第7讲 2.1一元二次方程 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第7讲　2.1　一元二次方程 【学习目标】 1. 理解一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程。 1. 掌握一元二次方程的一般形式（），能正确识别二次项、一次项和常数项。 1. 会将一个一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数。 1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程。 1. 经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 【知识梳理】 一、一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程。 关键词解读： 1. 整式方程：方程两边都是关于未知数的整式（分母中不能含有未知数）。 1. 只含有一个未知数（一元）。 1. 未知数的最高次数是（二次）。 二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： 这种形式叫做一元二次方程的一般形式。 名称 表达式 说明 二次项 为二次项系数， 一次项 为一次项系数（可以为） 常数项 不含未知数的项（可以为） 注意： 1. 是必要条件。若，方程变为，是一元一次方程，不再是二次方程。 1. 、可以为，此时方程称为一元二次方程的特殊形式（缺项方程）。 1. 确定各项系数时，要连同前面的符号一起考虑。 三、判断一元二次方程的关键点 1. 先看是否为整式方程：分母中不能含有未知数。 1. 再化简：有些方程表面上看似二次，化简后可能是一次或矛盾等式。 1. 最后看化简后未知数的最高次数是否为。 做一做（即时练习）： 1. 只含有______个未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫做一元二次方程。 1. 一元二次方程的一般形式为__________________（其中______）。 1. 方程中，二次项是______，一次项系数是______，常数项是______。 1. 下列方程中，哪些是一元二次方程？请在括号内打“√”。 · （1）（　）　　（2）（　）　　（3）（　） · （4）（　）　　（5）（　）　　（6）（　） 1. 将方程化为一般形式为____________，其中二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______。 1. 一个矩形的长比宽多，面积为。设宽为，则列出的方程为____________。 【典例精讲】 【例1】（一元二次方程的识别） 下列方程中，哪些是一元二次方程？ （1）　　（2）　　（3）　　（4）　　（5） 【分析】 判断是否为一元二次方程，必须同时满足三个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为。 【解答】 （1），是整式方程，只含一个未知数，最高次数为，是一元二次方程。 （2），整理得，是整式方程，只含一个未知数，最高次数为，是一元二次方程。 （3），分母中含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程。 （4），展开得，即，化简后不含未知数，不是一元二次方程。 （5），是整式方程，只含一个未知数，最高次数为，是一元二次方程。 【反思】 判断一元二次方程时，要先化简再判断，不能只看表面形式。同时要特别注意排除分式方程和化简后降次或矛盾的方程。 【例2】（化为一般形式并指出各项系数） 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）　　（2） 【分析】 先去括号、移项、合并同类项，将方程右边化为，整理成（）的形式，再指出各项系数。 【解答】 （1） 去括号，得， 移项，得。 ∴ 二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 注意：也可以两边同乘以，化为，此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为。两种形式都正确，通常约定将二次项系数化为正数更规范。 （2） 去括号，得， 即， 移项，得。 ∴ 二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 【反思】 化为一般形式时，要注意移项要变号，且各项系数要连同前面的符号一起考虑。 【例3】（根据一元二次方程的定义求参数） 已知关于的方程是一元二次方程，求的值。 【分析】 一元二次方程要求未知数的最高次数为，且二次项系数不为。 【解答】 由题意可知，方程中未知数的最高次数为， ∴ ，解得。 又∵ 二次项系数，即， ∴ 。 答：的值为。 【反思】 含参数的一元二次方程问题，要注意两个条件：①最高次数为；②二次项系数不为，二者缺一不可。 【例4】（从实际问题列一元二次方程） 根据下列问题，设未知数并列出方程（不解方程）。 （1）一个正方形的面积是，求它的边长。 （2）一个矩形的长比宽多，面积为，求矩形的宽。 （3）两个连续正整数的平方和是，求这两个数。 【分析】 先确定未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，最后判断是否为一元二次方程。 【解答】 （1）设正方形的边长为。 正方形面积边长， ∴ 。 这是一个一元二次方程。 （2）设矩形的宽为，则长为。 矩形面积长宽， ∴ 。 整理得，是一元二次方程。 （3）设较小的正整数为，则另一个为。 两数的平方和为。 整理得，即。 两边同除以，得，是一元二次方程。 【反思】 列方程的关键是找准等量关系。常见等量关系有：面积公式、增长率问题、销售利润问题等。列出的方程要化简后判断是否为一元二次方程。 【跟踪练习1】 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 将方程化为一般形式为____________。 1. 方程中，二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为______。 1. 一个矩形花园的长比宽多米，面积为平方米。设宽为米，列出的方程为____________。 【举一反三】 1. 一元二次方程中，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______。 1. 将方程化为一般形式为____________。 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______。 1. 方程化为一般形式为____________。 1. 一元二次方程中，一次项系数为______。 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为______。 1. 将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 1. 某商品原价为元，连续两次降价后售价为元。设平均每次降价的百分率为，列出的方程为____________。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 只含有______个未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫做一元二次方程。 1. 一元二次方程的一般形式是__________________（______）。 1. 方程中，二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。 1. 将方程化为一般形式为____________。 1. 方程中，一次项系数是______。 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______。 1. 一个长方形的长是宽的倍少，面积为。设宽为，列出的方程为____________。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 方程是一元二次方程。（　　） 1. 方程是一元二次方程。（　　） 1. 一元二次方程的一般形式中，可以等于。（　　） 1. 方程是一元二次方程。（　　） 三、选择题。 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 方程的二次项系数为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 将方程化为一般形式后，常数项为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 某商品原价元，连续两次降价后的售价为元。设平均每次降价的百分率为，列出的方程为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. ◆ B组·能力提升 1. 将下列方程化为一般形式，并分别指出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）　　（2） 1. 根据下列问题，设未知数并列出方程（不解方程）。 （1）某公司去年的年产值是万元，计划两年后达到万元，设年平均增长率为，列出的方程为____________。 （2）两个连续奇数的平方和是，设较小的奇数为，列出的方程为____________。 （3）某商场销售一种商品，平均每天可售出件，每件盈利元。为了扩大销售、增加盈利，商场决定降价销售。经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件。若商场要实现每天盈利元，设每件降价元，列出的方程为____________。 1. 已知关于的方程。 （1）当为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当为何值时，此方程为一元一次方程？ 1. 已知关于的方程是一元二次方程，求的值。 ◆ C组·思维拓展 21. 某农场要建一个面积为 m²的矩形养鸡场，一边靠墙（墙长 m），另外三边用竹篱笆围成，篱笆总长为 m。设养鸡场垂直于墙的一边长为 m，列出的方程为____________。（不用求解，注意隐含条件的取值范围） 22. 已知关于的方程是一元二次方程。 （1）求的值； （2）将该方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 23. 若方程是关于的一元一次方程，求的值，并解这个方程。 24. 已知关于的方程。 （1）当为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此时方程的解。 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 定义 只含一个未知数，最高次数为的整式方程 三个条件缺一不可 一般形式 （） 右边必须为 各项名称 二次项、一次项、常数项 系数要带符号 列方程 找准等量关系，设未知数列方程 化简后判断是否为二次 参数问题 最高次数为，且 两个条件同时满足 常见错误提醒 错误类型 正确理解 忽视的条件 一元二次方程中二次项系数必须不为 未化简就判断 有些方程化简后次数会改变，要先化简再判断 将分式方程误认为一元二次方程 一元二次方程必须是整式方程，分母不能含未知数 确定系数时漏掉符号 各项系数要连同前面的符号一起考虑 列方程时找错等量关系 先确定已知量和未知量，再根据公式或题意列等量关系 学习建议 1. 判断一个方程是否为一元二次方程时，按“整式→一元→二次”三步检查。 1. 化为一般形式时，按“去括号→移项→合并同类项”的顺序操作，注意移项要变号。 1. 确定各项系数时，先化成一般形式，再依次读出，不要漏掉符号。 1. 列方程时，先设未知数，再找等量关系，最后列式化简。 1. 含参数的问题，注意分类讨论：一元二次方程要求；一元一次方程要求且。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：一；；整式 1. 答案：； 1. 答案：；； 1. 答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）× 解析：（2）分母含未知数，是分式方程；（5）最高次数为3；（6）未说明。 1. 答案：；；； 解析：，移项得。 1. 答案： 解析：设宽为，则长为，由矩形面积公式得。 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：C 解析：A化简后为，是一元一次方程；B是分式方程；D未说明。C中整理得，是一元二次方程。 1. 答案： 1. 答案：；； 1. 答案： 解析：由题意，，，且，，故。 1. 答案： 解析：设宽为，则长为，由面积公式得。 举一反三 1. 答案：；； 1. 答案： 1. 答案：A 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 解析：，，移项得。 1. 答案： 解析：第一次降价后为元，第二次降价后为元，由题意得。 A组·基础过关 1. 答案：一；；整式 1. 答案：； 1. 答案：；； 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案： 解析：设宽为，则长为，由面积公式得。 1. 答案：√ 1. 答案：×（分母含未知数，是分式方程） 1. 答案：×（是必要条件，若则方程降为一次方程） 1. 答案：×（，展开得，移项得，是矛盾等式，不是方程） 1. 答案：A（B是分式方程，C最高次数为3，D是一元一次方程） 1. 答案：A 1. 答案：D（，，移项得，常数项为） 1. 答案：A（由一元二次方程定义知，） 1. 答案：A（连续两次降价，每次降价后的价格为前一次的倍，故） B组·能力提升 1. 答案： （1），二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 （2），，移项得，二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 1. 答案： （1）。 （2）。 （3）。 解析：（1）一年后产值为万元，两年后为万元，故。 （2）设较小的奇数为，则另一个为，由题意得。 （3）降价元后，每件盈利从元变为元；销量从件变为件（每降价元多售件），由题意得。 1. 答案： （1）当，即时，为一元二次方程。 （2）当且，即时，为一元一次方程。 解析：（2）当时，，原方程化为，无意义，故舍去。 1. 答案： 解析：由题意，，解得或。又二次项系数，即，故。 C组·思维拓展 1. 答案： 解析：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，由面积公式列式。隐含条件：（不超过墙长），且，即且，故。 1. 答案： （1）。 （2），二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 解析：（1），，，又，，故。（2）当时，原方程为，两边同乘得。 1. 答案：， 解析：由题意，且，，又，故。当时，方程为，即，解得。 1. 答案： （1）当时，为一元二次方程。 （2）当时，为一元一次方程，解为。 解析：（1），即。（2）且，得。当时，方程为，即，解得。当时，一次项系数，方程化为，无意义，舍去。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（6题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（5题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（9题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（16题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（4题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $