第4讲 1.2反比例函数图形与性质第3课时2026- 2027学年苏科版八升九数学暑假预习讲义

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第4讲　1.2反比例函数的图象与性质（第3课时） 【学习目标】 1. 掌握反比例函数的增减性，能根据的符号判断随的变化规律。 1. 理解“在每一个象限内”这一前提条件的重要性。 1. 能利用反比例函数的性质比较函数值的大小。 1. 掌握反比例函数关于原点成中心对称的性质。 【知识梳理】 一、反比例函数的增减性 重要前提：讨论反比例函数的增减性时，必须强调“在每一个象限内”。 增减性规律： 的符号 增减性 说明 在每一象限内，随的增大而减小 第一象限：；第三象限： 在每一象限内，随的增大而增大 第二象限：；第四象限： 口诀：正减，负增，每个象限内。 二、反比例函数的对称性 反比例函数 （）的图象关于原点成中心对称。 含义：若点在反比例函数的图象上，则点也在该函数的图象上。即且。 三、利用增减性比较函数值的大小 在反比例函数中比较值的大小时，必须先判断自变量是否在同一象限内： 1. 同一象限：直接用增减性判断。 1. 不同象限：根据正负性判断（正数 > 负数）。 做一做（即时练习）： 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而______（填“增大”或“减小”）。 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而______（填“增大”或“减小”）。 1. 在反比例函数 的图象上，若，则______（填“>”或“<”）。 1. 若点在反比例函数 的图象上，则点______（填“在”或“不在”）该函数的图象上。 1. 比较大小：在反比例函数 中，当，时，______（填“>”或“<”）。 【典例精讲】 【例1】（判断增减性） 已知反比例函数 ，回答下列问题： （1）图象在第几象限？ （2）在每一象限内，随的增大如何变化？ 【分析】 由，判断图象在第二、四象限，增减性为“在每一象限内，随的增大而增大”。 【解答】 （1）∵ ， ∴ 图象在第二、四象限。 （2）∵ ， ∴ 在每一象限内，随的增大而增大。 【反思】 判断增减性先看的符号：时减小，时增大。 【例2】（利用增减性比较大小） 在反比例函数 中，已知，比较与的大小。 【分析】 先判断、在同一象限（），再用增减性判断。 【解答】 ∵ ， ∴ 、都在第三象限。 又∵ ，在每一象限内随的增大而减小， ∴ 当时，。 【反思】 同一象限内直接用增减性判断：时，增大减小，所以时。 【例3】（不同象限比较大小） 在反比例函数 中，已知，，比较与的大小。 【分析】 在第二象限，在第一象限，不同象限不能直接用增减性，应根据正负性判断。 【解答】 当时，； 当时，。 ∵ ， ∴ 。 【反思】 不同象限比较大小，直接计算或根据正负性判断更可靠。 【跟踪练习1】 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而______。 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而______。 1. 在反比例函数 中，当时，______（填“>”或“<”）。 1. 在反比例函数 中，当时，______（填“>”或“<”）。 1. 在反比例函数 中，、，则______（填“>”或“<”）。 【举一反三】 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而______。 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而______。 1. 在反比例函数 中，若，则______（填“>”或“<”）。 1. 在反比例函数 中，若，则______（填“>”或“<”）。 1. 若点在反比例函数 的图象上，则点______（填“在”或“不在”）该函数的图象上。 1. 反比例函数 的图象关于______成中心对称。 1. 在反比例函数 中，、，则______（填“>”或“<”）。 1. 在反比例函数 中，、，则______（填“>”或“<”）。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而______。 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而______。 1. 在反比例函数 中，若，则______（填“>”或“<”）。 1. 在反比例函数 中，若，则______（填“>”或“<”）。 1. 反比例函数 的图象关于______成中心对称。 1. 若点在反比例函数 的图象上，则点______（填“在”或“不在”）该函数的图象上。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 反比例函数 中，随的增大而减小。（　　） 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而增大。（　　） 1. 反比例函数 的图象关于原点成中心对称。（　　） 1. 在反比例函数 中，当时，随的增大而减小。（　　） 三、选择题。 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而（　　） · A. 增大　　B. 减小　　C. 不变　　D. 无法确定 1. 反比例函数 中，在每一象限内，随的增大而（　　） · A. 增大　　B. 减小　　C. 不变　　D. 无法确定 1. 在反比例函数 中，若，则与的大小关系是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 无法确定 14.如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 ◆ B组·能力提升 1. 已知反比例函数 的图象经过点。 · （1）求的值； · （2）在每一象限内，随的增大如何变化？ · （3）若、在该函数图象上，比较与的大小。 1. 在反比例函数 中： · （1）当时，随的增大如何变化？ · （2）当时，随的增大如何变化？ · （3）若、在图象上，比较与的大小。 1. 已知点、、都在反比例函数 的图象上。 · （1）求、、的值； · （2）用“<”将、、连接起来。 1. 已知反比例函数 （），当的值由增加到时，的值增大了，求的值。 ◆ C组·思维拓展 19. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形于点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为__________. 20.如图是反比例函数y=的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（    ） A．1 B． C．2 D． 21. 若点，在反比例函数 的图象上，且，则______0（填“>”或“<”）。 22.（2025·湖南·中考真题·易错） 对于反比例函数 ，下列结论正确的是（　　） A. 点(-1, -2)在该函数的图象上　　B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当x > 0时，y随x的增大而增大　　D. 当x < 0时，y随x的增大而减小 23. 在反比例函数 中，若，则的取值范围是______。 24.（2025·天津·中考真题） 若点，，都在反比例函数 的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. < <　　B. < < 　　C. < < 　D. < < 25. 已知点，在反比例函数 的图象上，若，则______0（填“>”或“<”）。 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出不等式的解集． 27.如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且． (1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． (2)连接，求四边形的面积． 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 增减性（） 在每一象限内，随的增大而减小 前提：在同一象限内 增减性（） 在每一象限内，随的增大而增大 前提：在同一象限内 比较值大小 同象限用增减性；不同象限看符号 先判断象限再比较 对称性 关于原点成中心对称 若在图象上，则也在 常见错误提醒 错误类型 正确理解 说“随的增大而减小”时忘记加“在每一象限内” 增减性必须强调“在每一象限内”，否则结论不成立 不同象限直接用增减性比较 不同象限应先判断正负，正数一定大于负数 混淆“增大”与“减小”的方向 时减小，时增大，记住口诀“正减，负增” 学习建议 1. 说增减性时，必须带“在每一象限内”这五个字。 1. 比较大小三步走：①判断是否在同一象限；②同象限用增减性；③不同象限看正负。 1. 利用对称性可以快速找到图象上对称的点。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：减小 1. 答案：增大 1. 答案：（，在每一象限内随的增大而减小） 1. 答案：在（） 1. 答案：（，） 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：减小 1. 答案：增大 1. 答案：（，增大减小） 1. 答案：（，在每一象限内随的增大而增大） 1. 答案：（，） 举一反三 1. 答案：减小 1. 答案：增大（） 1. 答案：（，增大减小） 1. 答案：（，在每一象限内随的增大而增大） 1. 答案：在（） 1. 答案：原点 1. 答案：（，） 1. 答案：（，） A组·基础过关 1. 答案：减小 1. 答案：增大 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：原点 1. 答案：在 1. 答案：×（必须强调“在每一象限内”） 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：×（，在时即第四象限，随的增大而增大） 1. 答案：B 1. 答案：A 1. 答案：B（时，时，故） 1. 答案：C B组·能力提升 1. 答案： （1）代入，，； （2），在每一象限内，随的增大而增大； （3），，，在第四象限内随的增大而增大，∴。 1. 答案： （1），时在第四象限，随的增大而增大； （2）时在第二象限，随的增大而增大； （3）在第二象限内，时随的增大而增大，所以。 1. 答案： （1），，； （2）（）。 1. 答案： 解析：当时，；当时，。 由题意，，，，，。 C组·思维拓展 19.答案为． 解：把点代入到反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为． 1. 答案：B 1. 答案： 解析：、都在的范围内（第三象限）。若，即增大时减小（，），则。 1. 答案：A 解析：中，图象在一、三象限。A：，点在图象上，正确；B：应在第一、三象限，错误；C：时在第一象限，随的增大而减小，错误；D：时在第三象限，随的增大而减小，正确但表述不完整。单选题选A最直接。 1. 答案： 解析：中，在第二象限内随的增大而增大。当时，从增大到，从增大到。故。 1. 答案：D 解析：中，图象在一、三象限。在第三象限，；、在第一象限，且，在第一象限内随的增大而减小，∴。综上，。故选D。 1. 答案： 解析：点、都在的范围内（第三象限）。若，即在第三象限内随的增大而减小（，），则。 26.答案：（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得： ∴反比例函数的表达式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）． ∴点A的坐标为． ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）∵点C为直线与y轴的交点， ∴把代入函数，得 ∴点C的坐标为 ∴， ∴ ． （3）由图象可得，不等式的解集是或．    27.【解析】（1）解：点F在该反比例函数的图象上．理由如下： ∵，四边形为矩形． ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为 又∵点F为的交点． ∴F为的中点 ∴ 又∵， ∴点F在该反比例函数的图象上． （2）如图，过点D作轴于点G． ∴四边形为矩形． 又∵， ∴， 又∵D，E在反比例函数的图象上． ． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（5题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（9题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $