2.2第3课时 用公式法解一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用公式法解一元二次方程”，通过复习配方法解方程及步骤导入，引导学生从一般形式方程出发推导求根公式，构建配方法到公式法的知识支架，帮助学生理解前后知识的逻辑关联。 其亮点在于推导求根公式过程中培养推理能力，根的判别式表格化呈现强化模型意识，结合直角三角形边长等实例渗透应用意识。学生能形成有条理的思维品质，教师可依托系统内容提升教学效率。

用公式法解一元二次方程 2 北师版九年级上册 1 复习导入 用配方法解方程：2x2 － 4x － 6 = 0. 解：方程两边都除以 2，得 x2 － 2x － 3 = 0 移项，得 x2 － 2x = 3 配方，得 x2 － 2x + 1 = 3 + 1 (x － 1)2 = 4 两边开平方，得 x － 1= ±2 x1= 3，x2= －1 你能说一说，用配方法解方程的步骤吗？ 化：二次项系数化为 1 ； 移：将常数项移到等号右边； 配：配方，使等号左边成为完全平方式； 开：等号两边开平方； 解：求出方程的解。 探究新知 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0） 思考： 用配方法可以解所有一元二次方程吗？ 每次求解都要配方，很麻烦，你有简单方法吗？ 用配方法解方程：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0） 方程两边都除以 a，得 配方，得 移项，得 能直接开平方吗？ 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0。 当b2－4ac ≥ 0 时， 是一个非负数， 即 两边开平方，得 求根公式 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）， 当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 注意：必须是一般形式的二元一次方程； 必须满足 b2－4ac ≥0 才能代入公式计算。 例 解方程 ： （1）x2－7x－18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x。 解：（1）a = 1，b =－7，c = －18。 ∵ b2－4ac = (－7)2－4×1×(－18) = 121 > 0， ∴ 即 x1 = 9，x2 = －2。 解：（2）将原方程化为一般形式，得 4x2－4x + 1 = 0。 这里 a = 4，b =－4，c = 1。 ∵ b2－4ac = (－4)2－4×4×1 = 0， ∴ 即 例 解方程 ： （1）x2－7x－18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x。 （1）你能解一元二次方程 x2－2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ 解：（1）a = 1，b = －2，c = 3. ∵ b2－4ac = (－2)2－4×1×3 = －8 < 0， ∴方程没有实数根。 尝试·思考 （2）对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0，当 b2－4ac < 0 时，它的根的情况是怎样的？ 尝试·思考 b2－4ac < 0 方程无实根 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0，当 b2－4ac = 0 时，它的根的情况是怎样的？ b2－4ac = 0 想一想 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）， 根的判别式是： ⊿ = b2－4ac 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0） 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 ⊿ = b2 -4ac > 0 两个不相等的实数根 ⊿>0 两个不相等的实数根 ⊿ = b2 -4ac = 0 两个相等的实数根 ⊿=0 两个相等的实数根 ⊿ = b2 -4ac < 0 没有实数根 ⊿<0 没有实数根 思考·交流 在求解一元二次方程的过程中，你认为配方的作用是什么？与同伴进行交流。 配方最主要就是把复杂的二次式子变成完全平方，把二次方程变成能直接开方的形式，这样就能解出未知数； 配方还能帮我们看出式子的最大值、最小值。 【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2 + 5 = 7x ； 不解方程，判断下列方程的根的情况： （2）4x(x－1) + 3 = 0 ； （3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y 。 （1）将方程化成一般形式：2x2－7x + 5 = 0； ⊿ = b2－4ac =(－7)2 －4×2×5 = 9 > 0 方程有两个不相等的实数根. 达标检测 （2）将方程化成一般形式：4x2－4x + 3 = 0； ⊿ = b2－4ac = (－4)2－4×4×3 = －24 < 0 方程没有实数根。 【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2 + 5 = 7x ； 不解方程，判断下列方程的根的情况： （2）4x(x－1) + 3 = 0 ； （3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y 。 （3）将方程化成一般形式：4y2－2.4y + 0.36 = 0； ⊿ = b2－4ac = (－2.4)2－4×4×0.36 = 0， 方程有两个相等的实数根。 【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2 + 5 = 7x ； 不解方程，判断下列方程的根的情况： （2）4x(x－1) + 3 = 0 ； （3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y 。 【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2－9x + 8 = 0； 用公式法解方程： （2）9x2 + 6x + 1 = 0 ； （3）16x2 + 8x = 3； （4） x(x－3) + 5 = 0。 解：（1）a = 2，b = －9，c = 8， ∵ b2－4ac = (－9)2－4×2×8 = 17 > 0， 解：（2）a = 9，b = 6，c = 1， ∵ b2－4ac = 62－4×9×1 = 0 = 0， 【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2－9x + 8 = 0； 用公式法解方程： （2）9x2 + 6x + 1 = 0 ； （3）16x2 + 8x = 3； （4） x(x－3) + 5 = 0。 解：（3）将方程化为一般形式，得 16x2 + 8x + 3 = 0， a = 16，b = 8，c = －3， ∵ b2－4ac = 82－4×16×(－3) = 256 > 0， 【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2－9x + 8 = 0； 用公式法解方程： （2）9x2 + 6x + 1 = 0 ； （3）16x2 + 8x = 3； （4） x(x－3) + 5 = 0。 解：（4）将方程化为一般形式，得 x2－3x + 5 = 0， a = 1，b = －3，c = 5， ∵ b2－4ac = (－3)2－4×1×5 = －11 < 0， ∴ 方程没有实数根。 【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2－9x + 8 = 0； 用公式法解方程： （2）9x2 + 6x + 1 = 0 ； （3）16x2 + 8x = 3； （4） x(x－3) + 5 = 0。 【选自教材P43 随堂练习】 一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形三条边的长。 解: 设中间边长为 x。 x2＋(x-2)2 ＝ (x＋2)2。 解得 x1＝0(舍去)，x2＝8。 所以，这个三角形的三条边长为6，8，10。 课堂小结 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）， 当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0） 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 ⊿ = b2 -4ac > 0 两个不相等的实数根 ⊿>0 两个不相等的实数根 ⊿ = b2 -4ac = 0 两个相等的实数根 ⊿=0 两个相等的实数根 ⊿ = b2 -4ac < 0 没有实数根 ⊿<0 没有实数根 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $