据的中等水平，不受极端值影响；众数反映了数据的集中趋势，代表多数水平。 【易错提醒】 （1）求中位数必须先将数据排序，不排序直接找中间的数是最常见的错误； （2）一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，若多个数据出现次数相同且都是最多，则都是众数； （3）中位数是唯一的，众数不一定唯一，二者概念不可混淆。 即时即练数据：3，6，2，5，4，3，5的中位数是____，众数是____。 下列关于中位数与众数的说法，正确的是（ ） A. 一组数据的中位数一定是这组数据中的数 B. 一组数据的众数是唯一的 C. 中位数不受极端值的影响 D. 众数反映了数据的平均水平 【分析】 先将数据从小到大排序：2，3，3，4，5，5，6；数据个数为7（奇数），中间位置的数是4，因此中位数是4；数据中3和5都出现了2次，出现次数最多，因此众数是3和5。 判断题中，选项A：数据个数为偶数时，中位数是中间两数的平均数，不一定是原数据中的数；选项B：众数可能有多个；选项C：中位数仅与位置有关，不受极端值影响，说法正确；选项D：众数反映集中趋势，平均数反映平均水平。 【解答】 4；3和5；C 知识点三 方差与数据波动程度 离差：一般地，有n个数据，，…，，用表示它们的平均数，我们把xi （i=1,2，…，n）叫做xi 关于平均数的离差. 方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 有n个数据，，…，，用表示它们的平均数，s2[（）2+（）2+…+（）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数 ”）其中）2+（）2+…+（）2 叫做这n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d²” 方差的意义：方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好。 求方差的方法：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均” 标准差：方差的算术平方根叫做标准差，单位与原数据一致，统计意义与方差相同。 拓展性质：若一组数据的每个数都加上（或减去）同一个常数，方差不变；若每个数都乘以同一个常数，则方差乘以。 【易错提醒】 （1）分式乘除运算中，遇到多项式应先因式分解再约分，避免直接相乘导致计算复杂、出错； （2）异分母分式加减时，通分后的分子是整体，需添加括号，极易漏括号导致符号错误； （3）混合运算易出现顺序混乱，需严格遵循运算规则，不可随意跳步； （4）化简求值题型，代入数值前必须保证原分式所有分母均不为0，不可代入使分母为0的值。 即时即练 甲、乙两名运动员参加跳远训练，各跳5次，平均成绩都是5.8米，甲方差为0.03，乙方差为0.01，则成绩更稳定的是____（填“甲”或“乙”）。 若一组数据的方差为4，将每个数据都乘以3，则新数据的方差为____。 【分析】 平均数相同的情况下，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；乙的方差更小，因此乙的成绩更稳定。 根据方差的性质，每个数据乘以3，方差乘以，因此新方差为。 【解答】 乙；36 知识点四 统计量的选择与实际应用 统计量的合理选择： a. 描述平均水平：选择平均数，适合数据分布均匀、无极端值的场景； b. 描述中等水平：选择中位数，适合存在极端值、需反映中间水平的场景； c. 描述多数水平：选择众数，适合关注出现频次、主流情况的场景； d. 描述稳定程度：选择方差（或标准差），适合比较数据的波动与一致性。 用样本估计总体：用样本的平均数、方差等统计量估计总体的对应特征，是统计的核心思想，适用于无法全面调查的场景，要求样本具有代表性和广泛性。 统计决策思路：结合多个统计量综合分析，从平均水平、稳定性、集中趋势等多维度判断，结合实际场景的需求作出合理决策。 【易错提醒】 （1）实际决策中不能只依据一个统计量下结论，需综合多个统计量分析，易出现片面判断的错误； （2）用样本估计总体时，样本需具有代表性和广泛性，样本容量过小或样本有偏差，会导致总体估计错误； （3）易混淆各统计量的意义，比如用方差描述平均水平，用中位数描述波动程度，出现概念错用； （4）实际问题中统计量的结果需符合现实意义，如人数、数量需取整数，不能直接保留小数结果。 即时即练 某鞋店要购进一批运动鞋，店主最应关注的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 为了解某小区居民的月用水量，随机抽取了50户居民进行调查，测得平均月用水量为8吨，据此估计该小区2000户居民的月总用水量约为____吨。 【分析】 鞋店进货需要关注哪种尺码的鞋销量最高，即出现次数最多的数据，对应统计量是众数。 用样本平均用水量估计总体，总用水量平均用水量总户数，即吨。 【解答】 C；16000 知识点五 四分位数和箱线图 四分位数：在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图： 题型1 平均数的意义 例1．数学期中测试后，李老师把全班50名同学的成绩输入计算机算平均分，由于不小心，把其中一个“100”输入时多打了一个零，成为“1000”分，却没有及时发现，最后计算机显示该班平均分为95分，那么你认为该班平均分正确的是（     ） A．77分 B．79分 C．81分 D．无法确定 【答案】A 【分析】先计算出错误输入得到的总分，减去多输入的分数得到正确总分，再除以总人数即可得到正确平均分． 【详解】解：∵全班共50名同学，错误计算得到的平均分为95分， ∴错误的总分为（分）， ∵错误输入比正确分数多算了（分）， ∴正确的总分为（分）， ∴正确的平均分为（分）． 例2．小强在一次检测中，语文74分，英语78分，但语文、英语、数学三科的平均分不低于80分，列出数学分数x应满足的不等关系为______． 【答案】 【分析】本题考查平均数的定义及一元一次不等式的应用，根据“平均分不低于80分”的含义，可得三科总分的平均数大于或等于80，结合已知语文和英语的分数，即可列出数学分数满足的不等关系． 【详解】由题意得，语文、英语、数学三科的平均分不低于分，因此可得 ． 【变式训练1-1】小华某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小华本周每天的睡眠时间的平均数为（   ） A．7 B．8 C．8.5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查求平均数．利用平均数的定义列式求解即可． 【详解】解：小华本周每天的睡眠时间的平均数为 故选：B． 【变式训练1-2】睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间（单位：小时）如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是 _____小时． 【答案】9 【分析】根据平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：（小时）． 即该学生这5天的平均睡眠时间是9小时． 故答案为：9． 【变式训练1-3】根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．某区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校七、八、九年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)该校抽查的学生的人数为_______人，图中的值为________，的值为_______； (2)求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数； (3)根据统计的样本数据，简要谈谈你对该校“学生每天平均校外活动时间情况”的看法，并结合自己的实际，提一条关于校外活动的建议． 【答案】(1)；；； (2)小时 (3)学生每天平均校外活动时间较少，学生应该加强校外活动． 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，样本估算总体，从统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据每天平均校外活动时间为1小时的占，共30人，即可求得总人数，用每天平均校外活动时间2小时人数除以总数即可求得a，然后即可求出b的值； （2）根据求平均数的方法，求得100个学生每天平均校外活动时间的平均数； （3）根据题意提出建议即可． 【详解】（1）解：总人数为：（人）； ， ∴， ， 故答案为：；；； （2）解：平均数为（小时）； （3）学生每天平均校外活动时间较少，学生应该加强校外活动． 题型2 加权平均数 例3．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（    ） 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 A．甲 B．乙 C．丙 D．平均分都相同 【答案】B 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数，再比较即可. 【详解】解：甲的平均分为：（分）， 乙的平均分为：（分）， 丙的平均分为：（分）， ∴平均分最高的是乙； 故选：B 例4．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为；． 【变式训练2-1】某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（   ） A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元）， 故选：A． 【变式训练2-2】学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表：      项目 应试者 口语表达 写作能力 甲 80 90 乙 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为_____________同学将被录取． 【答案】乙 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案． 【详解】解：甲的总成绩为， 乙的总成绩为， ∵， ∴乙同学被录取， 故答案为：乙． 【变式训练2-3】端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示： 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 (1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？ (2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？ (3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由． 【答案】(1) 解：A景区得分为分， B景区得分为分， C景区得分为分， ∵， ∴王先生会选择B景区去游玩； (2)解：A景区得分分， B景区得分分， C景区得分分， ∵， ∴王先生会选择A景区去游玩； (3) 解：最合适的景区是B景区，理由如下： 设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为， A景区得分为分， B景区得分为分， C景区得分为分， ∵， ∴王先生会选择B景区去游玩． 【分析】本题主要考查了求平均数和求加权平均数： （1）根据加权平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案； （2）根据平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案； （3）设计对应的权重，仿照（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型3 中位数和众数 例5．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 【答案】B 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 例6．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 【答案】90 【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大． 根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可； 【详解】解：∵共有12个数， ∴中位数是第6和7个数的平均数， ∴中位数是； 故答案为：90． 【变式训练3-1】某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 【答案】D 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 【变式训练3-2】某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：．这组数据的众数为________． 【答案】71 【分析】本题考查了众数．一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此即可解答． 【详解】解：数据中，71出现的次数最多，所以这组数据的众数为71； 故答案为：71． 【变式训练3-3】某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】(1)； (2)D； (3)该景区月份的服务质量良好， ， ， 该景区月份的服务质量良好． 【分析】本题主要考查了中位数、加权平均数，解决本题的关键是根据中位数的定义确定中位数在哪一组，利用加权平均数的公式求出平均数． （1）根据抽查的总人数和其余组的人数计算出D组的人数，即为的值； （2）根据中位数的定义可知，把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数，根据，，组的人数和组的人数判断中位数在D组； （3）利用加权平均数的公式可以求出名游客评分的平均数为分，所以该景区月份的服务质量良好． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：一共抽查了人， 把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数， 又，， 第和个评分结果在D组， 这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组， 故答案为：D； （3）略 题型4 平均数、中位数和众数的选用 例7．在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】D 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键． 根据题意，结合众数的意义，即可求解． 【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数， 故选：D． 例8．某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的__________（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【答案】中位数 【分析】本题考查了中位数的定义，理解中位数的意义是解题的关键． 根据题意可知第8名的数据即为中位数，据此可解． 【详解】解：由题意可得：一名学生想要知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数， 故答案为：中位数． 【变式训练4-1】“凤凰单枞”以独特的山韵和花香深受广东人喜爱．在我国传统节日春节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的单枞售价、利润均相同在这段时间内的销售情况统计如表所示，最终决定增加乙种包装单枞的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 15 28 16 10 A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【答案】A 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的茶叶就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该经销商决策的统计量是众数． 故选：A． 【变式训练4-2】从某校初三年级甲、乙两班中各选取25名学生参加诗词大赛，参赛成绩的平均数、中位数、众数如下表．如果比赛得分不低于85分记为优秀，那么甲班的优秀人数___________乙班的优秀人数（填“>”“=”或“<”）． 班级 平均数 中位数 众数 甲班 86 84 85 乙班 84 86 85 【答案】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，解题的关键是理解相应的概念，会利用中位数来决策． 【详解】解：甲班的中位数是，乙班的中位数是， 故甲班的优秀人数少于或等于人，乙班的优秀人数等于或大于人， 那么甲班的优秀人数少于乙班的优秀人数， 故答案为：． 【变式训练4-3】年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)人 【分析】（1）从扇形统计图中，读取信息，根据中位数和众数的确定方法求出的值，根据百分比的计算，求出； （2）利用中位数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得，组的人数为：（人）；组的人数为：（人）； 由题意可得，组的人数为：（人）， ∴组的人数为：（人）； 把组的数据从小到大排列为：，，，，，， 七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第个数据是，第个数据是， ∴； ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴； ∵七年级组的人数为：（人）， ∴， ∴． （2）解：该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好， 理由：∵该校七、八年级学生阅读知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数， ∴该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好． （3）解：由题意可得，七年级等级的人数为人； 把八年级名学生竞赛成绩从小到大排列可得满足等级的人数为人， ∴； 答：我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有人． 题型5 方差 例9．下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（    ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大 C．一样大 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，波动越大判断即可. 【详解】解：最高气温数据：12，6，10， 9， 8 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：，， ， ， ， ∴方差： ∵最低气温数据：1，，， 0，2 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：， ， ， ， ， ∴方差：， ∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确； 故选：A 例10．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 【变式训练5-1】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故选：B． 【变式训练5-2】甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲 【变式训练5-3】甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)， 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． (2) 甲， 由已知得，获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． (3)选甲更合适． 理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【详解】（1）， 即． （2）略 （3）略 题型6 求四分位 例11．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 例12．在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 【答案】68 【详解】解：由箱线图可知，下四分位数是68分． 【变式训练6-1】如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 【变式训练6-2】已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，分位数是20，则______，______． 【答案】 15 18 【分析】本题考查了四分位数的概念，理解四分位数的概念是解题的关键； 根据四分位数的概念求解． 【详解】该组数据的中位数是16， ，解得， 该组数据的分位数是20， ，解得， 故答案为15；18． 【变式训练6-3】为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)90；92 (2)70；96；补图见解析 (3)乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【详解】（1）解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． （2）解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： （3）解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 题型7 数画箱线图 例13．已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），则下列说法错误的是（    ） A．这次考试中两班均没有满分的 B．A班成绩的下四分位数与B班成绩的中位数相同 C．A班的成绩比B班的成绩波动更大 D．B班的平均分比A班的平均分更高 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知A、B班的最高分都未达到120分，所以两班均没有满分，故此选项不符合题意； 对于B，A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，都是90，故此选项符合题意； 对于C，A班的成绩的箱体比B班的成绩的箱体更高，所以A班的成绩比B班的成绩波动更大，故此选项不符合题意； 对于D，由图可知A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，并且B班成绩的下四分位数比A班成绩的中位数略高，说明B班的平均分比A班的平均分更高，故此选项不符合题意； 故选：B． 例14．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，________班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】根据箱线图，第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，解答即可． 本题考查了箱线图，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，故最高的是丙班． 故答案为：丙． 【变式训练7-1】如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 【变式训练7-2】如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是________________．（选填“甲地”或“乙地”）    【答案】甲地 【分析】根据气温的波动大小判断即可．本题考查了方差的意义，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，据此即可求解． 【详解】解： 根据图形可知甲地的平均气温波动较大，故甲地的日平均气温的方差大． 故答案为：甲地 ． 【变式训练7-3】某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 【答案】(1)3.635，4.125 (2)见解析 【分析】（1）首先将B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列，然后根据和的定义求解即可； （2）作出图形，根据数据分析即可． 【详解】（1）B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列为： ∴3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44     ∴a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数 ∴，； （2）如图所示， 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等， 故可知两个团队的经营效益基本一样， 但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大， 即团队B的经营水平更稳健， 故对于稳健型的投资者， 选择团队B的理财产品更合适． 一、单选题 1．人工智能大模型在工作中应用越来越广泛，某校数学教研组想在数学教学中引进一款大模型进行辅助教学，为此对比了两款大模型在数学解题中的能力表现，进行了6次测试，下表是测试成绩，则下列说法错误的是（     ） 大模型A 90 93 88 90 89 90 大模型B 91 85 95 95 84 90 A．大模型A测试成绩的中位数为89 B．模型B的测试成绩的众数为95 C．两款大模型测试得分的平均数相同 D．大模型A的方差比大模型B的方差小 【答案】A 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的概念与计算，分别计算两个模型对应统计量，即可判断出错误说法． 【详解】解：首先将大模型A成绩从小到大排序，得 ， ∵共6个数据，中位数为第3、4个数据的平均数， ∴A的中位数为，故选项A说法错误； 对选项B，将大模型B成绩从小到大排序，得， ∵95出现次数最多， ∴B的众数为95，选项B说法正确； ∵A的平均数， B的平均数， ∴两款平均数相同，选项C说法正确； ∵， ， ∴，即A的方差比B的方差小，选项D说法正确． 2．小明在八年级第一学期的数学成绩如下表所示．如果按照扇形图中所显示的权重计算，那么小明该学期数学的总评得分为（     ） 项目 平时 期中 期末 成绩(分) 90 85 90 A．85分 B．88.5分 C．90分 D．90.5分 【答案】B 【分析】利用加权平均数计算公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：（分）， 则小明该学期的总评得分为88.5分． 3．已知一组数据，，，…，的平均数为3，方差是2，则另一组数据 ， ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ） A．3和9 B．12和9 C．12和12 D．12和18 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的定义推导变换规律，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵原数据的平均数， 原方差， ∴新数据的平均数为： ， 新数据的方差为： ， ∴新数据的平均数和方差分别为12和18． 4．3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄（单位：岁）20，21，22，22，23，23，23，24，25，26．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．23，23 B．23， C．22，23 D．24，23 【答案】A 【分析】根据定义分别计算这组数据的众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，且这组数据中23出现的次数最多， ∴这组数据的众数为， ∵第个数据是，第个数据是， ∴中位数为． ∴这组数据的众数和中位数分别是，． 5．某校八年级男生米长跑其中名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这名学生最优分组的序号是（     ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 3.97 4.03、4.17、4.33、4.42 0.089 2 3.97、4.03 4.17、4.33、4.42 0.034 3 3.97、4.03、4.17 4.33、4.42 0.025 4 3.97、4.03、4.17、4.33 4.42 0.077 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据题意，同组水平越接近，组内离差平方和越小，因此只需比较四个分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组序号即可得到答案． 【详解】解：根据题意，最优分组满足组内水平接近，对应组内离差平方和最小． 比较四个分组的组内离差平方和得： ∵ ， ∴ 序号3的组内离差平方和最小，是最优分组，对应选项为B． 6．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了8名本班学生每周用于课外阅读的时间x（单位：min），数据如下：106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的四分位数是（     ） A．99，103，108.5 B．99，102，108.5 C．98.5，102，108 D．99，102，108 【答案】A 【分析】先将数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则，分别计算、、分位数，即可得到结果． 【详解】∵ 共有个数据，先将数据从小到大排列得：96，98，100，102，104，106，111，113， 按照四分位数计算规则，若为整数，则分位数为第项与第项数据的平均数，计算得： 对于25%分位数，，∴分位数为 对于50%分位数，，∴分位数为 对于75%分位数，，∴分位数为 ∴ 这组数据的四分位数分别为：99，103，108.5． 7．一项比赛共有8位评委，选手完成比赛后，每位评委现场给出一个“初始评分”，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余6位评委的评分为“有效评分”．则下列叙述一定正确的是（     ） A．同一个选手的“初始评分”的中位数小于“有效评分”的中位数 B．同一个选手的“初始评分”的下四分位数等于“有效评分”的下四分位数 C．同一个选手的“初始评分”的平均数不低于“有效评分”的平均数 D．同一个选手的“初始评分”的方差不低于“有效评分”的方差 【答案】D 【分析】本题考查中位数，下四分位数，平均数，方差的定义，将初始评分排序后，结合定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】将8位评委的初始评分从小到大排序，记为， 去掉最低分和最高分后，有效评分从小到大排序为， 对选项A：初始评分共8个数据，中位数为，有效评分共6个数据，中位数仍为，两者相等，因此A错误； 对选项B：初始评分的下四分位数为，有效评分的下四分位数为，两者不一定相等，因此B错误； 对选项C：举反例，取，，，初始评分的平均数为，有效评分的平均数为，此时初始评分的平均数小于有效评分的平均数，因此C错误； 对选项D：方差衡量数据的波动程度，去掉波动最大的最高分和最低分，数据波动不会增大，若所有评分相等，初始和有效方差都为0，相等，若评分不全相等，去掉最高分和最低分后方差减小，因此初始评分的方差一定不低于有效评分的方差，D正确． 8．当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，的最大值是（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的定义确定的取值范围，再找出满足条件的使取最大值．中位数定义为奇数个数据从小到大排列后，位于中间位置的数；唯一众数要求6的出现次数大于其他所有数的出现次数． 【详解】解：∵这组数据共5个，从小到大排列后中位数是第3个数，且中位数为5，而已知数据中有两个6大于5， ∴排列后第3个数是5，可得 ， ∵原数据中6已经出现2次，且这组数据的唯一众数是6， ∴其他数的出现次数都必须小于2，若中有1个是5，则5出现2次，和6次数相同，众数不唯一； 若 ，则这个数出现2次，和6次数相同，众数不唯一； 若都是5，则5出现3次，众数为5，均不符合要求， ∴ ，为不同自然数，要使最大，取满足条件的最大，得，， ∴． 9．下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【答案】D 【分析】离差平方和最小是最小二乘法的核心原理，用于拟合数据模型，进而对未知情况进行预测． 【详解】解：A．比较两种药物疗效，属于效果对比，不适用该原理； B．将学生按成绩分组，属于分类分组问题，不适用该原理； C．分析股票价格波动，仅需通过离差平方和衡量波动程度，不需要使用离差平方和最小化的原理； D．预测天气变化，需要根据已有气象数据拟合变化规律，需要通过离差平方和最小得到最优拟合模型，再完成预测，故符合要求． 二、填空题 10．数据2，3，，4的众数是3，则这组数据的平均数是________． 【答案】3 【分析】先根据众数的定义确定的值，再根据算术平均数的定义计算这组数据的平均数即可． 【详解】解：∵一组数据中出现次数最多的数叫做众数，这组数据2，3，，4的众数是3， ∴， 则这组数据的平均数为． 11．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为（单位：个）：5，6，7，8，8，9，10．则这组数据的中位数是________． 【答案】 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，， 这组数据共有个，为奇数个，位于最中间的数为第个数， 因此这组数据的中位数是． 12．在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数为_____ 【答案】134 【分析】根据上半部分的中位数即为上四分位数求解即可． 【详解】解：根据题意，得109，116，122，126，131，134，140的中位数是第四个数据126， 故这组数据的中位数为126， 故下半部分为109，116，122；上半部分为131，134，140， 故上半部分的中位数即为上四分位数，即134， 故上四分位数为134． 13．某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了12位同学，得到如下数据．则这12位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时． 时长/小时 6 7 8 9 10 人数 2 1 5 3 【答案】8 【分析】先根据总人数求出时长为10小时对应的人数，再根据平均数的计算公式计算即可 【详解】解：由题意得，总人数为，时长为10小时的人数为 ， 这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是：（小时） 14．某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16五种情况，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是_____________． 【答案】12 【分析】利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：，众数是，由此得到答案． 【详解】由题图数据可知，年龄小于14岁的有4人，大于14岁的有4人， ∴这组数据的中位数为14岁， ∵队员年龄唯一的众数与中位数相等， ∴其众数也是14岁， 岁的队员最少有4人， ∴这个轮滑队队员最少是（人）． 三、解答题 15．军训期间，小华打靶的成绩是m发9环和n发7环，小华的平均成绩是每发多少环？ 【答案】 环 【分析】根据加权平均数的定义，平均成绩等于总环数除以总发数，分别计算出总环数和总发数，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，打靶的总环数为，总发数为， 则平均成绩为环． 16．有三组数据——第一组数据：10，10；第二组数据：20，20，20；第三组数据：30，30，30，30，30．请问：每组数据的平均数分别是多少？如果将这三组数据合成一组新的数据，请问新数据的平均数是多少？ 【答案】第一组平均数为10，第二组平均数为20，第三组平均数为30，新数据的平均数为 【详解】解：第一组数据的平均数为． 第二组数据的平均数为． 第三组数据的平均数为． 新数据的平均数为． 17．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：七年级打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； （2）解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； （3）解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 18．下表给出了2020年各月杭州的平均相对湿度（）： 2020年各月杭州的平均相对湿度 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 平均相 对湿度 81 73 72 60 72 85 85 64 74 70 73 69 (1)请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中． (2)杭州2020年有几个月的平均相对湿度小于下四分位数？分别是哪几个月？ (3)平均相对湿度介于60%和69.5%之间的月份是否比介于69.5%和72.5%之间的多？ 【答案】(1)见解析 (2)杭州2020年有 3 个月的平均相对湿度小于下四分位数，分别是 4月、8月、12月 (3)两者数量相同 【分析】（1）首先需将2020年杭州各月平均相对湿度数据按从小到大排序，然后得到最小值和最大值，再计算出下四分位数、中位数、上四分位数，将这些值标记在箱线图中； （2）统计小于下四分位数的月份即可； （3）最后比较介于和之间的月份数量与介于和之间的月份数量即可． 【详解】（1）2020年各月杭州的平均相对湿度数据从小到大排序：60， 64， 69， 70， 72， 72， 73， 73， 74， 81， 85， 85， ∴ 最小值：60 ， 最大值：85， 中位数为， 下四分位数 ， 上四分位数为 ，标注在箱线图中如下图： （2） 在原始数据中，平均相对湿度小于 的月份有：4月 ( )，8月 ( )，12月 ( ) 答： 杭州2020年有 3 个月的平均相对湿度小于下四分位数，分别是 4月、8月、12月． （3）解：平均相对湿度介于 和 之间的月份：数据点为 60， 64， 69，共 3 个， 平均相对湿度介于 和 之间的月份： 数据点为 70， 72， 72，共 3 个， 答： 平均相对湿度介于 和 之间的月份有 3 个，介于 和 之间的月份也有 3 个，两者数量相同，所以前者不比后者多． 19．为提升学生安全防范意识和应急避险能力，营造平安和谐校园氛围，某校组织校园安全知识竞赛，竞赛结束后从八、九年级各随机抽取相同人数的成绩，分为A，B，C，D四个等级，四个等级对应的成绩依次为10分、9分、8分、7分，并将抽取的八年级和九年级的成绩绘制成如下统计图： 根据以上信息，解答下列问题． (1)各年级抽取的学生人数是_________，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是_________分，九年级学生竞赛成绩的众数是_________分． (2)求抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数． (3)若八年级参赛学生中成绩不低于9分的学生被评为“安全小标兵”，九年级参赛学生中成绩为10分的学生被评为“安全示范生”，八年级共有800名学生参赛，九年级共有600名学生参赛，请你估计该校八、九年级学生获得荣誉称号的总人数． 【答案】(1)20；9；10 (2)8.75分 (3)830人 【分析】（1）因为八、九年级抽取人数相同，所以将八年级条形统计图中各等级人数相加即可得到抽取总人数；中位数是排序后中间位置的数，所以先确定抽取总人数，将八年级成绩从小到大排序，找到中间位置对应的成绩即可；众数是出现次数最多的数，所以通过观察九年级扇形图中占比最高的等级，对应成绩即为众数； （2）因为加权平均数为各等级成绩乘以对应人数之和除以总人数，所以用各等级成绩乘对应人数求和，再除以抽取的八年级总人数即可； （3）先计算样本中八年级不低于9分的人数占比，乘以八年级总参赛人数得到八年级获得荣誉的人数；再计算样本中九年级10分的人数占比，乘以九年级总参赛人数得到九年级获得荣誉人数，二者相加得到总人数． 【详解】（1）； 一共有20人，排在中间的位置是第10和第11位的人的分数，中间数为两个数的和的平均数为9；众数是出现次数最多的，通过扇形图可以发现等级为的占最多，所以众数为10分． （2））（分）． 答：抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数是8.75分． （3）（人）． 答：估计该校八、九年级学生获得荣誉称号的总人数为830人． 20．有甲、乙两位股票投资者，投入股市的资金都是5万元左右．如图所示是他们去年在6只股票上的投资收益情况，收益正值为盈利，负值为亏损．甲每只股票的平均收益为元，乙每只股票的平均收益为元．乙认为自己以微弱的优势战胜了甲，但是甲不这么认为．你认为甲可以有哪些理由说明自己去年的收益不一定输给了乙？ 【答案】甲在收益的中间水平、稳定性和风险控制上均优于乙，因此甲有理由认为自己去年的收益不一定输给乙． 【分析】分别从中位数、方差、最大亏损角度分析解答即可． 【详解】解：因为甲、乙两位投资者在6只股票上的投资收益情况如下： 甲的收益（单位：元）：； 乙的收益（单位：元）：． 所以甲可以从以下角度说明自己去年的收益不一定输给乙： 1．从中位数角度： 将甲、乙的收益分别从小到大排序： 甲：； 乙：． 甲的中位数为（元）， 乙的中位数为（元）． 因为， 所以甲的收益中位数高于乙，说明甲至少有一半的股票收益优于乙的＂中间水平＂． 2．从方差角度： 甲的平均收益元，乙的平均收益元． 甲的方差； 乙的方差． 因为，所以甲的收益波动更小，投资更稳健． 3．从最大亏损角度： 甲亏损最多的股票收益为-291.86元，乙亏损最多的股票收益为-320.48元． 因为， 所以甲在最差的股票上亏损更少，抗风险能力更强． 综上，尽管乙的平均收益略高于甲，但甲在收益的中间水平、稳定性和风险控制上均优于乙，因此甲有理由认为自己去年的收益不一定输给乙． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数据的分析 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平均数的意义 题型2 加权平均数 题型3 中位数和众数 题型4 平均数、中位数和众数的选用 题型5 方差 题型6 求四分位 题型7 数画箱线图 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平均数与加权平均数的计算 2. 中位数与众数的概念及应用 3. 方差与数据的波动程度 4. 统计量的意义与合理选择 5. 频数与频率的相关计算 6. 统计图表的综合解读 7. 用样本估计总体的思想 8. 数据分析的实际综合应用 1. 基础考查重概念本质：从单纯的统计量机械计算转向概念深度辨析，围绕平均数、中位数、众数、方差的统计意义设题，考查对各统计量适用场景的理解，突出数据分析核心观念。 2. 计算考查情境化：统计量的计算均嵌入真实生活情境，以学业成绩、销售数据、气温变化、产品质量检测等场景为载体，在具体问题中考查加权平均数、方差等核心计算能力。 3. 统计图表深度融合：频数分布表、条形统计图、扇形统计图等与统计量计算深度结合，要求从图表中提取有效数据完成统计量求解，综合考查数据读取、整理与分析能力，是单元解答题的高频命题形式。 4. 样本估计总体常态化：突出统计的实用价值，以抽样调查为背景，结合样本的平均数、方差特征估计总体情况，渗透用样本估计总体的统计思想，常结合生产、民生类实际问题设题。 5. 决策应用题型增量：强化统计知识的决策功能，以队伍选拔、方案选择、进货规划等实际问题为载体，要求结合多个统计量综合分析并作出合理决策，考查运用统计知识解决实际问题的能力。 6. 知识关联综合化：注重与统计调查、概率初步等前后知识的衔接，也常结合跨学科素材命题，体现统计知识的工具性与综合性，契合新课标核心素养的考查要求。 考情解码：“数据的分析” 是初中统计模块的核心内容，是统计调查知识的延伸，也是后续学习概率统计综合应用的基础，在八年级下册数学中占据重要地位。本专题涉及的统计量计算、统计思想及实际应用，是培养学生数据分析观念、运算能力与决策思维的重要载体。 试题从单一统计量的机械计算，向图表信息提取、多统计量综合分析、实际决策应用转型，着重考查学生的数据处理能力、综合分析能力以及运用统计知识解决现实问题的能力。平均数与方差的计算、统计图表解读、用样本估计总体是高频综合考点，常与统计调查、生活实际场景等内容结合，体现统计知识的实用价值与内在关联。 知识点一 平均数与加权平均数 平均数：平均数：对于n个数，，…，xn，则（+…+）就叫做这n个数的平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． 加权平均数： （1）加权平均数：若n个数，，…，的权分别是，，，…，，则 叫做这n个数的加权平均数． （2)求 n 个数的平均数时，如果 出现 次， 出现 次，…， 出现 次(这里 ++…+ = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中，， ，…， 分别叫做，，，…，的权. 权的意义：权反映了对应数据在整体中的重要程度，权越大，对应数据对平均数的影响越大；权的表现形式可以是频数、百分比、比例等。 拓展性质：若一组数据的每个数都加上（或减去）同一个常数，则平均数也相应加上（或减去）；若每个数都乘以同一个常数，则平均数也乘以。 【易错提醒】 （1）计算加权平均数时，分母是所有数据的总个数（权的和），不是数据的类别数，易出现分母用错的错误； （2）权的形式多样，频数、百分比、占比都属于权的范畴，计算时需统一形式，避免单位或比例换算错误； （3）算术平均数是加权平均数的特殊形式，即各数据的权相等，不能将二者完全割裂。 （4）平均数易受极端值影响，当数据中出现异常大或异常小的值时，平均数不能很好地代表整体平均水平。 即时即练 某班级数学单元测试中，85分的有4人，90分的有10人，95分的有6人，则该班级的平均成绩为____分。 若一组数据的平均数为5，则数据的平均数为____。 【分析】 根据加权平均数公式，总分数；总人数；平均成绩。 根据平均数的性质，每个数据都加2，平均数也加2，因此新数据的平均数为。 【解答】 90.5；7 知识点二 中位数与众数 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为中位数。 众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 统计意义：中位数反映了数据的中等水平，不受极端值影响；众数反映了数据的集中趋势，代表多数水平。 【易错提醒】 （1）求中位数必须先将数据排序，不排序直接找中间的数是最常见的错误； （2）一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，若多个数据出现次数相同且都是最多，则都是众数； （3）中位数是唯一的，众数不一定唯一，二者概念不可混淆。 即时即练数据：3，6，2，5，4，3，5的中位数是____，众数是____。 下列关于中位数与众数的说法，正确的是（ ） A. 一组数据的中位数一定是这组数据中的数 B. 一组数据的众数是唯一的 C. 中位数不受极端值的影响 D. 众数反映了数据的平均水平 【分析】 先将数据从小到大排序：2，3，3，4，5，5，6；数据个数为7（奇数），中间位置的数是4，因此中位数是4；数据中3和5都出现了2次，出现次数最多，因此众数是3和5。 判断题中，选项A：数据个数为偶数时，中位数是中间两数的平均数，不一定是原数据中的数；选项B：众数可能有多个；选项C：中位数仅与位置有关，不受极端值影响，说法正确；选项D：众数反映集中趋势，平均数反映平均水平。 【解答】 4；3和5；C 知识点三 方差与数据波动程度 离差：一般地，有n个数据，，…，，用表示它们的平均数，我们把xi （i=1,2，…，n）叫做xi 关于平均数的离差. 方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 有n个数据，，…，，用表示它们的平均数，s2[（）2+（）2+…+（）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数 ”）其中）2+（）2+…+（）2 叫做这n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d²” 方差的意义：方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好。 求方差的方法：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均” 标准差：方差的算术平方根叫做标准差，单位与原数据一致，统计意义与方差相同。 拓展性质：若一组数据的每个数都加上（或减去）同一个常数，方差不变；若每个数都乘以同一个常数，则方差乘以。 【易错提醒】 （1）分式乘除运算中，遇到多项式应先因式分解再约分，避免直接相乘导致计算复杂、出错； （2）异分母分式加减时，通分后的分子是整体，需添加括号，极易漏括号导致符号错误； （3）混合运算易出现顺序混乱，需严格遵循运算规则，不可随意跳步； （4）化简求值题型，代入数值前必须保证原分式所有分母均不为0，不可代入使分母为0的值。 即时即练 甲、乙两名运动员参加跳远训练，各跳5次，平均成绩都是5.8米，甲方差为0.03，乙方差为0.01，则成绩更稳定的是____（填“甲”或“乙”）。 若一组数据的方差为4，将每个数据都乘以3，则新数据的方差为____。 【分析】 平均数相同的情况下，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；乙的方差更小，因此乙的成绩更稳定。 根据方差的性质，每个数据乘以3，方差乘以，因此新方差为。 【解答】 乙；36 知识点四 统计量的选择与实际应用 统计量的合理选择： a. 描述平均水平：选择平均数，适合数据分布均匀、无极端值的场景； b. 描述中等水平：选择中位数，适合存在极端值、需反映中间水平的场景； c. 描述多数水平：选择众数，适合关注出现频次、主流情况的场景； d. 描述稳定程度：选择方差（或标准差），适合比较数据的波动与一致性。 用样本估计总体：用样本的平均数、方差等统计量估计总体的对应特征，是统计的核心思想，适用于无法全面调查的场景，要求样本具有代表性和广泛性。 统计决策思路：结合多个统计量综合分析，从平均水平、稳定性、集中趋势等多维度判断，结合实际场景的需求作出合理决策。 【易错提醒】 （1）实际决策中不能只依据一个统计量下结论，需综合多个统计量分析，易出现片面判断的错误； （2）用样本估计总体时，样本需具有代表性和广泛性，样本容量过小或样本有偏差，会导致总体估计错误； （3）易混淆各统计量的意义，比如用方差描述平均水平，用中位数描述波动程度，出现概念错用； （4）实际问题中统计量的结果需符合现实意义，如人数、数量需取整数，不能直接保留小数结果。 即时即练 某鞋店要购进一批运动鞋，店主最应关注的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 为了解某小区居民的月用水量，随机抽取了50户居民进行调查，测得平均月用水量为8吨，据此估计该小区2000户居民的月总用水量约为____吨。 【分析】 鞋店进货需要关注哪种尺码的鞋销量最高，即出现次数最多的数据，对应统计量是众数。 用样本平均用水量估计总体，总用水量平均用水量总户数，即吨。 【解答】 C；16000 知识点五 四分位数和箱线图 四分位数：在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图： 题型1 平均数的意义 例1．数学期中测试后，李老师把全班50名同学的成绩输入计算机算平均分，由于不小心，把其中一个“100”输入时多打了一个零，成为“1000”分，却没有及时发现，最后计算机显示该班平均分为95分，那么你认为该班平均分正确的是（     ） A．77分 B．79分 C．81分 D．无法确定 例2．小强在一次检测中，语文74分，英语78分，但语文、英语、数学三科的平均分不低于80分，列出数学分数x应满足的不等关系为______． 【变式训练1-1】小华某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，7，9，7，8，8，则小华本周每天的睡眠时间的平均数为（   ） A．7 B．8 C．8.5 D．9 【变式训练1-2】睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间（单位：小时）如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是 _____小时． 【变式训练1-3】根据教育部相关通知要求，各地中小学校需保障学生每天校内、校外各1个小时的体育活动时间，部分有条件的学校可延长校内户外活动至2小时．某区各中小学积极落实通知要求，增加学生在校活动时间，同时，为了解学生每天平均校外活动时间的情况，某校随机抽查了该学校七、八、九年级部分同学，对其每天平均校外活动时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)该校抽查的学生的人数为_______人，图中的值为________，的值为_______； (2)求被抽查的学生每天平均校外活动时间的平均数； (3)根据统计的样本数据，简要谈谈你对该校“学生每天平均校外活动时间情况”的看法，并结合自己的实际，提一条关于校外活动的建议． 题型2 加权平均数 例3．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（    ） 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 A．甲 B．乙 C．丙 D．平均分都相同 例4．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”） 【变式训练2-1】某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（   ） A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元 【变式训练2-2】学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表：      项目 应试者 口语表达 写作能力 甲 80 90 乙 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为_____________同学将被录取． 【变式训练2-3】端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示： 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 (1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？ (2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？ (3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由． 题型3 中位数和众数 例5．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 例6．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 【变式训练3-1】某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 【变式训练3-2】某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：．这组数据的众数为________． 【变式训练3-3】某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 题型4 平均数、中位数和众数的选用 例7．在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 例8．某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的__________（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【变式训练4-1】“凤凰单枞”以独特的山韵和花香深受广东人喜爱．在我国传统节日春节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的单枞售价、利润均相同在这段时间内的销售情况统计如表所示，最终决定增加乙种包装单枞的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 15 28 16 10 A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【变式训练4-2】从某校初三年级甲、乙两班中各选取25名学生参加诗词大赛，参赛成绩的平均数、中位数、众数如下表．如果比赛得分不低于85分记为优秀，那么甲班的优秀人数___________乙班的优秀人数（填“>”“=”或“<”）． 班级 平均数 中位数 众数 甲班 86 84 85 乙班 84 86 85 【变式训练4-3】年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 题型5 方差 例9．下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（    ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大 C．一样大 D．无法比较 例10．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【变式训练5-1】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练5-2】甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 【变式训练5-3】甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 题型6 求四分位 例11．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 例12．在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 【变式训练6-1】如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【变式训练6-2】已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，分位数是20，则______，______． 【变式训练6-3】为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 题型7 数画箱线图 例13．已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），则下列说法错误的是（    ） A．这次考试中两班均没有满分的 B．A班成绩的下四分位数与B班成绩的中位数相同 C．A班的成绩比B班的成绩波动更大 D．B班的平均分比A班的平均分更高 例14．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，________班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 【变式训练7-1】如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【变式训练7-2】如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是________________．（选填“甲地”或“乙地”）    【变式训练7-3】某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 一、单选题 1．人工智能大模型在工作中应用越来越广泛，某校数学教研组想在数学教学中引进一款大模型进行辅助教学，为此对比了两款大模型在数学解题中的能力表现，进行了6次测试，下表是测试成绩，则下列说法错误的是（     ） 大模型A 90 93 88 90 89 90 大模型B 91 85 95 95 84 90 A．大模型A测试成绩的中位数为89 B．模型B的测试成绩的众数为95 C．两款大模型测试得分的平均数相同 D．大模型A的方差比大模型B的方差小 2．小明在八年级第一学期的数学成绩如下表所示．如果按照扇形图中所显示的权重计算，那么小明该学期数学的总评得分为（     ） 项目 平时 期中 期末 成绩(分) 90 85 90 A．85分 B．88.5分 C．90分 D．90.5分 3．已知一组数据，，，…，的平均数为3，方差是2，则另一组数据 ， ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ） A．3和9 B．12和9 C．12和12 D．12和18 4．3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄（单位：岁）20，21，22，22，23，23，23，24，25，26．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．23，23 B．23， C．22，23 D．24，23 5．某校八年级男生米长跑其中名学生的成绩如下：，，，，，中考将近，需要加强训练，体育老师将对这名学生分成两组进行训练，尽可能地使同组内的水平接近，不同组的水平差异大．分别计算各种情况的组内离差平方和，得到如下表格，则这名学生最优分组的序号是（     ） 序号 第一组 第二组 组内离差平方和 1 3.97 4.03、4.17、4.33、4.42 0.089 2 3.97、4.03 4.17、4.33、4.42 0.034 3 3.97、4.03、4.17 4.33、4.42 0.025 4 3.97、4.03、4.17、4.33 4.42 0.077 A．4 B．3 C．2 D．1 6．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了8名本班学生每周用于课外阅读的时间x（单位：min），数据如下：106，113，96，98，100，102，104，111，则这组数据的四分位数是（     ） A．99，103，108.5 B．99，102，108.5 C．98.5，102，108 D．99，102，108 7．一项比赛共有8位评委，选手完成比赛后，每位评委现场给出一个“初始评分”，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余6位评委的评分为“有效评分”．则下列叙述一定正确的是（     ） A．同一个选手的“初始评分”的中位数小于“有效评分”的中位数 B．同一个选手的“初始评分”的下四分位数等于“有效评分”的下四分位数 C．同一个选手的“初始评分”的平均数不低于“有效评分”的平均数 D．同一个选手的“初始评分”的方差不低于“有效评分”的方差 8．当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，的最大值是（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 9．下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 二、填空题 10．数据2，3，，4的众数是3，则这组数据的平均数是________． 11．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为（单位：个）：5，6，7，8，8，9，10．则这组数据的中位数是________． 12．在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数为_____ 13．某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了12位同学，得到如下数据．则这12位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时． 时长/小时 6 7 8 9 10 人数 2 1 5 3 14．某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16五种情况，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是_____________． 三、解答题 15．军训期间，小华打靶的成绩是m发9环和n发7环，小华的平均成绩是每发多少环？ 16．有三组数据——第一组数据：10，10；第二组数据：20，20，20；第三组数据：30，30，30，30，30．请问：每组数据的平均数分别是多少？如果将这三组数据合成一组新的数据，请问新数据的平均数是多少？ 17．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 18．下表给出了2020年各月杭州的平均相对湿度（）： 2020年各月杭州的平均相对湿度 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 平均相 对湿度 81 73 72 60 72 85 85 64 74 70 73 69 (1)请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中． (2)杭州2020年有几个月的平均相对湿度小于下四分位数？分别是哪几个月？ (3)平均相对湿度介于60%和69.5%之间的月份是否比介于69.5%和72.5%之间的多？ 19．为提升学生安全防范意识和应急避险能力，营造平安和谐校园氛围，某校组织校园安全知识竞赛，竞赛结束后从八、九年级各随机抽取相同人数的成绩，分为A，B，C，D四个等级，四个等级对应的成绩依次为10分、9分、8分、7分，并将抽取的八年级和九年级的成绩绘制成如下统计图： 根据以上信息，解答下列问题． (1)各年级抽取的学生人数是_________，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是_________分，九年级学生竞赛成绩的众数是_________分． (2)求抽取的八年级学生竞赛成绩的平均数． (3)若八年级参赛学生中成绩不低于9分的学生被评为“安全小标兵”，九年级参赛学生中成绩为10分的学生被评为“安全示范生”，八年级共有800名学生参赛，九年级共有600名学生参赛，请你估计该校八、九年级学生获得荣誉称号的总人数． 20．有甲、乙两位股票投资者，投入股市的资金都是5万元左右．如图所示是他们去年在6只股票上的投资收益情况，收益正值为盈利，负值为亏损．甲每只股票的平均收益为元，乙每只股票的平均收益为元．乙认为自己以微弱的优势战胜了甲，但是甲不这么认为．你认为甲可以有哪些理由说明自己去年的收益不一定输给了乙？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $