第12讲 等式与方程8大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第12讲 等式与方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 等式的性质1 题型2 等式的性质2 题型3 判断各式是否是方程 题型4 判断是否是方程的解 题型5 列方程 题型6 已知方程的解求参数 题型7 根据等式的性质解方程 题型8 等式与方程新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式的性质 方程的概念与解 根据等式的性质解方程 1.理解等式、方程的定义，掌握方程、方程的解等核心概念，明晰二者区别。 2.熟练掌握等式的两条基本性质，能利用性质对等式进行规范变形。 3.能判断式子是否为方程，检验数值是否为方程的解，提升辨析能力。 4.结合实际情境列简单方程，初步建立方程思想，体会代数解题优势。 学习重点：掌握等式的基本性质，能准确辨别方程并检验方程的解。 学习难点：灵活运用等式性质正确变形，结合题意列出简易一元方程。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等式及其基本性质 等式 1、等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式. 2、列等式的步骤： （1） 分析条件，找出等量关系； 常用的等量关系：速度×时间＝路程；售价＝标价×折扣；利润＝售价－售价等 （2） 用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系. 易错点： 混淆等式、方程、代数式概念，误将含未知数的式子、不等式当作方程。忽略方程必须是含有未知数的等式两个核心条件，判断极易出错。 等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则c； （2）等式的对称性：若，则a. 易错点： 运用性质1漏加、漏减同数；运用性质2时，两边不同乘除、遗漏一项，或除以未知数（未知数可能为0），造成等式变形错误。 即时即练 1．下列等式变形正确的是（  ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式两边同时乘（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对于A选项，∵，根据等式性质，两边同时加同一个数，得， ∴A变形错误． 对于B选项，∵，等式两边同时加上，得， ∴B变形错误． 对于C选项，∵，等式两边同时除以2，得， ∴C变形错误． 对于D选项，∵，等式两边同时乘2，得， ∴D变形正确． 2．下列等式变形不一定成立的是（   ） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，需结合等式性质逐一分析各选项的变形是否一定成立． 【详解】解：A．，等式两边都减1，得，等式变形一定成立，故本选项不符合题意； B．，等式两边都乘c，得，等式变形一定成立，故本选项不符合题意； C．，两边同时乘得，两边同时加2，得，等式变形一定成立，故本选项不符合题意； D．当时，即使，也有，即等式变形不一定成立，故本选项符合题意． 故选：D． 3．下列运用等式的性质，变形不正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．A、B、C选项均符合等式性质；D选项未考虑的情况，因此错误． 【详解】解：∵等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；若，则， 等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；若，则（），或（）． A．若，则，正确． B．若，则，正确． C．若，则两边乘，得，正确． D．若，当时也成立，故不正确． 故选：D． 知识点02 方程 方程 1、方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、方程一定是等式，等式不一定是方程. 易错点： 审题不清，找错题目数量关系，正反关系列式颠倒；未知数设写不规范，列出等式左右数量不匹配，导致方程列式错误。 即时即练 4．在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 5．下列①；②；③；④；⑤；⑥，其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】判断是否为方程需要看两点，一是含有未知数、二是等式，根据这两点进行逐个判断即可． 【详解】解：①、④是方程，共有2个， 故选B 【点睛】本题考查了方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，掌握方程的定义是解题关键． 6．下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是___________．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 知识点03 方程的解和解方程 方程的解和解方程 1、方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2、解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3、方程的解可能不止一个（如x=1和x=-1都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4、检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 易错点： 检验解时只代入左边或右边，未完整对比两边数值；代入负数、分数时遗漏括号，计算失误导致判断错误。 核心规则：数值代入方程左右两边，两边相等才是方程的解。 即时即练 7．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等．本题的关键是正确理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把分别代入A，B，C，D四个选项． A中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意； B中，左边，右边，左边=右边，正确，符合题意； C中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意； D中，左边，右边，左边右边，错误，不符合题意． 答案：B． 8．当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，根据表格数据直接求解即可． 【详解】解：由表格数据，当时，，即， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 9．已知是关于的方程的解，则的值为_____． 【答案】8 【分析】本题考查已知方程的解求参数，将代入方程，解出k即可． 【详解】解：将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为8． 题型1 等式的性质1 1．如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 2．解方程时，若要得到，应在方程两边同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上 D．减去 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 移项的依据是等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，据此判断变形过程即可． 【详解】解：由于原方程为， 根据等式的基本性质，等式两边同时减去 则左边得，右边得， 即变形后得到， 因此应在方程两边同时减去． 3．如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 【答案】C 【分析】由第一次天平得，由第二次天平得，进而代入即可求解． 【详解】解：由题意得，第一次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 第二次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 将代入上式得， 解得， ∴． 4．天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡．1个梨和______个桃同样重． 【答案】3 【分析】等式左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立． 【详解】解：由题意知：2个梨个梨个桃 两边同时去掉一个梨：2个梨个梨个梨个桃个梨 1个梨个桃 5．已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】/ 【详解】解：， 两边同减去，得． 题型2 等式的性质2 6．下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．据此逐一判断变形是否正确． 【详解】解：根据等式的基本性质判断： 对于A，∵，等式两边同时减同一个数6，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于B，若，当时，无论是否相等，等式都成立， ∴无法推出，变形错误； 对于C，∵，分式分母不为0，可得，等式两边同时乘，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于D，∵，等式两边同时除以非零数，等式仍然成立， ∴，变形正确； 综上，变形错误的是B． 7．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项． 【详解】A、如果，等式两边都除以，那么，A正确； B、如果，当时，得不出，B错误； C、如果，等式两边都减6，那么，C正确； D、等式两边都乘，得，D正确． 8．将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质求解． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时除以，得． 9．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 10．下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A、，等式两边同乘，可得，故选项A正确，不符合题意； 选项B、对任意实数，都有，即，当时，等式两边同除以，可得，故选项B正确，不符合题意； 选项C、若，当时，无论，是否相等，等式都成立，无法推出，故则选项C说法错误，符合题意； 选项D、，等式两边同除以2，得，故选项D正确，不符合题意； 综上可知，只有选项C错误，符合题意． 【易错警示】 运用等式性质变形时，两边需同时做相同运算，乘除不可漏一边。同除以数字不能为 0，未知数作除数要讨论取值。移项混淆等式性质易忘变号，负数、分数乘除易搞错符号，变形后代入验算，杜绝单边运算、忽略限制条件等错误。 题型3 判断各式是否是方程 11．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 12．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的识别，根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、不是等式，故不是方程； B、是不等式，不是等式，故不是方程； C、 是等式且含有未知数x，故是方程； D、 是等式但不含未知数，故不是方程． 故选C． 13．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 14．在①；②；③；④中，是方程的是________．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 15．下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)是方程，未知数是x (2)是方程，未知数是y (3)不是方程 (4)是方程，未知数是a (5)是方程，未知数是m (6)是方程，未知数是x、y 【分析】本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程定义是关键． 根据方程的定义解答，即含未知数的等式叫做方程． 【详解】（1）解：是方程，未知数是x； （2）解：4是方程，未知数是y； （3）解：因为不是等式，所以不是方程； （4）解：是方程，未知数是a； （5）解：是方程，未知数是m； （6）解：是方程，未知数是x、y． 题型4 判断是否是方程的解 16．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，根据题意，把代入验证即可求解． 【详解】解：A、当时，等式左边，等式右边，等式左边不等于右边，故不符合题意； B、当时，等式左边，等式右边，等式左边不等于右边，故不符合题意； C、当时，等式左边，等式右边，等式左边不等于右边，故不符合题意； D、当时，等式左边，等式右边，等式左边等于右边，故符合题意； 故选：D ． 17．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（    ） －2 －1 0 1 2 3 8 4 0 －4 －8 －12 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程的解，将关于的方程变形，得，查表可得方程的解． 【详解】将关于的方程变形，得 ． 查表可得，方程的解为． 故选：A 18．下列哪个方程的解不是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立，确定是否是方程的解． 【详解】解：A选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故A选项不符合题意； B选项：当时，左边，右边，左边右边，不是方程的解，故B选项符合题意； C选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故C选项不符合题意； D选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故D选项不符合题意． 故选：B． 19．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 20．判断是否是下列一元一次方程的解： ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题考查了一元一次方程的解．将分别代入各方程，判断方程左边是否等于方程右边，进而得解． 【详解】解：①将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； ②将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； ③将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； ④将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； 综上，符合题意的是②④． 题型5 列方程 21．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 22．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 23．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮， 由题意得． 故答案为：． 24．3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了方程，找到正确的等量关系是解题的关键. 【详解】解：由题意得八年级师生植树量可表示为， 则可列方程为：， 故答案为： ． 25．列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、补角的定义以及追及问题的数量关系，熟练掌握从文字描述中提取相等关系并转化为方程是解题的关键． （1）先明确补角的定义（两角之和为），再根据“比它的补角少”这一条件，建立与它的补角之间的等式． （2）分别表示出“的6倍与2的和”和“的3倍与4的差”，再根据“等于”这一关键词，将两个代数式用等号连接． （3）根据“去年人均可支配收入=前年人均可支配收入×(1+增长率)”的关系，代入已知数据建立方程． （4）利用“追及路程=慢马先行的路程”的关系来建立等式． 【详解】（1）解：根据“它的补角”得； （2）解：根据“的6倍与2的和的3倍与4的差”得； （3）解：根据“前年人均可支配收入去年人均可支配收入”得； （4）解：根据“追及路程=慢马先行的路程”得． 题型6 已知方程的解求参数 26．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：化简得， 移项计算得， 因此的值为． 27．若 是方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查方程解的定义，利用方程解的定义求出是解题的关键．将代入方程求出 的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 即， ， ， 故选：A． 28．某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的解，将解代入原方程是解题的关键． 将已知解 代入方程，解出 ■ 的值． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ． 移项得 ． 两边乘以 3 得 ． 移项得 ． 解得 ． 故答案为1． 29．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化为，设，则方程为，再根据题意即可得出，从而求出方程的解． 【详解】解：方程可化为， 设， 则方程为， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴， 即关于y的一元一次方程的解为， 故答案为：． 30．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 【易错警示】 已知方程的解求参数，将数值代入时负数、分数必须加括号。严格按运算顺序化简求解，谨防符号计算失误。若方程为一元一次方程，需保证一次项系数不为零，算出参数后代回原式检验，避免遗漏隐含限制条件。 题型7 根据等式的性质解方程 31．求未知数x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 32．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用等式的性质解答即可； （2）利用等式的性质解答即可； （3）利用等式的性质解答即可； （4）利用等式的性质解答即可； （5）利用等式的性质解答即可； （6）利用等式的性质解答即可． 【详解】（1）方程两边同时减去5，得，即； （2）方程两边同时加上，得，即； （3）方程两边同时除以，得，即； （4）方程两边同时乘以，得，即； （5）方程两边同时减去，得，即， 方程两边同时除以，得； （6）方程两边同时加上，得，即， 方程两边同时除以，得． 33．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 34．请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的基本性质． （1）两边都加6，化简即可； （2）两边都加，再把两边都除以2即可； （3）两边都除以3即可； （4）两边都除以即可． 【详解】（1）解：两边都加6得： 得： （2）解：两边都加得： 得： 两边都除以2得：，即 （3）解：两边都除以3得：，即 （4）解：两边都除以得：，即 35．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先等式两边同加上4，再等式两边同除以5即可； （2）先等式两边同减去3，再等式两边同乘以2即可； （3）先等式两边同减去1，再等式两边同除以即可； （4）先等式两边同减去，再等式两边同除以3即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【易错警示】 依据等式性质解方程，两边需同步变形，避免单边加减乘除。去分母时常数项勿漏乘最小公倍数，同除式子不能为 0。移项混淆性质易忘变号，负数代入漏括号，每步变形后核对等式两边，及时验算规避符号、漏项错误。 题型8 等式与方程新定义问题 36．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用等式性质解方程，新定义运算，理解题意，列出方程，是解题的关键．先根据新定义得出方程，然后利用等式的性质，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 等式两边都乘3，得； 等式两边都减6，得； 等式两边都除以2，得． 37．对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？ 【答案】 【分析】本题考查了利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算．将根据定义的运算转化为方程，然后利用等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 38．天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ 【答案】 【分析】本题考查了新定义，以及代数式求值，根据“天平数”的定义，建立方程，通过整体代入法求出代数式的值，即可解题． 【详解】解：因为与互为“天平数”， 所以． 整理得． 所以． 故答案为：． 39．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 40．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 1．是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． 2．下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断． 【详解】解：A、当时，，，则，故选项不符合题意； B、当时，，故选项符合题意； C、当时，，，则，故选项不符合题意； D、如果，当时，，故选项不符合题意； 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 4．下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的两条性质逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：∵等式性质1：等式两边同时加（或减）同一个数或整式，等式仍然成立， ∴选项A（两边加3）、选项B（两边减c）均符合等式性质1，说法正确，不符合题意； ∵等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立， ∴对于选项C，等式两边同时乘以同一个数，符合等式性质2，说法正确，不符合题意； 对于选项D，当时，与无意义，该说法未限定，不符合等式性质2，说法错误，符合题意． 故选：D． 5．等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，关键是结合天平操作判断对应的等式变形规则．观察图形可知，初始天平平衡代表，后续天平两边同时移除相同的砝码，对应等式两边同时减去同一个数，这符合等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立． 【详解】解：观察图形，左边平衡的天平表示，右边天平是在两边同时加上一个相同的砝码，相当于等式两边同时加上同一个数，根据等式的性质1，等式两边同时加上(或减去)同一个数，等式仍然成立； 选项A是对等式两边平方，与图示操作无关； 选项B是等式两边乘同一个数，不符合图示的减法操作； 选项C是等式两边除以同一个不为0的数，也不符合图示； 选项D“若，则”体现了等式性质1中“同时加同一个数”的规则，和图示中“同时减同一个数”属于同一性质范畴． 故选：D． 6．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，等式两边同时加减或乘除（除数不为0）同一个数，等式仍然成立需注意除数不能为0的情况． 【详解】解：对于A：当时，恒成立，但a不一定等于b，故A不正确，符合题意； 对于B：∵， ∴，故B正确，不符合题意； 对于C：∵，且， ∴，故C正确，不符合题意； 对于D：∵，且（分母不为0）， ∴，即，故D正确，不符合题意． 故选：A ． 7．在解方程，对该方程进行变形时，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分数的基本性质． 把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选B． 8．整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解． 方程的解即求使整式值为8的x，由表格数据直接对应可得． 【详解】解：由表格知，当时，， 则方程的解为． 故选：D． 9．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到x关于k的表达式，再根据x为整数确定k的取值，注意. 【详解】解：∵， ∴， 当时，方程为，无解，不合题意， ∴， ∴， ∵ x为整数，且k为整数， ∴ k整除2，即k是2的因数， ∴或， 共4个整数k满足条件． 故选：C． 10．小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，将代入求解即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 故选：C． 11．若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 12．若是关于x的方程的解，则多项式的值为______． 【答案】2 【分析】将代入方程，利用等式的性质变形后求出的值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ， 即， 根据等式的性质，等式两边同时加4，得：， 等式两边同时除以2，得：． 13．关于的方程的解为，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，把代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得； 故答案为：． 14．代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 15．数a是关于x的方程的解，若，，则的值为____． 【答案】675 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其定义是解题的关键． 将m和n的表达式代入，化简后得到，再利用方程求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 由于数a是关于x的方程的解， 则， 即， ， 故答案为：675． 16．已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．根据一元一次方程的解的定义，将 代入方程，解出▲的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 即， ∴． 故答案为：． 17．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，通过换元法，将第二个方程转化为与第一个方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解： ，解为， 可化为； 设，则 ， 化为， 所以， 此方程与第一个方程形式相同，因此， 即， 解得 故答案为． 18．若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则___________． 【答案】 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，解题时要根据方程的特点进行有针对性的计算． 将代入原方程，化简后得到关于的等式，根据等式对任意成立的条件，令的系数为零，常数项相等，解出和，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入原方程， 得， 整理得， ∵等式不论k取什么数均成立， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 19．已知关于x的方程有负整数解，则符合条件的整数a的和为______． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，将方程化为 的形式，解出， 由于为负整数，且分子为正，因此分母 必须为负整数，且是 3 的负约数，3 的负约数有 和，分别对应 和，求和得 0． 【详解】解：解方程， 移项得， 即， 当 时，， 要求为负整数，故且为整数， 由于，因此，即， 又因为为整数，故是3的约数， 3 的约数为，，但， 所以 或， 当时，，此时； 当时，，此时． 故符合条件的整数为1和，其和为0． 故答案为：0． 20．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义；关键是在两个方程中寻找解之间的关系； 通过对比两个方程的形式，发现第二个方程中的“”相当于第一个方程中的“”，因此利用第一个方程的解直接求解． 【详解】解：第一个方程 的解为 ， 第二个方程 可视为将第一个方程中的 替换为 ， 因此 ，解得 ． 故答案为：． 21．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 22．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）等式两边同时加上，之后等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时加上，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案 ． 【详解】（1）， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ． 23．回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 【答案】(1)两边同时减去， (2)两边同时除以5； (3)见解析 【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据等式的性质1可得到答案； （2）根据等式的性质2可得到答案； （3）根据等式的性质2可得到答案； 【详解】（1）解：两边同时减去， 等式得到； （2）解：两边同时除以5， 等式得到； （3）解：两边同时乘以8， 等式得到． 24．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力： （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 25．利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）首先在方程两边同加上1，再方程两边同除以，即可求得答案； （2）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘以，即可求得答案； （3）首先方程两边同减去2，再方程两边乘，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，即， ， 解得； （2）解：， ，即， ， 解得； （3）解：， ，， ， 解得． 【点睛】本题考查了等式的基本性质．注意等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 26．检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是方程的解,是方程的解； (2)是方程的解；不是方程的解． 【分析】（1）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解； （2）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解； 【详解】（1）把代入原方程； 左边， 右边． ∵， ∴不是该方程的解． 把代入方程，得 左边， 右边． ∵， ∴是该方程的解； （2）把代入原方程． 左边，右边， ∵， ∴是原方程的解； 把代入原方程． 左边，右边， ∵， ∴不是原方程的解． 【点睛】本题考查方程解的定义，理解方程解的定义是解题的关键． 27．只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个班女生有人，根据有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可； （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克，再根据苹果和梨的价格、以及用去21元列出方程即可得． 【详解】（1）解：设这个班女生有人， 由题意列方程为． （2）设小明苹果买了千克，则梨买了千克， 由题意列方程为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 28．，各是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）． 【答案】是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解 【分析】将代入方程（3），使方程左右两边相等，即可判断； 将代入方程（1），使方程左右两边相等，即可判断； 将代入方程（2），使方程左右两边相等，即可判断． 【详解】解：将x＝3代入，左边＝22，右边＝，故不是方程的解； 将x＝3代入，左边＝10，右边＝，故不是方程的解； 将x＝3代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解； 将x＝0代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解； 将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解． 【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程中等号左右两边相等的未知数的值就是方程的解． 29．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 30．已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 等式与方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 等式的性质1 题型2 等式的性质2 题型3 判断各式是否是方程 题型4 判断是否是方程的解 题型5 列方程 题型6 已知方程的解求参数 题型7 根据等式的性质解方程 题型8 等式与方程新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 等式的性质 方程的概念与解 根据等式的性质解方程 1.理解等式、方程的定义，掌握方程、方程的解等核心概念，明晰二者区别。 2.熟练掌握等式的两条基本性质，能利用性质对等式进行规范变形。 3.能判断式子是否为方程，检验数值是否为方程的解，提升辨析能力。 4.结合实际情境列简单方程，初步建立方程思想，体会代数解题优势。 学习重点：掌握等式的基本性质，能准确辨别方程并检验方程的解。 学习难点：灵活运用等式性质正确变形，结合题意列出简易一元方程。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等式及其基本性质 等式 1、等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式. 2、列等式的步骤： （1） 分析条件，找出等量关系； 常用的等量关系：速度×时间＝路程；售价＝标价×折扣；利润＝售价－售价等 （2） 用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系. 易错点： 混淆等式、方程、代数式概念，误将含未知数的式子、不等式当作方程。忽略方程必须是含有未知数的等式两个核心条件，判断极易出错。 等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则c； （2）等式的对称性：若，则a. 易错点： 运用性质1漏加、漏减同数；运用性质2时，两边不同乘除、遗漏一项，或除以未知数（未知数可能为0），造成等式变形错误。 即时即练 1．下列等式变形正确的是（  ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．下列等式变形不一定成立的是（   ） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 3．下列运用等式的性质，变形不正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点02 方程 方程 1、方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、方程一定是等式，等式不一定是方程. 易错点： 审题不清，找错题目数量关系，正反关系列式颠倒；未知数设写不规范，列出等式左右数量不匹配，导致方程列式错误。 即时即练 4．在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 5．下列①；②；③；④；⑤；⑥，其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是___________．（填序号） 知识点03 方程的解和解方程 方程的解和解方程 1、方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2、解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3、方程的解可能不止一个（如x=1和x=-1都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4、检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 易错点： 检验解时只代入左边或右边，未完整对比两边数值；代入负数、分数时遗漏括号，计算失误导致判断错误。 核心规则：数值代入方程左右两边，两边相等才是方程的解。 即时即练 7．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 8．当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 9．已知是关于的方程的解，则的值为_____． 题型1 等式的性质1 1．如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．解方程时，若要得到，应在方程两边同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上 D．减去 3．如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 4．天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡．1个梨和______个桃同样重． 5．已知方程，用含的代数式表示，则_________． 题型2 等式的性质2 6．下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 8．将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 9．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 10．下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【易错警示】 运用等式性质变形时，两边需同时做相同运算，乘除不可漏一边。同除以数字不能为 0，未知数作除数要讨论取值。移项混淆等式性质易忘变号，负数、分数乘除易搞错符号，变形后代入验算，杜绝单边运算、忽略限制条件等错误。 题型3 判断各式是否是方程 11．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 12．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 13．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 14．在①；②；③；④中，是方程的是________．（填序号即可） 15．下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 题型4 判断是否是方程的解 16．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 17．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（    ） －2 －1 0 1 2 3 8 4 0 －4 －8 －12 A． B． C． D． 18．下列哪个方程的解不是（   ） A． B． C． D． 19．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 20．判断是否是下列一元一次方程的解： ①；②；③；④． 题型5 列方程 21．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 22．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 23．如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为______． 24．3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为______． 25．列方程表示下列语句中包含的相等关系： (1)比它的补角少； (2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； (3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； (4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 题型6 已知方程的解求参数 26．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．若 是方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．-1 D．2 28．某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 29．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 30．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【易错警示】 已知方程的解求参数，将数值代入时负数、分数必须加括号。严格按运算顺序化简求解，谨防符号计算失误。若方程为一元一次方程，需保证一次项系数不为零，算出参数后代回原式检验，避免遗漏隐含限制条件。 题型7 根据等式的性质解方程 31．求未知数x的值． (1) (2) (3) 32．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 33．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 34．请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错警示】 依据等式性质解方程，两边需同步变形，避免单边加减乘除。去分母时常数项勿漏乘最小公倍数，同除式子不能为 0。移项混淆性质易忘变号，负数代入漏括号，每步变形后核对等式两边，及时验算规避符号、漏项错误。 题型8 等式与方程新定义问题 36．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 37．对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？ 38．天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ 39．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 40．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 1．是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 2．下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，且，则 D．若，则 7．在解方程，对该方程进行变形时，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 9．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 10．小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 11．若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 12．若是关于x的方程的解，则多项式的值为______． 13．关于的方程的解为，则的值为_____________． 14．代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 15．数a是关于x的方程的解，若，，则的值为____． 16．已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是______． 17．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 18．若不论取什么实数，关于的方程（是常数）的解总是，则___________． 19．已知关于x的方程有负整数解，则符合条件的整数a的和为______． 20．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是________． 21．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 22．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1) (2) 23．回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 24．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因． 25．利用等式性质解下列方程： (1) (2) (3) 26．检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 27．只列方程，不解方程 (1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ (2)小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问苹果买了多少千克？ 28．，各是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）． 29．已知关于的方程的解是，求的值． 30．已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $