第04讲 认识一元二次方程（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第04讲认识一元二次方程 辽内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1一元二次方程的定义 题型2由一元二次方程的定义求参数 题型3化成一元二次方程的一般式 题型4判断是否是一元二次方程的解 题型5由一元二次方程的解求参数 04过关检测一练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解一元二次方程的定义，能区分一元一次方程、分式方程与一元二次方 一元二次方程、整式 程。 方程、未知数最高次 2.掌握一元二次方程的一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及对 数、二次项、二次项 应系数。 系数、一次项、一次 3.能根据实际问题列出简单的一元二次方程，理解未知数最高次数为2的核 项系数、常数项、一 心特征。 般形式 4.掌握一元二次方程成立的条件，能判断含参数方程是否为一元二次方程。 学习重点：一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、各项系数与常数项的识别。 学习难点：含参数一元二次方程的判定、根据实情境列一元二次方程、区分各类整式方程的特征。 02 教材全解 ◇知1识1框引架 117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定蚁一 含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方 程。 整式方程（分母、根号内不含未知数） 一元二次方程的 定义 三大必备特征 仅含1个未知数 未知数最高次数为2。 排除区分 一分式方程、无理方程、多元方程均不是一元二次方程。 般形式 ax2+bxtc=0(a0)。 认识一元二次方程 一元二次方程的 各项名称 ax2为二次项，a为二次项系数：bx为一次项，b为一 一般形式 次项系数；c为常数项。 核心要求 a0,b、c可以为0；若a=0,方程降级为一元一次方程。 定义 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方 元二次方程的 程的解，也叫做方程的根。 解 根的特征 一元二次方程在实数范国内最多有2个实数根，可相等、可不等、可无实根。 ◇知1识1精|讲 知识点01一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 三大必备特征：①整式方程（分母、根号内不含未知数）：②仅含1个未知数：③未知数最高次数为2。 排除区分：分式方程、无理方程、多元方程均不是一元二次方程。 【易错提醒】 1.未整理方程直接判断，隐藏二次项、一次项导致判断错误。 2.含未知数在分母、根号内的方程，误判为一元二次方程。 【方法总结】 先整理化简方程，再看形式：整式、一元、二次，三者缺一不可。 即时即练下列方程中，属于一元二次方程的是() A.2x-3y=5 B.专3=术 C.x2+4=5y D.x-4x-4=0 217 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点02一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。 各项名称：Qx为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；C为常数项。 核心要求：Q≠0，b、C可以为0：若a=0,方程降级为一元一次方程。 【易错提醒】 1.提取系数时忽略符号，系数包含前面的正负号。 2.忘记a≠0的限制条件，误判含参数方程。 【方法总结】 整理为右边为O的标准形式，对应找准各项系数，重点验证二次项系数非零。 即时即练将一元二次方程3x=-2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A.3,-2,-1B.3,-2,1 C.3,2,1 D.3,2,-1 知识点03一元二次方程的解 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做方程的根。 根的特征：一元二次方程在实数范围内最多有2个实数根，可相等、可不等、可无实根。 应用：已知方程的根，可代入方程求参数的值。 【易错提醒】 1.代入根求值时，计算粗心、符号出错。 2.认为一元二次方程一定有两个根，忽略无实根的情况。 【方法总结】 己知根直接代入方程，转化为参数方程，求解参数即可。 即时即练若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中的a,b,C满足4a-2b+c=0,则方程必有根 ) A.-2 B.-1 C. D.2 03 题型突破 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型1一元二次方程的定义 【例1】下列方程中，一元二次方程的是() A.x+1=0 B.x+y2=0 C.x1 D.x2-2x+1=0 【例2】下列方程，是一元二次方程的有 03+x=20,②2X2-3xy+4=0,③x2-1-4,④x=0. X 【变式1-1】下列方程中，一元二次方程共有()个. ①x-2x-1-0:@a+bx+c=0:@7+3x-5=0,@-t-0:@x-1f+y-2,@ x-1x-3=x2. A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1-2】 下列选项中的方程，属于一元二次方程的是() A.X-1=2X-3B.3x-x2=0 C.3x-1=y 1 =1 D.x+2 题型2由一元二次方程的定义求参数 【例3】一元二次方程2x2-x+3=0的一次项系数、常数项分别是() A.2、-3 B.2、3 C.1、-3 D.-1、3 【例4】若方程m-2x+3x-6=0是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是() A.m≠0 B.m≠-2 C.m≠2 D.m=2 【变式2-1】方程n-3xm-1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程，n满足的条件是() A.n>3 B.n=3 C.n<3 D.n=-3 【变式2-2】己知m-1x+1+4x+2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为· 题型3化成一元二次方程的一般式 【例5】把一元二次方程x2x-1=x-3化为一般形式为 【例6】一元二次方程2x=x+3的二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是() A.0,-3B.0,3 C.1,3 D.-1,-3 417 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式31】方程x+1川x-2=0展开为一般形式后，一次项系数是() A.-1 B.1 c.-2 D.2 【变式32】若方程x+2}=2x+5的二次项系数是1，则一次项系数是 题型4判断是否是一元二次方程的解 【例7】若4a+2b+c=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为 【例8】·下列方程中，有一根为2的一元二次方程是() A.X-2=0 B.x3-4X=0 C.x2-4=0 D.x2=0.125 【变式41】嘉嘉在解关于x的一元二次方程ax+bx+3=0a≠0时，不小心将一次项系数写成了-b, 解出其中一个根是x=1,现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是-1： 乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根. 则下列判断正确的是() A.甲对，乙错B.甲错，乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 【变式42】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化 的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程x2-αx-6=0的两根之和为 -2 -1 0 1 2 x2-aX 2 0 0 2 6 题型5由一元二次方程的解求参数 【例9】已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=4(a≠0)的两个根分别为X1=-4,X2=6,小范有以下 两种说法：①b=-2a;②关于x的方程ax+4川x-6+4=0和ax2+bx+c=0的解相同，下列判断正确 的是() A.①正确，②正确 B.①不正确，②正确 C.①正确，②不正确 D.①不正确，②不正确 【例10】已知X=2是关于x的方程x2-mx=6的一个根，则m的值为() A.5 B.-5 C.1 D.-1 【变式51】若关于x的一元二次方程k+2x+3x+k-4=0的一个根为0，则k的值为(). A.-2 B.2 C.2或-2 D.-1或2 517 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式52】若关于x的一元二次方程x+2x-m=0有一个根为-3，则m的值为 过关检测 一、单选题 1.若方程xm-1-2x=0是一元二次方程，则m的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列方程中，一定是一元二次方程的是() A.x2-1=0 B.x-2xy+y=0 C.x2+2x=1 D.x+x+1=0 3.已知实数a是一元二次方程x2-3x-1=0的一个根，则2a2-6a+2025的值是() A.2023 B.2025 C.2027 D.2029 4.若a-b=3,则下列x的值一定是关于x的方程ax+2bx-12=0的根的是() A.X=2 B.X=0 C.x=1 D.X=-2 5.若关于x的一元二次方程ax+x+3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为() A.a<1 1 12 B.a> 12且a*0 1 c.a D.a<2且a0 6.已知a是方程2x2-7x-1=0的一个根，则代数式a(2a-7)+5的值等于() A.6 B.5 C.4 D.-4 c-blc-a-2025= .已知实数a、b、c满足a≠b,且20251a-b1+y2025b-c+c-a=0.则a-b () 1 A.-2025 1 B.2025 C.2025 D.- 2025 8.如表是某同学求代数式ax+bx(a,b为常数)的值的情况，根据表格中数据，可知关于x的方程 ax2+bx=2的实数根是() ax+bx 6 2 0 0 2 A.X1=-1,X2=2 B.X1=2,X2=-3 C.X1=0,X2=1 D.X1=-2,X2=3 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.若方程a-1xa1-x+2=0是关于x的一元二次方程，则a的值为()· A.1 B.-1 C.±1 D.不确定 二、填空题 10.关于x的一元二次方程k-1x2+X+k2+2k-3=0有一个根为0，则k的值为 11.已知关于x的一元二次方程x2-kx+1=0的一个根是2，则k的值是。 12.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有一个实数根是-1，则m=一 13.已知下面三个关于X的一元二次方程ax+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx+ax+b=0恰好有一个相 同的实数根a,则a+b+c的值为： 14.若关于x的一元二次方程m+4x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 15.关于x的二次三项式ax+bx+c,满足下表中的对应关系：则一元二次方程ax+bx+c=0的两个整 数根是 -5 -4 -2 -1 0 1 2 4 5 ax2+bx+d 16 -5 -8 -9 -8 -5 16 三、解答题 16.已知关于x的一元二次方程x+ax+a-1=0. ()求证：该方程总有两个实数根： (2)若此方程有一个根为2，求a的值。 17.已知关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0, (1)若方程有实数根，求k的取值范围。 (2)如果k是满足(1)问的最大的整数，且方程x2-4x+2k=0的根是一元二次方程x2-2mx+m-1=0的 一个根，求m的值及这个方程的另一个根， 18.已知实数a是一元二次方程x2-2025x+1=0的-个根，求代数式a2-2024a-Q+ 2025的值. 717 第04讲 认识一元二次方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1一元二次方程的定义 题型2 由一元二次方程的定义求参数 题型3 化成一元二次方程的一般式 题型4 判断是否是一元二次方程的解 题型5 由一元二次方程的解求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程、整式方程、未知数最高次数、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项、一般形式 1. 理解一元二次方程的定义，能区分一元一次方程、分式方程与一元二次方程。 2. 掌握一元二次方程的一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 3. 能根据实际问题列出简单的一元二次方程，理解未知数最高次数为2的核心特征。 4. 掌握一元二次方程成立的条件，能判断含参数方程是否为一元二次方程。 学习重点：一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、各项系数与常数项的识别。 学习难点：含参数一元二次方程的判定、根据实际情境列一元二次方程、区分各类整式方程的特征。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 三大必备特征：①整式方程（分母、根号内不含未知数）；②仅含1个未知数；③未知数最高次数为2。 排除区分：分式方程、无理方程、多元方程均不是一元二次方程。 【易错提醒】 1. 未整理方程直接判断，隐藏二次项、一次项导致判断错误。 2. 含未知数在分母、根号内的方程，误判为一元二次方程。 【方法总结】 先整理化简方程，再看形式：整式、一元、二次，三者缺一不可。 即时即练下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般形式：。 各项名称：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 核心要求：，可以为0；若，方程降级为一元一次方程。 【易错提醒】 1. 提取系数时忽略符号，系数包含前面的正负号。 2. 忘记的限制条件，误判含参数方程。 【方法总结】 整理为右边为0的标准形式，对应找准各项系数，重点验证二次项系数非零。 即时即练将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 知识点03 一元二次方程的解 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做方程的根。 根的特征：一元二次方程在实数范围内最多有2个实数根，可相等、可不等、可无实根。 应用：已知方程的根，可代入方程求参数的值。 【易错提醒】 1. 代入根求值时，计算粗心、符号出错。 2. 认为一元二次方程一定有两个根，忽略无实根的情况。 【方法总结】 已知根直接代入方程，转化为参数方程，求解参数即可。 即时即练若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 题型1一元二次方程的定义 【例1】下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 【例2】下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 【变式1-1】下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 【变式1-2】 下列选项中的方程，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，整理原方程得，只含一个未知数，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； ∵B选项只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； C选项含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D选项分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求． 题型2 由一元二次方程的定义求参数 【例3】一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 【例4】若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-1】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2】已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 题型3 化成一元二次方程的一般式 【例5】把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 【例6】一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 【变式3-1】方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为．方程整理为一般形式，确定出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的一次项系数是． 故选：A． 【变式3-2】若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 故答案为：2． 题型4 判断是否是一元二次方程的解 【例7】若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 【例8】．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式4-1】嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 【变式4-2】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 题型5 由一元二次方程的解求参数 【例9】已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 【例10】已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 【变式5-1】若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 【变式5-2】若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【答案】 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：把代入方程得： 解得. 一、单选题 1．若方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的最高次项次数必须为2，因此令方程中最高次项指数等于2，求解m即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ∴ 最高次项 的指数为2， 即 ， ∴ ， 故选：B． 2．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断每个选项． 【详解】解：选项A：∵方程中含有分母，不是整式方程，∴不是一元二次方程； 选项B：∵方程中含有两个未知数，∴不是一元方程； 选项C：∵方程可化为，只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程，∴是一元二次方程； 选项D：∵方程的最高次数为3，∴不是一元二次方程； 故选：C． 3．已知实数是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，由题意得：，，根据即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意可将原一元二次方程化为，再逐项分析即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴原方程可化为：， 、当时，，故不符合题意； 、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，根据方程是一元二次方程结合方程有2个不相等的实数根，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：且； 故选D． 6．已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意将代入方程中，得到，从而得到，然后代入式子进行计算即可． 【详解】解： 是方程的一个根， 将代入方程中， 得：， ， ， 故选A． 7．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】通过换元将已知等式整理为关于的一元二次方程，利用因式分解得到根的关系，再将所求代数式变形后代入化简计算． 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 8．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 9．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 二、填空题 10．关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 把代入一元二次方程中，得到关于k的一元二次方程，解此方程即可求得k的值，再根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，二者结合即可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程 的一个根 ∴把代入方程中得：， 即 解得：， ， ， ， 故答案为：． 11．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根的定义，将已知根代入方程即可求解参数． 【详解】解：将代入方程， 得，即， 解得， 故答案为：． 12．已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：． 故答案为：1． 13．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程，当方程有两个不相等实数根，则，列出不等式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根 解得且 故答案为：且 15．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 三、解答题 16．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为2，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的含义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）把代入，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ， ． ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵方程有一个根为2， ∴， 解得：． 17．已知关于的一元二次方程， (1)若方程有实数根，求的取值范围. (2)如果是满足（1）问的最大的整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一个根. 【答案】(1) (2)，这个方程的另一个根为0 【分析】（1）由题意，构建不等式即可解决问题； （2）先求出第一个方程的根，再求出的值即可解决问题； 本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ． （2）解：由（1）得， ∵是满足（1）问的最大的整数， ∴， 依题意，当时，则整理原方程为， ∴， 则此方程的解为， 方程的一个根为2， ， ， ∴， ∴ 即 或0， 方程的另一个根为0． 18．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $