第13讲 一元一次方程及其解法16大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第13讲 一元一次方程及其解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元一次方程的定义 题型2 一元一次方程的解 题型3 解一元一次方程——合并同类项、移项 题型4 解一元一次方程——去括号 题型5 解一元一次方程——去分母 题型6 解一元一次方程——综合 题型7 已知一元一次方程的解求参数 题型8 一元一次方程解的关系 题型9 一元一次方程同解问题 题型10 一元一次方程漏解问题 题型11 由一元一次方程的解求另一个方程的解 题型12 绝对值方程 题型13 一元一次方程的整数解问题 题型14 一元一次方程新定义运算 题型15 一元一次方程中的定值问题 题型16 一元一次方程与数轴、绝对值相关计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次方程的定义 一元一次方程的解法 一元一次方程的同解 绝对值方程 1.熟知一元一次方程的定义，掌握解方程的完整步骤及每步运算依据。 2.熟练掌握移项、去括号、去分母等步骤，规范求解一元一次方程。 3.能规范解方程并养成检验习惯，有效规避符号、漏项等计算错误。 4.体会化归数学思想，将复杂方程逐步转化为最简标准方程形式。 5.能运用解方程知识解决简单实际问题，提升数学运算与应用能力。 学习重点：掌握解一元一次方程的完整步骤，能规范准确求解各类基础方程。 学习难点：正确处理去分母、去括号变号问题，规避解方程常见易错点。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次方程的概念 一元一次方程的概念 1. 一元一次方程的定义：方程这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程. 这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1. 2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）. 3.一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 易错题型： 题型一：定义判断易错 易错点：忽略一元一次方程三大核心条件：只含一个未知数、未知数最高次数为1、整式方程。常误判含分母未知数、未知数平方、多个未知数的式子为一元一次方程。 题型二：含参数方程判断易错 易错点：已知方程是一元一次方程求参数时，忽略未知数系数不能为0，只考虑次数为1，导致参数取值出错，遗漏关键限制条件。 题型三：最简形式辨析易错 易错点：误认为必须是ax+b=0标准式才是一元一次方程，忽视化简后判断，错判可整理为标准形式的等式。 题型四：方程的解概念易错 易错点：不会利用方程的解的定义代入求值，代入负数、分数时漏加括号，计算失误，无法正确求解参数数值。 即时即练 1．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，并且所含未知数的最高次数是1的整式方程”逐个判断即可． 【详解】解： A、的未知数在分母里，不是整式方程，故错误； B、化简后没有未知数，所以不是一元一次方程，故错误； C、可化简为，只含一个未知数且次数为1，是整式方程，故正确； D、含有两个未知数，故错误； 故选：C． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据一元一次方程的定义计算即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且 解得且 即 故选：B． 3．若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 知识点02 解一元一次方程 解一元一次方程 1.利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下： （1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式； （2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解. （3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确. 2.解一元一次方程 （1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为. （2）解一元一次方程的步骤如下： 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解.． 不要把分子、分母写颠倒 注意：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 即时即练 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解方程即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1求解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 5．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项，再系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 合并同类项得：； 系数化为1得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 6．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，最后将的系数化为运算即可； （2）所有项同乘去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后将的系数化为运算即可； 【详解】（1） 解： （2） 题型1 一元一次方程的定义 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A的方程含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，所以A错误； 选项B的方程中，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义，所以B错误； 选项C的方程，只含1个未知数，未知数最高次数为1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程定义，所以C正确； 选项D的不含未知数，不是方程，不符合要求，所以D错误． 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 3．若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的次数为、未知数系数不为，求参数的值，再解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 系数满足：，即， ∴， 将代入原方程：， 化简得， 解得． 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． 5．已知：关于的方程是一元一次方程． (1)求、的值； (2)根据（1）中数值，先化简，再代入求值：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，整式的加减与化简求值． （1）由于方程是一元一次方程，x的指数必须为1且系数不为0，通过求k，并排除的情况，得，再代入原方程解x； （2）先化简代数式，再代入k和x的值求值． 【详解】（1）解：方程为一元一次方程，则的指数，且系数 ，得，或 ， ， 代入原方程： 即 ， （2）解：原式 代入， 原式 题型2 一元一次方程的解 6．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 7．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 8．已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、代数式求值等知识点，掌握一元一次方程定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义可知该方程的二次项系数为零且一次项系数不为零，据此可求出a的值，然后代入多项式求值即可． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数，且一次项系数， ∴ ∴多项式． 故答案为． 9．写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据一元一次方程的定义，构造出符合条件的方程即可． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 10．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【答案】(1) (2)，不是方程的解；是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值； （2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 题型3 解一元一次方程——合并同类项、移项 11．若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，即可求出参数的值． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴将代入方程，得， 解得：． 12．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照移项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 13．已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同解方程即两个方程的解相同，先求解不含参数的方程得到x的值，再将x代入含参数的方程，即可求出参数m的值． 【详解】解：解方程， 解得 ． 解方程， 解得 ． 两个方程的解相同， ，解得 ． 14．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 15．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：， 移项，得：， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：， 移项，得：， 合并同类项得：； （4）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （5）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （6）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：. 题型4 解一元一次方程——去括号 16．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去括号得：． 17．若关于的两个方程和的解相同，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查同解方程的定义，先解第一个一元一次方程得到的值，再将该值代入第二个方程求解． 【详解】解：方程 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 将代入方程中得：， 即， 解得：． 18．解方程：． 【答案】 【详解】解： ． 19．解方程：． 【答案】 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 20．解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求解； （2）先去括号，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 题型5 解一元一次方程——去分母 21．解方程：． 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的解方程步骤即可得到结果． 【详解】解：方程两边同乘去分母，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为，得 ． 22．解下列方程： 【答案】 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， 解得：． 23．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ； (2) ． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 25．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 题型6 解一元一次方程——综合 26．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 27．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，按照解一元一次方程的标准步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到结果． 【详解】解：． 方程两边同乘去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为，得． 28．解一元一次方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 29．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 30．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 【答案】(1) ；； (2) 【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果． （2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍． 原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到， 因此对应结果为，或，． （2）解：选择嘉嘉的解法进行计算 原方程变形得： 两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 若选择淇淇的解法，过程如下： 原方程变形得： 两边同乘12去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得：． 题型7 已知一元一次方程的解求参数 31．已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先解出第一个方程的解，再根据两个方程解的关系得到第二个方程的解，代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：先解方程， 去分母得 ， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得 ， ∵方程的解比方程的解大5， ∴方程的解为 ， 把代入得， 移项合并同类项得， 解得． 32．已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是（   ） A．23 B． C． D．34 【答案】B 【分析】先解方程得到用含m的代数式表示的x，再根据x是非负整数确定所有符合条件的整数m，最后计算m的和即可． 【详解】解：原方程为 ∵方程两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∴ ∵ x是非负整数，m是整数，时等式不成立， ∴ x为正整数，因此为负整数，且是10的约数， ∴的可能取值为 对应m的值为 ∴ 所有整数m的和为 ． 33．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 34．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵方程的解为负整数，且a为整数， ∴是9的负整数约数，即的值为或或， 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 则所有满足条件的整数a的和为． 35．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答． （2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【易错警示】 已知方程的解求参数时，需将解正确代入原方程，负数、分数务必添加括号。严格按照运算顺序计算，不可漏符号、错算系数。含参数一元一次方程需满足系数不为0，解题后及时检验取值是否符合定义要求。 题型8 一元一次方程解的关系 36．若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及方程解的关系． 先求出方程的解，根据两方程解互为相反数得到方程的解，再代入该方程计算出的值． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 又∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 将代入中 得 即 移项得 ∴ 故选C 37．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A．2 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程、相反数的定义，先求解第二个方程，再根据相反数的定义得到第一个方程的解，代入第一个方程即可求出a的值． 【详解】解：， 移项得， 解得，， ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入， 得， 即， ∴， 故选：C． 38．代数式的值随x的取值而发生变化（a、b表示非零常数），如表，则关于x 的一元一次方程的解为（   ） x …… 0 1 …… …… 2 4 6 …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元一次方程的解，先将给定的一元一次方程变形为，再根据表格中的值推出的值，找到对应时的值，即为方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，即， 由表格可知，当时，， ∴关于的一元一次方程的解为， 故选：C． 39．若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程 得； 解方程 得． 由题意，，即， 解得． 故答案为：． 40．关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程解的综合应用；先把两个方程的解表示出来，再根据相反数的定义，让两个解相加等于0，计算求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵解互为相反数， ∴ ， ， ． 题型9 一元一次方程同解问题 41．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可． 【详解】解：由得， 把代入方程， 得， 解得． 42．若方程与方程的解相同，则的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解得：， 因为方程与方程的解相同， 将代入方程，得， 解得； 故选：B． 43．如果关于的方程与的解相同，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 先解第一个方程求出x的值，再将x代入第二个方程求解，进而得到的值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 解得：． 将代入，得， 即， 解得：， 所以：． 故答案为：． 44．已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】先求出方程的解，再把解代入方程进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ， ∵关于x的方程的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴ ， 解得. 45．已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】解第一个方程，得，把代入第二个方程，得，解得． 本题考查了一元一次方程的解法，同解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 由方程与关于的方程的解相同， 得， 解得． 【易错警示】 解决一元一次方程同解问题，需先求出不含参数方程的解，再代入含参数方程求解。切勿混淆两个方程的解，代入时注意符号与括号。牢记同解即解完全相同，做完检验，避免代错、漏条件导致解题错误。 题型10 一元一次方程漏解问题 46．某同学解关于x的方程，在方程两边都乘去分母时，漏乘方程右边的，求得的解为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据错误去分母得到的方程，将代入，解出的值． 【详解】解：错误去分母得， 将代入得， 即， 解得． 故答案为：． 47．解关于的方程时，小盛同学在去分母的过程中，方程右边的“”漏乘了最小公倍数6，因而求得方程的解为，则方程正确的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了方程的错解问题． 根据小盛的错误去分母过程，得到错误方程，代入错误解求出参数的值，再代入原方程正确求解 【详解】解：小盛去分母时漏乘右边“”，错误方程为， 代入得， 即， 解得； 将代入原方程得， 正确去分母得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：． 48．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． （1）根据小林的错误解法求出a的值； （2）根据正确方程求出其解即可． 【详解】（1）解：， 去分母时，方程右边的漏乘了6，所以， 解得， 因为此时方程的解为， 所以， 解得； （2）当时，正确的方程为， ， ， ， ． 49．马小虎同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助马小虎同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．先根据错误的方法解得的值，将的值代入原方程，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 50．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)在解关于的方程去分母时，小明漏乘了方程左侧的常数项，得到方程的解为，求原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）将代入，再解一元一次方程即可； （2）小明漏乘常数项，错误方程为，然后代入，求出值，再重新解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为 ， 解得； （2）解：小明漏乘常数项，错误方程为， 代入，得 ，即， 则， 解得， 则 原方程为 ， 解得 题型11 由一元一次方程的解求另一个方程的解 51．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 52．若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，利用换元思想，将待求解的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用已知方程的解求解． 【详解】解：整理待求解方程， 移项得， 将变形为，代入得： ， 移项整理得：， 设，则该方程与已知方程结构相同， ∵已知方程的解为， ∴， 解得． 53．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解求解． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵方程的解为， ∴方程的解为， 即， 解得． 54．阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 55．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 题型12 绝对值方程 56．假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 【答案】A 【分析】先把代入，求出，则原方程为，再解方程即可． 【详解】解：把代入，得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴方程的另一个解是． 57．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 58．的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 59．关于x的方程（k为常数，）的解为___________（用含k的代数式表示）． 【答案】或 【分析】找出每个绝对值部分取到0时x的值，进行分类讨论即可． 【详解】解：k为常数，， 当时，， 当时，， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，若，则分母为0，无解，不满足恒成立，舍去． 60．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 题型13 一元一次方程的整数解问题 61．已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】B 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数． 【详解】，方程有解 ，可得 方程的解为负整数，为整数 为整数，且， 是的负整数因数，的负整数因数只有和 当时，，符合要求 当时，，符合要求 满足条件的共有个． 62．已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先整理方程得到x关于k的表达式. 再根据x为正整数、k为整数，确定k的可能取值． 【详解】，解得， ∵为正整数，∴， ∴， 又∵为正整数，k为整数， ∴是4的正因数， ∴或或， ∴或或，共3个符合条件的整数值． 63．已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 【答案】 【分析】先解关于x的一元一次方程，得到用含m的代数式表示x，再根据x是非负整数、m为整数，确定所有符合条件的m的值，最后计算所有符合条件的整数m的和即可． 【详解】解： 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∵原方程有解， ∴， ∴， ∵关于x的方程的解是非负整数， ∴，且x为整数， 当时，把代入原方程得，此时等式不成立，故， 为正整数， ∴是负整数， ∵且是整数， ∴为负整数，且是的约数， 的可能取值为， ∴m的值是或或或， ∴符合条件的所有整数m的和为． 64．已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数a的值是_____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，用表示出方程的解是解题的关键． 先解方程得到，再根据解为非负整数，即且为整数，结合为正整数求解即可． 【详解】解：解方程 ， 得 ∵方程的解为非负整数，即 且为整数， 又∵为正整数， ∴或2， 当时，，不是整数， 当时，，是非负整数， ∴符合条件的正整数的值为2． 故答案为：2． 65．已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1) (2)， (3)方程的整数解为或或 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）将方程变形得，因为方程有无数个解，所以且； （3）方程变形可得，因为为正整数，方程的解为整数，所以是的因数． 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 【易错警示】 求一元一次方程整数解，先分离参数表示未知数，依据整除条件分析参数取值。易忽略一次项系数不能为 0，漏考虑正负整数、零，仅凭单一条件求值。求出数值后要代入原式验算，剔除不符合题意的解，避免取值不全或疏漏限制条件。 题型14 一元一次方程新定义运算 66．我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）将方程变形为，根据差解方程的定义，其常规解需等于其差解值，故可列出方程，解此方程即可得到答案； （3）根据差解方程的定义求出，整理得到即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是，且， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）解： ， 解得， ∵方程是“差解方程”，即是“差解方程”， ∴ ∴， 解得； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴． 67．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程，得， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 68．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程是“和谐方程”．例如：方程和是“和谐方程”． (1)关于的方程与_____“和谐方程”（填“是”或“不是"）； (2)若关于的方程与是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出方程的解，根据“和谐方程”的定义得到方程的解，再代入求解m的值即可． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； ∵， ∴关于的方程的解和关于的方程的解互为相反数， ∴关于的方程与是“和谐方程”； （2）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的方程与是“和谐方程”，且3的相反数是， ∴是关于的方程的解， ∴， 解得． 69．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”，例如：和为“互补方程”． (1)方程与方程_____“互补方程”．(请填入“是”或“不是”) (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值，及关于的方程的解． 【答案】(1)是； (2)； (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的解法及“互补方程”的定义，核心是先求解方程的解，再根据“两个方程的解之和为0”的条件进行推导计算． （1）分别求解两个方程的解，计算解的和是否为0，以此判断是否为互补方程； （2）先求出已知方程的解，根据互补方程的定义得到另一个方程的解，将解代入方程求解的值； （3）用含的代数式表示两个方程的解，根据解之和为0列关于的一元一次方程，求出后再代入关于的方程求解． 【详解】（1）解：解方程，得； 解方程，得； ， 这两个方程是“互补方程”． 故答案为：是． （2）解：解方程，得； 方程与是“互补方程”， 方程的解为； 将代入，得， 解得； （3）解：解方程，得； 解方程，得； 两个方程是“互补方程”， ， 解得； 将代入关于的方程，得，解得； 故的值为0，关于的方程的解为． 70．定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）表示出和的解，再根据“美好方程”的定义列式即可． （2）先求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到，根据题意可得，可求出，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解： 解得， 解得， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2） 解得， 解得， 关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”， ，即， 无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”， ， 解得， ， 解得， ． 题型15 一元一次方程中的定值问题 71．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数． 将代入方程，化简后得到关于k的等式，由等式对任意k成立，可得k的系数和常数项均为零，从而求出m和n的值，再计算． 【详解】解：∵总是的解， 代入方程：， 化简得， 两边同乘6得：， 即， 移项得：， 即， ∵该式对任意k成立， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 72．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 73．如果，为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是2，则_____． 【答案】 【分析】先整理原方程，得到关于的表达式．再根据无论为何值，方程的解总是，得到关于和的方程组．求解得到，的值，再计算即可． 【详解】解： 去分母得： ． 去括号得： ． 移项得： ． 合并同类项得： ． 无论为何值，方程的解总是． 当时，等式对任意恒成立，可得， 解得：，． ． 74．已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 【答案】 【分析】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．将代入方程，化简后得到关于 k 的方程，由无论 k 为何值方程都成立，可得 k 的系数和常数项均为零，从而求出 a 和 b． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ， 两边同时乘以 6 得 ，， 化简得 ， 移项得 ，即 ， 由于无论 k 为何值方程都成立， 所以 且 ， 解得 ． 故答案为：． 75．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 【答案】(1)是 (2)2 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，解题的关键是理解“和谐方程”的定义以及一元一次方程的解是解题的关键． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出m的值即可； （3）先解出方程的解为，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为，代入方程，结合题意得到方程组，求出a与b的值，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得： ∵与3互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于的方程与关于的方程是“和谐方程”， ∴，解得：． （3）解：解方程得：， ∵关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理得：， ∵无论m取任何有理数，上式都成立， ∴，，解得：，， ． 题型16 一元一次方程与数轴、绝对值相关计算 76．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是多项式的一次项系数，是最大的负整数，单项式的次数为．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、绝对值方程的求解，关键是先根据多项式系数、负整数定义、单项式次数的相关知识确定点、所表示的数，再设出点的坐标，利用距离关系建立方程求解． 【详解】解：∵多项式的一次项系数为，一次项是， ； ∵是最大的负整数， ； ∵单项式的次数为， ； 设点表示的数为，则，； 根据题意，可得； 解，解得， 解，解得， 综上，点表示的数是或； 故答案为：或． 77．在4张同样的纸片上各写着一个数，这4个数互不相等，其中最大的数是12．从这4张纸片中，任意抽取一张纸片，记录数后放回，打乱顺序后再任意抽取一张纸片，记录数后放回，计算这两次记录的数的差的绝对值．重复以上操作，每次所得的绝对值都是这4个数中的一个，并且这4个数都能取到．这4张纸片上除12以外的其他3个数是______． 【答案】0，4，8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，绝对值方程，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义．根据抽取时可能抽到相同纸片，差的绝对值为0，得出0必须是四个数之一，设四个数为0，a，b，12，其中，，，得出，根据，，得出或，然后再分类讨论即可． 【详解】解：由于抽取时可能抽到相同纸片，差的绝对值为0，因此0必须是四个数之一， 设四个数为0，a，b，12，其中，，， ∴，且，， ∴或， 同理或， 当时，， 把代入得：， 由得：， ∴当时，总是等于6， ∵， ∴不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴或， 把代入得： ， 即， 解得：或（舍去）， 把代入得：； 把代入得：， 解得：或（舍去）， 此时， ∴这四个数为12，0，4，8． 故答案为：0，4，8． 78．如图，数轴上有A，B，O，C，D五个点，点O为原点．点C在数轴上表示的数是5，线段的长度为6个单位，线段的长度为2个单位，且B，C两点之间的距离为13个单位．若线段，同时从原来的位置出发，线段以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段以每秒3个单位的速度向左匀速运动．记线段的中点为点P．设运动时间为t秒，当点P到点A的距离等于点B到点C的距离时，t的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据点C在数轴上表示的数是5，结合已知条件求出相应的点D，B，A在数轴上表示的数，及线段中点P表示的数，运动秒后，点P，A，B，C可以用t的代数式表示出来，根据点P到点A的距离等于点B到点C的距离列方程求解． 【详解】解：根据题意得：点在数轴上表示的数是，线段中点P在数轴上表示的数是，点B在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是； 运动t秒时，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为，点P在数轴上表示的数为； 点P到点A的距离为，点B到点C的距离为， 当点P到点A的距离等于点B到点C的距离时，， 解得 79．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 80．【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 【答案】（1）；（2）①；②不存在；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解友好点的定义． （1）根据友好点的定义求解即可； （2）①当是的友好点时，则，可得方程，再解方程即可；②当是的友好点时，则，可得方程，再解方程，判断解是否符合题意即可； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，由点是的友好点，得到，即可建立方程求解． 【详解】解：（1）由数轴可得，，， 此时，则点B不是的友好点； 此时，则点C是的友好点， 故答案为：； （2）①当是的友好点时，则 ∴， 解得：； ②当是的友好点时，则， ∴， 解得：， 当时，， 不满足点到的距离大于点到点的距离，舍去， 即不存在的值，使是的友好点； （3）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的友好点， ∴， ∴， 解得或 综上所述，的值为或． 1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，判断即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元一次方程，故A不符合题意； B、，含有两个未知数，且未知数最高次数为2，不是一元一次方程，故B不符合题意； C、，含有一个未知数，且未知数最高次数为1，是一元一次方程，故C符合题意； D、，含有一个未知数，但未知数最高次数为2，不是一元一次方程，故D不符合题意． 2．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知一元一次方程的解，再利用同解的性质，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解相同， ∴把代入方程，得， 解得：． 3．若是关于的方程的解，则的值为（　　） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴把代入原方程得， 即， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 故选：B． 4．将四个数排列成，并且规定．若的值为6，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题目规定的新运算规则列出方程，再求解一元一次方程即可得到x的值． 【详解】解：∵，且的值为6 ∴， ∴， ∴， ∴，即 解得， 故选：B． 5．小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是（　　） A． B．1 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 将已知解代入被污染的方程中，求解被污染的数字●即可． 【详解】解：将代入原方程，得 解得， 故选：A． 6．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于4的关联数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．8 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解法，正确理解题意是解题的关键． 此题直接利用关联数的定义分析列出方程，解答即可． 【详解】与是关于4的关联数， ， 解得． 故选：A 7．马小虎同学在解方程去分母不小心，变为，得到解为．原方程正确的解应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，把代入方程中求出k的值，进而求出原方程，再解原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，关于x的方程的解为， ∴， 解得， ∴原方程为， ∴， 解得， 故选：C． 8．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，将两个方程化为相同的形式，根据的解求出y的值即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∵ ∴ ∴， 则 ∴ ∴ 故选：B． 9．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，关键是弄懂符号的含义． 根据题意分和两种情况讨论，建立方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 解得， 但不满足，故舍去； 当时，， ∴， 解得， ∴方程的解为． 故选：B． 10．在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与k的取值无关，得到，且，求解即可． 【详解】解：方程的解总为， 代入得， 化简得， 该式对任意成立， ，且， 解得， ，， 故选：A． 11．若单项式与是同类项，则的值是______． 【答案】6 【分析】由同类项的定义得出，，然后代入式子计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 12．已知是方程的解，则的值为______． 【答案】1 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得：， ∴， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 13．若代数式的值比的值大1，则a的值为___． 【答案】2 【分析】先根据两个代数式的大小关系列出方程，再按照解一元一次方程的步骤计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 去分母，等式两边同乘，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得． 14．已知是关于的一元一次方程的解，则代数式值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值． 将代入求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 15．用*定义一种新运算：对于任意有理数m和n，．如：．若，则x的值为_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了新定义运算和一元一次方程的解法，熟练掌握将新定义运算转化为常规运算，并正确解一元一次方程是解题的关键．先根据新运算的定义，将转化为常规代数式，再根据等式列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．若方程是一元一次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不为0，特别容易忽视的一点就是系数不为0的条件．这是这类题目考查的重点． 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a，b是常数且）．据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 17．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 18．关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【分析】将代入原方程，可得出，方程可整理得，再整体代入，解之即可得出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 方程可整理得：， 即， 解得：， 关于x的方程的解为． 19．若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查求解一元一次方程，二次三项式的定义，根据一元一次方程，二次三项式求解未知数的值是解题的关键． 解方程得，由解为正整数确定为4的正因数，即；再根据多项式为二次三项式的条件，要求二次项系数且一次项系数，排除，得和，求和即可． 【详解】解：， ， ∵解是正整数， ∴且为整数，即， 多项式是二次三项式， ∴二次项系数，即，且一次项系数， ∴满足条件的为和，和为， 故答案为：5． 20．如果关于的方程的解为，那么关于的方程的解_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，将变形为，令，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 整理得：， 令， ∴原方程变为：， ∵关于的方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 21．解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号： 移项合并同类项： 化系数为1： （2）解： 去分母： 去括号： 移项，合并同类项： 化系数为1： 22．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：， 去分母，两边同乘，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为 ，得． 23．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把原方程整理得：，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 方程两边同时乘以，去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，， 将系数化为，得． 24．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母，得：             第一步 去括号，得：                     第二步 移项，得：                       第三步 合并同类项，得：                          第四步 系数化为1，得：                             第五步 任务一：请从下列选项中选择第一步的依据（   ） A．等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式． B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 任务二：①以上求解步骤中，第___________步开始出错； ②直接写出该方程正确的解___________． 任务三：结合上述解方程的经验，写出一条能帮助减少解题错误的注意事项． 【答案】任务一：B．任务二：①三；②．任务三：解方程时移项要变号． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，涉及去分母，去括号，移项以及合并同类项，解决本题的关键是每一步都正确计算． 任务一：根据解方程中去分母的步骤判断即可； 任务二：①根据移项时应变号可确定是第三步出错； ②根据正确的移项步骤求解即可． 任务三：根据题目的错误信息可提示关于“移项”的注意事项． 【详解】解：任务一：第一步是去分母， 依据是B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 故选：B． 任务二：①以上求解步骤中，第三步开始出错， 移项时应变号，为； 故答案为：三； ②解方程： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 故答案为：． 任务三：解方程时移项要变号． 25．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据“友好方程”的定义即可求解； （2）根据“友好方程”的定义得到方程，再解方程求出，最后代入求值即可； （3）先求出方程的“友好方程”，再求出两个方程的解，然后根据解都是整数即可求解整数c的值． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， ∴； （3）解：方程的“友好方程”为， 解得：， 解得：， ∵与其“友好方程”的解都是整数， ∴与都是整数， ∴既是5的倍数，也是5的因数， ∴． ∴或． 26．我们规定：若有理数a，b满足，则称a，b互为“等和积数”，其中a叫做b的“等和积数”，b也叫a的“等和积数”，例如：因为，，所以，则与互为“等和积数”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)有理数2的“等和积数”是________； (2)有理数1________“等和积数”（填“有”或“没有”）； (3)若m的“等和积数”是，n的“等和积数”是，求的值． 【答案】(1)2 (2)没有 (3) 【分析】（1）根据“等和积数”的定义进行求解即可； （2）根据“等和积数”的定义进行求解即可； （3）由题意易得，，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由“等和积数”的定义可知：， ∴， ∴有理数2的“等和积数”是2； （2）解：由“等和积数”的定义可知：， 因为此方程无解，所以有理数1没有“等和积数”； （3）解：∵m的“等和积数”是， ． ． ∵n的“等和积数”是， ． ． ． 27．我们定义一种新的运算“☆”，对于任意四个有理数x，y，a，b，可以组成两个有理数对与，规定：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)计算： ； (2)若，则 ； (3)若，其中x是整数，求整数k的值． 【答案】(1)1 (2)0 (3)整数k的值为或或或． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，表示出x，根据x与k都为整数，确定出k的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴ 解得； （3）解：∵ ∴ 解得， ∵x是整数， ∴或 解得或或或． 28．定义：若分别是关于的方程、方程的解，且（为非零常数），则称方程是方程的“阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是______（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于的方程的“4阶伴生方程”，求的值； (3)对任意满足的值，关于的方程都是方程的“阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3) 是定值， 【分析】本题考查了一元一次方程的解与新定义问题，解题的关键是准确理解“n阶伴生方程”的定义，并据此建立方程求解． （1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证； （2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值； （3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 由“2阶伴生方程”定义，得，则． ①解 ， ，符合； ② ， ，不符合； ③ ， ，不符合． 故答案为：①． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 由“4阶伴生方程”定义，得， ， ， ． （3）解： 去分母：， ， ， ∴． ， ， ， ， ． 由题意，（为定值） ， ， ， 则． 由，得，代入， ， ， ， 故是定值，定值为48． 29．定义：关于x的方程与（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与（a为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程（b为不等于0的常数）的解为，求b的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，请直接写出它的“反对方程”的解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是新定义，一元一次方程的解及解一元一次方程； （1）根据“反对方程”的定义可直接得出答案； （2）将代入求出，整理方程得，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）将代入求出，整理方程得，然后根据“反对方程”的概念求解即可． 【详解】（1）解：与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴， ∴， ∴， 整理得： 关于的方程的“反对方程”为， 解得：； （3）∵关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 关于的方程的“反对方程”为， 解得：． 30．定义：如果两个关于的方程形如与（，均为不等于0的常数），那么我们就称这两个方程互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则____________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与方程（a，b均为不等于0的常数）称它们互为“反对方程”， ∵方程与方程互为“反对方程”， ∴． （2）解：方程可变为， 方程可变为， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴， 解得：， ∴； （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 由，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∵c也为整数， ∴当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， ∴c的值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一元一次方程及其解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元一次方程的定义 题型2 一元一次方程的解 题型3 解一元一次方程——合并同类项、移项 题型4 解一元一次方程——去括号 题型5 解一元一次方程——去分母 题型6 解一元一次方程——综合 题型7 已知一元一次方程的解求参数 题型8 一元一次方程解的关系 题型9 一元一次方程同解问题 题型10 一元一次方程漏解问题 题型11 由一元一次方程的解求另一个方程的解 题型12 绝对值方程 题型13 一元一次方程的整数解问题 题型14 一元一次方程新定义运算 题型15 一元一次方程中的定值问题 题型16 一元一次方程与数轴、绝对值相关计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次方程的定义 一元一次方程的解法 一元一次方程的同解 绝对值方程 1.熟知一元一次方程的定义，掌握解方程的完整步骤及每步运算依据。 2.熟练掌握移项、去括号、去分母等步骤，规范求解一元一次方程。 3.能规范解方程并养成检验习惯，有效规避符号、漏项等计算错误。 4.体会化归数学思想，将复杂方程逐步转化为最简标准方程形式。 5.能运用解方程知识解决简单实际问题，提升数学运算与应用能力。 学习重点：掌握解一元一次方程的完整步骤，能规范准确求解各类基础方程。 学习难点：正确处理去分母、去括号变号问题，规避解方程常见易错点。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次方程的概念 一元一次方程的概念 1. 一元一次方程的定义：方程这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程. 这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1. 2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）. 3.一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 易错题型： 题型一：定义判断易错 易错点：忽略一元一次方程三大核心条件：只含一个未知数、未知数最高次数为1、整式方程。常误判含分母未知数、未知数平方、多个未知数的式子为一元一次方程。 题型二：含参数方程判断易错 易错点：已知方程是一元一次方程求参数时，忽略未知数系数不能为0，只考虑次数为1，导致参数取值出错，遗漏关键限制条件。 题型三：最简形式辨析易错 易错点：误认为必须是ax+b=0标准式才是一元一次方程，忽视化简后判断，错判可整理为标准形式的等式。 题型四：方程的解概念易错 易错点：不会利用方程的解的定义代入求值，代入负数、分数时漏加括号，计算失误，无法正确求解参数数值。 即时即练 1．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C． D．1 3．若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 知识点02 解一元一次方程 解一元一次方程 1.利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下： （1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式； （2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解. （3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确. 2.解一元一次方程 （1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为. （2）解一元一次方程的步骤如下： 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解.． 不要把分子、分母写颠倒 注意：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 即时即练 4．解方程： (1)； (2)． 5．解下列方程： (1)； (2)． 6．解方程： (1) (2) 题型1 一元一次方程的定义 1．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 3．若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 5．已知：关于的方程是一元一次方程． (1)求、的值； (2)根据（1）中数值，先化简，再代入求值：． 题型2 一元一次方程的解 6．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 7．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是_________． 9．写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是______． 10．若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 题型3 解一元一次方程——合并同类项、移项 11．若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．方程的解是（     ） A． B． C． D． 13．已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为________． 14．解方程 (1) (2) 15．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型4 解一元一次方程——去括号 16．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 17．若关于的两个方程和的解相同，则的值为___________． 18．解方程：． 19．解方程：． 20．解方程： (1)； (2)； 题型5 解一元一次方程——去分母 21．解方程：． 22．解下列方程： 23．解方程： (1)； (2)． 24．解下列方程： (1)； (2)． 25．解方程： (1)； (2)． 题型6 解一元一次方程——综合 26．解方程： (1) (2) 27．解方程：． 28．解一元一次方程． (1) (2) 29．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 30．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 题型7 已知一元一次方程的解求参数 31．已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（  ） A． B． C．1 D．3 32．已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是（   ） A．23 B． C． D．34 33．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 34．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 35．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【易错警示】 已知方程的解求参数时，需将解正确代入原方程，负数、分数务必添加括号。严格按照运算顺序计算，不可漏符号、错算系数。含参数一元一次方程需满足系数不为0，解题后及时检验取值是否符合定义要求。 题型8 一元一次方程解的关系 36．若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 37．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A．2 B． C．7 D． 38．代数式的值随x的取值而发生变化（a、b表示非零常数），如表，则关于x 的一元一次方程的解为（   ） x …… 0 1 …… …… 2 4 6 …… A． B． C． D． 39．若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 40．关于的方程与的解互为相反数，求的值． 题型9 一元一次方程同解问题 41．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 42．若方程与方程的解相同，则的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 43．如果关于的方程与的解相同，那么的值是___________． 44．已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 45．已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【易错警示】 解决一元一次方程同解问题，需先求出不含参数方程的解，再代入含参数方程求解。切勿混淆两个方程的解，代入时注意符号与括号。牢记同解即解完全相同，做完检验，避免代错、漏条件导致解题错误。 题型10 一元一次方程漏解问题 46．某同学解关于x的方程，在方程两边都乘去分母时，漏乘方程右边的，求得的解为，则______． 47．解关于的方程时，小盛同学在去分母的过程中，方程右边的“”漏乘了最小公倍数6，因而求得方程的解为，则方程正确的解为______． 48．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 49．马小虎同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助马小虎同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 50．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)在解关于的方程去分母时，小明漏乘了方程左侧的常数项，得到方程的解为，求原方程的解． 题型11 由一元一次方程的解求另一个方程的解 51．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 52．若关于x的一元一次方程的解为，则关于t的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 53．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为________． 54．阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 55．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 题型12 绝对值方程 56．假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 57．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 58．的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 59．关于x的方程（k为常数，）的解为___________（用含k的代数式表示）． 60．解下列方程： (1)； (2)． 题型13 一元一次方程的整数解问题 61．已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有(        ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 62．已知关于的方程的解为正整数，则能取的整数值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 63．已知关于x的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是________． 64．已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数a的值是_____． 65．已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【易错警示】 求一元一次方程整数解，先分离参数表示未知数，依据整除条件分析参数取值。易忽略一次项系数不能为 0，漏考虑正负整数、零，仅凭单一条件求值。求出数值后要代入原式验算，剔除不符合题意的解，避免取值不全或疏漏限制条件。 题型14 一元一次方程新定义运算 66．我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 67．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 68．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程是“和谐方程”．例如：方程和是“和谐方程”． (1)关于的方程与_____“和谐方程”（填“是”或“不是"）； (2)若关于的方程与是“和谐方程”，求的值． 69．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”，例如：和为“互补方程”． (1)方程与方程_____“互补方程”．(请填入“是”或“不是”) (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值，及关于的方程的解． 70．定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 题型15 一元一次方程中的定值问题 71．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 72．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 73．如果，为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是2，则_____． 74．已知为定值，关于的方程，无论为何值，1总是它的解，则___________，___________ 75．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程_____“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与关于的方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，则的值为_____． 题型16 一元一次方程与数轴、绝对值相关计算 76．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是多项式的一次项系数，是最大的负整数，单项式的次数为．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是_____． 77．在4张同样的纸片上各写着一个数，这4个数互不相等，其中最大的数是12．从这4张纸片中，任意抽取一张纸片，记录数后放回，打乱顺序后再任意抽取一张纸片，记录数后放回，计算这两次记录的数的差的绝对值．重复以上操作，每次所得的绝对值都是这4个数中的一个，并且这4个数都能取到．这4张纸片上除12以外的其他3个数是______． 78．如图，数轴上有A，B，O，C，D五个点，点O为原点．点C在数轴上表示的数是5，线段的长度为6个单位，线段的长度为2个单位，且B，C两点之间的距离为13个单位．若线段，同时从原来的位置出发，线段以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段以每秒3个单位的速度向左匀速运动．记线段的中点为点P．设运动时间为t秒，当点P到点A的距离等于点B到点C的距离时，t的值为______． 79．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 80．【概念认识】 规定数轴上两点之间的距离可以用右侧的点表示的数减去左侧点表示的数来计算． 点A、B、C在数轴上，点B与点A之间的距离是点B与点C之间距离的2倍，则称是的友好点，如图1，点都在数轴上，是原点，点是的友好点，也是的友好点． 【问题再现】 （1）如图1，在B、C中，_________是的友好点． 【问题探究】 （2）如图2，点E、M、F在数轴上，点E表示的数是a，点M表示的数是10，点表示的数是，且满足点到的距离大于点到点的距离． ①若M是的友好点，求的值； ②是否存在的值，使是的友好点； 【问题解决】 （3）如图1，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，同时，点以每秒4个单位长度的速度，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向数轴正半轴运动，设运动时间为秒，求当是的友好点时，的值． 1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 3．若是关于的方程的解，则的值为（　　） A． B．5 C． D．1 4．将四个数排列成，并且规定．若的值为6，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是（　　） A． B．1 C． D．6 6．定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于4的关联数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．8 D．2 7．马小虎同学在解方程去分母不小心，变为，得到解为．原方程正确的解应为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或 10．在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 11．若单项式与是同类项，则的值是______． 12．已知是方程的解，则的值为______． 13．若代数式的值比的值大1，则a的值为___． 14．已知是关于的一元一次方程的解，则代数式值为__________． 15．用*定义一种新运算：对于任意有理数m和n，．如：．若，则x的值为_________． 16．若方程是一元一次方程，则______． 17．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 18．关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 19．若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是_____． 20．如果关于的方程的解为，那么关于的方程的解_____． 21．解下列方程． (1)； (2) 22．解方程： (1)； (2)． 23．解方程：． 24．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母，得：             第一步 去括号，得：                     第二步 移项，得：                       第三步 合并同类项，得：                          第四步 系数化为1，得：                             第五步 任务一：请从下列选项中选择第一步的依据（   ） A．等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式． B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 任务二：①以上求解步骤中，第___________步开始出错； ②直接写出该方程正确的解___________． 任务三：结合上述解方程的经验，写出一条能帮助减少解题错误的注意事项． 25．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 26．我们规定：若有理数a，b满足，则称a，b互为“等和积数”，其中a叫做b的“等和积数”，b也叫a的“等和积数”，例如：因为，，所以，则与互为“等和积数”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)有理数2的“等和积数”是________； (2)有理数1________“等和积数”（填“有”或“没有”）； (3)若m的“等和积数”是，n的“等和积数”是，求的值． 27．我们定义一种新的运算“☆”，对于任意四个有理数x，y，a，b，可以组成两个有理数对与，规定：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)计算： ； (2)若，则 ； (3)若，其中x是整数，求整数k的值． 28．定义：若分别是关于的方程、方程的解，且（为非零常数），则称方程是方程的“阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是______（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于的方程的“4阶伴生方程”，求的值； (3)对任意满足的值，关于的方程都是方程的“阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 29．定义：关于x的方程与（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与（a为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程（b为不等于0的常数）的解为，求b的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，请直接写出它的“反对方程”的解． 30．定义：如果两个关于的方程形如与（，均为不等于0的常数），那么我们就称这两个方程互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则____________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $