第14讲 用一元一次方程解决问题16大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第14讲 用一元一次方程解决问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 配套问题 题型2 工程问题 题型3 销售盈亏 题型4 比赛积分 题型5 方案选择 题型6 数字问题 题型7 几何问题 题型8 动点问题 题型9 和差倍分问题 题型10 电费和水费问题 题型11 行程问题 题型12 比例分配 题型13 日历问题 题型14 古代问题 题型15 其他问题 题型16 一元一次方程的新定义应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 配套问题 销售盈亏 方案选择 几何问题 水电费问题 其他问题 1.掌握销售、计费、几何、方案选择等常见应用题的基本数量关系。 2.学会审题设元，找准等量关系，能规范列一元一次方程解题。 3.掌握建模解题步骤，学会分类讨论、分段分析等解题方法。 4.提升文字转数学语言能力，培养方程思想与数形结合思维。 5.能用方程解决生活实际问题，增强数学应用意识与推理能力。 学习重点：找准实际问题中的等量关系，熟练列写并求解一元一次方程应用题。 学习难点：复杂分段、方案类问题的等量梳理，准确分类讨论并检验结果合理性。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次方程解决问题 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 即时即练 1．用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，解决问题： (1)第个图形中黑色棋子的个数是 个； (2)某个图形中黑色棋子的个数有可能是吗？ 2．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共100个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费4080元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个？ (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为元/个、元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的九折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个？ 3．学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案：甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元；乙商店促销方案：买四送一． (1)若每根跳绳30元，小明在甲商店购买了2根，则需付款________元； (2)小明发现若购买20根这种跳绳，按照甲、乙各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 4．为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 5．在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 6．2026年是丙午马年，临近学期结束，学校决定购买马年吉祥物用于奖励品学兼优的学生．已知某文创店出售的每个玩偶比挂件贵40元． (1)若学校购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元，请你运用一元一次方程的知识，算一算每个挂件和玩偶分别多少钱？ (2)临近春节，文创店推出了优惠活动，有两种优惠方式可供顾客选择，甲方式：玩偶和挂件均打八折出售：乙方式：保持原价不变，但是购买1个玩偶可以赠送1个挂件，学校计划购买玩偶10个，挂件x个（）．经过学校测算，两种方式所付的总费用相同，求学校计划购买挂件多少个？ (3)若学校打算购买10个玩偶和30个挂件，选哪种方式更合算？请你通过计算说明理由． 题型1 配套问题 1．如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4个侧面；方法剪6个底面．现有80张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时张用方法，其余用方法． (1)请用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：方法、方法各裁剪几张？ 2．某工厂需要生产一批太空漫步器，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)每套太空漫步器的成本为200元，若要保证原售价打8折时利润率恰好为，每套原售价应为多少元？ 3．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用含的代数式分别表示裁剪出的侧面个数为_____，底面的个数为_____．（要求写出化简后的结果） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 4．八年级二班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手组装飞机模型，每名学生一节课能组装机身个或机翼个． (1)八年级二班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责组装机身，男生负责组装机翼，每个机身匹配个机翼，那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套，最后决定让名男生去支援女生，使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套，求派去支援女生的男生人数等于多少？ 题型2 工程问题 5．2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 6．一项工程，若由甲队单独做需要天完成，若由乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队先一起施工天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 7．现有甲、乙两个工厂生产一批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用天完成．已知甲工厂每天生产件，乙工厂每天生产件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则要多少天完成？ 8．某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 题型3 销售盈亏 9．已知甲商品进价为40元/件，利润率为；乙商品进价为50元/件，利润率为． (1)若同时采购甲、乙两种商品共50件，总进价为2300元，求采购甲商品的件数； (2)元旦期间，针对甲、乙两种商品进行如下优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 无 超过500元，但不超过800元 其中500元部分不打折，超过500元部分打9折 超过800元 其中800元部分打8.8折，超过800元部分打8折 小明一次性购买甲商品5件，乙商品若干件，实际付款752元，求小明购买乙商品的件数． 10．惠山区“社区便民市集”筹备期间，某厂家计划采购甲、乙两种日用品．已知甲日用品的每件进价比乙日用品的每件进价少20元．若采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种日用品的每件进价分别是多少元？ (2)该采购商从批发商处采购了甲种日用品3万件、乙种日用品2万件．在市集售卖时，甲种日用品的每件售价为100元，要使得这5万件日用品所获利润率为，求每件乙种日用品的售价是多少元？ 11．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价80元，售价100元；乙种商品每件的售价为60元，利润率为50%（）． (1)每件甲种商品的利润率为_________，乙种商品每件的进价为_________元． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价恰好为3600元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 不超过900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中不超过1200元的部分打八折优惠，超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小宇一次性购买商品实际付款981元，求小宇所购商品优惠前的总金额为多少元？ 12．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求的值． 【易错警示】 解决销售盈亏问题，需分清进价、售价、利润、利润率概念，切勿混淆公式。牢记利润、利润率的对应关系式，避免乱用数据。审题区分标价与售价，区分打折、让利条件，找准等量关系列方程，防止列式错误、计算偏差。 题型4 比赛积分 13．七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 10 10 40 用方程解决下列问题： (1)同学得了70分，他答对了多少道题? (2)同学说他得了80分，你认为可能吗?说明理由． 14．某联赛部分队伍积分如下（每队已经完成18场比赛）； 队名 比赛场次 胜场数 负场数 总积分 18 18 0 54 18 9 9 36 18 7 11 32 18 12 6 42 备注：积分胜场积分负场积分 根据表格提供的信息解答下列问题： (1)求胜一场积 分，负一场积 分； (2)某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分可能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 15．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 16．下表是某次篮球联赛部分球队的积分表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 16 10 6 36 光明 16 9 7 34 远大 16 12 4 40 卫星 16 6 10 28 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)直接写出胜一场的积分和负一场的积分； (2)某队说他们的总积分为45分，你认为可能吗？为什么？ (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，胜一场奖励每个球员5000元，负一场奖励．每个球员1000元，请问这支球队的每个球员所获奖金可能是多少元？ 题型5 方案选择 17．电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． (1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 18．平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)求甲种商品每件的进价；（利润率） (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予7.5折优惠 按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 19．根据下表中的素材，探索并完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 文具店销售某种书包文具袋，已知书包每个定价150元，文具袋每个定价20元． 素材2 学校要到该文具店购买这种书包10个和文具袋个（，为整数）． 素材3 文具店开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案， 方案一：买一个书包送一个文具袋； 方案二：书包和文具袋都按定价的90%付款． 问题解决 任务1 探究购买方案 （1）若该学校按方案一购买，需付款_____元；若该学校按方案二购买，需付款_____元（用含的式子表示）； （2）当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二花费相同； 任务2 优化购买方案 （3）请你为学校提出最合理化的购买方案？直接写方案，并写出此时所花费用（用含的式子表示）． 20．学校准备在教室靠走廊一侧做一排开放式储物柜（没有门和背板），柜中每个格子内部空间满足： 长度35cm，高度25cm，深度40cm． 某工厂现有一些厚度为2cm的板材，其类型、规格和价格如表 板材类型 规格：长×宽 价格（元/块） 竖板 60 隔板 15 A型顶板 30 B型顶板 85 C型顶板 130 (1)林老师从该厂购买了1块A型顶板，2块竖板，3块隔板，用这6块板材组装了一个三层一列的储物柜（如图），请计算该储物柜的高度 (2)学校采购该厂现有的板材，不切割直接进行组装，再将其并排放在一起供师生使用．为不影响视野，储物柜高度不超过1米；为确保结构稳定，每个储物柜的顶板、竖板和隔板之间无缝隙不错位，其两侧有竖板且每列底部都有隔板． ①用一块B型顶板以及若干块竖板和隔板可以组装出一个三层几列的储物柜？购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要多少费用？ ②已知七年1班有51名学生，每名学生都要有独立格子可用，请你设计一个最优的购买方案，并求该方案所需费用． 【易错警示】 解决销售盈亏问题，需分清进价、售价、利润、利润率概念，切勿混淆公式。牢记利润、利润率的对应关系式，避免乱用数据。审题区分标价与售价，区分打折、让利条件，找准等量关系列方程，防止列式错误、计算偏差。 题型6 数字问题 21．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 22．观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 23．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）．    【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3倍． 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍． 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n表示，其中“中心数”为e，将“幻方和”用字母s表示． 由题意可知：； 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的3倍． 【解决问题】 利用上述结论解决问题： (1)如图3，已知，，幻方的“中心数”，则n的值为 ； (2)如图4，A、B、C、D、E、F是含有字母t的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式F和整式A（用含t的式子表示）； ②若幻方的“中心数”，，且a、m均为常数，求a、m的值． 24．阅读材料：在学习了课本页“探究”内容后，小亮知道了若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被整除．（无需证明） 小亮接着研究，又发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： (1)请证明小亮新的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于297，请直接写出_____． 题型7 几何问题 25．如图1，徐州博物馆藏品《清李蟠纸本行草七绝条幅》长，宽．小明在文创商店购买了相同尺寸的书法作品，准备装裱成图2的样式，并设定天头长、地头长和边宽之比为（上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处称为边），设左、右的边宽均为a cm． (1)装裱后，长为______，宽为______；（用含a的代数式表示） (2)装裱后，若长为宽的3倍，求天头长． 26．如图，在同一水平地面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为平方米，高为米；容器乙的底面积为平方米，高为米．已知原本容器甲中盛满了水，而容器乙中的水位高度为米．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水立方米．设注水时间为分钟． (1)注水分钟后，甲容器中水位的高度表示为______，乙容器中水位的高度表示为______；（用含的代数式表示） (2)经过多长时间，甲、乙两个容器中水位的高度相差米？ 27．张师傅想用篱笆围一个长方形鸡舍，为了节省篱笆，一边利用房屋外的一面墙（墙的长度为12米），其它三边用篱笆，且中间用篱笆隔开，并在如图位置开两扇各1米宽的门（门不用篱笆），若鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米． (1)求所用篱笆的总长度是多少米？（用含的代数式表示，且结果要化简）； (2)若篱笆的总长度是18米时，求的值； (3)能否取下列数：①，②，③，若能，求出符合条件的鸡舍面积；若不能，请说明理由． 28．已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【易错警示】 一元一次方程几何问题，要熟练掌握周长、面积等几何公式，准确梳理图形边角等量关系。审题谨防漏看折叠、拼接、重叠条件，画图辅助分析。设未知数合理列式，避免公式混用、关系找错，做完结合图形检验合理性。 题型8 动点问题 29．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，且与的和是单项式． (1)求出a，b的值； (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ②经过多长时间，求运动时间t？ 30．在梯形中，，动点P从点A出发，以的速度沿运动，点P到达C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 31．【定义新知】在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即． (1)在数轴上，点分别表示数、2、，解答下列问题： ①___________； ②若，则的值为___________； (2)在数轴上，点分别表示数．为数轴上三个动点，点从点出发，速度为每秒4个单位；点从点出发，速度为每秒1个单位；点从原点出发，速度为每秒2个单位．点同时向右运动，若，求动点运动的时间． 32．如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 题型9 和差倍分问题 33．两支高度相同，但粗细不同的蜡烛，同时点燃后，粗蜡烛每小时缩短，细蜡烛每小时缩短，小时后，粗蜡烛的高度是细蜡烛的倍． (1)求出两支蜡烛原来的高度； (2)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了多少小时？ 34．在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 35．在国家“双减”政策出台后，同学们的课余活动更加丰富了，为迎接元旦活动，七（1）班美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，如果每人剪10个，则剩余6张彩纸未剪；如果每人剪12个，则缺6张彩纸，这个小组的学生共有多少人？一共剪多少张彩纸？ 36．果园里桃树的棵数相当于梨树棵数的，相当于苹果树棵数的，如果梨树比苹果树少棵，这个果园里桃树、梨树、苹果树各多少棵？ 题型10 电费和水费问题 37．为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 38．苏州市区居民用管道燃气收费标准如下： 用户类型 档次 气价（元/） 备注 居民用户 第一阶梯年用气量为（含） 3．02 以居民户籍人口4人（含4人）为计价单位，以年度为计量周期； 对居民户籍人口超过4人的，每增加1人，在户籍人口4人（含4人）用量的基础上，每档相应增加年用气量． 第二阶梯年用气量为（含） 3．62 第三阶梯年用气量为以上 4．53 (1)已知甲、乙两个家庭2025年度的年用气量均为． ①甲家庭户籍人口为3人，应付燃气费__________元； ②乙家庭户籍人口为5人，应付燃气费__________元； (2)某家庭户籍人口为4人，2025年度共缴纳燃气费1932元，该家庭的年用气量是多少？ 39．某市为鼓励市民节约用水实行阶梯水价制，2024年主城区居民生活用水阶梯价格收费标准如下（注每月还要收居民污水处理费：1元/．）： 类别 每户每月用水量（单位：） 阶梯水价（单位：元/） 第一阶梯 不超过15立方米的部分 5 第二阶梯 超过15立方米的部分 9 (1)若某居民户7月份用水量为，请用含x的代数式表示该居民户7月份应交水费多少元； (2)小云家7月份的水费为120元，她告诉小南她们家这个月的用水量为，小南通过计算发现小云的说法有误，试说明小南这样判断的理由，并计算小云家7月份的实际用水量． 40．某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【易错警示】 一元一次方程水电计费问题，多为分段计费题型，务必找准分段节点与对应单价。严禁全程套用单一单价，分清基础用量和超额用量。准确梳理各段费用，累加得出总费用，依据等量关系列方程，避免分段混淆、漏算超额费用。 题型11 行程问题 41．为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 42．以下是两张不同类型火车（“D××次”表示动车，“G××次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）； (2)已知动车和高铁的平均速度分别为、，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离； 43．某物流公司的甲、乙两辆货车分别从相距600千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶3小时时甲车先到达配货站C地，此时两车相距60千米，甲车在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地；乙车行驶4小时时也到C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是 千米/小时，B、C两地的距离是 千米； (2)求甲车的速度及甲车从C地到达B地所用的时间； (3)乙车出发多长时间，两车相距240千米？ 44．云龙湖是国家级旅游景区，也是市民休闲运动的场所．已知，两地在湖畔同一直道上相距，甲、乙两人从地出发匀速跑向地，甲比乙提前出发，两人同时抵达地，乙的速度为． (1)甲的速度为______； (2)乙出发多久时，两人相距？ (3)当甲、乙两人的距离不超过时，他们可通过某种无线通讯设备进行联系，在甲的运动过程中，两人通过该设备联系的总时长为_____． 题型12 比例分配 45．为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 46．某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，若从甲组抽调部分学生去乙组，使乙组人数为甲组人数的2倍，需抽调多少名学生？ 47．下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 48．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 题型13 日历问题 49．如图，表中给出的是某月的月历，选取“凹”形框中的五个数（如阴影部分所示）．若将“凹”形框上下左右移动，按同样的方式框住另外的五个数． (1)若“凹”形框框住的上行的两个数之和比下行的三个数之和小，求“凹”形框框住的五个数； (2)“凹”形框框住的五个数的和能否为？若能，求出其中的最小数；若不能，说明理由． 50．如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 51．下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 52．如图为2025年1月的日历，其中有一个“H”形框，希望我们在新的一年“Happy”（开心学习，热爱生活）．“H”形框内包含7个数． 2025年1月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将“H”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为a，用含a的式子表示“H”形框内的7个数字的和为_____； (2)将“H”形框上下左右平移，设“H”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“H”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为m，n，且，直接写出的最大值． 题型14 古代问题 53．中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题是“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数．根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简整数比是（     ） A． B． C． D． 54．在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有这样一个问题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”文中的“倍加增”指下一层灯的盏数是上一层的2倍，那么顶层灯的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 55．《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为尺，则可列方程为___________． 56．一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 题型15 其他问题 57．将含字母（）的代数式的值记为，根据与的关系，可将含字母的代数式分为以下三类： 的A类式：对于的每一个取值，都有； 的B类式：对于的每一个取值，都有； 的C类式：既存在的值，使得，也存在的值，使得． (1)下列代数式：①，②，③，④，其中的A类式有：___________，的B类式有：___________，的C类式有：___________；（在横线上填写对应序号） (2)若代数式与的和是的A类式，求和的值． 58．【综合实践】 我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻和”，最中间的数称为“中心数”．数学综合实践课上，王老师带领同学们小组合作探究三阶幻方的相关性质．为方便研究，设幻和为，幻方中的9个数分别用如图3所示的、、、、、、、、表示． 【初步探究】 （1）________（填“、或”），并说明理由； （2）以下是小组合作成员小王和小颖的部分对话内容： 小王：我发现是中心数的3倍，但怎么说理呢？ 小颖：三阶幻方中要抓住“每行、每列、每条对角线上数字之和都相等”来找等量关系． 小王：但等量关系太多了，用哪些呢？ 小颖：抓住与要探究的数有关的等量关系，本题主要探究与的关系，我们可以把与有关的等量关系找出来： ①    ② ③    ④ 再把以上四个等式相加… 请根据他们的对话内容帮小王完成说理：是的3倍； 【深入探究】、、的数量关系为________； 【应用】在图4所示的三阶幻方中，________；在图5所示的三阶幻方中，________． 59．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 60．某快递公司利用无人机提供同城快送服务，配送费用＝基础配送费＋路程附加费＋重量附加费，已知基础配送费为12元，其他收费标准如下表： 路程附加费 重量附加费 不超过的部分 超过的部分 不超过的部分 超过且不超过的部分 超过且不超过的部分 4元 5元 6元 2元 5元 例如：配送路程为，物品重量为时，配送费用元． (1)当配送路程为，物品重量为时，配送费用为__________元； (2)小亮的妈妈通过这家同城快递寄了一件重量不超过的物品，路程，共支付配送费32元．这件物品的重量是多少千克？ 题型16 一元一次方程的新定义应用 61．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 62．定义：关于的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“轮换式”．例如，式子与互为“轮换式”． (1)判断式子与______（填“是”或“不是”）互为“轮换式”； (2)已知式子的“轮换式”是且数、在数轴上所对应的点为A、． ①数轴上有一点到A，两点的距离的和，求点在数轴上所对应的数． ②若A点，点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是点速度的2倍，且3秒后，，求点A的速度． ③数轴上存在唯一的点，使得点到A、两点的距离的差，求的取值范围．（直接写出结果） 63．定义：对于形如的多项式（、、为常数，其中），若取两个不相等的数值、时，该多项式的值相等，则称数值和为多项式的一组“等值元”，记作．例如多项式，当取0和4时，多项式的值均为5，则称0和4为多项式的一组“等值元”，记作． (1)下列各组数值中，是多项式的“等值元”的有_________________（填写序号） ①和；②0和；③和． (2)若是的一组“等值元”，求的值； (3)若和是多项式的两组“等值元”，求的值． 64．对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”． (1)点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”； (2)在（1）的条件下，点表示的数是，且三点是“均衡点”，求则的值； (3)点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，线段（为正整数），线段，若三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，直接写出所求的值． 1．2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 2．某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种棵则余棵；若每人种棵则差棵．设该社团有名学生，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十一日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．如果一个两位数的十位数字和个位数字之和是6，且个位上的数不为0，则这样的两位数有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．110 B．88 C．107 D．40 6．明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 7．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分2本，则剩余10本；如果每人分3本，则还缺15本，则这个班有学生______人． 8．一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是，则它原来的宽为______． 9．金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得15分，那么该足球队共胜了________场． 10．数轴上有两点A、B，分别对应的数是5，，有一动点C在此数轴上运动，且使，则C点对应的数是_____． 11．把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为___________． 12．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方．将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图是一个未完成的广义三阶幻方，根据已知的3个数，可得___________． 13．如图，苏科版数学教材102页的一个密码盘，这个密码盘在数字和字母之间可建立一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文．小明为了使用该密码盘，准备采用二次加密，原密文记为“密文”，再次加密的密文记为“密文”，如图所示进行二次加密，若密文中的“”对应的明文与密文中的“”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文为___________． 14．如图是2025年1月的月历，其中“”型，“”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的值是__________． 15．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 16．幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则________． 17．已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 18．阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当______时，． 19．乒乓球比赛分单打和双打，单打是1对1，即2人一张球桌对垒，双打是2对2，即4人一张球桌对垒．现有40名同学在13张球桌上对垒．那么进行单打比赛的有几桌？进行双打比赛的有几桌？ 20．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 21．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 22．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共80个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费3264元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个； (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为48元/个、52元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的八五折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个． 23．某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 24．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 每户每月用水量 单位（元/吨） 不超过15吨 3.7 超过15吨的部分 5.1 另：每吨用水加收污水处理费、水资源费共1.9元 (1)某用户1月份用水10吨，1月份应交水费 元； (2)某用户7月份共交水费119元，该用户7月份用水多少吨？（列方程解决） 25．“陶舍重重倚岸开，舟帆日日蔽江来．”这样空前绝后的盛景造就了举世无双的“千年瓷都”景德镇，小华在景德镇旅游数日，离开时在陶溪川购买了如图所示的青花瓷碗、玲珑茶杯、粉彩花瓶共件作为纪念品，其中玲珑茶杯比青花瓷碗数量的2倍少5件，各种瓷器的单价如表所示： 青花瓷碗 玲珑茶杯 粉彩花瓶 单价/元 数量/件 x ______   　 ______    　 (1)请用含x的代数式把表格补全； (2)当时，求购买件瓷器所需的总费用； (3)当购买件瓷器的总费用为时，求购买青花瓷碗的件数是多少． 26．如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 27．数轴上两点、之间的距离记作．已知、对应的数分别为、，并且、满足． (1)______；______；______； (2)若甲、乙分别从、两点开始同时在数轴上运动，相向而行，甲的速度是2个单位/秒，乙的速度比甲快3个单位/秒，求甲乙相遇点所对应的数； (3)若点对应的数是，在数轴上点的左侧是否存在一点，使，若存在，求点所对应的数；若不存在，请说明理由． 28．阅读理解：若A、B、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离 2倍，我们就称点C 是的好点．例如，如图 1，点A 表示的数为，点B 表示的数为 2．表示 1 的点C 到点A 的距离是 2，到点B 的距离是 1，那么点 C 是的好点； 又如，表示 0 的点D 到点A 的距离是 1，到点B 的距离是 2，那么点 D 就不是的好点． 知识运用： (1)如图1，点D是 的好点； (2)如图 2，M、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为，点N 所表示的数为 4．则数 所表示的点是的好点； (3)已知A、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为，点 B 所表示的数为 40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以 2 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A 停止．当 t 为何值时， P、A 和B 中恰有一个点为其余两点的好点？ 29．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图1，，是线段的“好点”，且，则 ． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是 个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求t的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点，，三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 30．为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 用一元一次方程解决问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 配套问题 题型2 工程问题 题型3 销售盈亏 题型4 比赛积分 题型5 方案选择 题型6 数字问题 题型7 几何问题 题型8 动点问题 题型9 和差倍分问题 题型10 电费和水费问题 题型11 行程问题 题型12 比例分配 题型13 日历问题 题型14 古代问题 题型15 其他问题 题型16 一元一次方程的新定义应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 配套问题 销售盈亏 方案选择 几何问题 水电费问题 其他问题 1.掌握销售、计费、几何、方案选择等常见应用题的基本数量关系。 2.学会审题设元，找准等量关系，能规范列一元一次方程解题。 3.掌握建模解题步骤，学会分类讨论、分段分析等解题方法。 4.提升文字转数学语言能力，培养方程思想与数形结合思维。 5.能用方程解决生活实际问题，增强数学应用意识与推理能力。 学习重点：找准实际问题中的等量关系，熟练列写并求解一元一次方程应用题。 学习难点：复杂分段、方案类问题的等量梳理，准确分类讨论并检验结果合理性。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次方程解决问题 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6.答：写出答案，包括单位. 常见列方程解决问题的几种类型 1.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） （2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) （3）实际售价＝标价×打折率 （4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 即时即练 1．用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，解决问题： (1)第个图形中黑色棋子的个数是 个； (2)某个图形中黑色棋子的个数有可能是吗？ 【答案】(1) (2)不可能 【分析】本题考查的知识点是列代数式、图形规律探索、一元一次方程的应用，解题关键是探索出正确的规律． （1）由前数个实例，可推出第个图形，黑色棋子有个，将代入即可得解； （2）设第个图形中有黑色棋子个，建立一元一次方程求解即可判断． 【详解】（1）解：第个图形，黑色棋子有个， 第个图形，黑色棋子有个， 第个图形，黑色棋子有个， 第个图形，黑色棋子有个， …… 第个图形，黑色棋子有个， 第个图形中黑色棋子的个数是个． 故答案为：． （2）解：设第个图形中有黑色棋子个， 根据题意得， 解得，不是整数，不符合题意， 故图形中黑色棋子的个数不可能是． 2．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共100个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费4080元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个？ (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为元/个、元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的九折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个 (2)“乐融融”玩偶打折前卖出30个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， （1）设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个，根据题意列出方程，求出解即可； （2）设“乐融融”玩偶打折前卖出个 ，根据题意列出方程求出解即可． 【详解】（1）解：设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个， 根据题意，得       解得：， 则， 答：购进“喜洋洋”个，则购进“乐融融”个； （2）解：设“乐融融”玩偶打折前卖出个 ， 根据题意，得， 解得，     答：“乐融融”玩偶打折前卖出30个． 3．学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案：甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元；乙商店促销方案：买四送一． (1)若每根跳绳30元，小明在甲商店购买了2根，则需付款________元； (2)小明发现若购买20根这种跳绳，按照甲、乙各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 【答案】(1)39 (2)每根跳绳的标价为20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据“每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元”，即可求解； （2）每根跳绳的标价为x元．根据题意，列出方程．解方程即可． 【详解】（1）解：元， 即需付款39元； （2）解：设每根跳绳的标价为x元，根据题意得： ， 解得：． 答：每根跳绳的标价为20元． 4．为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 5．在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 【答案】(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人，根据班级总人数为45人列出方程求解即可； （2）设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底，根据1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． 6．2026年是丙午马年，临近学期结束，学校决定购买马年吉祥物用于奖励品学兼优的学生．已知某文创店出售的每个玩偶比挂件贵40元． (1)若学校购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元，请你运用一元一次方程的知识，算一算每个挂件和玩偶分别多少钱？ (2)临近春节，文创店推出了优惠活动，有两种优惠方式可供顾客选择，甲方式：玩偶和挂件均打八折出售：乙方式：保持原价不变，但是购买1个玩偶可以赠送1个挂件，学校计划购买玩偶10个，挂件x个（）．经过学校测算，两种方式所付的总费用相同，求学校计划购买挂件多少个？ (3)若学校打算购买10个玩偶和30个挂件，选哪种方式更合算？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)挂件20元，玩偶60元 (2)20个 (3)选甲方式更合算；理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）设每个挂件x元，玩偶元，根据“购买4个挂件和6个玩偶一共花费440元”列方程求解； （2）根据“两种方式所付的总费用相同”，列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案所需的钱数，再比较求解． 【详解】（1）解：设每个挂件x元，玩偶元． 依题意列方程：； 去括号：； 合并：； 解得， 玩偶：（元）； 答：挂件20元，玩偶60元； （2）解：甲方式费用：， 乙方式费用：， 两方式费用相等：， 移项：， 解得， 答：学校计划购买挂件20个； （3）解：比较10个玩偶个挂件的两种费用， 甲方式：（元）； 乙方式：（元）； ∵， ∴选甲方式更合算． 题型1 配套问题 1．如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：方法剪4个侧面；方法剪6个底面．现有80张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时张用方法，其余用方法． (1)请用含的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数，侧面：______，底面：_____． (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问：方法、方法各裁剪几张？ 【答案】(1)； (2)用方法裁剪张，用方法裁剪张 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意可以分别用代数式表示出裁剪出的侧面和底面个数； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，裁剪出的侧面个数是，裁剪出的底面个数是. 故答案为：；； （2）解：由题意可得 解得：， 则(张)， 答：用方法裁剪张，用方法裁剪张． 2．某工厂需要生产一批太空漫步器，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成．工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ (2)每套太空漫步器的成本为200元，若要保证原售价打8折时利润率恰好为，每套原售价应为多少元？ 【答案】(1)20人生产支架，25人生产脚踏板恰好配套 (2)每套原售价应为300元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）设x人生产支架，则人生产脚踏板恰好配套，根据题意列方程，求解即可； （2）设每套原售价应为y元，根据利润率为列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设x人生产支架，则人生产脚踏板恰好配套， 由题意得 解得， ∴（人）， 答：20人生产支架，25人生产脚踏板恰好配套； （2）解：设每套原售价应为y元，由题意得 解得， 答：每套原售价应为300元． 3．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用含的代数式分别表示裁剪出的侧面个数为_____，底面的个数为_____．（要求写出化简后的结果） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1) (2)60个 【分析】本题考查了用一元一次方程解决实际问题，列代数式，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键． （1）由张用方法，就有张用方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）根据裁剪出的侧面和底面恰好全部用完得出方程，解方程求出的值，求出侧面的总数就可以求出结论． 【详解】（1）解：侧面个数：个； 底面个数：个； 故答案为：． （2）解：由题意，得． 解得：． （个）． 答：若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子． 4．八年级二班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手组装飞机模型，每名学生一节课能组装机身个或机翼个． (1)八年级二班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责组装机身，男生负责组装机翼，每个机身匹配个机翼，那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套，最后决定让名男生去支援女生，使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套，求派去支援女生的男生人数等于多少？ 【答案】(1)男生人，女生人 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． (1)设八年级二班有女生人，则有男生人，根据八年级二班共有学生人，列方程求解； (2)根据每个机身匹配个机翼，列方程求解． 【详解】（1）解：设八年级二班有女生人，则有男生人， 根据题意得：， 解方程得：， ， 答：八年级二班有男生人，女生人； （2）解：根据题意得：组装机翼的有人，组装机身的有人， 列方程得：， 解方程得：． 答：派去支援女生的男生人数为人． 题型2 工程问题 5．2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【答案】10000枚 【分析】设这批纪念章一共有枚，原计划每天制作400枚，原计划完成时间为天，实际每天比原计划多做100枚，实际每天制作枚，实际完成时间为天，根据实际比原计划提前5天完成，列方程求解即可； 【详解】解：设这批纪念章一共有枚， 根据题意可得， 解得：， 答：这批纪念章一共有枚． 6．一项工程，若由甲队单独做需要天完成，若由乙队单独做需要天完成． (1)若甲乙两队先一起施工天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要天能够完成任务 (2)甲队得报酬万元，乙队得报酬万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，核心是利用“工作总量工作效率工作时间”的数量关系解题 ． （1）设乙队还需要天能够完成任务，根据甲乙合作天的工作量与乙单独完成的工作量之和等于总工作量列方程求解即可； （2）先分别计算甲乙两队完成的工作量占总工作量的比例，再按比例分配总报酬得出两队各自的报酬即可解答． 【详解】（1）解： 设乙队还需要天能够完成任务， 甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 根据题意，列出方程 ， 解得， 答：乙队还需要天能够完成任务； （2）甲队的工作量为 ，甲队的报酬为 （万元）， 乙队的工作量为 ，乙队的报酬为 （万元）， 答：甲队得报酬万元，乙队得报酬万元． 7．现有甲、乙两个工厂生产一批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用天完成．已知甲工厂每天生产件，乙工厂每天生产件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则要多少天完成？ 【答案】(1) 件 (2) 天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出方程和算式是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天，根据甲、乙生产的纪念品总数相等列方程求解总件数； （2）根据合作生产的工作时间工作总量甲乙工作效率之和计算完成时间． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天， 根据题意得：， 解得， 这批纪念品的总数为（件）． 答：这批纪念品共有件． （2）解：甲、乙两工厂同时生产时，每天共生产（件）， 所需天数为（天）． 答：甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要天完成． 8．某市为建设市民河堤漫步休闲通道，现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天完成． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出方程如下： 甲：； 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲： x表示 ； 乙： x表示 ． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)A工程队用的天数；A工程队整治的米数 (2)A工程队整治60米，B工程队整治120米；过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据所列方程可得甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数； （2）求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲：，x表示A工程队用的天数； 乙：，x表示A工程队整治的米数． （2）解：选择甲同学的解答过程为：， 解得， 所以A工程队整治的米数为：米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 选择乙同学的解答过程为：， 解得， 由题意可知A工程队整治的米数为60米，B工程队整治的米数为：米， 答：A工程队整治的米数60米，B工程队整治的米数120米． 题型3 销售盈亏 9．已知甲商品进价为40元/件，利润率为；乙商品进价为50元/件，利润率为． (1)若同时采购甲、乙两种商品共50件，总进价为2300元，求采购甲商品的件数； (2)元旦期间，针对甲、乙两种商品进行如下优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 无 超过500元，但不超过800元 其中500元部分不打折，超过500元部分打9折 超过800元 其中800元部分打8.8折，超过800元部分打8折 小明一次性购买甲商品5件，乙商品若干件，实际付款752元，求小明购买乙商品的件数． 【答案】(1)采购甲商品20件 (2)小明购买乙商品6件或7件 【分析】（1）设采购甲商品x件，则采购乙商品件，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设小明购买乙商品y件，由优惠活动和小明实际付款金额可得，小明消费超过500元，分两种情况：①当小明消费超过500元但不超过800元时；②当小明消费超过800元时；分别列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设采购甲商品x件，则采购乙商品件， 由题意得：， 解得：． 答：采购甲商品20件； （2）解：设小明购买乙商品y件， 由优惠活动和小明实际付款金额可得，小明消费超过500元， ①当小明消费超过500元但不超过800元时， 由题意得：， 解得：， ②当小明消费超过800元时， 由题意得：， 解得：， 综上所述，小明购买乙商品6件或7件． 10．惠山区“社区便民市集”筹备期间，某厂家计划采购甲、乙两种日用品．已知甲日用品的每件进价比乙日用品的每件进价少20元．若采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种日用品的每件进价分别是多少元？ (2)该采购商从批发商处采购了甲种日用品3万件、乙种日用品2万件．在市集售卖时，甲种日用品的每件售价为100元，要使得这5万件日用品所获利润率为，求每件乙种日用品的售价是多少元？ 【答案】(1)甲种日用品的进价80元，则乙种日用品的进价100元 (2)每件乙种日用品的售价是114元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设甲种日用品的进价x元，则乙种日用品的进价元，根据采购甲种日用品5件，乙种日用品3件，共需要700元，列出方程进行求解即可； （2）设乙种日用品的售价为a元，根据总利润等于两种日用品的利润之和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种日用品的进价x元，则乙种日用品的进价元， 根据题意，得． 解得． 则． 答：甲种日用品的进价80元，则乙种日用品的进价100元； （2）解：设乙种日用品的售价为a元， 根据题意，得． 解得． 答：每件乙种日用品的售价是114元． 11．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价80元，售价100元；乙种商品每件的售价为60元，利润率为50%（）． (1)每件甲种商品的利润率为_________，乙种商品每件的进价为_________元． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，总进价恰好为3600元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 不超过900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中不超过1200元的部分打八折优惠，超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小宇一次性购买商品实际付款981元，求小宇所购商品优惠前的总金额为多少元？ 【答案】(1)，40 (2)30件 (3)1090或1230元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用； （1）根据利润率的计算方法列式求解即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据恰好总进价为3600元列方程求解即可； （3）设小宇所购商品优惠前的总金额为y元，分两种情况：①原购物总金额超过元，但不超过元时，②原购物总金额超过元时，分别根据实际付款981元列方程求解即可． 【详解】（1）解：每件甲种商品利润率为，每件乙种商品进价为（元）， 故答案为：；； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， 答：购进甲种商品30件； （3）解：设小宇所购商品优惠前的总金额为y元． ①当优惠前一次性购物总金额超过900元，但不超过1200元时， 根据题意得：， 解得：， ②当优惠前一次性购物总金额超过1200元时， 根据题意得：， 解得：． 答：小宇所购商品优惠前的总金额为1090或1230元． 12．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求的值． 【答案】(1)“滨滨”400个，“妮妮”600个 (2)200 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键在于理解分段销售模式下的利润计算，准确列出利润表达式，并正确解方程；第二问中注意区分不同销售阶段的售价与成本，确保利润计算准确． （1）根据总数量和总金额建立方程求解两种商品的进货数量； （2）根据利润总额列出方程求解销售数量m的值，第二问中，“各卖出m个”后剩余部分打折销售，分别计算不同售价下的利润，根据总和为6000元，建立方程求解m的值． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个． 则， 解得：． ． 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． （2）解：由题意得， 解得：． 答：的值为200． 【易错警示】 解决销售盈亏问题，需分清进价、售价、利润、利润率概念，切勿混淆公式。牢记利润、利润率的对应关系式，避免乱用数据。审题区分标价与售价，区分打折、让利条件，找准等量关系列方程，防止列式错误、计算偏差。 题型4 比赛积分 13．七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 10 10 40 用方程解决下列问题： (1)同学得了70分，他答对了多少道题? (2)同学说他得了80分，你认为可能吗?说明理由． 【答案】(1)他答对了15道题 (2)同学说他得了80分是不可能的，理由见解析 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解题的关键是正确得到等量关系； （1）首先求出答对一题得5分，答错一题扣1分，设同学答对了道题，答错了道题，根据题意建立方程求出其解即可； （2）同学说他得了80分是不可能的，设答对了道题，答错了道题，根据题意建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由题可知，答对1道题得5分，答错1道题扣1分 设同学答对了道题，则他答错了道题， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：他答对了道题； （2）解：同学说他得了80分是不可能的，理由： 设同学答对了道题，则他答错了道题， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵应为正整数， ∴同学说他得了80分是不可能的． 14．某联赛部分队伍积分如下（每队已经完成18场比赛）； 队名 比赛场次 胜场数 负场数 总积分 18 18 0 54 18 9 9 36 18 7 11 32 18 12 6 42 备注：积分胜场积分负场积分 根据表格提供的信息解答下列问题： (1)求胜一场积 分，负一场积 分； (2)某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分可能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3，1 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键； （1）利用胜一场的积分队的总积分队的胜场数，可求出胜一场的积分；利用负一场的积分队的总积分队的胜场数）队的负场数，可求出负一场的积分； （2）假设该队的胜场总积分能等于负场总积分，设该队胜场，则负场，根据该队的胜场总积分等于负场总积分，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合需为正整数，可得出不符合题意，进而可得出假设不成立，即该队的胜场总积分不能等于负场总积分． 【详解】（1）解：根据题意得：胜一场积（分）； 负一场积（分）． 故答案为：3，1； （2）解：该队的胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 假设该队的胜场总积分能等于负场总积分，设该队胜场，则负场， 根据题意得：， 解得：， 又需为非负整数， 不符合题意， 假设不成立，即该队的胜场总积分不能等于负场总积分． 15．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设胜一场积分，则负一场积分，根据队的积分建立方程，解方程即可得； （2）设胜场数为场，则负场数为场，根据某队的胜场总积分等于负场总积分建立方程，解方程求出的值，根据为整数即可得出答案． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分， 由题意得：， 解得， 则， 答：胜一场积2分，负一场积1分． （2）解：某队的胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得，不是整数，不符合题意， 所以某队的胜场总积分不能等于负场总积分． 16．下表是某次篮球联赛部分球队的积分表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 16 10 6 36 光明 16 9 7 34 远大 16 12 4 40 卫星 16 6 10 28 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)直接写出胜一场的积分和负一场的积分； (2)某队说他们的总积分为45分，你认为可能吗？为什么？ (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，胜一场奖励每个球员5000元，负一场奖励．每个球员1000元，请问这支球队的每个球员所获奖金可能是多少元？ 【答案】(1)3，1 (2)得分不可能为45分，理由见解析 (3)每个球员奖励的金额可能有32000元或20000元 【分析】本题考查了一元一次方程在比赛问题中的应用 （1）设胜一场积x分，则负一场积分，依照光明队的胜负场次及得分情况可列出一元一次方程，求解即可； （2）设胜场数是x，负场数是，结合（1）中结论，根据胜场总积分等于45分，列一元一次方程求解判断即可； （3）设胜场，负场，负场总积分是胜场总积分的倍，列方程，解出m，即可得答案． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，则负一场积分， 依题意得：， 解得：， 此时，， ∴胜一场积2分，负一场积1分． （2）解：设胜场，则负场， ，解得． 为非负整数， ，不符合题意． 得分不可能为45分． （3）解：设胜场，负场，负场总积分是胜场总积分的倍， 则， ∴， 均为正整数， 当时，， 此时球员的奖金为32000元； 当时，， 此时球员的奖金为20000元． 答：每个球员奖励的金额可能有32000元或20000元． 题型5 方案选择 17．电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择． 套餐1：月租20元，每分钟元； 套餐2：月租40元，每分钟k元． (1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ (3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？ 【答案】(1)无论通话时间多长，套餐1更划算 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． （1）先写出两套餐费用表达式，令费用相等求出x，因x为负无意义，判断套餐1费用始终更低，故选套餐1； （2）列出两套餐费用，令其相等算出分界时间200分钟，按x小于、等于、大于200分钟分别判断选哪种套餐； （3）设费用表达式，令相等求临界x，分三种情况讨论套餐选择． 【详解】（1）解：当时，且通话时间， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， ∴在实际情况中，恒成立， 答：当时，无论通话时间多长，套餐1更划算； （2）解：当时， 套餐1费用：，套餐2费用：， 令：， 解得， 当分钟时，，选套餐1； 当分钟时，，两套餐费用相同； 当分钟时，，选套餐2； （3）解：一般情况（k为任意正数）， 套餐1：，套餐2：， 令，即， 解得， 分三种情况讨论： ①当时，，选套餐1； ②当时，临界时间， 若，选套餐1； 若，两套餐费用相同； 若，选套餐2． 18．平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元． (1)求甲种商品每件的进价；（利润率） (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 小于等于480元 不优惠 超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠 超过680元 按购物总额给予7.5折优惠 按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)甲种商品的进价为70元； (2)该商场购进甲种商品20件，乙种商品30件． (3)小华在该商场购买乙种商品5或6件． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定等量关系是解本题的关键． （1）根据售价减去进价等于利润，再建立方程求解即可； （2）设该商场购进乙种商品件，根据总进价为3800元，再建立方程求解即可； （3）设小华在该商场购买乙种商品件，再分两种情况讨论：①当超过480元，但不超过680元时， ②当超过680元时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品的进价为元，则 ． 解得． 即甲种商品每件进价为 70元； （2）解：设该商场购进乙种商品件，则购进甲种商品件，根据题意可得： ， 解得：，则（件）； 答：该商场购进甲种商品件，乙种商品30件． （3）解：设小华在该商场购买乙种商品件，根据题意，得： ①当超过480元，但不超过680元时，， 解得， 当时，购物总金额为元，满足的条件，符合题意； ②当超过680元时，， 解得， 当时，购物总金额为元，满足的条件，符合题意； 答：小华在该商场购买乙种商品5或6件． 19．根据下表中的素材，探索并完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 文具店销售某种书包文具袋，已知书包每个定价150元，文具袋每个定价20元． 素材2 学校要到该文具店购买这种书包10个和文具袋个（，为整数）． 素材3 文具店开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案， 方案一：买一个书包送一个文具袋； 方案二：书包和文具袋都按定价的90%付款． 问题解决 任务1 探究购买方案 （1）若该学校按方案一购买，需付款_____元；若该学校按方案二购买，需付款_____元（用含的式子表示）； （2）当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二花费相同； 任务2 优化购买方案 （3）请你为学校提出最合理化的购买方案？直接写方案，并写出此时所花费用（用含的式子表示）． 【答案】（1），；（2）当购买文具袋的数量为时,方案一和方案二花费相同；（3）运用方案一购买个书包，再运用方案二购买个文具袋，此时费用是元 【分析】（1）根据题意，用代数式表示方案一和方案二； （2）根据题意，列出等量关系与方程，求解即可； （3）综合分析方案一和方案二即可． 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式是解题关键． 【详解】（1）解：由题可知，方案一：（元）， 该学校按方案一购买，需付款元； 由题可知，方案二：（元）， 该学校按方案二购买，需付款元． （2）解：由（1）可知该学校按方案一购买，需付款元；该学校按方案二购买，需付款元； 则 解得 答：当购买文具袋的数量为25时，方案一和方案二花费相同． （3）解：由题可知，运用方案一，购买10个书包，则（元） 剩下的用方案二购买，则（元） 则总花费为（元） 则学校提出最合理化的购买方案为：运用方案一购买10个书包，再运用方案二购买个文具袋，此时费用为（元）． 20．学校准备在教室靠走廊一侧做一排开放式储物柜（没有门和背板），柜中每个格子内部空间满足： 长度35cm，高度25cm，深度40cm． 某工厂现有一些厚度为2cm的板材，其类型、规格和价格如表 板材类型 规格：长×宽 价格（元/块） 竖板 60 隔板 15 A型顶板 30 B型顶板 85 C型顶板 130 (1)林老师从该厂购买了1块A型顶板，2块竖板，3块隔板，用这6块板材组装了一个三层一列的储物柜（如图），请计算该储物柜的高度 (2)学校采购该厂现有的板材，不切割直接进行组装，再将其并排放在一起供师生使用．为不影响视野，储物柜高度不超过1米；为确保结构稳定，每个储物柜的顶板、竖板和隔板之间无缝隙不错位，其两侧有竖板且每列底部都有隔板． ①用一块B型顶板以及若干块竖板和隔板可以组装出一个三层几列的储物柜？购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要多少费用？ ②已知七年1班有51名学生，每名学生都要有独立格子可用，请你设计一个最优的购买方案，并求该方案所需费用． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了方案设计的问题， 对于（1），根据竖板的高加上顶板的厚度即可； 对于（2）①，根据B型顶板的长度确定竖板和隔板的个数即可得出答案； ②，先分别求出1个A，B，C型顶板组成的储物柜所需费用，再分别求出五个方案的费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：储物柜的高度为； （2）解：①由，可知需要竖版5块，即可组一个三层四列的储物柜；每一列需要3块隔板，共需要隔板，则此储物柜需要12块隔板，1块B型顶板，5块竖板，即（元）， 所以购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要565元； ②1块A顶板需要（元）； 1块B型顶板需要（元）； 1个C型顶板需要21块隔板，1块C型顶板，8块竖板，即（元）． 方案一：全部用A型顶板，（元），共需要3315元； 方案二：4个B型顶板，1个A型顶板，（元），共需要2455元； 方案三：3个C型顶板，（元）； 方案四：由，则2个C型顶板，1个B型顶板，（元）； 方案五：由，则2个C型顶板，3个A型顶板，（元）； 因为2415元费用最低， 所以购买2个C型顶板，1个B型顶板，个竖板，隔板，该方案所需费用为2415元． 【易错警示】 解决销售盈亏问题，需分清进价、售价、利润、利润率概念，切勿混淆公式。牢记利润、利润率的对应关系式，避免乱用数据。审题区分标价与售价，区分打折、让利条件，找准等量关系列方程，防止列式错误、计算偏差。 题型6 数字问题 21．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 22．观察下面三行数： ，4，，16，， ，5，，17，， ，8，，32，． (1)第一行的第7个数为________； (2)取每一行的第个数（为正整数），这三个数的和能否是？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． （1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即可解题； （2）观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍，则设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为，根据题意有，再解方程求出，再由第一行的第n个数是即可求解． 【详解】（1）解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即，，，…， 所以第一行的第n个数是． 所以第一行的第7个数为， 故答案为：； （2）解：能，理由如下： 观察数据可得，同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， 设第一行的第个数为x，则第二行的第个数为，第三行的第个数为， 根据题意有， 解得， ， ， n的值为5． 23．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）．    【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3倍． 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍． 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n表示，其中“中心数”为e，将“幻方和”用字母s表示． 由题意可知：； 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的3倍． 【解决问题】 利用上述结论解决问题： (1)如图3，已知，，幻方的“中心数”，则n的值为 ； (2)如图4，A、B、C、D、E、F是含有字母t的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式F和整式A（用含t的式子表示）； ②若幻方的“中心数”，，且a、m均为常数，求a、m的值． 【答案】(1) (2)①；；②， 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据题意可得，据此可求出，再根据，求出即可； （2）①根据题意，，根据整式的加减计算法则求解即可； ②根据题意得出，，据此表示出，，再根据列出方程，进而得到、、的等式，再根据、均为常数求出、的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：； （2）解：①由题意得：； ； ②由题意得：， ， ， ，即， 化简得：， ∵、均为常数， 且， 解得：，． 24．阅读材料：在学习了课本页“探究”内容后，小亮知道了若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被整除．（无需证明） 小亮接着研究，又发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： (1)请证明小亮新的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于297，请直接写出_____． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，数字问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数，根据题意列出原数与新数之差进行计算． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为：，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， 而a与b的差为， 即原数与所得新数的差等于a与b的差的9倍； （2）设十位上的数字是a， 根据题意可得；原数，新数， 两数之差为：． ， 则． 故答案为：3． 题型7 几何问题 25．如图1，徐州博物馆藏品《清李蟠纸本行草七绝条幅》长，宽．小明在文创商店购买了相同尺寸的书法作品，准备装裱成图2的样式，并设定天头长、地头长和边宽之比为（上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处称为边），设左、右的边宽均为a cm． (1)装裱后，长为______，宽为______；（用含a的代数式表示） (2)装裱后，若长为宽的3倍，求天头长． 【答案】(1)，； (2)天头长为 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，能根据题意用含a的代数式分别表示出各部分的长度是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可，装裱后的长天头长作品的长地头长，装裱后的宽左边宽右边宽作品的宽； （2）根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由天头长、地头长和边宽之比为，左、右的边宽均为， 即天头长为，地头长为， ∵作品的长，宽， ∴装裱后的长为，装裱后的宽为， 故答案为，； （2）解：由题意，得， 解得， ∴． 答：天头长为． 故答案为：． 26．如图，在同一水平地面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为平方米，高为米；容器乙的底面积为平方米，高为米．已知原本容器甲中盛满了水，而容器乙中的水位高度为米．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水立方米．设注水时间为分钟． (1)注水分钟后，甲容器中水位的高度表示为______，乙容器中水位的高度表示为______；（用含的代数式表示） (2)经过多长时间，甲、乙两个容器中水位的高度相差米？ 【答案】(1)， (2)分钟或分钟 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据长方体体积公式，结合注水速度和容器底面积，推导出甲、乙容器水位高度关于时间的代数式； （2）分“甲水位比乙高米”和“乙水位比甲高米”两种情况，建立一元一次方程并求解，得到两种符合条件的时间． 【详解】（1）解：容器甲中盛满了水，底面积为平方米， 容器甲中水位原高度为米， 注水分钟后水位高度为； 容器乙中水位原高度为米，底面积为平方米 注水分钟后乙容器的水位高度为， 当容器乙被注满时，水位上升了米，则此时注入水的体积为， 容器甲中全部水的体积为，， 最大注水时间为分钟， ， 故两个容器水位高度分别为，． 答：，． （2）解：分两种情况讨论， 当甲容器中的水位比乙容器高， 则， 解得； 当乙容器中的水位比甲容器高， ， 解得． 综上，经过分钟或分钟，两个容器水位相差米． 答：分钟或分钟． 27．张师傅想用篱笆围一个长方形鸡舍，为了节省篱笆，一边利用房屋外的一面墙（墙的长度为12米），其它三边用篱笆，且中间用篱笆隔开，并在如图位置开两扇各1米宽的门（门不用篱笆），若鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米． (1)求所用篱笆的总长度是多少米？（用含的代数式表示，且结果要化简）； (2)若篱笆的总长度是18米时，求的值； (3)能否取下列数：①，②，③，若能，求出符合条件的鸡舍面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)鸡舍面积是 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，一元一次方程的应用： （1）根据鸡舍的宽为米，长比宽的还多6米表示出鸡舍的长，然后利用篱笆的总长度鸡舍的宽度+鸡舍的长度小门的宽度即可得到有关a的代数式； （2）根据篱笆的总长度是18米，列出方程，即可求解； （3）把①，②，③分别代入，求出鸡舍的宽和长，再根据面积公式求出鸡舍的面积，把不合题意的解舍去即可． 【详解】（1）解：篱笆总长度是（米） （2）解：由题意得， 解得； （3）解：①当时，鸡舍的宽是，是负数，不合题意； ②当时，鸡舍的面积是：； ③当时，鸡舍的宽是：米，鸡舍的长是米，超过了12米，不合题意． ∴只有时，符合题意，则鸡舍面积是． 28．已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据，可得，根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差关系求解； （2）①用含t的式子表示出和，即可求解；②根据角的和差关系，用含t的式子表示出和，根据列方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：①；理由如下： ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ， ∴，， ∴； ②由①知，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 把代入得：， 解得． 【易错警示】 一元一次方程几何问题，要熟练掌握周长、面积等几何公式，准确梳理图形边角等量关系。审题谨防漏看折叠、拼接、重叠条件，画图辅助分析。设未知数合理列式，避免公式混用、关系找错，做完结合图形检验合理性。 题型8 动点问题 29．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，且与的和是单项式． (1)求出a，b的值； (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ②经过多长时间，求运动时间t？ 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查合并同类项，一元一次方程的实际应用，数轴与有理数： （1）易得与是同类项，进行求解即可； （2）①根据相遇时，两只电子蚂蚁的路程之和为的距离，列出方程进行求解；②根据两点间的距离公式，列出绝对值方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，与是同类项， ∴， ∴，； （2）解：①由（1）可知：； 设运动时间为t秒，由题意，， 解得； 点C对应的数是：； ②当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 由题意，， 解得或． 30．在梯形中，，动点P从点A出发，以的速度沿运动，点P到达C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，秒或秒 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，解答本题的关键是分段讨论，画出每段的图形，根据的面积为3建立方程，注意数形结合思想的运用．分两段考虑，①点P在上（不与点B重合），②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立方程，解出t的值即可． 【详解】解：①当点P在上时（不与点B重合），点P的速度为，，如图①所示： ， 则， ， 解得：； ②当点P在上时，点P的速度为，，如图②所示： ， 则， ， 解得：； 综上可得：当秒或秒时，使得的面积． 31．【定义新知】在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即． (1)在数轴上，点分别表示数、2、，解答下列问题： ①___________； ②若，则的值为___________； (2)在数轴上，点分别表示数．为数轴上三个动点，点从点出发，速度为每秒4个单位；点从点出发，速度为每秒1个单位；点从原点出发，速度为每秒2个单位．点同时向右运动，若，求动点运动的时间． 【答案】(1)①3；②1或 (2)点M运动的时间是秒 【分析】本题考查两点间的距离、绝对值、一元一次方程的应用，掌握数轴上点对应的数的表示方法、两点间的距离、绝对值的几何意义及一元一次方程的解法是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式计算即可； ②根据两点间的距离公式列绝对值方程并求解即可； （2）设它们运动的时间是t，分别将点M、N、P表示的数表示出来，根据两点间的距离公式列绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：①． 故答案为：3． ②∵， ∴或． 故答案为：1或． （2）解：设动点运动的时间是t，则点M表示的数是，点N表示的数是，点P表示的数是， 根据题意，得，即， 由， 得或 解得或 因为，所以 ∴点M运动的时间是秒． 32．如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离： （1）根据长方形得，点表示的数为，则，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）由得，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系即可求解； （3）设经过秒后，，则点C表示的数为，点P表示的数为，，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系求得的值，进而可求解； 熟练掌握两点之间的距离公式及利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：是长方形，长为3，宽为2，点B与表示的点重合， ，，点表示的数为， 点P表示的数为， ， ． （2）是长方形，宽为2， ，， ， ， 即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 综上所述：点所表示的数为或． （3）设经过秒后，， 长方形各个点都向左移动了个单位长度， 则点C表示的数为， 点P向右移动了个单位长度， 则点P表示的数为， ，即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为， 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为，     综上所述：点P表示的数为或． 题型9 和差倍分问题 33．两支高度相同，但粗细不同的蜡烛，同时点燃后，粗蜡烛每小时缩短，细蜡烛每小时缩短，小时后，粗蜡烛的高度是细蜡烛的倍． (1)求出两支蜡烛原来的高度； (2)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了多少小时？ 【答案】(1)两支蜡烛原来的高度为． (2)一共持续了小时 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列出代数式是关键． （1）蜡烛原来的高度为，根据题意可列方程，求解即可； （2）根据两支蜡烛的燃烧速度计算出相差所需的时间，再计算出两支蜡烛剩余的燃烧时间，最后求和即可． 【详解】（1）解：设蜡烛原来的高度为，则2小时后，粗蜡烛的高度为，细蜡烛的高度为， 根据题意，可列方程， 解得． 答：两支蜡烛原来的高度为． （2）解：两支蜡烛每小时相差， ∴相差时，经过的时间为（小时）， 则细蜡烛还可以燃烧（小时），粗蜡烛还可以燃烧（小时）， ①当先熄灭粗蜡烛时， 一共持续（小时）； ②当先熄灭细蜡烛时， 一共持续（小时）． 综上所述，从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了小时． 答：一共持续了小时． 34．在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人，女生26人 (2)不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设七年级2班有女生人，根据七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，列出方程进行求解即可； （2）设从男生中调y人去支援女生，根据一个筒身配两个筒底，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：(个) 女生每小时剪出筒身数为 (个) 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 35．在国家“双减”政策出台后，同学们的课余活动更加丰富了，为迎接元旦活动，七（1）班美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，如果每人剪10个，则剩余6张彩纸未剪；如果每人剪12个，则缺6张彩纸，这个小组的学生共有多少人？一共剪多少张彩纸？ 【答案】这个小组共有6名学生．一共剪66张彩纸 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这个小组有x名学生，根据彩纸数量列方程即可解得答案． 【详解】解：设这个小组有x名学生，则彩纸共有张， 根据题意得：， 解得：， （张）， 答：这个小组共有6名学生，一共剪66张彩纸． 36．果园里桃树的棵数相当于梨树棵数的，相当于苹果树棵数的，如果梨树比苹果树少棵，这个果园里桃树、梨树、苹果树各多少棵？ 【答案】桃树棵，梨树棵，苹果树棵． 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，设果园里桃树的棵数为棵，则梨树的棵数为棵，苹果树的棵数为棵，根据梨树比苹果树少棵，可以列方程：，解方程求出桃树的棵数，再根据梨树、苹果树与桃树之间的关系求出梨树和苹果树的棵数即可． 【详解】解：设果园里桃树的棵数为棵，则梨树的棵数为棵，苹果树的棵数为棵， 根据题意可得：， 解得：， 梨树的棵数是(棵)，苹果树的棵数为(棵)， 答：果园里有桃树棵，梨树棵，苹果树棵． 题型10 电费和水费问题 37．为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 【答案】(1)266元 (2)属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯，用电量为200千瓦·时 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）先求出用电300千瓦·时的平均电费，结合小明家的平均电费确定用电范围，设小明家11月份的用电量为千瓦·时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：（元）， 答：小明家10月份应缴纳的电费为266元； （2）解：当用电300千瓦·时，应缴纳电费为（元）， 此时平均电费为（元）， ∵小明家当月平均电费为0.68元/千瓦·时，且， ∴小明家11月份用电范围属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯； 设小明家11月份的用电量为千瓦·时， 根据题意，得， 解得， 答：小明家11月份的用电量为200千瓦·时． 38．苏州市区居民用管道燃气收费标准如下： 用户类型 档次 气价（元/） 备注 居民用户 第一阶梯年用气量为（含） 3．02 以居民户籍人口4人（含4人）为计价单位，以年度为计量周期； 对居民户籍人口超过4人的，每增加1人，在户籍人口4人（含4人）用量的基础上，每档相应增加年用气量． 第二阶梯年用气量为（含） 3．62 第三阶梯年用气量为以上 4．53 (1)已知甲、乙两个家庭2025年度的年用气量均为． ①甲家庭户籍人口为3人，应付燃气费__________元； ②乙家庭户籍人口为5人，应付燃气费__________元； (2)某家庭户籍人口为4人，2025年度共缴纳燃气费1932元，该家庭的年用气量是多少？ 【答案】(1)； (2)该家庭的年用气量是 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，燃气费问题(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据收费标准列出算式计算即可；先确定调整后的阶梯标准为，再列出算式计算即可； （2）设该家庭的年用气量为 x立方米．由于人口为4人，首先判断 x所在阶梯，再列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵人口数（3人）未超过4人， ∴直接按原始阶梯标准计算， ∵用量中，前属于第一阶梯，后属于第二阶梯， ∴应付燃气费（元）， 故答案为：； 解：∵乙家庭户籍人口为5人超过4人，增加了1人， ∴各阶梯气量上限需增加， 调整后的阶梯标准为： 第一阶梯：， 第二阶梯：， 第三阶梯：以上， 乙家庭用气量，落在调整后的第二阶梯内（）， ∴前按第一阶梯气价计算，超出的按第二阶梯气价计算， ∴应付燃气费（元）， 故答案为：； （2）解：设该家庭的年用气量为 x立方米．由于人口为4人，按原始阶梯标准计算． 首先判断 x所在阶梯： 若全部为第一阶梯（），最高费用为元，小于元， 故． 若全部在第二阶梯内（），则费用由第一阶梯部分和第二阶梯部分组成． 若进入第三阶梯（），费用会显著增高．我们可以先按在第二阶梯内计算． 根据​的情况列方程： 第一阶梯费用：元， 第二阶梯费用：元， 则， 解得：， 答：该家庭的年用气量是． 39．某市为鼓励市民节约用水实行阶梯水价制，2024年主城区居民生活用水阶梯价格收费标准如下（注每月还要收居民污水处理费：1元/．）： 类别 每户每月用水量（单位：） 阶梯水价（单位：元/） 第一阶梯 不超过15立方米的部分 5 第二阶梯 超过15立方米的部分 9 (1)若某居民户7月份用水量为，请用含x的代数式表示该居民户7月份应交水费多少元； (2)小云家7月份的水费为120元，她告诉小南她们家这个月的用水量为，小南通过计算发现小云的说法有误，试说明小南这样判断的理由，并计算小云家7月份的实际用水量． 【答案】(1)当时，应交水费元；当时，应交水费元 (2)小南判断的理由是：若用水量为，则水费应为元，但实际水费为 元，矛盾；小云家实际用水量为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用等． （1）根据题意分两种情况讨论可得两个代数式即为本题答案； （2）利用用水量为可知此时交水费为140元，不符合小云描述矛盾，再利用一元一次方程列式计算即可． 【详解】（1）解：∵某居民户7月份用水量为， ∴根据表格信息可得： 当时，水费元； 当时，水费：（元）， ∵每月还要收居民污水处理费：1元/， ∴当时，应交水费：（元）， 当时，应交水费：（元）； （2）解：小南判断的理由是：若用水量为，则水费应为元，但实际水费为元，矛盾，实际水费计算如下： 根据题意可知：（元）， ∵小云家7月份的水费为120元， ∴， ∴小云家水费一定超过15立方米， ∵由（1）得，当时，应交水费：（元）， ∴，解得：， ∴小云家实际用水量为． 40．某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量 （单位：立方米） 价格 （单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 (1)小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ (2)在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式，阶梯计价问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用应缴纳气费超出立方米的部分，可用含a的代数式表示出应缴纳气费，结合该年度缴纳气费元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米，分及两种情况考虑，根据小钟家今年共缴纳气费元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当小依家年度用气立方米时，应缴纳气费元， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：，； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米， 当时，， 解得：， ∴（元）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小钟家今年采暖期用气费用为元． 【易错警示】 一元一次方程水电计费问题，多为分段计费题型，务必找准分段节点与对应单价。严禁全程套用单一单价，分清基础用量和超额用量。准确梳理各段费用，累加得出总费用，依据等量关系列方程，避免分段混淆、漏算超额费用。 题型11 行程问题 41．为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 【答案】骑行公共自行车的路程为 【分析】设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为，根据全程共用时列出方程，解方程即可． 【详解】解：设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为． ， 由题意得：， 解得：， 答：骑行公共自行车的路程为． 42．以下是两张不同类型火车（“D××次”表示动车，“G××次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）； (2)已知动车和高铁的平均速度分别为、，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离； 【答案】(1)同；早 (2) 【分析】（1）根据票面信息作答即可； （2）设A，B两地之间的距离为，根据动车用的时间比高铁用的时间多2小时，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：该列动车和高铁是同向而行，该列动车比高铁发车早； （2）解：设A，B两地之间的距离为， 根据题意得， 解得． 答：A，B两地之间的距离为． 43．某物流公司的甲、乙两辆货车分别从相距600千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶3小时时甲车先到达配货站C地，此时两车相距60千米，甲车在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地；乙车行驶4小时时也到C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是 千米/小时，B、C两地的距离是 千米； (2)求甲车的速度及甲车从C地到达B地所用的时间； (3)乙车出发多长时间，两车相距240千米？ 【答案】(1)60；240 (2)甲车的速度为120千米/小时，甲车从C地到达B地所用的时间是2小时 (3)乙车出发2或小时，两车相距240千米 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系是关键． （1）设乙车的速度是x千米/小时，根据乙车行驶3小时，4小时的路程关系列方程求解即可； （2）设甲车的速度为y千米/小时，根据甲车行驶路程列式得，即可求解； （3）设乙车出发a小时，两车相距240千米，分类列方法求解即可． 【详解】（1）解：设乙车的速度是x千米/小时，可得；， 解得，， 千米， 答：乙车的速度是60千米/小时，B、C两地的距离是240千米， 故答案为：60；240； （2）解：因为千米， 设甲车的速度为y千米/小时，可得：， 解得，， 小时， 答：甲车的速度为120千米/小时，甲车从C地到达B地所用的时间是2小时； （3）解：设乙车出发a小时，两车相距240千米，列方程得 或， 解得或， 即乙车出发2或小时，两车相距240千米． 44．云龙湖是国家级旅游景区，也是市民休闲运动的场所．已知，两地在湖畔同一直道上相距，甲、乙两人从地出发匀速跑向地，甲比乙提前出发，两人同时抵达地，乙的速度为． (1)甲的速度为______； (2)乙出发多久时，两人相距？ (3)当甲、乙两人的距离不超过时，他们可通过某种无线通讯设备进行联系，在甲的运动过程中，两人通过该设备联系的总时长为_____． 【答案】(1)； (2)乙出发时，两人相距 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是找到恰当的相等关系列方程； （1）根据甲乙路程相等列方程即可； （2）根据乙出发后，甲乙相距列方程即可； （3）分别计算乙出发前和出发后两人距离不超过的时间段长度再求和即可． 【详解】（1）解：设甲的速度为， ， 解得： 故答案为：； （2）解：设乙出发， ， 解得：； 答：乙出发时，两人相距； （3）解：乙出发前，两人相距时，时间为：， 乙出发后，两人相距时，时间为：， ∴乙出发前可联系时长为；乙出发后可联系时长为（从乙出发后第2分钟到第6分钟），总时长为， 故答案为：． 题型12 比例分配 45．为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 46．某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，若从甲组抽调部分学生去乙组，使乙组人数为甲组人数的2倍，需抽调多少名学生？ 【答案】需抽调3名学生． 【分析】设从甲组抽调了x名学生去乙组，用x表示出抽调后甲乙两组的学生数,据抽调后“乙组人数为甲组人数的2倍”列方程求解． 【详解】解：设从甲组抽调了x名学生去乙组， 则：25+x＝2（17﹣x）， 解得：x＝3． 答：需抽调3名学生． 【点睛】考查一元一次方程的实际应用，理解题意抽象出相等关系是关键． 47．下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 【答案】12人 【分析】设现在全组人数为x人，则现在男生有人，然后根据再增加6名男生，那么男生人数将占全组人数的列方程，再解方程即可． 【详解】设现在全组人数为x人，则现在男生有人， 根据题意得：， 解得：人． 答：这个课外活动小组现在的人数为12人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知数为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 48．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【答案】(1)有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐 (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找出等量关系是解题的关键． （1）设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，根据采摘的数量等于分拣装筐的数量列方程即可； （2）①根据题意列代数式并化简即可； ②根据两种购买方案的费用一样建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，由题意得 解得， ， 答：有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐； （2）①方案一：（元）， 方案二：（元）； ②由题意得 解得． 题型13 日历问题 49．如图，表中给出的是某月的月历，选取“凹”形框中的五个数（如阴影部分所示）．若将“凹”形框上下左右移动，按同样的方式框住另外的五个数． (1)若“凹”形框框住的上行的两个数之和比下行的三个数之和小，求“凹”形框框住的五个数； (2)“凹”形框框住的五个数的和能否为？若能，求出其中的最小数；若不能，说明理由． 【答案】(1)“凹”形框框住的五个数分别为13，15，20，21，22 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及列代数式、整式的加减、找规律，正确表示“凹”形框中每个数据是解题的关键． （1）设“凹”形框左上角的数为x，根据“凹”形框数据规律用x表示出各数，根据题意列方程求解即可； （2）用（1）中的规律，让5个数的和等于67，然后解方程，看x是否正整数，再结合日历结构即可得出结论． 【详解】（1）解：设“凹”形框左上角的数为x，则右上角的数为，下行从左到右依次为，，， 根据题意，得， 解得，符合实际， 则“凹”形框框住的五个数分别为13，15，20，21，22； （2）解：“凹”形框框住的五个数的和不能为，理由如下： 假设“凹”形框框住的五个数的和能为， 由（1）得 解得，不是正整数，不符合题意， 故“凹”形框框住的五个数的和不能为． 50．如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． (1)若，则___________，___________； 若，则___________（用含的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，且，则___________． 【答案】(1)9，16， (2)不同意，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查了一元一次方程与日历问题，整式加减无关型的问题，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据月历，找出各数之间的数量关系求解即可； （2）根据各数之间的关系，列出方程然后求解，最后进行比较即可； （3）根据各数之间的关系表示出，然后整理整式即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 若，则 ， ； 若，则 ； 故答案为：9，16，； （2）解：不同意，理由如下： 根据题意得，， 解得， 26位于月历的最右边，与的位置不符， ∴5个数字之和不可能为116； （3）解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：14． 51．下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d．      (1)若，则________；若，则________； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)小明的说法错误，理由见解析 【分析】本题考查规律探索，列代数式，一元一次方程的应用，掌握月历中数的排列规律，利用规律表示数并建立方程是解决问题的关键． （1）根据月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，用表示；再用同一字母表示a、b、c、d，结合和为列方程求解； （2）设未知数表示4个数的和，列方程判断解是否符合月历的数的范围． 【详解】（1）解：月历中，上下相邻数差7，左右相邻数差1， 若，则，故， 设，则，，， 由， 解得， 故． 答案：，； （2）解：设b代表的数为m， 则 ， 解得， 此时，，，， 但是其位置不符合“T”字形框， 故小明的说法是错的． 52．如图为2025年1月的日历，其中有一个“H”形框，希望我们在新的一年“Happy”（开心学习，热爱生活）．“H”形框内包含7个数． 2025年1月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将“H”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为a，用含a的式子表示“H”形框内的7个数字的和为_____； (2)将“H”形框上下左右平移，设“H”形框内的7个数字之和为112．请求出此时“H”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的7数之和分别为m，n，且，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)8 (3)63 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． （1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案； （3）设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数分别为，，由可得，结合日历可得时，； 时，；时，，分别求出的值即可得解． 【详解】（1）解：设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数为a，则其余6个数依次为 、、、、、，则这7个数的和为： ， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 解得， 此时最小的数为； （3）解：设“H”形框内的7个数中，从小到大排列第4个数分别为，， ， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 的最大值为63. 题型14 古代问题 53．中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题是“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数．根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简整数比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“每天走的路程为前一天的一半”表示出6天的路程，结合总路程列方程求出第一天走的路程，再计算第一天路程与总路程的最简整数比即可． 【详解】解：设这个人第一天走的路程为里， ∵从第二天起每天走的路程为前一天的一半， ∴第二天到第六天走的路程分别为里，里，里，里，里， ∵6天总路程为378里， ∴列方程得：， 解得， ∴第一天路程与总路程的比为， 化简得． 54．在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有这样一个问题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”文中的“倍加增”指下一层灯的盏数是上一层的2倍，那么顶层灯的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 本题可通过设未知数，根据每层灯数的倍数关系表示出各层灯数，再根据总灯数列一元一次方程求解． 【详解】解：设顶层有盏灯，根据题意得， ， 解得， ∴顶层灯的数量为3盏， 故选：C． 55．《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为尺，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据题意，用整条绳子量木头时，绳子比木头长4.5尺，因此绳长为尺；用对折绳子量时，绳子比木头短1尺，因此对折绳长为尺，原绳长是对折绳长的2倍，即为尺，利用绳长不变列方程即可． 【详解】解：设木头的长度为尺，由题意，得：； 故答案为：． 56．一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 【答案】老人一共有56头羊 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有只羊，根据从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1只羊，其妻子分得儿子拿走其份额外剩下羊的，每个小家庭却分到相同多的羊，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设老人一共有x只羊，根据题意得 解得， 答：老人一共有56头羊． 题型15 其他问题 57．将含字母（）的代数式的值记为，根据与的关系，可将含字母的代数式分为以下三类： 的A类式：对于的每一个取值，都有； 的B类式：对于的每一个取值，都有； 的C类式：既存在的值，使得，也存在的值，使得． (1)下列代数式：①，②，③，④，其中的A类式有：___________，的B类式有：___________，的C类式有：___________；（在横线上填写对应序号） (2)若代数式与的和是的A类式，求和的值． 【答案】(1)②，①，③④ (2)，或 【分析】此题考查了整式的加减运算，代数式的值，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解三类式． （1）根据题意分别令，然后求解根据三类式的定义求解即可； （2）首先计算代数式与的和，然后根据A类式的定义得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴对于的每一个取值，都有， ∴①是的B类式； ②∵， ∴对于的每一个取值，都有， ∴②是的A类式； ③∵， 当时，解得， ∴当时，， ∴既存在的值，使得，也存在的值，使得 ∴③是的C类式； ④∵， 当时，解得（舍去）或， ∴当，时，， ∴既存在的值，使得，也存在的值，使得 ∴④是的C类式； （2）解： ∵代数式与的和是的A类式， ∴，． ∴，或3． 58．【综合实践】 我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻和”，最中间的数称为“中心数”．数学综合实践课上，王老师带领同学们小组合作探究三阶幻方的相关性质．为方便研究，设幻和为，幻方中的9个数分别用如图3所示的、、、、、、、、表示． 【初步探究】 （1）________（填“、或”），并说明理由； （2）以下是小组合作成员小王和小颖的部分对话内容： 小王：我发现是中心数的3倍，但怎么说理呢？ 小颖：三阶幻方中要抓住“每行、每列、每条对角线上数字之和都相等”来找等量关系． 小王：但等量关系太多了，用哪些呢？ 小颖：抓住与要探究的数有关的等量关系，本题主要探究与的关系，我们可以把与有关的等量关系找出来： ①    ② ③    ④ 再把以上四个等式相加… 请根据他们的对话内容帮小王完成说理：是的3倍； 【深入探究】、、的数量关系为________； 【应用】在图4所示的三阶幻方中，________；在图5所示的三阶幻方中，________． 【答案】初步探究：（1），理由见解析（2）见解析 深入探究： 应用：； 【分析】本题考查幻方，一元一次方程的应用，解题的关键是根据幻方的特点，找到等式． 初步探究：（1）根据三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，即可求解； （2）根据他们的对话内容，求出四个等式相加的结果，化简即可说明； 深入探究：由题意得，得到，将两式相加得，再根据，得到，进而得到； 应用：根据幻和是中心数的3倍列出关于的方程求解即可求出． 【详解】解：初步探究：（1），理由如下： 由题意得， ∴， 故答案为：； （2）∵①，②，③，④， 再把以上四个等式相加得， ∴， ∵， ∴； 深入探究：由题意得， ∴， 将两式相加得， ∵， ∴， ∴； 应用：由初步探究知是中心数的3倍， 在图4所示的三阶幻方中，则， ∴； 在图5所示的三阶幻方中，设三阶幻方中最右下角的数为， ∵， ∴， 则， ∴． 故答案为：，． 59．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】(1)购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只 (2)10只 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货价恰好为2600元”建立方程求解，即可解题； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，根据“两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只， 由题意，得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 60．某快递公司利用无人机提供同城快送服务，配送费用＝基础配送费＋路程附加费＋重量附加费，已知基础配送费为12元，其他收费标准如下表： 路程附加费 重量附加费 不超过的部分 超过的部分 不超过的部分 超过且不超过的部分 超过且不超过的部分 4元 5元 6元 2元 5元 例如：配送路程为，物品重量为时，配送费用元． (1)当配送路程为，物品重量为时，配送费用为__________元； (2)小亮的妈妈通过这家同城快递寄了一件重量不超过的物品，路程，共支付配送费32元．这件物品的重量是多少千克？ 【答案】(1)47 (2)10千克 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确的列出算式和方程是解题的关键： （1）根据收费标准，列出算式进行求解即可； （2）设这个物品的重量为千克，分3种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（元）； 故答案为：47； （2）解：设这个物品的重量为千克． 当时，配送费用元；，故舍去 当时， ． 当时， （舍）． 答：这件物品的重量为10千克． 题型16 一元一次方程的新定义应用 61．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为，再将 变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为：， ∵两个解的差为8， ∴或， ∴或； （3）解：∵， ， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为：， 关于y的一元一次方程可化为：， ， ． 62．定义：关于的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“轮换式”．例如，式子与互为“轮换式”． (1)判断式子与______（填“是”或“不是”）互为“轮换式”； (2)已知式子的“轮换式”是且数、在数轴上所对应的点为A、． ①数轴上有一点到A，两点的距离的和，求点在数轴上所对应的数． ②若A点，点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是点速度的2倍，且3秒后，，求点A的速度． ③数轴上存在唯一的点，使得点到A、两点的距离的差，求的取值范围．（直接写出结果） 【答案】(1)不是 (2)①点在数轴上所对应的数是或5；②点A的速度为个单位秒或个单位秒；③． 【分析】（1）根据定义的特征：任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项， （2）①分三种情况：当点在A作左边时，当点在A、之间时，当点在点右边时，由线段和差关系求得或的值，进而得点表示的数； ②设A点运动的速度为个单位秒，分两种情况（点A在原点左边，点A在原点右边）分别列出方程进行解答； ③若时，则这样的点有无数个，点和点右边的点都满足这个条件，若要数轴上存在唯一点，使得点到A、两点的距离的差，则必在的中点与之间，包括中点，不包括点，根据的取值范围，便可求得的取值范围． 【详解】（1）解：与的其中一个式子的一次项系数不是另一个式子的常数项， 它们不互为“轮换式”， 故答案为：不是； （2）解：由“轮换式”的定义可知：点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为3， ①， 当点在A点左边时，有，即，则，于是为； 当点在A、之间时，有，无解； 当点在点右边时，有，则，于是为， 综上，点在数轴上所对应的数是或5； ②设A点运动的速度为个单位秒， 点的速度是点速度的2倍，且3秒后， 当点A在原点左边时，有，解得， 当点A在原点右边时，有，解得，， 点A的速度为个单位秒或个单位秒； ③由题意可知，当点在上，（不包括A，点），则存在唯一一点， 可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义，数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是正确理解新定义，把新的知识转化为常规知识进行解答． 63．定义：对于形如的多项式（、、为常数，其中），若取两个不相等的数值、时，该多项式的值相等，则称数值和为多项式的一组“等值元”，记作．例如多项式，当取0和4时，多项式的值均为5，则称0和4为多项式的一组“等值元”，记作． (1)下列各组数值中，是多项式的“等值元”的有_________________（填写序号） ①和；②0和；③和． (2)若是的一组“等值元”，求的值； (3)若和是多项式的两组“等值元”，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）将各组中的数值分别代入计算，再根据“等值元”的定义逐一判断，即可得到答案； （2）根据“等值元”的定义列出含有的方程，求解即可得到答案； （3）根据“等值元”的定义分别列方程，得出，进而得到或，即可求出的值． 【详解】（1）解：①当时，；当时，， 即当取和时，多项式的值均为， 则和是多项式的一组“等值元”； ②当时，；当时，， 即当取0和时，多项式的值不相等， 则0和不是多项式的一组“等值元”； ③当时，；当时，， 即当取和时，多项式的值均为， 则和是多项式的一组“等值元”， 故答案为：①③； （2）解：是的一组“等值元”， ， ， ， 解得：； （3）解：是多项式的一组“等值元”， ， ， ， ， ， 是多项式的一组“等值元”， ， ， ，即， 或， ，， 即的值为． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，整式的混合运算，理解“等值元”的定义，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 64．对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”． (1)点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”； (2)在（1）的条件下，点表示的数是，且三点是“均衡点”，求则的值； (3)点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，线段（为正整数），线段，若三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，直接写出所求的值． 【答案】(1)不是 (2)或或 (3)或或或或 【分析】本题考查解一元一次方程、数轴上两点之间距离，解决本题的关键是熟练掌握并灵活运用这些知识点． （1）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，再由“均衡点”定义判断即可得到答案； （2）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，，，再由“均衡点”定义分三种情况，列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，，，再由“均衡点”定义分三种情况，作出图形，数形结合分析求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， ， 三点不是“均衡点”， 故答案为：不是； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，，， 三点是“均衡点”， 分情况讨论： ①当时，， 则或， 解得或（与点重合，舍去）； ②当时，， 则或， 解得（与点重合，舍去）或； ③当时，， 则或， 解得； 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或； （3）解：∵三点是“均衡点”， 点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧， ，，中有两条线段相等， 关于的一元一次方程的解为整数， ， ①当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 当时，； 即此种情况下，的值为或； ②当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 即此种情况下，的值为； ③当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 当时，； 当时，； 即此种情况下，的值为或或； 综上所述：的值为或或或或． 1．2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出胜场和平场的总场次，再根据积分规则列出方程即可； 【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场， ∴胜场和平场的总场次为场， ∵设胜了场， ∴平的场次为场， 又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分， ∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：． 2．某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种棵则余棵；若每人种棵则差棵．设该社团有名学生，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两种种植情况分别表示出树苗总棵数，利用树苗总棵数不变的等量关系即可列出方程． 【详解】解：设该社团有名学生， ∴每人种棵余棵时，树苗总棵数为，每人种棵差棵时，树苗总棵数为， ∵树苗总棵数不变， ∴可列方程为． 3．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十一日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】追及时快马走的总路程等于慢马走的总路程，根据路程公式即可列方程． 【详解】解：∵快马每天走230里， ∴快马走的总路程为里， ∵慢马每天走140里，且先走11天， ∴慢马一共走了天，总路程为， 追及时两马路程相等，因此可得方程． 4．如果一个两位数的十位数字和个位数字之和是6，且个位上的数不为0，则这样的两位数有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意设出两位数的个位和十位数字，结合两数和为6，个位不为0，十位不为0的限制，列举所有符合条件的两位数，统计个数即可． 【详解】解：设该两位数的个位数为，十位数为，，均为整数， ∵该两位数的十位数字和个位数字之和是，且个位数字不为， ∴，，十位是两位数的最高位，因此， 当时，，两位数为，符合要求； 当时，，两位数为，符合要求； 当时，，两位数为，符合要求； 当时，，两位数为，符合要求； 当时，，两位数为，符合要求； ∴满足条件的两位数共有个，故选B． 5．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．110 B．88 C．107 D．40 【答案】A 【分析】设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，求出这5个数的和为，结合选项，列出方程即可解答． 【详解】解：设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为． 这5个数的和为， A、，解得，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，符合题意 B、，解得，不是正整数，不符合题意； C、，解得，不是正整数，不符合题意； D、，解得，则左上的数为，不符合题意． 6．明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，若设有x个人，则可列方程______． 【答案】 【分析】设有个人，根据银子的量是一定的，列出方程即可． 【详解】解：设有个人， 由题意，得：． 7．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分2本，则剩余10本；如果每人分3本，则还缺15本，则这个班有学生______人． 【答案】25 【分析】设这个班有名学生，根据图书总数不变，分别用表示出两种分法下的图书总数，据此建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个班有名学生，由题意得，， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 这个班有名学生． 8．一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是，则它原来的宽为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是找到恰当的等量关系列方程；根据长方形变化前后面积相等的等量关系，设未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个长方形原来的宽为， 列方程得：， 解得：， 故答案为：． 9．金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得15分，那么该足球队共胜了________场． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设胜场数为，则平了场，根据总积分为分，列出方程．解方程即可． 【详解】解：设胜场数为，则平了场，依题意得， 解得： 故答案为：5． 10．数轴上有两点A、B，分别对应的数是5，，有一动点C在此数轴上运动，且使，则C点对应的数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，利用数轴，结合等量关系，列出方程解决问题．设点对应的数为，根据距离公式列出方程，分、、三种情况讨论，解方程并验证． 【详解】解：设点对应的数为，则，．由，得． ①当时，，，故，，方程化为，即，整理得，解得，符合． ②当时，，，故，，方程化为，即，整理得，解得，符合：． ③当时，，，故，，方程化为，即，整理得，解得，不符合，舍去． 故点对应的数为或， 故答案为：或． 11．把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 【详解】解：因为任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， 且， 则第三列第三行的数字是“6”即； 则第二行：， 解得， 故答案为1. 12．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方．将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图是一个未完成的广义三阶幻方，根据已知的3个数，可得___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据幻方的特征找到等量关系．根据题意可得：，求出的值，即可求解． 【详解】解：由图可知：， 解得，， 则． 故答案为：． 13．如图，苏科版数学教材102页的一个密码盘，这个密码盘在数字和字母之间可建立一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文．小明为了使用该密码盘，准备采用二次加密，原密文记为“密文”，再次加密的密文记为“密文”，如图所示进行二次加密，若密文中的“”对应的明文与密文中的“”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文为___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，读懂题意，理解密文与明文的对应关系是解决问题的关键． 先由密码盘信息可知，每一个明文对应密文数字相差，其中为自然数，再根据密文中的“”对应的明文与密文中的“”直接利用原规则对应的明文相同，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由密码盘信息可知，每一个明文对应密文数字相差，其中为自然数， 当时，，对应的明文是； 当时，，对应的明文是； 当时，，对应的明文是； 当时，，对应的明文是； 综上所述，该明文为， 故答案为：． 14．如图是2025年1月的月历，其中“”型，“”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的值是__________． 【答案】5或1 【分析】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是列出表示式． 先分别表示出M与N的表示，再由，表示出由此可求． 【详解】解：设“”型阴影覆盖的最小数字为， 则其他三个数字为， ∴， “”型阴影覆盖的最小数字为， ∴， ∵， ∴，可得， ∴的值是5或1． 故答案为：5或1 ． 15．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 【答案】 288 1008 【分析】设学校共有个班级，根据发放规则分别表示出红色跳绳与蓝色跳绳的总数量，再结合两种跳绳的数量比列出一元一次方程，求解得到班级数后，即可计算两种跳绳的原有数量． 【详解】设学校共有个班级． 由题意得 红色跳绳总数量为，蓝色跳绳总数量为． 已知红色跳绳与蓝色跳绳数量比为，可得方程 ， 解得， ∴红色跳绳数量为根，蓝色跳绳数量为根． 16．幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则________． 【答案】2 【分析】设幻方的第二行第一列中的数为，第二行第三列中的数为，根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等”，可确定的值，然后再建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设幻方的第二行第一列中的数为，第二行第三列中的数为， 根据题意，可得，， 整理并解得，， ， 解得． 17．已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 【答案】4或36 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设线段运动的时间为t秒，表示出各点表示的数，根据中点的定义及距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设线段运动的时间为t秒，以点A为原点，建立数轴，各点初始位置为： 点A、点表示0，点、点B表示12，点C表示， 根据运动速度和方向，t秒后各点在数轴上的位置为： 点C：，点M：， ∵点N是线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴，， 已知， 代入得方程：； 分情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； 线段运动的时间是4秒或36秒， 故答案为：4或36． 18．阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形中，，，是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿点运动、最终到达点．若点运动的时间为，则当______时，． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积,一元一次方程的应用．分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可． 【详解】解：①如图1， 当在上时， 的面积等于， ， ； ②当在上时，如图2， 的面积等于， ， ， ； ③当在上时，如图3， ， ，而，，不符合题意，舍去； 故答案为：或6． 19．乒乓球比赛分单打和双打，单打是1对1，即2人一张球桌对垒，双打是2对2，即4人一张球桌对垒．现有40名同学在13张球桌上对垒．那么进行单打比赛的有几桌？进行双打比赛的有几桌？ 【答案】进行单打比赛的有6桌，进行双打比赛的有7桌 【分析】设进行单打比赛的有x桌，进行双打比赛的有桌，根据总人数列出方程，解方程即可． 【详解】解：设进行单打比赛的有x桌，进行双打比赛的有桌，根据题意得： ， 解得：， （桌）， 答：进行单打比赛的有6桌，进行双打比赛的有7桌． 20．商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 21．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍 (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， (3)不能 【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案； （2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是，然后再计算这五个数的和即可； （3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为列出方程解答即可． 【详解】（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． （2）略 （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 22．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共80个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费3264元． (1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个； (2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为48元/个、52元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的八五折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个． 【答案】(1)购进“喜洋洋”玩偶48个，购进“乐融融”玩偶32个 (2)27个 【分析】（1）设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个，根据总共花费3264元，列出一元一次方程，求解即可； （2）设“乐融融”玩偶打折前卖出m个，根据购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，列方程求解． 【详解】（1）解：设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个， 根据题意，得， 解得， 则， 答：购进“喜洋洋”玩偶48个，购进“乐融融”玩偶32个； （2）解：设“乐融融”玩偶打折前卖出m个， 根据题意，得， 解得． 答：“乐融融”玩偶打折前卖出27个． 23．某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【答案】(1)； (2)安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【详解】（1）解：安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天， 那么x天共生产甲种零件个，天共生产乙种零件个； （2）解：根据题意得， 解得， ， 答：安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 24．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 每户每月用水量 单位（元/吨） 不超过15吨 3.7 超过15吨的部分 5.1 另：每吨用水加收污水处理费、水资源费共1.9元 (1)某用户1月份用水10吨，1月份应交水费 元； (2)某用户7月份共交水费119元，该用户7月份用水多少吨？（列方程解决） 【答案】(1)56 (2)该用户7月份用水20吨 【分析】（1）直接根据用水量对应计费段计算即可； （2）先判断用水量是否超过15吨，再根据总水费的等量关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， 应交水费为（元）. （2）解：当用水量为15吨时，总水费为（元）， ， 该用户7月份用水量超过15吨， 设该用户7月份用水吨， 由题意得： ， 整理得， 解得， 答：该用户7月份用水20吨． 25．“陶舍重重倚岸开，舟帆日日蔽江来．”这样空前绝后的盛景造就了举世无双的“千年瓷都”景德镇，小华在景德镇旅游数日，离开时在陶溪川购买了如图所示的青花瓷碗、玲珑茶杯、粉彩花瓶共件作为纪念品，其中玲珑茶杯比青花瓷碗数量的2倍少5件，各种瓷器的单价如表所示： 青花瓷碗 玲珑茶杯 粉彩花瓶 单价/元 数量/件 x ______   　 ______    　 (1)请用含x的代数式把表格补全； (2)当时，求购买件瓷器所需的总费用； (3)当购买件瓷器的总费用为时，求购买青花瓷碗的件数是多少． 【答案】(1)； (2)元 (3) 【分析】（1）根据青花瓷碗购买了x件，小华共购买了件瓷器，其中玲珑茶杯比青花瓷碗数量的2倍少5件，得玲珑茶杯购买了件，粉彩花瓶购买了件； （2）x件青花瓷碗费用元，件玲珑茶杯费用元，件粉彩花瓶费用元，即得件瓷器总费用元，把代入计算； （3）当购买件瓷器的总费用为时，列方程，求解即可． 【详解】（1）补全表格如下； 青花瓷碗 玲珑茶杯 粉彩花瓶 单价/元 数量/件 x 由题意得：玲珑茶杯购买了件，粉彩花瓶购买了件； 故答案为：；； （2）购买件瓷器所需的总费用为： （元） 故购买件瓷器所需的总费用为元； 当时，（元）， 则购买件瓷器所需的总费用为元； （3）由题意列方程，得， 解得， 则购买青花瓷碗的件数是件． 26．如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】解题的关键在于根据题意找出等量关系，建立一元一次方程． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据题意求出厘米，再根据线段与线段相等建立方程求解，即可解题； （3）根据、到达、后继续运动，分别表示出、，再根据线段的长等于线段的长的一半建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，厘米，厘米； （2）解：在长方形中， 厘米， 厘米， 厘米， 线段与线段相等， ， 解得； （3）解：当、到达、后继续运动， 此时厘米， 厘米， 厘米， 线段的长等于线段的长的一半， ， 解得． 27．数轴上两点、之间的距离记作．已知、对应的数分别为、，并且、满足． (1)______；______；______； (2)若甲、乙分别从、两点开始同时在数轴上运动，相向而行，甲的速度是2个单位/秒，乙的速度比甲快3个单位/秒，求甲乙相遇点所对应的数； (3)若点对应的数是，在数轴上点的左侧是否存在一点，使，若存在，求点所对应的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性即可求出、的值，再根据数轴上两点间的距离公式进行计算； （2）根据题意求出乙的速度，即可得到甲乙相对速度，算出相遇时间，得到甲走的单位长度即可得到答案； （3）根据数轴上两点间的距离公式分别表示出 【详解】（1）解：， ， 解得，， ， 故答案为：；；； （2）解：根据题意可得：乙的速度个单位/秒， 甲、乙两人的相对速度为个单位/秒， 相遇时间：， 甲运动的路程为个单位， 相遇点对应的数为； （3）解：设对应的数为，， ， ， ， ， 解得， 故存在点，对应的数为． 28．阅读理解：若A、B、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离 2倍，我们就称点C 是的好点．例如，如图 1，点A 表示的数为，点B 表示的数为 2．表示 1 的点C 到点A 的距离是 2，到点B 的距离是 1，那么点 C 是的好点； 又如，表示 0 的点D 到点A 的距离是 1，到点B 的距离是 2，那么点 D 就不是的好点． 知识运用： (1)如图1，点D是 的好点； (2)如图 2，M、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为，点N 所表示的数为 4．则数 所表示的点是的好点； (3)已知A、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为，点 B 所表示的数为 40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以 2 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A 停止．当 t 为何值时， P、A 和B 中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)或 (2)2或10 (3)当秒或20秒或15秒 【分析】（1）由数轴可得，，再由好点的定义求解即可； （2）设点是的好点，由好点的定义可得，设表示的数为，再分两种情况列方程求解即可； （3）根据好点的定义，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点，分4种情况讨论，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴， ∴点D是或的好点； （2）解：设点是的好点， ， 设表示的数为， 当在、之间时， ， ∴ ∴点表示的数为2， 当在右边时， ， ， ∴点H表示的数为10， 综上：点H表示的数为10或2； （3）解：当P 是好点时， 即， ； 当P 是好点时， 即， ， ； 当是好点时， 即， ∴ ， 当A是好点时， 即， ， ； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，P、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 29．【阅读理解】 定义：如图，线段上一点将线段分成两条线段，，若或，则称点为线段的“好点”． （1）如图1，，是线段的“好点”，且，则 ． 【迁移运用】 （2）如图2，点，点是数轴上两点，表示的数分别为，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒． ①点，之间的距离是 个单位长度； ②当点是线段的“好点”时，求t的值； ③若在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．请直接写出点，，三点中，其中一点是另外两个点确定的线段的“好点”时的值． 【答案】（1）；（2）①；②或；③或． 【分析】（1）根据新定义求出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）①根据两点之间的距离公式进行求解即可； ②根据“好点”定义分两种情况进行讨论即可； ③求出秒后点和点表示的数，表示出和的长度，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：根据“好点”定义得，，， ∴（）， 故答案为：； （2）解：①点，之间的距离为， 故答案为：； ②当时，； 当时，； 综上，或； ③秒后点表示的数为，点表示的数为， 则，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，或． 30．为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 【答案】(1)28，， (2)该用户11月份水资源费为元 (3)5月份用水20吨，6月份用水30吨 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据“阶梯收费”的计价标准分别列式计算即可； （2）先求出该用户11月份的用水量，再计算水资源费即可； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨，分情况讨论，分别根据共缴水费167元列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，则应缴水费元， 若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元； 若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元， 故答案为：28，，； （2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元， 若用水量在第二阶梯，则收费最多为元， 因为该用户11月份的水费是元， 所以用水量在第二阶梯， 则， 解得：， 所以该用户11月份水资源费为元； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨， 若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在； 若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 则， 答：5月份用水20吨，6月份用水30吨 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $