第03讲 二次根式的加减（暑假预习讲义）新九年级数学新教材华东师大版

第03讲 二次根式的加减 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 同类二次根式 题型2 二次根式的加减运算 题型3 二次根式的混合运算 题型4 已知字母的值，化简求值 题型5 已知条件式，化简求值 题型6比较二次根式的大小 题型7二次根式的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 同类二次根式、合并同类二次根式、二次根式加减运算、二次根式混合运算、去括号、化简求值 1. 理解同类二次根式的定义，能准确识别同类二次根式。 2. 掌握合并同类二次根式的法则，熟练进行二次根式的加减运算。 3. 掌握二次根式的混合运算顺序，能结合去括号、化简、合并等步骤综合计算。 4. 能利用二次根式加减运算进行代数式化简与简单求值问题。 学习重点：同类二次根式的识别、同类二次根式的合并法则、二次根式的加减及简单混合运算。 学习难点：二次根式混合运算的顺序把控、复杂根式化简求值、含括号根式运算的易错点处理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 同类二次根式 定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数完全相同，则这几个根式为同类二次根式。 判定核心：① 判定优先级：先化简，后判定，未化简的根式无法直接判定同类； ② 无关因素：与二次根式前面的系数正负、数值大小无关，与根式的排列顺序无关； ③ 关键前提：必须是二次根式，根指数不为2的根式，不存在同类二次根式的说法。 举例：与是同类二次根式，化简后为，也与它们同类。 【易错提醒】 1. 未化简直接判定，误将看似不同、实则同类的根式判定为非同类。 2. 认为系数相同才是同类根式，混淆同类根式判定标准。 【方法总结】 解题口诀：去分母、去平方、化最简，只看根号内，不问根号外。 即时即练下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，化简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项C：，化简后为整数，被开方数不为，与不是同类二次根式； 选项D：，化简后被开方数为，与是同类二次根式． 知识点02 二次根式的加减法则 运算本质：类比整式合并同类项，二次根式加减实质是合并同类二次根式。 标准四步运算流程（考试规范步骤）： ① 化简：将式子中所有二次根式全部化为最简二次根式； ② 分组：精准区分同类二次根式、非同类二次根式，分类整理； ③ 合并：同类二次根式系数相加减，被开方数、根指数保持不变； ④ 整理：按整式书写规范整理结果，系数为1、-1时省略1，结果保留最简形式。 运算硬性禁忌： ① 禁止直接加减被开方数，根式无分母相加减规则； ② 未化简彻底的根式禁止合并； ③ 非同类二次根式只能保留原式，不能强行合并。 【易错提醒】 1. 直接加减被开方数，出现类低级错误。 2. 化简不彻底就合并，导致结果不是最简形式。 【方法总结】 加减三步法：一化简、二找同类、三合并，不同类根式单独保留。 即时即练计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03 二次根式混合运算 运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内部，同级运算从左到右。 运算规律：整式的加法交换律、结合律、乘法分配律全部适用。 公式应用：平方差公式、完全平方公式可直接用于根式运算，简化计算。 【易错提醒】 1. 混合运算顺序混乱，先加减后乘除。 2. 去括号符号出错，负号未分配到每一项。 【方法总结】 先定顺序、巧用公式、彻底化简、最后合并，结果必须为最简根式。 即时即练先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，再计算出的值，代入化简后的式子即可得到最终结果． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式 ． 题型1 同类二次根式 【例1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：∵ ，的被开方数为，的被开方数为，，∴ A错误； 选项B：∵ ，，不是同类二次根式，∴ B错误； 选项C：∵ ，，被开方数，∴ C错误； 选项D：∵ ，化简后与的被开方数均为，∴ 二者是同类二次根式，D正确． 【例2】将式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并．所有符合条件的的值的和为_____ 【答案】80 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，同类二次根式的概念，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是对完全平方数以及同类二次根式的理解． 先化简，令，根据符合条件的n的值，再求解出a的值即可． 【详解】解：∵， 又∵式子（为正整数）化为最简二次根式后，可以与合并． 则化简后是，其中为整数， 即可以转化为2乘以一个平方数， 令（为正整数），则， 又，解得， ∴满足条件的n的值为1，2，3，4， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴所有符合条件的的值的和为． 故答案为：80． 【变式1-1】若两个最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可． 【详解】∵两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ∴． 故选：A． 【变式1-2】若最简二次根式与可以合并，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式及同类二次根式，根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解方程即可．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 题型2 二次根式的加减运算 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【例4】计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式； （2）先计算平方差、二次根式的除法，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接化简后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式计算乘法，用完全平方公式展开平方项，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）根据完全平方公式及平方差公式将原式展开，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型3 二次根式的混合运算 【例5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式          ． （2）解：原式         ． 【例6】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先将括号内的二次根式化简后，再合并，最后进行除法运算即可； （2）原式先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3-2】我们的课本中有这样的一段叙述：“分式的值随分式中字母取值的变化而变化．” 当时，我们对分式的取值情况进行研究． x …… 1 2 3 4 5 6 8 …… …… 5 4 5 …… (1)观察表格，猜想：分式有最小值为 ； (2)推理证明：证明你的猜想； (3)求分式的最小值． 【答案】(1) (2)证明：， ， 配方得， ， ， 当且仅当时等号成立， ∴ 分式的最小值为，猜想成立； (3) 【分析】（1）观察表格中分式的取值，发现时分式取得最小值，所有其他取值都大于4，因此猜想最小值为4； （2）将分式拆分变形为，再利用完全平方公式配方，结合平方的非负性证明猜想； （3）通过换元法将原分式变形为第二问的形式，利用第二问的结论求出最小值． 【详解】（1）解：观察表格数据，所有对应的分式值都大于等于4，因此猜想分式的最小值为； （2）略 （3）解：设，由得，且， 代入原分式得： 由(2)的结论可知，当时，，当且仅当时等号成立， 满足条件， ，即分式的最小值为． 题型4 已知字母的值，化简求值 【例7】已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据，得出，，把变形为，把，整体代入求值即可． 【详解】解：，， ，， ． 【例8】先化简再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先化简分式，再将代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 当 时， ． 【变式4-1】若，则代数式的值是（     ） A．2022 B．-2022 C．2023 D．-2023 【答案】C 【分析】本题可先利用完全平方公式化简所求代数式，再代入的值计算，简化运算过程． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 【变式4-2】（1）计算： ①； ②已知：，求的值. （2）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： ①运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______． ②请写出正确运算过程． 【答案】（1）①②4（2）①二，计算时结果错误②见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1） ①利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可； ②将原式因式分解后代入数值计算即可； （2）①根据题干中的解题步骤进行判断即可； ②将错误的地方改正并进行正确地计算即可． 【详解】解：（1）① ； ②∵， ∴ ； （2）①由题干中的解题步骤可得运算从第二步开始出错，出现错误的原因是计算时结果错误， 故答案为：二，计算时结果错误； ②原式 题型5 已知条件式，化简求值 【例9】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 【例10】已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 【变式5-1】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 【变式5-2】若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 题型6比较二次根式的大小 【例11】现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出与之间的距离大于，小于等于，然后比较实数的大小即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2， ∴与之间的距离大于，小于等于， ，不符合题意； ，符合题意． 【例12】比较大小：______（填“>”“<”或“=”号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出和的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式6-1】比较大小：_______（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)比较大小：_________（用“”、“”或“”填空）； (3)已知，求的值； (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2)> (3)3 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据m的值得出n的值，即是结果． （4）根据有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； 【详解】（1）解： （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 即 故答案为：>． （3）解：设，， 则， ∵， ∴，即． （4）解： 题型7二次根式的应用 【例13】如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 【答案】需要花费元 【分析】先求出通道的面积，再用通道的面积乘以单位造价即可得到答案． 【详解】解：通道的面积为： （平方米）， ∴（元）． 答：需要花费元． 【例14】高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 【答案】 【分析】将已知的下落高度代入给定关系式，再化简二次根式即可得到所求时间． 【详解】解：把代入，得， ∴如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是． 【变式7-1】【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”． ．① a，b，c为三角形的三边长；，S为面积； 公式②中的． 古希腊“海伦公式”． ．② 【问题解决】 (1)若的三边长为5，7，8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； (2)由公式①推导出公式②． 【答案】(1)该三角形的面积为 (2) ． 【分析】（1）根据可得，，，代入即可求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 由题意得，， ∴． （2）略 【变式7-2】【初步感知】我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为（是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由可得：，可得：，并且当时，． 【学以致用】 (1)请证明：（，）； (2)将（，）称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最小值．例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有，得，当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． ①已知，则函数取到最小值，最小值为 ； ②直接写出函数（，）的最小值 ．（请用含的代数式表示）． (3)【拓展提高】逆用基本不等式（，），我们也可以求一些函数的最大值． ①试求函数（）的最大值． ②某校计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图，已知墙的长度足够长），另外三边用长为的篱笆围成．设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，矩形面积为，请写出与的函数关系式，并求出该劳动实践基地面积的最大值． 【答案】(1)证明：∵，，； ∴， ∴， ∴； (2)①；② (3)①；②；最大值为 【分析】（1）仿照题例即可求证； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）①逆用①的结论，即可求解； ②根据题意得出，根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ 即函数取到最小值，最小值为 ②∵， ∴ （3）解：①∵ ∴ ∴ 即函数的最大值为 ②依题意， ∵ ∴ ∴ 答：该花圃面积的最大值为． 一、单选题 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的加减，乘法法则和完全平方公式，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，，A错误； 选项B：，，，B错误； 选项C：，，C错误； 选项D：根据二次根式乘法法则，，D正确． 2．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、， A错误； B、， B错误； C、， C正确； D、与不是同类二次根式，不能合并，， D错误． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，无法直接合并得到，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 5．下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，，计算正确； B、合并同类二次根式可得，，计算正确； C、根据二次根式除法法则，，计算错误； D、根据二次根式乘法法则，，计算正确． 6．故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）符合要求（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形三边的关系及勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此逐项判断即可. 【详解】解：根据三角形三边的关系及勾股定理的逆定理，逐一判断： 选项A，最长边为，，， 不能组成三角形，不符合要求； 选项B，最长边为，，，， 不是直角三角形，不符合要求； 选项C，最长边为，，，， 不是直角三角形，不符合要求； 选项D，最长边为，，，，是直角三角形，符合要求. 7．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估计无理数的范围，即可确定原式的取值范围． 【详解】解： ，且， ， ，即 ， 的值在到之间． 8．设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题 9．已知，，则代数式的值为______． 【答案】8 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式因式分解，再代入，的值计算即可得到结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 10．化简：________． 【答案】 【详解】解：原式 11．当，时，的值是______． 【答案】 【分析】本题先将所求分式通分变形，再计算出和的值，整体代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴将，代入得原式． 12．规定运算“★”是，则__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的新定义，分母有理化，二次根式的减法运算．根据新运算的定义，将 a 和 b 的值代入公式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴当，时，． 故答案为：． 13．若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，将长和宽相乘，利用二次根式的乘法法则计算． 【详解】解：长方形的面积公式为， 所以． 计算过程： ， ， 因此． 故答案为：． 三、解答题 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算： 【答案】 【详解】解： ． 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 18．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第03讲二次根式的加减 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1同类二次根式 题型2二次根式的加减运算 题型3二次根式的混合运算 题型4已知字母的值，化简求值 题型5已知条件式，化简求值 题型6比较二次根式的大小 题型7二次根式的应用 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 同类二次根式、合并1.理解同类二次根式的定义，能准确识别同类二次根式。 同类二次根式、二次2.掌握合并同类二次根式的法则，熟练进行二次根式的加减运算。 根式加减运算、二次3.掌握二次根式的混合运算顺序，能结合去括号、化简、合并等步骤综合计 根式混合运算、去括算。 号、化简求值 4.能利用二次根式加减运算进行代数式化简与简单求值问题。 学习重点：同类二次根式的识别、同类二次根式的合并法则、二次根式的加减及简单混合运算。 学习难点：二次根式混合运算的顺序把控、复杂根式化简求值、含括号根式运算的易错点处理。 02教材全解 ◇ 知1识I框1架 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义 几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数完全相同，则这几个根 式为同类二次根式， 同类二次根式 判定优先级：先化简，后判定，未化简的根式无法直接判定同类 判定核心 无关因素：与二次根式前面的系数正负、数值大小无关，与根式的排列顺序无关 关键前提：必须是二次根式，根指数不为2的根式，不存在同类二 次根式的说法 运算本质 类批整式合并同类项，二次根式加减实质是合并同类二次根式 化简：将式子中所有二次根式全部化为最简二次根式 分组：精准区分同类二次根式、非铜类二次根式，分类整理 标准四步运算流程 二次根式的乘除 二次根式的加减 合并：同类二次根式系数相加减，被开方数、根指数保持不变 法则 整理：按整式书写规范整理结果，系数为1、1时省略1。 结果保留最简形式 禁止直接加减被开方数，根式无分母相加减规则 运算硬性禁忌 未化简彻底的根式禁业合并 非同类二次根式只能保留原式，不能强行合并 运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减：有括号先算括号内部 同级运算从左到右。 二次根式混合运 算 运算规律 整式的加法交换律、结合律、乘法分配律全部适用。 公式应用 平方差公式、完全平方公式可直接用于根式运算，简化计算。 ◇ 知1识I精|讲 知识点01同类二次根式 定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数完全相同，则这几个根式为同类二次根式。 判定核心：①判定优先级：先化简，后判定，未化简的根式无法直接判定同类： ②无关因素：与二次根式前面的系数正负、数值大小无关，与根式的排列顺序无关： ③关键前提：必须是二次根式，根指数不为2的根式，不存在同类二次根式的说法。 举例：23与5V3是同类二次根式，12化简后为2V3,也与它们同类。 【易错提醒】 1.未化简直接判定，误将看似不同、实则同类的根式判定为非同类。 2.认为系数相同才是同类根式，混淆同类根式判定标准。 【方法总结】 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题口诀：去分母、去平方、化最简，只看根号内，不问根号外。 即时即练下列二次根式中，与V5不是同类二次根式的是() B.V125 C.V25 D.V20 知识点02二次根式的加减法则 运算本质：类比整式合并同类项，二次根式加减实质是合并同类二次根式。 标准四步运算流程（考试规范步骤）： ①化简：将式子中所有二次根式全部化为最简二次根式： ②分组：精准区分同类二次根式、非同类二次根式，分类整理： ③合并：同类二次根式系数相加减，被开方数、根指数保持不变； ④整理：按整式书写规范整理结果，系数为1、-1时省略1，结果保留最简形式。 运算硬性禁忌： ①禁止直接加减被开方数，根式无分母相加减规则： ②未化简彻底的根式禁止合并： ③非同类二次根式只能保留原式，不能强行合并。 【易错提醒】 1.直接加减被开方数，出现2+V3=V5类低级错误。 2.化简不彻底就合并，导致结果不是最简形式。 【方法总结】 加减三步法：一化简、二找同类、三合并，不同类根式单独保留。 即时即练计算： a)V18-V32+V2: 2)5+35-3-V21-2. 知识点03二次根式混合运算 运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内部，同级运算从左到右。 运算规律：整式的加法交换律、结合律、乘法分配律全部适用。 公式应用：平方差公式、完全平方公式可直接用于根式运算，简化计算。 【易错提醒】 1.混合运算顺序混乱，先加减后乘除。 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.去括号符号出错，负号未分配到每一项。 【方法总结】 先定顺序、巧用公式、彻底化简、最后合并，结果必须为最简根式。 即时即练先化简，再求值： a2-4:a-4a-4 2 Q2 其中a=V2+12-V2 03 题型突破 题型1同类二次根式 【例1】下列各组二次根式是同类二次根式的是() A.V2与V12 B.4与8 c.V8与V12 D.3与V12 【例2】将式子V35-ā(a为正整数)化为最简二次根式后，可以与⑧合并.所有符合条件的a的值的和 为 【变式1-1】若两个最简二次根式√x+3与3只V2是同类二次根式，则x的值为() A.X=-1 B.X=0 C.x=3 D.X=9 【变式1-2】若最简二次根式V10-2m与Vm+4可以合并，则m的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 题型2二次根式的加减运算 【例3】计算： 1)V18-9V8+3+1恨3-1： 2)4a2-2Va2 【例4】计算下列各式： 1)18-V8+V2: 2)3+23-2+/18÷6. 【变式2-1】计算： a8-6-2 2)/10-22V10+2V2-3-12. 【变式2-2】计算： 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0)27+1 948: 2)5+22-7+3x只7-3： 题型3二次根式的混合运算 【例5】计算： 1)25a.V10aa≥0l: e6+1x6-6-3君 【例6】计算： ①486=4+38E2亚 2-22-V21xV8+1+3° 【变式31】计算 08+号3-27 V3V2 1+1 @x-1x+1 【变式32】我们的课本中有这样的一段叙述：“分式的值随分式中字母取值的变化而变化.” 当x>0时，我们对分式 +4 的取值情况进行研究. 2 4 4 1 2 3 4 5 6 8 2 3 5 3 x2+4 1 6号 4号 4号 4-5 6号 1-2 ()观察表格，猜想： 分式+4 有最小值为： (2)推理证明：证明你的猜想； 4+7a2+10 3)求分式 a2+1 的最小值. 题型4已知字母的值，化简求值 【例刀已知x=V2+3,y=2-3,求义+X的值. 5/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例8】先化简再求值：1-0-3：a-9 ,其中a=-3-V2. a a2+4a 【变式41】若x=2023+1,则代数式x2-2x+1的值是() A.2022 B.-2022 C.2023 D.-2023 【变式42】(1)计算： 0-8+-6-V3-1: ②已知：x=5+1,求x2-2x的值 (2)下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务. x-2y3x-4y+5 =x3x-4y+5-2y3x-4y+5…第一步 =3x2-4Xy+5x-6xy+8y-10y…第二步 =3x2-10xy+5x-2y.…第三步 任务： ①运算从第步开始出错，出现错误的原因是 ②请写出正确运算过程。 题型5已知条件式，化简求值 【例9】已知Vx-10-Vx+5=-3,则代数式Vx-10+Vx+5的值为() A.3 B.-3 c.5 D.-5 【例10】己知X= 3-1求x2-2x-2的值. 1 【变式51】小明在解决问题：已知a 2+,求2a-8a+1的值.他是这样分析与解的： 2-V3 .a= 2+32+V3川2-3 =2-3 ∴.a-2=-V3, ∴.(a-22=3, ∴.a2-4a+4=3, a2-4a=-1, ∴.2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 6/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 Q)观察上面解答过程，请写出n+1+n 1 2)化简2+13+922+3 十…十 2026+9/2025 1 3)若a= 37-6,请按照小明的方法求出a3-10a2-25a+3的值. 【变式52】若两个含有二次根式的代数式M,N满足MN=t,其中t是有理数，则称M与N是互为“t相 关代数式” 1)若M与3是互为“6相关代数式”，则M=_; 2)若其中M=a-5(a是有理数)，N=8+25,且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值. 题型6比较二次根式的大小 【例11】现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形ABCD的边长为2，则BC与AD之间的距离可能是() A.V5 B.3 C.±V2 D.0 【例12】比较大小：-5V3 -3V5(填“><”或“=号). 【变式61】比较大小：-25 -52(填“>”、“<”或“=”) 【变式62】我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次 根式，如√a·Vā=a,Vb+1川V6-1=b-1b≥0.课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的 非零代数式相乘.如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式. 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： 1 )化简：11-3 (2)比较大小：V2023-V2021 V2025-V2023(用“>”、“<”或“=”填空)； 6)已知8-x-V2-x=2,求V8-x+2-x的值： 1 4)直接写出4+所5+2 十 92024+9V2021 2025+V2022的值. 题型7二次根式的应用 【例13】如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为50+2米，现在要在正方形绿地内修建四个大 7/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为7+1米，宽为7-1米，除去修建花坛的地方，其他地方 全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花 费多少元？ 【例14】高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而 且用时很短，常常避让不及.据研究，物体自由下落的高度hm与所需的时间ts满足关系式t= 如果1 h 个鸡蛋从离地面60m的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是」 【变式7-1】【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述 S= a,b,c为三角形的三边长： 了“三斜求积术”. ① a>b>c,S为面积： a+b+c S=Vp(p-allp 公式②中的p= 2 古希腊“海伦公式”· ② 【问题解决】 (1)若△ABC的三边长为5,7,8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积： (2)由公式①推导出公式②. 【变式7-2】【初步感知】我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为a≥0(a是实数)，根据这 个性质，我们可以有很多的发现：如由(m-n)2≥0可得：m2-2mn+n2≥0，可得：m2+n2≥2mn,并且 当m=n时，m2+n2=2mn. 【学以致用】 1)请证明：x+y≥2Vxy(x≥0，y≥0)： 2)将x+y≥2Vx炒(x≥0，y≥0)称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最小值.例： 皂知x≥0，求函数y=X+的最小值 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解；a=xb则有a+b22b,得y=x42水.4全4.当且收当X号、x2时.函数取 X 到最小值，最小值为4. @知x0,侧数yX+2款到5小价，泰小你 ②直接写出函数y=2x+长(X>0,k>0)的最小值，（请用含k的代数式表示）. 6)【拓展提高】逆用基本不等式y≤*(X≥0，y≥0)，我们也可以求一些函数的最大值， 2 ①试求函蒙y=10+4x6-4X(号≤×≤弓的数大位 ②某校计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图，己知墙的长度足够长），另 外三边用长为0m的篱笆围成.设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为xm,矩形面积为ym, 请写出y与x的函数关系式，并求出该劳动实践基地面积的最大值. 劳动实践基地 04 过关检测 一、单选题 1.下列运算正确的是() A.V2+3=V6 B.V32-2=3-2 c.(3-1}2=3-1 D.V5×3=V15 2.下列运算结果正确的是() A.-27=-2 B.V2V2-1=1 c.2V3-3=3 D.V2+V3=5 3.下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() a治 c.2 D.18 4.下列运算正确的是（) A.Va-12=a2-12 B.Ya+Vb=Va+b c.2Va×3a=6Va D.(x2P=x5 5.下列计算错误的是() 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.R2}=2 B.2V2-V2=V2 c.V8÷V2=4 D.3×V5=V15 6.故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截 面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）符合要求() A.1,2,3 B.2,3,4 C.2,3,6D.2,V2,2 7.估计V2×32+V7的值应在() A.10到11之间B.9到10之间 C.8到9之间 D.7到8之间 x>0,2x+斗的最小值为m,使得2X+取最小值的x值为松则m-n A.8 B.6 c.-2V2 D.3V2 二、填空题 9.已知a=1+/2,b=1-2,则代数式a2-2ab+b2的值为 10.化简：5-15+1= 山.当=5+2，y=5-2防的值是一 12.规定运算“*”是a*b=号3，则1★3与 13.若一个长方形的长为23，宽为6，则这个长方形的面积为 三、解答题 14.计算： 1)80-9V45 (2)V3+22-3V6÷22 15.计算：V6x2-6:/2 16.计算： (1)V24+V32-R6+V8 2)5+7V5-7+/12+3 以计华语5+6+ 18.计算： @万-+848 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)-3P+R5-2IV5+2. 11/11