第16讲 用一元一次方程解决问题（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材苏科版

第16讲 用一元一次方程解决问题（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 用一元一次方程解决问题 古时集市热闹非凡，书生买陶罐与木碗共12件，陶罐比木碗多4件.你知道陶罐、木碗各有几件吗？今天用一元一次方程来解开这道古生活难题. 【知识点 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤】 （1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系，找出等量关系． （2）设：设未知数，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 设未知数的方法： ①直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况． ②间接设法：当直接设元列方程较复杂或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量． ③设参数法：当题中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，可增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求． （3）列：根据等量关系列出方程． （4）解:解所列的方程，求出未知数的值． （5）答：检验所求出的方程的解是否符合题意，写出答案． 【题型1 配套问题】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·期中）小王在某电商平台出售工艺品，将2张鱼形剪纸和3张“福”字剪纸配成一套销售，一张红纸能制作2张鱼形剪纸或6张“福”字剪纸，共有红纸120张，应该怎样分配红纸才能使制作的鱼形剪纸和“福”字剪纸刚好配套？若设分配张红纸制作鱼形剪纸，则依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设分配张红纸制作鱼形剪纸，根据设出的未知数，表示出两种剪纸的总数量，再根据刚好配套时总套数相等的关系，整理得到对应方程． 【详解】解：设分配张红纸制作鱼形剪纸，则剩下张红纸用于制作“福”字剪纸， ∵一张红纸可制作张鱼形剪纸， ∴鱼形剪纸总数量为张， ∵一张红纸可制作张“福”字剪纸， ∴“福”字剪纸总数量为张． ∵刚好配套时，每套需要张鱼形剪纸和张“福”字剪纸，总套数相等， 可得：． 【变式1-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名． 【答案】 【分析】根据配套要求确定氢原子模型与氧原子模型的数量关系，设未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设生产氧原子模型的工人有名，则生产氢原子模型的工人有名． 根据组装配套要求，氢原子模型总数为氧原子模型总数的倍， 列方程得， 解得． 【变式1-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式1-3】某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母 【分析】设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，再根据“1个螺栓配2个螺母”的配套要求，得到螺母总数量是螺栓总数量的2倍这一等量关系，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 根据题意，得 解得 则 ， 答：车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母． 【题型2 数字问题】 【例2】一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（    ） A．45 B．27 C．72 D．54 【答案】D 【分析】此题应先设个位数字为，十位数字为，再由“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9”得，即算出原来的两位数． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意得，， 解得：． 则原来的两位数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解决此类题的关键． 【变式2-1】若三个连续偶数的和为18，则它们的积为（　　） A．216 B．49 C．192 D．480 【答案】C 【分析】根据三个连续偶数的和为18，设中间的数为x，列方程求出三个数，再计算它们的积． 【详解】解：设中间一个偶数为x，列方程得（x-2）+x+（x+2）＝18， 解得x＝6． 则这三个偶数为4、6、8． 其积为4×6×8＝192． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是知道相邻两个偶数的差是2，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程即可解题． 【变式2-2】三个正整数的比是1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是_____． 【答案】48． 【分析】设这三个正整数为x、2x、4x，根据等量关系：三个数之和为84，可得出方程，解出即可． 【详解】设这三个正整数为x、2x、4x，由题意得： x+2x+4x=84， 解得：x=12， 所以这三个数中最大的数是4x=48． 故答案为48． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，利用方程思想求解． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为：20、31、42、53、64、75、86、97 【分析】先设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为，再根据题意列出方程，最后结合数位特征，进行解答即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 化简得，，等式恒成立， 结合数位特征：个位数字x的取值范围是， 原来的两位数为∶ 20、31、42、53、64、75、86、97． 【题型3 和、差、倍、比问题】 【例3】甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是(　  　) A．30岁 B．20岁 C．15岁 D．10岁 【答案】B 【详解】本题主要考查一元一次方程的应用．本题等量关系为：5年前甲的年龄=2×5年前乙的年龄．可设乙现在的年龄为x岁，则甲为（x+15）岁，根据等量关系列方程求解． 解：设乙现在x岁，则5年前甲为（x+15-5）岁，乙为（x-5）岁， 由题意得：x+15-5=2（x-5） 解得x=20 故选B． 【变式3-1】足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了14场比赛，负了5场，共得19分，那么这个队胜了_______场． 【答案】5 【分析】根据总分等于胜场积分+平场积分+负场积分得出方程即可． 【详解】解：设这个队胜了x场，则有3x+(14-x-5)=19，解得x=5，即胜了5场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用． 【变式3-2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根．盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为平方千米，比公园规划占地面积的多平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？（列方程解答） 【答案】平方千米 【分析】设公园规划占地面积是x平方千米，根据核心保护区面积比公园规划占地面积的多平方千米建立方程求解即可． 【详解】解：设公园规划占地面积是x平方千米， 由题意得，， ∴， ∴， 答：公园规划占地面积是平方千米． 【变式3-3】（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）儿童玩具店运来小熊玩具和小狗玩具共60个．第一天卖出了小熊玩具个数的，卖出小狗玩具个数的，这时店里还剩下这两种玩具共29个，原来有小熊玩具和小狗玩具各多少个？ 【答案】小熊玩具40个，小狗玩具20个 【分析】设出未知数，由“剩下这两种玩具共29个”建立等式求解即可． 【详解】解：设原来有小熊玩具x个，有小狗玩具个， 则小熊玩具剩余个，小狗玩具剩余个， ∵店里还剩下这两种玩具共29个， ∴， 整理可得，即， 解得， 则个， 答：原来有小熊玩具40个，有小狗玩具20个． 【题型4 利用线性示意图解决问题】 【例4】如图，等量关系不成立的是（　　） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键是先求出等量关系方程式，再把它移项变换进行对比．由图可列出方程等量关系式，，再把等量关系式进行移项变换． 【详解】解：由图列出方程等量关系式，， A：，把左边的x移到右边，就变为，故不符合题意； B：，把左边的x移到右边，就变为，等量关系不成立，故符合题意； C：，把左边的2x移到右边，右边x移到左边，就变为，故不符合题意． 故选：B． 【变式4-1】某种商品的进价为18元，标价为元，由于该商品积压，商店准备按标价的8折销售，可保证利润率达到，则标价为（    ） A．27元 B．28元 C．29元 D．30元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据利润标价折扣进价列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴标价为27元， 故选；A． 【变式4-2】一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要8天完成．甲队先做2天后，再由两队合做，还需要几天完成任务？ 【师生分析】设两队合做还需天完成任务，图是老师在黑板上画的线段示意图． (1)请按线段示意图写出A处代表的实际意义；处代表的代数式； (2)按照【师生分析】所作的线段示意图列方程解决问题． 【答案】(1)A处代表的实际意义：甲队2天完成的工作量；处代表的代数式： (2)4天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键， （1）根据线段图结合题意解决； （2）找出等量关系列方程解决即可． 【详解】（1）解：线段示意图中A处代表的实际意义是甲队2天完成的工作量；处代表的代数式是； （2）解：设两队合做还需天完成任务， ， ， ， 答：还需要4天完成任务． 【变式4-3】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）请用直观分析策略解答下面问题． 如图所示，一辆汽车以20的速度匀速驶向正前方的山崖，驾驶员在鸣笛若干秒后听到从山崖反射回来的回声，已知声音在空气中的传播速度为340，汽车鸣笛时与山崖的距离为．请想象一下汽车发出鸣笛声到反射传回驾驶员耳中的过程，用示意图直观地表示这一过程，并列出方程． 【答案】，图见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；根据驾驶员在鸣笛若干秒后听到从山崖反射回来的回声可知声音和车的总路程等于2倍的汽车鸣笛时与山崖的距离为．由此即可列方程． 【详解】解：如图， 设汽车发出鸣笛声到反射传回驾驶员耳中的时间为秒； ． 【题型5 利用公式解决问题】 【例5】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）一个正方形的边长增加，面积增加，扩大后正方形的面积是_______． 【答案】36 【分析】设原正方形的边长为，根据正方形的边长增加，则增加面积为，计算解答即可． 本题考查了正方形的面积，方程的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】如图，设原正方形的边长为， 根据正方形的边长增加， 则增加面积为， 解得． 故新正方形的边长为6， 故面积为36． 故答案为：36． 【变式5-1】墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为xcm，根据题意，可得方程为（　　） A．2（x+10）＝10×4+6×2 B．2（x+10）＝10×3+6×2 C．2x+10＝10×4+6×2 D．2（x+10）＝10×2+6×2 【答案】A 【分析】首先根据题目中图形，求得梯形的长．由图知，长方形的一边为10厘米，再设另一边为x厘米．根据长方形的周长＝梯形的周长，列出一元一次方程． 【详解】解：长方形的一边为10厘米，故设另一边为x厘米． 根据题意得：2×（10+x）＝10×4+6×2． 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解决本题的关键是理清题目中梯形变化为矩形，其周长不变． 【变式5-2】如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】由左图求得水的体积，由右图求得空白部分的体积，即可解答． 【详解】解：由左图知，水体积为， 由右图知，空白部分的体积为， ∴瓶子的容积是． 【变式5-3】如图，将一个正方形纸片先剪去一个宽为6cm的长条①后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条②，若长条①和②面积恰好相等，则这个正方形纸片的面积是______. 【答案】576 【分析】这个正方形纸片的边长为，则长条①的长为，宽为6cm；长条②的长为，宽为8cm．再根据题意结合长方形的面积公式可列出关于x的方程，解出x的值，再根据正方形面积公式求解即可． 【详解】设这个正方形纸片的边长为，则长条①的长为，宽为6cm；长条②的长为，宽为8cm． ∵长条①和②面积恰好相等， ∴， 解得：， ∴这个正方形纸片的边长为， ∴这个正方形纸片的面积是． 故答案为：576． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，正确列出方程是解题关键． 【题型6 利用性质解决问题】 【例6】一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题根据三角形的内角和是，求出最大的那个角的度数即可解决问题． 【详解】解：∵最大的那个角是， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式6-1】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）若与是同类项，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”．根据同类项的定义可得，，求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式6-2】（长方形面积）一个长方形的长和宽的比是，如果长减少5厘米，宽增加5厘米，则面积增加100平方厘米．那么原来长方形的面积是（   ）平方厘米． A．126 B．224 C．350 D．560 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原来长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意画出变化前后的示意图，可知增加的面积为两个长方形的面积之差，则可建立方程求解． 【详解】解：设原来长方形的长为厘米，宽为厘米， 由题意得，， 解得， 所以， 所以原来长方形的面积为平方厘米， 故选；C． 【变式6-3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为，根据大长方形的对边相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设正方形D，正方形E的边长为x，则正方形C的边长为，正方形B的边长为，正方形A的边长为， ∴， 解得． ∴这个长方形的长为， 宽为． ∴这个长方形的周长为． 故选：D． 【题型7 利用规律解决问题】 【例7】（25-26六年级上·上海长宁·期末）有黑白两种颜色的正五边形按如图所示的规律拼成若干个图案，那么第___________个图案中有个白色的正五边形． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，通过观察前几个图案中白色正五边形的数量，总结出表达式，再结合已知数量列方程求解． 【详解】解：观察图案可得： 第1个图案中，白色正五边形的数量为； 第2个图案中，白色正五边形的数量为； 第3个图案中，白色正五边形的数量为； …… 由此可推出，第个图案中，白色正五边形的数量为． 根据题意，列方程，解得． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定的规律摆成下列图案．其中第①个图案用了6个“•”，第②个图案用了11个“•”，第③个图案用了16个“•”，第④个图案用了21个“•”，……，按此规律排列下去，若第n个图案用的“•”的个数是51个，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类规律探索题，根据图形得出规律，即可求解，根据图形，准确找出其规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图案用了（个）， 第②个图案用了（个）， 第③个图案用了（个）， 第④个图案用了（个）， 则第n个图案用了个， ∴， 解得：， 即第10个图案用的“•”的个数是51个， 故选：C． 【变式7-2】（25-26七年级上·山西晋中·期末）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子．如果有48人参会，按照这样的规律需要________张长方形会议桌拼摆成大桌子恰好可以坐下． 【答案】 【分析】本题主要考查图形规律，一元一次方程的应用，理解图示中的数量关系，找出规律是解题的关键． 先找出规律，得到型号的大桌子可以坐人，再列方程求解，再求出型号10所需的桌子数即可． 【详解】解：型号1的大桌子可以坐：（人）， 型号2的大桌子可以坐：（人）， 型号3的大桌子可以坐：（人）， 则型号的大桌子可以坐人， ∵有48人参会， ∴， 解得，， 由图可知，型号1用了长方形会议桌张数为， 型号2用了长方形会议桌张数为， 型号3用了长方形会议桌张数为， 则型号用了长方形会议桌张数为， ∴型号用了长方形会议桌（张）． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，n的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意可得：，，，再求解，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型8 利用列表分析法解决实际问题】 【例8】小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（    ） 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 1.2 x 中性笔 3.5 总计 13 34 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准数量关系，正确列出方程是解决本题的关键．根据题意填表，然后列出方程即可得到答案． 【详解】解：填表如下： 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 中性笔 总计 根据题意得：，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：B． 【变式8-1】12月4日为全国法制宣传日，某校组织全体学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题（各题分值相同），每题必答，下表记录了其中3名参赛者的得分情况，若参赛者得76分，则他答对了________题． 参赛者 答对题目 答错题目 得分 18 2 88 20 0 100 12 8 52 【答案】16 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，列出一元一次方程是解题的关键．设答对一题得分，答错一题扣分，参赛者答对了题，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：设答对一题得分，答错一题扣分，参赛者答对了题， 由题意得， 解得， ， 解得， ， 解得． 故答案为：． 【变式8-2】（2024·安徽合肥·三模）某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍少件，各种奖品的单价如表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价（元件） 数量（件） (1)设一等奖奖品的数量为件，请用含的代数式填表； (2)购买这件奖品所需的总费用为元，求二等奖奖品的数量． 【答案】(1)，； (2)二等奖奖品的数量为件． 【分析】（）根据已知条件列出代数式即可； （）将直接代入（）中的结论列出方程，然后解方程即可； 此题考查了列代数式与解一元一次方程，正确理解题意和熟练掌握整式的加减运算法则，及解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：二等奖奖品为件， 三等奖奖品为（件）， 填写表格： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价（元件） 数量（件） 故答案为：，； （2）解：根据题意得， 解得：， ∴二等奖奖品有， 答：二等奖奖品的数量为件． 【变式8-3】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为．设支援后在甲处植树的总人数有人． (1)根据信息填表： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 (2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)支援甲、乙、丙三处各有6人，8人，16人 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确根据题意表示出甲、乙、丙三处支援的人数，进而建立方程求解是解题的关键． （1）根据甲、乙、丙三处植树的总人数之比为得到支援后乙处和丙处指数的总人数分别有人，人，再用支援后的人数减去支援前的人数，即可求出支援三处的人数； （2）根据（1）所求结合支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设支援后在甲处植树的总人数有人，则支援后乙处和丙处指数的总人数分别有人，人， ∴乙处支援的人数为人，丙处支援的人数人， 填表如下： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 （2）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴支援甲、乙、丙三处各有6人，8人，16人． 模块三 课后作业 1．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂齐名，有“南宜兴北平定”的美誉，某生产商生产的某款平定紫砂茶具，每套茶具中1把茶壶配4只茶杯，用黏土可制作2把茶壶或6只茶杯，现在要用7kg黏土制作茶具．若设用黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设用黏土制作茶杯，则用黏土制作茶壶，根据题意列方程为，据此解答即可． 【详解】解：设用黏土制作茶杯，则用黏土制作茶壶， 根据题意列方程为， 即， 故选：D． 2．（25-26七年级上·新疆·期末）甲、乙两个工程队共同承接了某项工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成，若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．8天 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出方程求解．设完成该工程还需要x天，然后根据甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成，甲队先做5天，剩下部分由两队合做，列出方程求解即可． 【详解】解：设完成该工程还需要x天， 由题意得：， 解得， 则完成该工程还需要3天． 故选：B． 3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某款衬衫的进价为100元，标价为125元，商场准备打折销售，但要保持利润率为，则这款衬衫应（    ） A．打九五折 B．打九折 C．打八五折 D．打八折 【答案】B 【分析】设这款衬衫应打折，根据利润售价进价进价利润率，售价标价折扣，建立方程求解即可． 【详解】解：设这款衬衫应打折， 由题意可得， 整理得， 解得， 因此这款衬衫应打九折． 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（   ）场 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意准确列出方程求解． 设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据总积分31分列方程求解． 【详解】解：设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据题意得： ， 解得：． 答：负场数为2场． 故选：A． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（    ） 2025 2 3 A．2020 B． C．2019 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设右上角上的数为a，根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等，列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设右上角上的数为a，根据题意得： ， 即， 解得：， 故选：B． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明的爸爸今年40岁，爸爸比小明年龄的2倍还大12岁，小明今年的岁数是___________． 【答案】14 【分析】设小明今年的岁数是x，根据爸爸比小明年龄的2倍还大12岁列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设小明今年的岁数是x， 则， 答：小明今年的岁数是14岁． 7．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距______千米． 【答案】504 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设A港和B港相距x千米，根据行船问题公式可知，顺水速度较快，所用时间较少，所以利用行程问题公式，列方程为：，解方程即可． 【详解】解：设A港和B港相距x千米， 根据题意得：， 解得：， 答：A港和B港相距504千米． 故答案为：504． 8．成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子们的每天食量分早晚两次喂食，早上的粮食是晚上的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意，那么老翁给猴子们限定的每天食量共________千克． 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克，根据早上的粮食是晚上的列出一元一次方程求解． 【详解】解：调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克， 根据题意得， 解得， ， 故答案为：14． 9．（25-26六年级下·山东烟台·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【答案】7 【分析】设共有x人，根据“若每人出8钱，则多3钱”得到物价为钱，根据“每人出7钱，则还差4钱”得到物价为钱，根据物价相同即可列出方程并求解． 【详解】解：设共有x人，根据题意，得 ， 解得． 10．（25-26七年级上·天津河西·期中）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2．已知小康平均每小时采摘a，小悦平均每小时采摘b，则他们采摘的时长是______小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．设采摘时长为小时，根据小康采摘的草莓比小悦多2，列出方程求解. 【详解】解：设采摘时长为小时，则小康采摘了 ，小悦采摘了 根据题意，得， 即， 解得 故答案为：. 11．将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及列代数式，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． （1）由题意观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （2）由题意可得，，求出，根据不是整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵十字框中间的数为a， ∴这十字框中五个数的和为． （2）设十字框中间的数为a，根据题意，得：， 解得：． ∵不是整数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2023． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 13．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 14．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，用长度相等的木棍按一定规律拼成图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形……    (1)第5个图案中用了44根木棍拼成了__________个正六边形和__________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为__________（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍324根，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 【答案】(1)5；6 (2) (3)40个正六边形和41个正方形 【分析】根据图形，找到规律即可解答． 【详解】（1）解：第5个图案中用了44根木棍拼成了5个正六边形和6个正方形； （2）解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍； （3）解：根据题意，得 ， 解得， 第40个图案中有40个正六边形和41个正方形． 15．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 【答案】应当建设慢充桩150台，快充桩50台 【分析】设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意可得： ， 解得：， ， 总充电车位为，占总车位的，符合题意， 答：应当建设慢充桩150台，快充桩50台． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 用一元一次方程解决问题（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 用一元一次方程解决问题 古时集市热闹非凡，书生买陶罐与木碗共12件，陶罐比木碗多4件.你知道陶罐、木碗各有几件吗？今天用一元一次方程来解开这道古生活难题. 【知识点 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤】 （1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系，找出等量关系． （2）设：设未知数，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 设未知数的方法： ①直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况． ②间接设法：当直接设元列方程较复杂或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量． ③设参数法：当题中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，可增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求． （3）列：根据等量关系列出方程． （4）解:解所列的方程，求出未知数的值． （5）答：检验所求出的方程的解是否符合题意，写出答案． 【题型1 配套问题】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·期中）小王在某电商平台出售工艺品，将2张鱼形剪纸和3张“福”字剪纸配成一套销售，一张红纸能制作2张鱼形剪纸或6张“福”字剪纸，共有红纸120张，应该怎样分配红纸才能使制作的鱼形剪纸和“福”字剪纸刚好配套？若设分配张红纸制作鱼形剪纸，则依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名． 【变式1-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式1-3】某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【题型2 数字问题】 【例2】一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（    ） A．45 B．27 C．72 D．54 【变式2-1】若三个连续偶数的和为18，则它们的积为（　　） A．216 B．49 C．192 D．480 【变式2-2】三个正整数的比是1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是_____． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 【题型3 和、差、倍、比问题】 【例3】甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是(　  　) A．30岁 B．20岁 C．15岁 D．10岁 【变式3-1】足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了14场比赛，负了5场，共得19分，那么这个队胜了_______场． 【变式3-2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根．盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为平方千米，比公园规划占地面积的多平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？（列方程解答） 【变式3-3】（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）儿童玩具店运来小熊玩具和小狗玩具共60个．第一天卖出了小熊玩具个数的，卖出小狗玩具个数的，这时店里还剩下这两种玩具共29个，原来有小熊玩具和小狗玩具各多少个？ 【题型4 利用线性示意图解决问题】 【例4】如图，等量关系不成立的是（　　） A． B． C． 【变式4-1】某种商品的进价为18元，标价为元，由于该商品积压，商店准备按标价的8折销售，可保证利润率达到，则标价为（    ） A．27元 B．28元 C．29元 D．30元 【变式4-2】一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要8天完成．甲队先做2天后，再由两队合做，还需要几天完成任务？ 【师生分析】设两队合做还需天完成任务，图是老师在黑板上画的线段示意图． (1)请按线段示意图写出A处代表的实际意义；处代表的代数式； (2)按照【师生分析】所作的线段示意图列方程解决问题． 【变式4-3】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）请用直观分析策略解答下面问题． 如图所示，一辆汽车以20的速度匀速驶向正前方的山崖，驾驶员在鸣笛若干秒后听到从山崖反射回来的回声，已知声音在空气中的传播速度为340，汽车鸣笛时与山崖的距离为．请想象一下汽车发出鸣笛声到反射传回驾驶员耳中的过程，用示意图直观地表示这一过程，并列出方程． 【题型5 利用公式解决问题】 【例5】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）一个正方形的边长增加，面积增加，扩大后正方形的面积是_______． 【变式5-1】墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为xcm，根据题意，可得方程为（　　） A．2（x+10）＝10×4+6×2 B．2（x+10）＝10×3+6×2 C．2x+10＝10×4+6×2 D．2（x+10）＝10×2+6×2 【变式5-2】如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【变式5-3】如图，将一个正方形纸片先剪去一个宽为6cm的长条①后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条②，若长条①和②面积恰好相等，则这个正方形纸片的面积是______. 【题型6 利用性质解决问题】 【例6】一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-1】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）若与是同类项，则的值为______． 【变式6-2】（长方形面积）一个长方形的长和宽的比是，如果长减少5厘米，宽增加5厘米，则面积增加100平方厘米．那么原来长方形的面积是（   ）平方厘米． A．126 B．224 C．350 D．560 【变式6-3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，一个长方形恰好能分割成6个较小的正方形，中间最小的正方形的边长为2，则该长方形的周长为（    ） A．86 B．88 C．90 D．96 【题型7 利用规律解决问题】 【例7】（25-26六年级上·上海长宁·期末）有黑白两种颜色的正五边形按如图所示的规律拼成若干个图案，那么第___________个图案中有个白色的正五边形． 【变式7-1】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定的规律摆成下列图案．其中第①个图案用了6个“•”，第②个图案用了11个“•”，第③个图案用了16个“•”，第④个图案用了21个“•”，……，按此规律排列下去，若第n个图案用的“•”的个数是51个，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式7-2】（25-26七年级上·山西晋中·期末）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子．如果有48人参会，按照这样的规律需要________张长方形会议桌拼摆成大桌子恰好可以坐下． 【变式7-3】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，n的值为______． 【题型8 利用列表分析法解决实际问题】 【例8】小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（    ） 商品 单价（元/支） 购买数量/支 购买金额/元 铅笔 1.2 x 中性笔 3.5 总计 13 34 A． B． C． D． 【变式8-1】12月4日为全国法制宣传日，某校组织全体学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题（各题分值相同），每题必答，下表记录了其中3名参赛者的得分情况，若参赛者得76分，则他答对了________题． 参赛者 答对题目 答错题目 得分 18 2 88 20 0 100 12 8 52 【变式8-2】（2024·安徽合肥·三模）某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍少件，各种奖品的单价如表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价（元件） 数量（件） (1)设一等奖奖品的数量为件，请用含的代数式填表； (2)购买这件奖品所需的总费用为元，求二等奖奖品的数量． 【变式8-3】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为．设支援后在甲处植树的总人数有人． (1)根据信息填表： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 (2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？ 模块三 课后作业 1．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）平定紫砂壶历史悠久，曾与宜兴紫砂齐名，有“南宜兴北平定”的美誉，某生产商生产的某款平定紫砂茶具，每套茶具中1把茶壶配4只茶杯，用黏土可制作2把茶壶或6只茶杯，现在要用7kg黏土制作茶具．若设用黏土制作茶杯，为使得茶壶与茶杯刚好配套，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·新疆·期末）甲、乙两个工程队共同承接了某项工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成，若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．8天 3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某款衬衫的进价为100元，标价为125元，商场准备打折销售，但要保持利润率为，则这款衬衫应（    ） A．打九五折 B．打九折 C．打八五折 D．打八折 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（   ）场 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（    ） 2025 2 3 A．2020 B． C．2019 D． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明的爸爸今年40岁，爸爸比小明年龄的2倍还大12岁，小明今年的岁数是___________． 7．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距______千米． 8．成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子们的每天食量分早晚两次喂食，早上的粮食是晚上的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意，那么老翁给猴子们限定的每天食量共________千克． 9．（25-26六年级下·山东烟台·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 10．（25-26七年级上·天津河西·期中）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2．已知小康平均每小时采摘a，小悦平均每小时采摘b，则他们采摘的时长是______小时． 11．将连续的奇数排成如下一个数表，并用一个如图所示的十字框框住数表中的五个数，且该十字框可以在数表中上、下、左、右平移，试解决以下问题： (1)若设十字框中间的数为a，试求十字框框住的五个数的和： (2)在（1）的条件下，试问：该十字框框住的五个数字之和能等于吗？若能，试求出a的值；若不能，请说明理由． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 13．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 14．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，用长度相等的木棍按一定规律拼成图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形……    (1)第5个图案中用了44根木棍拼成了__________个正六边形和__________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为__________（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍324根，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 15．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $