第11讲 整式的加减17大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第11讲 整式的加减 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 单项式的判断 题型2 单项式的系数、次数 题型3 单项式规律题 题型4 多项式相关概念 题型5 多项式系数、指数中字母求值 题型6 多项式的升降幂排列 题型7 整式的判断 题型8 同类项 题型9 合并同类项 题型10 去括号与添括号 题型11 整式的加减运算 题型12 整式加减中的化简求值 题型13 整式加减中的无关型问题 题型14 整式加减的应用 题型15 数字类规律探索 题型16 图形类规律探索 题型17 整式加减的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单项式、多项式、整式 合并同类项 去括号与添括号 整式加减 1.理解单项式、多项式、整式的概念，能准确识别同类项，掌握相关定义。 2.熟练掌握合并同类项、去括号法则，能规范进行整式加减运算。 3.能化简整式代数式，可代入数值准确求值，提升整式运算能力。 4.体会整式加减的化简思想，培养严谨有序的代数运算思维习惯。 5.能用整式加减解决简单实际问题，提升数学建模与代数应用素养。 学习重点：掌握同类项的判断方法，熟练运用法则进行去括号与合并同类项运算。 学习难点：正确处理去括号变号问题，准确化简复杂整式加减混合运算式子。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 即时即练 1．下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【答案】C 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义及相关性质，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：整式包括单项式和多项式，单独的字母m是单项式，属于整式，故A选项错误； 的系数是，次数是，故B选项错误； 单独的一个数是单项式，3是单独的数，是单项式，故C选项正确； ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是2， ∴该多项式的次数是3，故D选项错误． 2．下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了整式、单项式和多项式的定义，根据相关定义进行判断即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的积， ∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和， ∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误； ∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误； 综上，只有②正确， 故选：B． 3．在，，，，，，单项式有________________．多项式有 ________________，整式有 ________________． 【答案】 ， ， ，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． 知识点02 合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 即时即练 4．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了去括号和合并同类项的法则，准确的计算是解决本题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 6．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，合并同类项，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据合并同类项的运算法则求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03 去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 即时即练 7．下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项去括号得，，变形正确，不符合题意； B选项去括号得，，变形正确，不符合题意； C选项去括号得，，变形错误，符合题意； D选项去括号得，，变形正确，不符合题意． 8．代数式去括号后得__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式运算去括号法则，熟练掌握代数式运算去括号法则是解题的关键． 根据去括号法则，括号前是正号时，括号内各项符号不变，括号前是负号时，括号内各项符号改变，据此解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用已知条件求出和的值，代入原式计算即可． 【详解】解：由，，得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点04 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 即时即练 10．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． （1）直接合并同类项即可得到结果； （2）利用乘法分配律去括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．化简： （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可． （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 知识点05 代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 即时即练 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，绝对值的非负性、偶次方的非负性． 去括号，合并同类项，非负性求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．已知整式A和 B满足： (1)求整式A（用含a， b 的代数式表示）；当时，求整式A的值； (2)比较A与B的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减运算，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，据此根据整式的加减运算法则求出A，再代入a、b的值求解即可； （2）利用作差法求出的结果，再判断结果的符号即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 当时，． （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 题型1 单项式的判断 1．下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子，或单独的一个数或字母．分别检查各选项中的代数式是否符合定义． 【详解】解：∵单项式是数或字母的积，或单独的数或字母； 选项A中，含有减法，不是单项式； 选项B中，是常数与字母的积，为单项式；是单项式；是单项式； 选项C中，分母有字母，是分式，不是单项式； 选项D中，含有加法，不是单项式； ∴全是单项式的一组是B． 故选B 2．下列代数式：，，，，，中，单项式的个数是（   ） A．5 B．2 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念．单项式是数字或字母的积，包括单独的数字或字母，且分母中不能含有字母，根据定义求解即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字或字母的积的形式，或单独一个数字或字母也是单项式； ∴ 是多项式，不是单项式； 是和的形式，不是单项式； 分母是常数，是单项式； 分母含字母，是分式，不是单项式； 是数字与字母的积，是单项式； 是常数，是单项式． ∴ 单项式有 、、，共3个． 故选：D． 3．下列代数式中：，，，，，单项式的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，据此判断即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列代数式中：，，，，，单项式有，，，共个， 故选：． 4．下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【答案】3 【分析】本题考查单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：代数式（1）是数字与字母的积，是单项式； （2）是单独字母，是单项式； （3）是单独数字，是单项式； （4）分母有字母，是分式； （5）是多项式； （6）是多项式； （7）分母有字母，是分式； （8）是多项式； （9）分母有字母，是分式； 故单项式有3个； 故答案为：3． 5．有下列式子：①；②；③；④；⑤1；⑥；⑦；⑧．其中属于单项式的有__________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题题主要考查了单项式 ，解题关键是明确单项式的概念；根据数与字母的乘积的形式表示的代数式叫作单项式，逐个进行判断即可． 【详解】①，是单项式； ②，是单项式； ③，不是单项式； ④，是单项式； ⑤1，是单项式； ⑥，不是单项式； ⑦，分母含有未知数不是整式，故不是单项式； ⑧，分母含有未知数不是整式，故不是单项式． 故答案为：①②④⑤． 题型2 单项式的系数、次数 6．下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 【答案】C 【分析】根据单项式的定义、单项式的次数与系数的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：、中是常数，所有字母的指数和为，因此它是次单项式，故本选项说法错误，不符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意； 、根据定义，单独的一个数是单项式，因此是单项式，故本选项说法正确，符合题意； 、的数字因数是，因此系数为，不是，故本选项说法错误，不符合题意． 7．单项式的次数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先识别单项式中的字母，再将各字母的指数相加得到次数，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：∵在单项式中，是常数，不是字母，字母为和，其中的指数为，的指数为， ∴该单项式的次数为， ∴故选A． 8．单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的数字因数是，因此它的系数是， 单项式中字母的指数为，字母的指数为，所有字母的指数和为，因此它的次数是． 9．判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1)是单项式，系数是，次数是4． (2)是单项式，系数是，次数是6． (3)是单项式，系数是，次数是4． (4)是单项式，系数是，次数是5． (5)是单项式，系数是，次数是1． (6)不是单项式． (7)不是单项式． 【分析】本题主要考查了单项式．熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，这是解答本题的关键． （1）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （2）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （3）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （4）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （5）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可，其中π是表示圆周率，是数字不是字母； （6）是多项式，不是单项式； （7）不是单项式． 【详解】（1）是单项式，系数是，次数是4． （2）是单项式，系数是，次数是6． （3）是单项式，系数是，次数是4． （4）是单项式，系数是，次数是5． （5）是单项式，系数是，次数是1． （6）不是单项式． （7）不是单项式． 10．若单项式的系数为，次数为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义是解题的关键．根据项式系数和次数的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故答案为：． 题型3 单项式规律题 11．观察，，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第2026个单项式是_________． 【答案】 【分析】从符号，系数，指数三个部分总结出第个单项式的通用规律，再代入所求序号计算即可． 【详解】解：观察给出的一列单项式：，，，，，，， 可得：第个单项式（为正整数）为， 当时，． 12．观察下列单项式：，，，，，按照此规律，第个式子是______． 【答案】 【分析】分别从符号，的次数，分母三个部分总结规律，得到第个单项式，再代入求解即可． 【详解】解：观察已知单项式可得： 第个式子：； 第个式子：； 第个式子：； 第个式子：； ； 由此可得第个式子为； 将代入得， ∴第个式子是． 13．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 【答案】 【分析】本题考查单项式的规律探索，分别找出代数式的符号、系数绝对值、的次数对应的规律，再将代入规律计算即可． 【详解】解：∵第1个代数式为 第2个代数式为 第3个代数式为 第4个代数式为 …… ∴第个代数式为 将代入得 14．有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正 (2) (3) 【分析】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 15．下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个： ，，，，…… 如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？ 【答案】 【分析】观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及a的指数变化规律，据此写出第21个单项式． 【详解】解：第1个单项式为：， 第二个单项式为：， 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， … 第n个单项式为：． ∴第21个单项式为． 【点睛】本题考查了单项式．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 题型4 多项式相关概念 16．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 17．有一列式子：，，，，，．其中是单项式的有______；是多项式的有______． 【答案】 ，，8 ， 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，掌握定义是解本题的关键．单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；根据单项式和多项式的定义逐一判断即可． 【详解】题目中是单项式的有：，，8； 故答案为：，，8． 题目中是多项式的有：；，. 故答案为：，. 18．多项式的次数是___________． 【答案】5 【分析】此题考查了多项式的次数，多项式的次数是指所有项中最高次项的次数，需要计算各项的次数并比较即可得到答案． 【详解】解：多项式中，项的次数为3，项的次数为 ，项为常数项，次数为 0， 故最高次数为5，因此多项式的次数是 5． 故答案为：5． 19．已知多项式． (1)分别写出该多项式的三次项、常数项； (2)若a为多项式的次数，b为三次项的系数，求的值． 【答案】(1)次项是，常数项是1 (2)7 【分析】（1）根据多项式项的相关定义解答即可； （2）现根据多项式的相关定义求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】（1）的三次项是，常数项是1； （2）∵的次数是4，三次项的系数为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 20．已知． (1)按规律写出该多项式的第6项，并指出它的次数和系数． (2)该多项式是几次几项式． 【答案】(1)多项式的第6项为，其系数为，次数为； (2)多项式是十次十一项式． 【分析】（1）由已知的各项可得每一项的次数都是10，且奇数次项的系数为1，偶数次项的系数为，其中x按降幂排列，y按照升幂排列，从而可得答案； （2）根据每一项的次数都是10，以及按照x的排列规律可得其项数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式的第6项为，其系数为，次数为； （2），∵的每一项的次数都是10， ∴多项式是十次十一项式． 【点睛】本题考查的是多项式的项与次数的含义，熟记多项式的项与次数的概念以及探究各项的排列规律是解本题的关键． 题型5 多项式系数、指数中字母求值 21．已知多项式是六次四项式，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数定义，解题的关键是明确多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据多项式是六次四项式，确定次数最高的项为，再根据该项次数为6列方程求解m． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴最高次项的次数为6， ∴； ∴， 故选：D． 22．已知是关于的一次多项式，则等于（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式，根据一次多项式的定义，多项式最高次项为一次，因此 项的系数必须为零。 【详解】解：∵ 多项式 是关于的一次多项式， ∴ 项的系数 ， ∴ ， 故选B. 23．若多项式 是四次三项式，则m的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查多项式， 根据多项式为四次三项式的条件，最高次数为4且项数为3，需满足第一项次数为4且第二项系数不为零即可． 【详解】解：多项式的三项分别为：第一项 ，次数为 ；第二项 ，次数为 ；第三项 ，次数为 ， 由于多项式是四次式，最高次数为4， 因此第一项次数 ，解得 ， 当 时，第二项系数 ，所有项均存在，且最高次数为4，符合四次三项式， 故答案为：2． 24．已知是关于x的二次多项式，则_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键；根据二次多项式的定义，最高次项为二次，因此三次项系数必须为零，且二次项系数不能为零，由此问题可求解． 【详解】解：由多项式是关于的二次多项式，故三次项系数，解得， 又二次项系数，当时，，符合要求；当时，，不符合要求； 故； 故答案为：2． 25．已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的六次四项式， ∴，， 即，， ∴． 题型6 多项式的升降幂排列 26．把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将多项式进行降幂排列． 根据题意，将各项按的指数从大到小排序即可． 【详解】原多项式为 ∵各项按的指数从大到小排序为，，，，， ∴把多项式按x进行降幂排列为． 故选：A． 27．将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的次数，理解和掌握多项式的次数是解题的关键． 先判断每一项的次数，再把y按从低次到高次排列得出答案即可，排列时带着系数及符号． 【详解】解：多项式按y的升幂排列为：， 故选：A． 28．已知多项式，按照y的降幂排列为___________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题关键是确定各项中字母的次数，并按的次数从高到低排列各项；对于次数相同的项，按字母的降幂排列，使常数项在最后． 【详解】解：把多项式按y的降幂排列为， ． 故答案为：． 29．把多项式按字母升幂排列后，第三项是____________． 【答案】/ 【分析】此题考查了多项式的项．把多项式按字母升幂排列后即可得到答案． 【详解】解：多项式按字母升幕排列为，则第三项是， 故答案为： 30．对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式次数的确定方法（最高次项的次数为多项式的次数）是解题的关键． （1）先确定最小的正整数的值，代入多项式后，根据多项式次数的定义（最高次项的次数）计算次数． （2）①代入，根据八次四项式的定义（最高次项次数为8）列方程求；②根据的次数从高到低重新排列多项式各项． 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 【易错警示】 多项式升降幂排列时，要认准指定字母，严格按次数大小依次排列。移动项时必须连带前面符号，不可漏符号、乱换位。排列时杜绝混入其他字母次数，排列完成后及时检查项数与符号是否完整无误。 题型7 整式的判断 31．在，，，，，不属于整式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式． 【详解】解：∵，，是整式， ，不属于整式， ∴不属于整式的有2个， 故选：A． 32．下列代数式：10，，，，，，，其中是整式的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的概念，单项式与多项式统称整式，根据整式的定义求解即可． 【详解】解：式子10，，，，，符合整式的定义，是整式； 式子，分母中含有字母，不是整式； 式子，是等式，不是整式． 故整式有5个． 故选：B． 33．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有_______；（请填写序号） （2）属于多项式的有_______；（请填写序号） （3）属于整式的有_________．（请填写序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①④ ①③④⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式．根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：（1）属于单项式的有③；⑤0；⑥n； 故答案为：③⑤⑥； （2）属于多项式的有①；④； 故答案为：①④； （3）属于整式的有①；③；④；⑤0；⑥n． 故答案为：①③④⑤⑥． 34．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 【答案】 3 ② 4 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 35．把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【答案】(1)④⑤⑥⑧ (2)①②③⑦ (3)①②③④⑤⑥⑦⑧ (4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式有：④⑤⑥⑧； （2）解：多项式有：①②③⑦； （3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧； （4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； 题型8 同类项 36．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 37．下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】C 【详解】解：选项A中，与所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意； 选项C中，与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，∴是同类项，符合题意； 选项D中，是常数项，含有字母，所含字母不同，∴不是同类项，不符合题意． 38．写出代数式的一个同类项_____． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是熟练掌握同类项的定义，根据同类项的概念写出符合条件的单项式即可， 【详解】解：依题意，是代数式的一个同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 39．若单项式与是同类项，则_______． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题关键． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，从而列出方程求解． 【详解】单项式 与 是同类项， 的指数相等，即 ； 的指数相等，即 ，解得 ， ． 故答案为． 40．下列各组中的两项是不是同类项？请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与9． 【答案】(1)不是同类项，理由见解析 (2)是同类项，理由见解析 (3)不是同类项，理由见解析 (4)不是同类项，理由见解析 (5)是同类项，理由见解析 (6)是同类项，理由见解析 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”： 所含字母相同，且相同字母的指数也相同，熟练掌握其定义是解决此题的关键． （1）根据同类项的定义，进行判断即可； （2）根据同类项的定义，进行判断即可； （3）根据同类项的定义，进行判断即可； （4）根据同类项的定义，进行判断即可； （5）根据同类项的定义，进行判断即可； （6）根据同类项的定义，进行判断即可； 【详解】（1）解：与不是同类项，理由：与所含字母不相同，故与不是同类项； （2）解：与是同类项，理由：与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，故与是同类项； （3）解：与不是同类项，理由：与所含字母相同，但相同字母a、b的指数不相同，故与不是同类项； （4）解：与不是同类项，理由：与所含字母不相同，故与不是同类项； （5）解：与是同类项，理由：与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，故与是同类项； （6）解：与9是同类项，理由：与9都是常数，故与9是同类项． 题型9 合并同类项 41．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，关键是应用运算法则进行计算；去括号合并同类项即可． 【详解】解： ． 42．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 43．化简： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 44．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，去括号等，解题的关键是掌握合并同类项的法则． （1）把同类项进行合并即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．化简： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【易错警示】 合并同类项需先准确判断同类项，仅系数可相加减，字母和次数保持不变。合并时注意项前正负符号，切忌乱合并、漏符号、错算系数。杜绝不同类项强行合并，化简后及时检查结果是否最简无误。 题型10 去括号与添括号 46．下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 47．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 48．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 49．在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，添括号． 根据去括号和添括号法则，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 50．下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号、加法运算律等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据整式的加减运算、去括号、加法运算律逐项判断即可． 【详解】解：①，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确； ②，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确； ③，应用分配律，故③正确； ④，但原式给出，故④错误． 综上，正确的共有3个． 故答案为：3． 题型11 整式的加减运算 51．化简下列各式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】通过去括号法则以及合并同类项计算即可．注意去括号时括号前面是负号，括号里面每一项都需要变符号． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 52．化简：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可，掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 53．已知，． (1)求； (2)当为时，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值． （1）利用多项式加法法则，合并同类项即可得到的结果. （2）将代入（1）中所得代数式，按照有理数的混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解： 已知， （2）解： 当时 ， 54．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于合并同类项和去括号． （1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 55．已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减和整式加减中的化简求值． （1）根据整式的加法计算即可； （2）根据整式的加减法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 当时， ． 【易错警示】 整式加减运算要先正确去括号，严格遵循变号规则，再精准合并同类项。运算时切勿漏项、错改符号，不随意合并非同类项。坚持分步运算，规范书写步骤，认真核对结果，避免符号、步骤、化简类常见错误。 题型12 整式加减中的化简求值 56．先化简，再求值：，其中 【答案】；6 【分析】先去括号，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 57．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，先去括号合并同类项，化为最简再代入数值求解即可得到答案； 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 58．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，8 【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】注意括号前面是负号时，去括号后，括号里每一项都要变号 59．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，绝对值的非负性、偶次方的非负性． 去括号，合并同类项，非负性求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 60．化简并求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号，合并同类项后，再代入，求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【易错警示】 整式化简求值需先去括号、合并同类项化为最简式，再代入数值计算。负数、分数代入必须加括号，严格遵守运算顺序。严禁直接代入原式硬算，谨防符号错误、漏项、计算失误，做完及时验算。 题型13 整式加减中的无关型问题 61．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 62．若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减混合运算，根据多项式与的差与x的取值无关，即整理后含的项，系数为零，据此建立等式求出与的值，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 多项式与的差与x的取值无关， 且， 解得，， ， 故选：D． 63．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 64．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意计算，合并同类项后根据的值与x无关，得出，，求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x无关， ∴，， 解得：，， ∴． 65．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值、整式的化简求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键； （1）将所求代数式变形后整体代入即可； （2）将代数式变形后整体代入即可； （3）将化简后，因结果与无关，得出的值，整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， 将代入，原式 ； （3）解： ， ∵结果与的取值无关， ， ， ． 【易错警示】 整式无关型问题需先化简整式，不含对应字母的项系数必为零。解题需完整去括号、合并同类项，切勿漏项错号。不能主观判断无关，需依据系数为零列式求解，算后检验结果是否符合题意。 题型14 整式加减的应用 66．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，若在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，若已知大长方形的长比宽多4厘米，图（1）比图（2）中深色的区域的周长大（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 【答案】A 【分析】由图（2）得大长方形的长为，那么它的宽为，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再将它们作差即可． 【详解】解：由图（2）得大长方形的长为， 大长方形的长比宽多4厘米， 它的宽为， ， ． 67．某数学老师在数学活动课上拿了两枚骰子来玩游戏，甲、乙、丙三位同学负责在黑板上记录数据．甲同学记录一次抛掷两枚骰子的点数所能组成的最大两位数，记为数A；乙同学记录一次抛掷两枚骰子的点数组成的最小两位数，记为数B；丙同学记录一次抛掷两枚骰子的点数之和的平方，记为数C．经过很多次投掷后，数学老师发现了一种有趣的情形：．请你确定，产生这种有趣的情形时两枚骰子掷出的点数的平方和为______． 【答案】61 【分析】设两枚骰子的点数为（都是的正整数）且，表示出，由，求出，结合都是的正整数且，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：设两枚骰子的点数为（都是的正整数）且， 根据题意得，最小两位数，点数和的平方， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵都是的正整数，且， ∴， ∴． 68．2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话： 小文：我要送3本书给小远； 小明：我要送5本书给小远； 小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半； 小远：谢谢三位好朋友！ 请问，此时小志手中还有_____________本书籍． 【答案】4 【分析】设四人最初每人拥有的书籍数量为，根据题目条件依次表示出小文、小明送书后的剩余书籍数量，得到小志送出的书籍数量，再计算小志剩余的书籍数量，消去参数即可得到结果． 【详解】解：设四人最初每人有本书籍，根据题意，小文送出3本书后剩余书籍数量为，小明送出5本书后剩余书籍数量为． 小文与小明剩余书籍的总和为：， 小志送出的书籍数量为两人剩余总和的一半，即， 因此小志剩余书籍数量为：． 69．如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 70．某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 【答案】(1)270 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，分析题意并列出代数式是解题关键． （1）300元处于中间档次，按九折计算即可； （2）处于第三档，根据对应的优惠办法列代数式计算； （3）分析出第二次购物的货款不超过400元，第一次购物的钱数高于400元，再分两段求出二次购物的钱数，再相加即可． 【详解】（1）解：由题得，， ∴她实际付款270元； 故答案为：270； （2）解：由题得，， ∴她实际付款元； （3）解：∵第一次购物的货款为元， ∴第二次购物的货款为元，，享受9折优惠， ∴王老师两次购物实际付款元． 【易错警示】 整式加减应用解题需先分析实际题意，准确列出整式式子。规范完成去括号、合并同类项化简，严控符号与漏项错误。结合实际情境取舍结果，不可机械计算，做完认真验算，避免列式偏差与运算失误。 题型15 数字类规律探索 71．观察下列计算结果：通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．5 C．9 D．2 【答案】A 【分析】先确定的个位数字循环节为1，5，9，5，循环周期为；再计算的余数，根据余数确定的个位数字． 【详解】解：当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 的个位数字以1，5，9，5为周期循环，周期为． ， 的个位数字与时相同，为． 故选：A． 72．，这两个多位数都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2000位的所有数字之和是（    ） A．9992 B．9995 C．9998 D．9999 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律问题． 根据题意，可以写出当第一位数字是3时相应的数据，从而可以发现数字中各位的变化特点，即可求得这个多位数前2000位的所有数字之和． 【详解】解：第一位数字是3， 第二位数字为， 第三位数字为的个位数字2， 第四位数字为， 第五位数字为， 第六位数字为的个位数字6， 由此可得从第二位起，数字按6、2、4、8循环，循环节长度为4，循环节数字和为， 前2000位中，第一位是3，剩余1999位， 又∵，即包含499个完整循环，还余循环节的前3个数字6、2、4， ∴前2000位数字之和为． 故选：B． 73．观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． 【答案】 【分析】本题考查的是找规律问题，灵活分析式子的符号、系数和字母指数的变化规律是解题的关键．根据已知的式子，分别分析符号、系数的绝对值、字母的指数的变化规律，进而推导出第个式子的通用表达式，再将代入，求出第个式子． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依此类推， 第个式子为， 将代入得， 第个式子为． 故答案为：． 74．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式（按a降幂排列，b反之）的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． 在展开式中，若a的四次项系数是15，则n的值为______． 【答案】6 【分析】根据公式，求解即可． 【详解】解：由题意得， 故n的值为6． 75．观察下列等式： ①；②；③；⋯⋯ 根据你发现的规律解答下列问题： (1)请直接写出第九个等式 ； (2)计算 的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式的规律，推导得到第九个等式； （2）根据规律拆分每一项，中间项相互抵消后计算得到结果； （3）对每一项进行变形拆分，提取公因式后抵消中间项，计算得到结果． 【详解】（1）解：由题意知，第九个等式为； （2）解： ； （3）解： ． 题型16 图形类规律探索 76．菱形纹是中国传统纹饰，常被用于建筑、器具等装饰设计，如图，每一幅图案中有若干个大小不同的四边形，那么第（   ）幅图案中有25个四边形 A．11 B．12 C．13 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索； 观察图形得出规律：第n幅图案中有个四边形，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第1幅图案中有个四边形， 第2幅图案中有个四边形， 第3幅图案中有个四边形， … 所以第n幅图案中有个四边形， 由题意得， 解得， 即第13幅图案中有25个四边形， 故选：C． 77．如图，正五边形，有一颗跳棋放在图中的号位置上，现按顺时针方向，第一次跳三步到号位置上，第二次跳三步跳到号位置上，每次跳三步，一直进行下去．第56次跳到（    ）号位置上． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据题意找到一般规律即可求解． 【详解】解：由题意得：第一次跳三步到号位置上， 第二次跳三步跳到号位置上， 第三次跳三步跳到号位置上， 第四次跳三步跳到号位置上， 第五次跳三步跳到号位置上， 第六次跳三步跳到号位置上， 以此规律五次一循环，而， ∴第56次跳到号位置上． 故答案为：D． 78．围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学、如图是由棋子摆成的图案，第1个图案中有2颗棋子、第2个图案中有5颗棋子，第3个图案中有8颗棋子，第4个图案中有11颗棋子……，按此规律摆放，第2026个图案中有________颗棋子． 【答案】6077 【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：第个图案中有：颗棋子， 第个图案中有：颗棋子， 第个图案中有：颗棋子， ∴第个图案中有颗棋子， ∴第2026个图案中有颗棋子. 79．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第4个图形有____________颗黑色棋子； （2）第n个图形有____________颗黑色棋子． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现其图形的变化规律 （1）根据图形发现规律，利用规律写出第4个图形的棋子的个数即可 （2）将发现的规律用代数式表示出来即可． 【详解】解∶观察图形发现∶第一个图形有个棋子 第二个图形有个棋子， 第三个图形有个棋子， （1）第4个图形有个棋子； （2）第n个图形有个棋子； 故答案为∶； ． 80．数学来源于生活，又服务于生活．让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”： (1)观察与探究：图①、②、③、④都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”． 观察图形，补全下列表格： 序号 结点数 网眼数 边数 图① _____ 2 5 图② 4 _____ 6 图③ 5 4 _____ 图④ 8 _____ 12 (2)猜想与验证：上述、、之间具有怎样的数量关系？再画一个类似的平面图形，验证你的猜想； (3)应用与拓展：渔民老张对某水域鱼体型大小的初步判断，认为使用单位面积中含485~525个网眼的渔网效果最佳，图⑤是一张渔网的一部分，已知该渔网有500个“结点”，每个结点处都有4条“边”，通过计算说明这张渔网是否符合渔民老张的需求？ 【答案】(1)表格见解析 (2)，见解析 (3)符合渔民老张的需求，见解析 【分析】本题考查了图形变化的规律及有理数的减法，能根据所给图形发现、、之间的关系式是解题的关键． （1）观察图形可得结论； （2）根据表格中数据可求出、、之间的关系式； （3）先求出边数，再根据、、之间的关系式求解即可． 【详解】（1）解：观察与探究：补全表格如下： 序号 结点数 网眼数 边数 图① 4 2 5 图② 4 3 6 图③ 5 4 8 图④ 8 5 12 （2）猜想与验证：． 根据表格中的数据可知， ， 由此可得：， 验证举例画图说明（答案不唯一）． 结点数，网眼数，边数，满足； （3）应用与拓展： 符合渔民老张的需求．理由如下： 由题意知边数为：（条） ， 这张渔网网眼数为：（个）， 在范围之内 符合渔民老张的需求． 题型17 整式加减的新定义问题 81．定义一种操作：将有理数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，，若，经过第次操作后得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，通过计算前几次操作结果，发现从第次操作开始，结果在和之间循环，周期为，第次操作时，先减去前次非循环操作，剩余次操作，为奇数，对应循环中的值为，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵初始值， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， ， ∴从第次操作开始，结果以，为周期循环，周期为 令，则为奇数时结果为，为偶数时结果为， ∴第次操作时，，为奇数， ∴结果为， 故选：． 82．定义：在数轴上点M所表示的数是m，点所表示的数是，则称点是点M的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点…，以此类推，若点所表示的数为4，则点所表示的数为（   ）． A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义下的数列循环规律问题，熟练掌握根据定义找循环周期的方法是解题的关键． 根据“伴随点”的定义依次计算出等所表示的数，找出其循环规律，再根据循环周期确定所表示的数． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴， ， ， ， ……， ∴每项循环一次：． ∵， ∴． 故选：A． 83．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与________是关于1的平衡数，与________是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数________（填是与否） 【答案】 否 【分析】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加减，正确理解新定义、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【详解】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 84．定义：若，则称x与y是关于m的相关数． (1)若5与a是关于2的相关数，则 ． (2)若A与B是关于m的相关数，，B的值与m无关，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减无关类型， （1）根据定义列出式子求解即可； （2）根据新定义求得，进而根据题意的值与无关，令含项的系数为即可求解． 【详解】（1）解：与是关于的相关数， 解得； 故答案为：． （2）解：与是关于的相关数，， 的值与无关， ，得， 85．定义：若，则称与是关于数的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数．与是关于的伴随数． (1)填空：2024与____是关于的伴随数，____与是关于5的伴随数； (2)若与是关于2的伴随数，与是关于的伴随数，与是关于6的伴随数，求的值； (3)现有与（为常数）始终是数的伴随数，求的值． 【答案】(1)2025， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减运算，代数式求值问题，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据伴随数的定义列式计算即可； （2）根据伴随数得到，，，再将化简变形为，再代入求值即可； （3）首先求得，再根据题意可知的值与x无关，则，即可求得k的值，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴2024与2025是关于的伴随数，与是关于5的伴随数， 故答案为：2025，； （2）解：∵与是关于2的伴随数，与是关于的伴随数，与是关于6的伴随数， ∴，，， ∴ ； （3）解： ， ∵与（为常数）始终是数的伴随数， ∴， ∴的值与无关， ∴， 解得， ∴． 1．下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 2．下列各组代数式中，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意． 3．下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 【答案】D 【详解】解：是常数，不含字母，则次数为0，故A错误； 单项式的数字因数是，即系数是，故B错误； 单项式中所有字母的指数和为，次数是3，故C错误； 单项式的数字因数为，即系数为，故D正确． 4．按一定规律排列的代数式：、、、、、，则第8个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别从符号、系数绝对值、的次数三个部分寻找规律，得到第个式子的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：观察已知代数式可得： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， ...， 归纳可得，第个式子为， 将代入通式可得． 5．单项式的次数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先识别单项式中的字母，再将各字母的指数相加得到次数，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：∵在单项式中，是常数，不是字母，字母为和，其中的指数为，的指数为， ∴该单项式的次数为， ∴故选A． 6．若一个多项式减去等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减运算以及多项式减法中各部分的关系，熟练掌握被减数减数差列式以及去括号、合并同类项的法则是解题的关键．根据被减数减数差列式，再通过整式的加减运算合并同类项得到结果，对应选项即可． 【详解】解： ， ∴该多项式为， 故选：A． 7．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第2026次计算输出的结果是， 故选：D． 8．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 9．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 10．已知，．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算． 先计算的表达式，合并同类项后，令含的项的系数为零，从而求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 故选：C． 11．若单项式与是同类项，则___________，___________． 【答案】 5 3 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数相等求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，． 12．已知，则_________． 【答案】 【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 13．把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【答案】 【分析】先确定多项式各项中字母的指数，再按照的指数从大到小的顺序重新排列各项即可. 【详解】解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 14．单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的数字因数是，因此它的系数是， 单项式中字母的指数为，字母的指数为，所有字母的指数和为，因此它的次数是． 15．若减去的差不含项，则______． 【答案】 【分析】将已知整式相减，然后去括号，合并同类项进行化简，令含项的系数之和为，列方程求解． 【详解】解： ， 结果中不含项， ， 解得． 16．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． 17．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 18．如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减法，熟练掌握整式的加减法运算法则，根据图形求周长是解题的关键． 设长方形的长为a，宽为b，根据图形求阴影部分的周长即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， ∴阴影的周长， 故答案为：． 19．已知m，n，p是三个互不相等的整数，且，记，，，则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 6 24 【分析】由题意，a、b、c是互不相等的整数，且．列举所有满足条件的整数三元组，计算 的可能值，最大值为6；由，当最小时最小，最小值为24． 【详解】解：∵m，n，p是三个互不相等的整数，，，， ∴a、b、c是互不相等的整数，且， ∴可能的三元组有 ，和为6； ，和为4； ，和为2； ，和为0； ，和为． 故的最大值为6，最小值为， 由， 当最小时，取最小值，且最小值为． 故答案为 6；24． 20．有一个宽为，长为的长方形纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形，，依此类推，如图是剪次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应的值，若将长方形剪次后余下的长方形恰好是正方形，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了图形规律，根据题意画出图形即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，如图， 或， 故答案为：或． 21．化简： 【答案】 【详解】解： ． 22．先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 【详解】解：原式 当，，原式 ． 23．化简与求值： (1)化简； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，54 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的加减运算法则． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，合并同类项化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 24．把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 25．【阅读理解】整体思想在数学运算中有着非常重要的作用，它通过把某一部分看成一个整体代入计算，使得整个运算过程变得更加简便，例如：把“”看作一个整体，可对式子进行如下化简： 【简单应用】根据条件求代数式的值． （1）已知，则___________； （2）已知，求的值． 【拓展提高】已知，求代数式的值． 【答案】简单应用：（1）；（2）；拓展提高： 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． 简单应用：（1）将作为整体，代入计算即可得； （2）根据，将代入计算即可得； 拓展提高：将变形为，再将已知等式的值代入计算即可得． 【详解】解：简单应用：（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴ ． 拓展提高：∵， ∴ ． 26．1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)22 (3) 【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了 （张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． 27．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 28．如图，老师用手捂住了一个多项式，记这个多项式为M． (1)计算M的结果； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查整式加减运算的应用及已知字母的值求代数式的值． （1）根据整式的运算法则即可求出答案； （2）把的值代入，再根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意， ； （2）解：当，时， 则． 29．水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 【答案】(1)吨，吨 (2) (3)545 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）用表示出、两个仓库分别向、运送的吨数，再乘以每吨的运费，然后合并起来即可； （3）把代入（2）中的代数式，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为吨，从B仓库运到D工地的水泥为吨； （2）解：把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费为： 元； （3）解：当时，（元）， 如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为元． 30．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】(1) ；（2）；（3）①；② 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合上面发现的规律进行计算即可； （3）根据所给等式，发现规律，并据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知：，，⋯⋯， 所以，， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①因为；；；… 所以，， 故答案为：； ② ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 整式的加减 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 单项式的判断 题型2 单项式的系数、次数 题型3 单项式规律题 题型4 多项式相关概念 题型5 多项式系数、指数中字母求值 题型6 多项式的升降幂排列 题型7 整式的判断 题型8 同类项 题型9 合并同类项 题型10 去括号与添括号 题型11 整式的加减运算 题型12 整式加减中的化简求值 题型13 整式加减中的无关型问题 题型14 整式加减的应用 题型15 数字类规律探索 题型16 图形类规律探索 题型17 整式加减的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单项式、多项式、整式 合并同类项 去括号与添括号 整式加减 1.理解单项式、多项式、整式的概念，能准确识别同类项，掌握相关定义。 2.熟练掌握合并同类项、去括号法则，能规范进行整式加减运算。 3.能化简整式代数式，可代入数值准确求值，提升整式运算能力。 4.体会整式加减的化简思想，培养严谨有序的代数运算思维习惯。 5.能用整式加减解决简单实际问题，提升数学建模与代数应用素养。 学习重点：掌握同类项的判断方法，熟练运用法则进行去括号与合并同类项运算。 学习难点：正确处理去括号变号问题，准确化简复杂整式加减混合运算式子。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 即时即练 1．下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 2．下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 3．在，，，，，，单项式有________________．多项式有 ________________，整式有 ________________． 知识点02 合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 即时即练 4．化简：______． 5．化简： (1)； (2)． 6．化简： (1)； (2)． 知识点03 去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 即时即练 7．下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 8．代数式去括号后得__________． 9．已知，，则______． 知识点04 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 即时即练 10．化简： (1) (2) 11．化简： (1)； (2)． 12．化简： （1）； （2）． 知识点05 代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 即时即练 13．先化简，再求值：，其中． 14．先化简，再求值：，其中． 5．已知整式A和 B满足： (1)求整式A（用含a， b 的代数式表示）；当时，求整式A的值； (2)比较A与B的大小． 题型1 单项式的判断 1．下列代数式中，全是单项式的一组是（　　） A．，，a B．，， C．，， D．，， 2．下列代数式：，，，，，中，单项式的个数是（   ） A．5 B．2 C．4 D．3 3．下列代数式中：，，，，，单项式的个数是（    ） A． B． C． D． 4．下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 5．有下列式子：①；②；③；④；⑤1；⑥；⑦；⑧．其中属于单项式的有__________．（填序号） 题型2 单项式的系数、次数 6．下列说法正确的是（　　） A．是次单项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的系数是 7．单项式的次数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 8．单项式的系数是______ ，次数是______ ． 9．判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 10．若单项式的系数为，次数为，则________． 题型3 单项式规律题 11．观察，，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第2026个单项式是_________． 12．观察下列单项式：，，，，，按照此规律，第个式子是______． 13．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 14．有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 15．下面是按一定规律写出的一列单项式中的前四个： ，，，，…… 如果按此规律继续写下去，排在第21个的是什么样的单项式？ 题型4 多项式相关概念 16．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 17．有一列式子：，，，，，．其中是单项式的有______；是多项式的有______． 18．多项式的次数是___________． 19．已知多项式． (1)分别写出该多项式的三次项、常数项； (2)若a为多项式的次数，b为三次项的系数，求的值． 20．已知． (1)按规律写出该多项式的第6项，并指出它的次数和系数． (2)该多项式是几次几项式． 题型5 多项式系数、指数中字母求值 21．已知多项式是六次四项式，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．已知是关于的一次多项式，则等于（   ） A．2 B． C． D．0 23．若多项式 是四次三项式，则m的值为_______． 24．已知是关于x的二次多项式，则_______． 25．已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值． 题型6 多项式的升降幂排列 26．把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 27．将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 28．已知多项式，按照y的降幂排列为___________． 29．把多项式按字母升幂排列后，第三项是____________． 30．对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【易错警示】 多项式升降幂排列时，要认准指定字母，严格按次数大小依次排列。移动项时必须连带前面符号，不可漏符号、乱换位。排列时杜绝混入其他字母次数，排列完成后及时检查项数与符号是否完整无误。 题型7 整式的判断 31．在，，，，，不属于整式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．下列代数式：10，，，，，，，其中是整式的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 33．下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有_______；（请填写序号） （2）属于多项式的有_______；（请填写序号） （3）属于整式的有_________．（请填写序号） 34．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 35．把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 题型8 同类项 36．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 37．下列各对单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．3与 38．写出代数式的一个同类项_____． 39．若单项式与是同类项，则_______． 40．下列各组中的两项是不是同类项？请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与； (6)与9． 题型9 合并同类项 41．计算：． 42．计算 (1) (2) 43．化简： (1) ； (2)． 44．化简： (1)； (2)． 45．化简： (1)； (2) 【易错警示】 合并同类项需先准确判断同类项，仅系数可相加减，字母和次数保持不变。合并时注意项前正负符号，切忌乱合并、漏符号、错算系数。杜绝不同类项强行合并，化简后及时检查结果是否最简无误。 题型10 去括号与添括号 46．下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 47．（    ） A． B． C． D． 48．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 49．在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 50．下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 题型11 整式的加减运算 51．化简下列各式 (1) (2) 52．化简：． 53．已知，． (1)求； (2)当为时，求（1）中代数式的值． 54．化简： (1) (2) 55．已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 【易错警示】 整式加减运算要先正确去括号，严格遵循变号规则，再精准合并同类项。运算时切勿漏项、错改符号，不随意合并非同类项。坚持分步运算，规范书写步骤，认真核对结果，避免符号、步骤、化简类常见错误。 题型12 整式加减中的化简求值 56．先化简，再求值：，其中 57．先化简，再求值：，其中，． 58．先化简，再求值：，其中，． 59．先化简，再求值：，其中． 60．化简并求值：，其中，． 【易错警示】 整式化简求值需先去括号、合并同类项化为最简式，再代入数值计算。负数、分数代入必须加括号，严格遵守运算顺序。严禁直接代入原式硬算，谨防符号错误、漏项、计算失误，做完及时验算。 题型13 整式加减中的无关型问题 61．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 62．若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 63．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 64．已知，，若的值与x无关，则的值为________． 65．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【易错警示】 整式无关型问题需先化简整式，不含对应字母的项系数必为零。解题需完整去括号、合并同类项，切勿漏项错号。不能主观判断无关，需依据系数为零列式求解，算后检验结果是否符合题意。 题型14 整式加减的应用 66．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，若在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，若已知大长方形的长比宽多4厘米，图（1）比图（2）中深色的区域的周长大（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 67．某数学老师在数学活动课上拿了两枚骰子来玩游戏，甲、乙、丙三位同学负责在黑板上记录数据．甲同学记录一次抛掷两枚骰子的点数所能组成的最大两位数，记为数A；乙同学记录一次抛掷两枚骰子的点数组成的最小两位数，记为数B；丙同学记录一次抛掷两枚骰子的点数之和的平方，记为数C．经过很多次投掷后，数学老师发现了一种有趣的情形：．请你确定，产生这种有趣的情形时两枚骰子掷出的点数的平方和为______． 68．2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话： 小文：我要送3本书给小远； 小明：我要送5本书给小远； 小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半； 小远：谢谢三位好朋友！ 请问，此时小志手中还有_____________本书籍． 69．如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 70．某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 【易错警示】 整式加减应用解题需先分析实际题意，准确列出整式式子。规范完成去括号、合并同类项化简，严控符号与漏项错误。结合实际情境取舍结果，不可机械计算，做完认真验算，避免列式偏差与运算失误。 题型15 数字类规律探索 71．观察下列计算结果：通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．5 C．9 D．2 72．，这两个多位数都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2000位的所有数字之和是（    ） A．9992 B．9995 C．9998 D．9999 73．观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． 74．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式（按a降幂排列，b反之）的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． 在展开式中，若a的四次项系数是15，则n的值为______． 75．观察下列等式： ①；②；③；⋯⋯ 根据你发现的规律解答下列问题： (1)请直接写出第九个等式 ； (2)计算 的值； (3)计算的值． 题型16 图形类规律探索 76．菱形纹是中国传统纹饰，常被用于建筑、器具等装饰设计，如图，每一幅图案中有若干个大小不同的四边形，那么第（   ）幅图案中有25个四边形 A．11 B．12 C．13 D．25 77．如图，正五边形，有一颗跳棋放在图中的号位置上，现按顺时针方向，第一次跳三步到号位置上，第二次跳三步跳到号位置上，每次跳三步，一直进行下去．第56次跳到（    ）号位置上． A． B． C． D． 78．围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学、如图是由棋子摆成的图案，第1个图案中有2颗棋子、第2个图案中有5颗棋子，第3个图案中有8颗棋子，第4个图案中有11颗棋子……，按此规律摆放，第2026个图案中有________颗棋子． 79．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第4个图形有____________颗黑色棋子； （2）第n个图形有____________颗黑色棋子． 80．数学来源于生活，又服务于生活．让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”： (1)观察与探究：图①、②、③、④都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”． 观察图形，补全下列表格： 序号 结点数 网眼数 边数 图① _____ 2 5 图② 4 _____ 6 图③ 5 4 _____ 图④ 8 _____ 12 (2)猜想与验证：上述、、之间具有怎样的数量关系？再画一个类似的平面图形，验证你的猜想； (3)应用与拓展：渔民老张对某水域鱼体型大小的初步判断，认为使用单位面积中含485~525个网眼的渔网效果最佳，图⑤是一张渔网的一部分，已知该渔网有500个“结点”，每个结点处都有4条“边”，通过计算说明这张渔网是否符合渔民老张的需求？ 题型17 整式加减的新定义问题 81．定义一种操作：将有理数代入得到，称为第一次操作，再将作为的值代入得到，称为第二次操作，，若，经过第次操作后得到的是（   ） A． B． C． D． 82．定义：在数轴上点M所表示的数是m，点所表示的数是，则称点是点M的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点…，以此类推，若点所表示的数为4，则点所表示的数为（   ）． A．4 B． C． D． 83．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与________是关于1的平衡数，与________是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数________（填是与否） 84．定义：若，则称x与y是关于m的相关数． (1)若5与a是关于2的相关数，则 ． (2)若A与B是关于m的相关数，，B的值与m无关，求n的值． 85．定义：若，则称与是关于数的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数．与是关于的伴随数． (1)填空：2024与____是关于的伴随数，____与是关于5的伴随数； (2)若与是关于2的伴随数，与是关于的伴随数，与是关于6的伴随数，求的值； (3)现有与（为常数）始终是数的伴随数，求的值． 1．下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组代数式中，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与． 3．下列说法正确的是（） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．单项式的次数是2 D．单项式系数为 4．按一定规律排列的代数式：、、、、、，则第8个式子是（    ） A． B． C． D． 5．单项式的次数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．若一个多项式减去等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 7．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 9．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 10．已知，．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 11．若单项式与是同类项，则___________，___________． 12．已知，则_________． 13．把多项式按字母的降幂排列是：_____． 14．单项式的系数是______ ，次数是______ ． 15．若减去的差不含项，则______． 16．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 17．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 18．如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ． 19．已知m，n，p是三个互不相等的整数，且，记，，，则的最大值为______，的最小值为______． 20．有一个宽为，长为的长方形纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形，，依此类推，如图是剪次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应的值，若将长方形剪次后余下的长方形恰好是正方形，则的值是______． 21．化简： 22．先化简，再求值：，其中 ． 23．化简与求值： (1)化简； (2)先化简，再求值：，其中． 24．把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 25．【阅读理解】整体思想在数学运算中有着非常重要的作用，它通过把某一部分看成一个整体代入计算，使得整个运算过程变得更加简便，例如：把“”看作一个整体，可对式子进行如下化简： 【简单应用】根据条件求代数式的值． （1）已知，则___________； （2）已知，求的值． 【拓展提高】已知，求代数式的值． 26．1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 27．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 28．如图，老师用手捂住了一个多项式，记这个多项式为M． (1)计算M的结果； (2)当，时，求M的值． 29．水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 30．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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