2.2.3一元二次方程的解法-第3课时 用公式法求解一元二次方程 课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法求解及根的判别式，通过回顾配方法步骤，以“用配方法推导一般形式方程的根”为支架，衔接旧知与新知，引导学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动推导求根公式，培养数学思维（推理能力），结合例2含参数方程分层应用，强化数学语言（模型意识）。采用“推导-例题-变式-小结”流程，帮助学生掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

2.2.3 一元二次方程的解法 第3课时 用公式法求解一元二次方程 1. 经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式. 2. 能用公式法解一元二次方程. 3.不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等. 学习目标 回 顾 用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化：二次项系数化为1； 2.移：将常数项移到等号右边； 3.配：配方，使等号左边成为完全平方式； 4.开：等号两边开平方； 5.解：求出方程的解. 如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 )，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会便捷得多. 新课引入 问 题 用配方法解方程： ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ). 二次项系数a ≠ 0. 解：方程两边都除以 a ，得 . 配方，得 移项，得 新知学习 问 题 用配方法解方程： ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ). 因为 a ≠ 0，所以 4a2 ＞ 0.当 b2－4ac ≥ 0 时， 是一个非负数，此时两边开平方得 ， 即 ， . 当b2 － 4ac＝0时，方程两个根相等. 新知学习 归纳总结 对于一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 )，当 b2－4ac ≥ 0时，它的根是 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 新知学习 例1 解方程： (1) x2－7x－18 ＝ 0； 解： (1) 这里 a ＝ 1，b ＝－7，c ＝－18. 因为b2－4ac ＝ (－7 )2－4 × 1 × (－18 ) ＝ 121 > 0， 所以 ， 即 x1 ＝ 9，x2 ＝－2. 新知学习 例1 解方程： (2) 4x2 ＋ 1 ＝ 4x . 解 : (2) 将原方程化为一般形式，得 4x2－4x ＋ 1＝0 这里 a ＝ 4，b ＝－4，c ＝ 1. 因为b2－4ac ＝ (－4 )2－4 × 4 × 1 ＝ 0， 所以 ， 即 x1 ＝ x2 ＝ . 新知学习 变 式 解方程：x(2x－4) ＝ 5－8x. 解：将原方程化为一般形式，得： 2x2＋4x－5＝0 这里a＝2，b＝4，c＝－5 ， 因为b2－4ac＝42－4×2×(－5) ＝ 56>0 ， 所以 ， 即 . 新知学习 归纳总结 用公式法求解一元二次方程一般步骤： 1. 化：化已知方程为一般形式； 2. 定：确定 a、b、c 的值； 3. 算：计算 b2－4ac 的值； 4. 判：判断 b2－4ac 与 0 的大小； 5. 解：由求根公式求出方程的根. 新知学习 解：a＝1，b＝－2，c＝3. b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0 ， 尝试·思考 (1)你能解一元二次方程x2－2x＋3 ＝0吗？ 根据求根公式， b2－4ac＜0 无法开平方 新知学习 尝试·思考 (2)对于一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 )，当b2－4ac＜0，它的根的情况是怎样的？ 当 b2－4ac < 0 时，则 ，即 . 所以 x 取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实根. 新知学习 归纳总结 对于一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 )， 当 b2－4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac < 0 时，方程没有实数根. 一元二次方程的ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) 根的情况可由 b2－4ac 来判定.我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示. 新知学习 例2 (一题多设问)已知含参数的一元二次方程(a＋1)x2＋3x＋1＝0(a为实数). (1)当a＝－2时，求该一元二次方程方程的根； 解：当a＝－2时，方程为－x2＋3x＋1＝0， 因为9－4×(－1)×1＝13， 所以 所以 新知学习 解：当a＝3时，方程4x2＋3x＋1＝0无实数根，证明如下： 因为9－4×4×1＝－7＜0， 所以该一元二次方程无实数根； 例2 (一题多设问)已知含参数的一元二次方程(a＋1)x2＋3x＋1＝0(a为实数). (2)当a＝ 3时，判断该一元二次方程根的情况，并证明； 新知学习 解：因为该一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以9－4(a＋1)＞0， 解得a＜ ， 因为a＋1≠0，所以a≠－1， 所以a＜ 且a≠－1； 例2 (一题多设问)已知含参数的一元二次方程(a＋1)x2＋3x＋1＝0(a为实数). (3)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； 新知学习 解：因为该一元二次方程有两个相等的实数根， 所以9－4(a＋1)＝0， 解得a＝ ， 因为( ＋1)≠0， 所以a＝ . 例2 (一题多设问)已知含参数的一元二次方程(a＋1)x2＋3x＋1＝0(a为实数). (4)若该一元二次方程有两个相等的实数根，求a的值. 新知学习 思考·交流 在求解一元二次方程的过程中，你认为配方的作用是什么？ (1)降次求解：将一元二次方程转化为完全平方式等于常数的形式，通过开平方把二次问题降为一次问题，实现求解； (2)通法基础：是解一元二次方程的通用方法，也是推导求根公式的核心依据； (3)衔接后续：为二次函数化为顶点式、求最值 / 对称轴等知识做铺垫. 新知学习 1.若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为 (　　) A.－4 B.－1 C.1 D.4 2.若关于x的一元二次方程 x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是 (　　) A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1 C B 随堂练习 3.已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，n满足 m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 解析：对于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，若Δ＝b²－4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b²－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b²－4ac<0，则方程没有实数根，据此先求出m－2n＝3，再求出Δ＝(－m)²－4(－n²＋mn＋1)的符号即可得到结论. C 随堂练习 4.用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7 ＝ 0； 解： a ＝ 1，b ＝－4，c ＝－7. 因为 b2－4ac ＝ (－4)2－4 × 1 ×(－7) ＝ 44＞0， 所以 ， 即 x1 ＝ ，x2 ＝ . 随堂练习 4.用公式法解下列方程： (2) 4x2 ＝ 3(4x－3)； 解： 方程化为4x2－12x＋9＝0. 因为 a ＝ 4，b ＝ －12，c ＝ 9， 所以 ， 即 x1 ＝ x2 ＝ . 随堂练习 4.用公式法解下列方程： (3) x2＋17＝ 8x； 解：方程化为x2－8x＋17＝0. 因为 a ＝ 1，b ＝－8，c ＝17， 所以 ＜0， 故方程无实数根. 随堂练习 5.设一元二次方程 x²＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b＝2，c＝1;②b＝3，c＝1;③b＝3，c＝－1;④b＝2，c＝2. 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分. 解：选择条件②(答案不唯一，②③任选一组即可)： 得一元二次方程为x2＋3x＋1＝0， 由求根公式 ， 得 . 即x1 ＝ ，x2 ＝ . 随堂练习 根的判别式以 及根的情况 用公式法求解 一元二次方程 公式法 (1) 化：一般形式； (2) 定：确定 a、b、c 的值； (3) 算：计算 b2－4ac 的值； (4) 判：判断 Δ ＝ b2－4ac 与 0 的大小； (5) 解：由求根公式求出方程的根. ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 )， 当b2－4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当b2－4ac ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac < 0 时，方程没有实数根. 求解一元二次 方程一般步骤 课堂小结 $