第10讲 代数式的概念9大题型（暑假预习讲义）新七年级数学新教材苏科版

第10讲 代数式的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 列代数式 题型2 代数式的概念 题型3 代数式的书写方法 题型4 代数式表示的实际意义 题型5 已知字母的值求代数式的值 题型6 已知式子的值求代数式的值 题型7 程序流程图与代数式求值 题型8 用代数式表示数的规律 题型9 用代数式表示图形的规律 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 列代数式 代数式的书写方法 求代数式的值 用代数式表示规律 1.理解代数式的定义与组成，区分代数式、等式与公式，掌握基础概念。 2.能依据题意正确列出代数式，规范书写格式，准确替换数值求代数式的值。 3.经历文字语言转化为符号语言的过程，提升数学抽象与数学转化思维。 4.能用代数式表示实际数量关系，初步形成代数建模意识与应用能力。 学习重点：掌握代数式的概念，能根据实际问题准确列出并规范书写代数式。 学习难点：准确将文字语言转化为代数语言，理清复杂问题中的数量关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代数式 1.代数式的定义：用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式. 带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式. 即时即练 1．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．属于代数式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列式子：，，，，32，中，代数式的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．在下列各式中：①；②；③；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A． B． C． D． 知识点02 代数式的书写要求 （1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； （4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； （5）除法运算要用分数线； （6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 即时即练 4．有下列五个式子：①；②；③(不等于)；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 知识点03 列代数式 1.把问题中的数量关系用代数式表示出来，叫列代数式. 2.列代数式常用的方法： （1） 抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、“倍”等； （2） 在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式. 即时即练 7．近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低，某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 8．某文具原价为每件m元．为迎接开学季，每件降6元，在此基础上新生还可以享受八折优惠．若一名新生购买一件该文具，则应付款（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟组装个零件．若该机器人搭载个机械手（），则该机器人平均每分钟组装的零件个数是____． 知识点04 代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 描述一个代数式的意义的三种途径： （1） 从代数式本身出发来描述字母之间的数量关系； （2） 联系生活实际赋予字母一定的实际意义； （3） 联系几何背景赋予字母一定的几何意义. 即时即练 10．用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 11．某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（  ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折 C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10% 12．下列表述中，字母各表示什么？ (1)正方形的周长为4a； (2)买单价为5元的毛巾，花了5a元钱； (3)某班女生比男生多1人，女生共有（x+1）人． 知识点05 代数式的值 1.代数式的值的定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 2. 求代数式的值的步骤 （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 即时即练 13．若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2014 14．若，则代数式的值为________． 15．“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛；例如，把看成一个整体，则． (1)已知，求的值： (2)已知，，求的值． 题型1 列代数式 1．如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 3．冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿个山楂，小串冰糖葫芦每根穿个山楂，小鑫同学打算穿根大串和根小串冰糖葫芦，则需要的山楂总个数用代数式表示为______． 4．有一种面积为的正方形餐垫． （1）如图1，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是______（用含的代数式表示）； （2）如图2，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是______ （用含，，的代数式表示）． 5．如图，根据所给数据，请你用两种方法求该图形的面积． 题型2 代数式的概念 6．在式子、、、x、、中代数式的个数有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 7．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．下列式子：中，代数式的个数是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 9．下列式子中，代数式有______个． 10．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 题型3 代数式的书写方法 11．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 13．对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是_____（填序号）． 14．，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为________． 15．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；__________________    （2）；__________________   （3）；__________________    （4）；__________________ （5）；__________________   （6）米．__________________ 【易错警示】 书写代数式需严格遵守规范，数字写在字母前，乘号统一省略。除法改写成分数形式，带分数必须化为假分数。注意区分平方书写格式，字母与常数书写有序，杜绝格式混乱、书写不规范等基础失分问题。 题型4 代数式表示的实际意义 16．国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 17．下列对代数式的意义描述正确的是（　　） A．代数式的意义可以描述为“的2倍与1的差” B．某个班级原有名男生，开学初转走1名男生，则这个班级的总人数可以表示为 C．若长方形的长为，宽为1，则这个长方形的周长可以表示为 D．甲超市某件商品单价为元，乙超市出售同样商品的单价比甲超市便宜1元，那么在乙超市购买两件这个商品共花费元 18．某商场开展促销活动，促销方法是将原价为x元的商品以元的价格出售，请用恰当的文字语言表达这次促销方法：_______________________ 19．代数式“”可以解释为：长为，宽为的长方形，其周长为．请再赋予代数式“”一个实际意义：__________． 20．写出下列代数式的意义： (1)一个三角形的一边长是，该边上的高是，那么表示什么？ (2)汽车每小时行驶，那么表示什么？ 题型5 已知字母的值求代数式的值 21．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 22．若，且，则的值为（   ） A．5或 B．或 C．5或7 D．或7 23．当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 24．三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，则的值是________． 25．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 【易错警示】 已知字母求值时，代入数值要准确，负数、分数代入务必添括号。严格遵循运算顺序，先乘方再乘除后加减，认真核对符号。切忌代错数、漏括号、乱算乘方，细心分步计算，避免低级运算失误。 题型6 已知式子的值求代数式的值 26．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 27．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 28．若，则_____________． 29．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 30．当时，代数式的值为，求代数式的值． 题型7 程序流程图与代数式求值 31．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（   ） A． B． C． D． 32．按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 33．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 34．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 35．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“L d ”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L d →I a ，这样就能把密文“L d ”破译成明文“I a ”，从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间关系如下： 当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为． 请将密文破译成用英文字母表示的明文． (2)请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信． 题型8 用代数式表示数的规律 36．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 37．如图，下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（    ） A．175 B．170 C．80 D．62 38．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 39．观察下列一组代数式：，根据该组代数式的排列规律，可推断出第（为正整数）个代数式是_____． 40．观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 【易错警示】 用代数式表示数的规律时，需认真观察数列、图形变化特征，准确找出通用数量规律。切忌片面套用前几项、忽略符号与奇偶变化，书写通用式子要严谨，验证多组数据，避免规律总结片面、式子写错。 题型9 用代数式表示图形的规律 41．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A．15 B．17 C．19 D．24 42．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍, 则它们第2026 次相遇在边（      ）上． A． B． C． D． 43．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，⋯，请你寻找规律，指出当字母B第2023次出现时，恰好数到的数为（    ） A．6062 B．6066 C．6068 D．6072 44．如图，这是一种长方形桌子，按照如下方式摆放，一张长方形桌子可以坐6个人，两张桌子可以坐10人，三张桌子可以坐14人……则张桌子可以坐_______人 45．从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳，它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【提出问题】 在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）存在一定的数量关系．若a取定值，请探究格点多边形的面积S与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系． 【特例感知】 当取时，小明利用归纳的策略完成以下探究.在正方形网格纸中（每个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的图形（图1、图2、图3）． 根据图1、图2、图3得到的数据如下： b S 图1 4 3 图2 6 4 图3 7 ① ①处应填______； 由此发现规律：格点多边形的面积S=______（用含b的代数式表示）． 【问题解决】 在内部格点为2的格点多边形中，如果，那么格点多边形的面积S=_____． 【联系拓广】 如图4，在等边三角形网格纸中（每个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）有新的数量关系．请你按照以上的归纳策略继续探究，得到内部格点为2的格点多边形的面积S 与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系为______；当时，格点多边形的面积S=______． 1．某校组织了师生共人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（    ）． A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值等于（　　） A．5 B． C．3 D． 3．已知代数式的值是6，则代数式的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．按一定规律排列的代数式：，，，，…第个代数式是（    ） A． B． C． D． 5．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．若，为有理数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个三位数，其百位数字为x，十位数字比百位数字小2，个位数字比百位数字的2倍大3．用代数式表示这个三位数为（   ） A． B． C． D． 8．观察图中正方形四个顶点所标数的规律，可知数2025应标在（    ） A．第506个正方形的左上角 B．第506个正方形的左下角 C．第507个正方形的右上角 D．第507个正方形的右下角 9．/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，则_____． 12．已知 ，则_______． 13．若，则代数式的值为_____． 14．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第n个图中三角形的个数是：__________ 15．观察下列算式：；；；；；若字母表示自然数，请你观察到的规律用含式子表示出来：__． 16．若，，，是从1，2这两个数中取值的一列数，，则在，，，中，取值为1的个数为_____． 17．对于任意非零有理数和任意非零有理数b规定，那么的值是___________． 18．整式的值随x取值变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值，当时，______． x … 0 1 … … 4 … 19．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．当时，代数 的值为m，求当时， 求代数式 ________ 20．北京时间2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船成功发射，某校科技小组用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图，如图，第n个图案需要__________个基本图形用含n的代数式表示 21．已知若a、b互为相反数，m的绝对值为4． (1)直接写出，m的值； (2)求的值． 22．已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得4的数．求代数式的值． 23．当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 24．如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 25．按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 26．观察表格中两个多项式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 8 6 4 2 a … … b … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：______；________． 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律：x的值每增加1，的值就减少2．类似的，的值的变化规律：x的值每增加1，的值就________． 【问题解决】 （3）请直接写出一个含x的多项式，要求x的值每增加1，多项式的值就减小5，且当时，多项式的值为6． 27．把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．设其中一个正方形的边长为xcm，面积为，另一个正方形的面积为． (1)用含有x的代数式表示：_________，_________； (2)结合情境，观察式子，围绕和提一个问题，并给出解答或解答思路． 28．从2021年开始，某市中考总分要加大体育分值，实验学校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批足球和跳绳，在查阅网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）； (2)若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 29．图1是由绳索编织成的网状带实物图，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”（结点数记为），内部每个封闭小区域称为“网眼”（网眼数记为），围成网眼的线段称为“边”（边数记为）．例如，图2中该图形结点数，网眼数，边数． (1)观察图形，根据规律填表： 图3 图4 … 六边形个数（） 2 … 结点数（） … 网眼数（） 6 9 … 边数（） … 表中，，； (2)小明通过观察，猜想，验证，发现这种网状图形满足等式：，请说明他的结论是正确的，并再写一条不同于小明发现的，关于、、三个量的等式； (3)小丽想用绳索编织一条如图5所示的两端封口且长度不超过的带子，其中带子中的六边形均是边长为的正六边形，编织时需在每个结点处打一个绳结，则小丽最多需要打个绳结． 30．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 代数式的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 列代数式 题型2 代数式的概念 题型3 代数式的书写方法 题型4 代数式表示的实际意义 题型5 已知字母的值求代数式的值 题型6 已知式子的值求代数式的值 题型7 程序流程图与代数式求值 题型8 用代数式表示数的规律 题型9 用代数式表示图形的规律 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 列代数式 代数式的书写方法 求代数式的值 用代数式表示规律 1.理解代数式的定义与组成，区分代数式、等式与公式，掌握基础概念。 2.能依据题意正确列出代数式，规范书写格式，准确替换数值求代数式的值。 3.经历文字语言转化为符号语言的过程，提升数学抽象与数学转化思维。 4.能用代数式表示实际数量关系，初步形成代数建模意识与应用能力。 学习重点：掌握代数式的概念，能根据实际问题准确列出并规范书写代数式。 学习难点：准确将文字语言转化为代数语言，理清复杂问题中的数量关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代数式 1.代数式的定义：用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式. 带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式. 即时即练 1．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．属于代数式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，掌握代数式的概念是解决本题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的表达式，不包含等号或不等号，根据定义逐一判断各式子即可． 【详解】解：①0是数字，为代数式； ②a是字母，为代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式； ④由变量和数字通过减法组成，为代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式； ⑥含有不等号，是不等式，不是代数式． ∴属于代数式的有①、②、④，共3个． 故选B． 2．下列式子：，，，，32，中，代数式的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【详解】解：式子，，，，32，符合代数式的定义，是代数式； 式子，是等式，不是代数式． 故代数式有5个． 故选：B． 3．在下列各式中：①；②；③；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，用运算符号把数或字母连起来的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式，据此逐项判断即可求解，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是代数式； ②是等式，不是代数式； ③是代数式； ④是不等式，不是代数式； ⑤是代数式； ∴代数式有个， 故选：． 知识点02 代数式的书写要求 （1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； （4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； （5）除法运算要用分数线； （6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 即时即练 4．有下列五个式子：①；②；③(不等于)；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查代数式的表示，熟练掌握代数式的书写要求是解题关键． 根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式，判断各项． 【详解】解：①应写为，不符合书写格式； ③应写为，不符合书写格式； ④应写为，不符合书写格式； 而②和⑤符合书写格式； 不符合的有3个． 故选：C． 5．在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解： 符合代数式书写要求； 含有除号，应改为，不符合要求； 符合要求； 符合要求； 系数为带分数，应改为，不符合要求， 符合要求的有 、、，共个， 故选：B． 6．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 【答案】 / 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 知识点03 列代数式 1.把问题中的数量关系用代数式表示出来，叫列代数式. 2.列代数式常用的方法： （1） 抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、“倍”等； （2） 在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式. 即时即练 7．近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低，某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，读懂并理解题意是解题的关键，根据打九折即原价乘以，再让利元即减去元，由此列式即可． 【详解】解：∵智能手机原售价为m元，打九折后价格为元， ∴再让利元后，售价为元， 故选：A． 8．某文具原价为每件m元．为迎接开学季，每件降6元，在此基础上新生还可以享受八折优惠．若一名新生购买一件该文具，则应付款（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，先降价6元，再打八折，应付款为降价后价格的． 【详解】解：∵原价为m元，每件降6元后价格为元，又享受八折优惠， ∴应付款为元． 故选：A． 9．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟组装个零件．若该机器人搭载个机械手（），则该机器人平均每分钟组装的零件个数是____． 【答案】 【分析】根据总每分钟组装零件个数等于单个机械手每分钟组装零件个数乘以机械手数量，列出对应代数式即可. 【详解】解：已知单个机械手平均每分钟组装个零件，共有个机械手， 则总每分钟组装零件个数为：. 知识点04 代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 描述一个代数式的意义的三种途径： （1） 从代数式本身出发来描述字母之间的数量关系； （2） 联系生活实际赋予字母一定的实际意义； （3） 联系几何背景赋予字母一定的几何意义. 即时即练 10．用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 【答案】C 【分析】本题考查代数式，根据题意列代数式是解题的关键． 逐项列代数式，能用表示的即正确，否则就是错误的． 【详解】解：A、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，正确，故此选项不符合题意； B、若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量，正确，故此选项不符合题意； C、若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数，原说法，故此选项符合题意； D、若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程，故此选项不符合题意． 故选：C． 11．某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（  ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折 C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10% 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】解：设原件为x元， 选项A：∵先打九五折，再打九五折， ∴调价后的价格为元， 选项B：∵先提价10%，再打八折， ∴调价后的价格为元， 选项C：∵先提价30%，再降价35%， ∴调价后的价格为元， 选项D：∵先打七五折，再提价10%， ∴调价后的价格为元， ∵ 故选：D 12．下列表述中，字母各表示什么？ (1)正方形的周长为4a； (2)买单价为5元的毛巾，花了5a元钱； (3)某班女生比男生多1人，女生共有（x+1）人． 【答案】(1)a表示正方形的边长 (2)a表示毛巾的数量 (3)x表示男生的人数 【分析】（1）根据正方形的周长＝边长×4即可得出答案； （2）根据总价＝单价×数量即可得出答案； （3）根据女生比男生多1人即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，a表示正方形的边长； （2）解：根据题意可得，a表示毛巾的数量； （3）解：根据题意可得，x表示男生的人数． 【点睛】本题考查了代数式，熟练掌握各代数式的意义是解题的关键． 知识点05 代数式的值 1.代数式的值的定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 2. 求代数式的值的步骤 （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 即时即练 13．若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2014 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，绝对值，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．两非负式之和为零，则两数互为相反数，又因为绝对值化简结果为非负数，所以两个加数都为零，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． 故选：B． 14．若，则代数式的值为________． 【答案】2024 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15．“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛；例如，把看成一个整体，则． (1)已知，求的值： (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握利用整体思想进行求解代数式的值是解题的关键； （1）利用整体思想直接进行代值求解即可； （2）先对所求代数式进行变形，然后再进行整体代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 题型1 列代数式 1．如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积，求解即可； 【详解】解：根据题意，得零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积， 故面积为； 2．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 则长方形花圃的面积为． 3．冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿个山楂，小串冰糖葫芦每根穿个山楂，小鑫同学打算穿根大串和根小串冰糖葫芦，则需要的山楂总个数用代数式表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意，山楂总个数等于大串冰糖葫芦的山楂个数与小串冰糖葫芦的山楂个数之和，大串每根穿个山楂，小串每根穿个山楂，因此用代数式表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，穿根大串冰糖葫芦需要个山楂，穿根小串冰糖葫芦需要个山楂， 所以山楂总个数为， 故答案为：． 4．有一种面积为的正方形餐垫． （1）如图1，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是______（用含的代数式表示）； （2）如图2，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是______ （用含，，的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据图中的面积关系正确列出代数式是解题的关键． （1）用两个正方形的面积之和减去它们盖住桌面的总面积即可得到重叠部分的面积； （2）同理（1），用三个正方形的面积之和减去它们盖住桌面的总面积，再减去两个阴影部分的面积的和，然后除以2即可得到三张餐垫共同重叠部分的面积． 【详解】解：（1）根据题意，盖住桌面的总面积加上两张餐垫重叠部分的面积=两个正方形的面积， ∴两张餐垫重叠部分的面积是：； （2）根据题意，盖住桌面的总面积两个阴影部分的面积的和三张餐垫共同重叠部分的面积三个正方形的面积， 三张餐垫共同重叠部分的面积是：； 故答案为：，． 5．如图，根据所给数据，请你用两种方法求该图形的面积． 【答案】见解析 【分析】本题考查了列代数式，根据长方形的面积公式列代数式即可； 【详解】解：方法一：该图形的面积； 方法二：该图形的面积． ． 题型2 代数式的概念 6．在式子、、、x、、中代数式的个数有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，代数式的定义：用简单的运算符号把数字或字母连接而成的式子．关键是区分好运算符号和其它数学符号． 代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，依据此意义求解． 【详解】解：由代数式的定义可得、、x、是代数式，而、是等式或不等式． 故选：C． 7．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的判断．代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成的式子，单独的数或字母也是代数式，据此求解即可． 【详解】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 8．下列式子：中，代数式的个数是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，数与字母经过加减、乘除、乘方、开方运算是代数式． 代数式是指用把数或表示数的字母连接起来的式子． 【详解】解：在中， 代数式有，共有5个； 故选：B． 9．下列式子中，代数式有______个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．利用代数式的定义分别分析进而得出答案． 【详解】解：中， 代数式有：，5，，共有4个． 故答案为：4． 10．下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了代数式的，用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，据此进行判断即可求解，掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 题型3 代数式的书写方法 11．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 12．有下列五个式子：①；②；③（不等于0）；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规范，关键是掌握代数式书写的核心规则：数字与字母相乘时数字需写在字母前面，带分数要化为假分数；除法运算需写成分数形式，不能用“÷”；系数为时可简化为“-字母”的形式． 【详解】解：对于①：代数式中数字因数应写在字母因数的前面，正确写法为或，故①不符合书写格式； 对于②：该式为分数形式，分子是多项式，符合代数式书写格式； 对于③：代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故③不符合书写格式； 对于④：带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，正确写法为，故④不符合书写格式； 对于⑤：系数为时，可直接写为，符合代数式书写格式． 综上，不符合书写格式的有①③④，共3个． 故选：C． 13．对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是_____（填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查代数式的写法；在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号；据上逐一判断即可，解题的关键是掌握代数式的书写要求． 【详解】解：①，书写规范，符合代数式的书写； ②应写成或，原写法不规范，不符合代数式的书写； ③应写成，原写法不规范，不符合代数式的书写； ④，书写规范，符合代数式的书写； ⑤米，应写成米，原写法不规范，不符合代数式的书写； 故答案为：①④． 14．，，，，，中，其中符合书写要求的代数式的个数为________． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．解题关键是掌握代数式的书写要求．根据代数式的书写要求分别进行判断即可． 【详解】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，，，共3个， 应该写成或，应该写成， 应该写成中， 故答案为：． 15．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；__________________    （2）；__________________   （3）；__________________    （4）；__________________ （5）；__________________   （6）米．__________________ 【答案】 米 【分析】根据代数式的书写格式解答即可 【详解】解：（1）应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； (5)应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； (6)米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 【点睛】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号． 【易错警示】 书写代数式需严格遵守规范，数字写在字母前，乘号统一省略。除法改写成分数形式，带分数必须化为假分数。注意区分平方书写格式，字母与常数书写有序，杜绝格式混乱、书写不规范等基础失分问题。 题型4 代数式表示的实际意义 16．国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，核心是列代数式并分析数量关系．解题的关键是根据题意准确列出第二天的游客人数代数式，再通过计算比较两天人数的差值． 先根据题意表示出第二天预约的游客人数，再计算各选项对应的代数式，与“”对比得出答案． 【详解】解：第一天预约游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人 第二天预约游客人数为 第二天比第一天多预约的人数=第二天人数-第一天人数 代数式“”表示第二天比第一天多预约的人数 故选：B． 17．下列对代数式的意义描述正确的是（　　） A．代数式的意义可以描述为“的2倍与1的差” B．某个班级原有名男生，开学初转走1名男生，则这个班级的总人数可以表示为 C．若长方形的长为，宽为1，则这个长方形的周长可以表示为 D．甲超市某件商品单价为元，乙超市出售同样商品的单价比甲超市便宜1元，那么在乙超市购买两件这个商品共花费元 【答案】D 【分析】本题考查代数式的实际意义，需根据代数式的含义判断各选项描述是否正确即可． 【详解】解：代数式 表示先计算与的差，再乘以2， A．描述为“的倍与1的差”，即，与题意不符，故A不符合题意； B．班级总人数未明确与男生人数的关系，描述不合理，故B不符合题意； C．长方形周长应为，而非，故C不符合题意； D．乙超市单价为元，购买两件花费元，符合代数式意义，故D符合题意． 故选：D． 18．某商场开展促销活动，促销方法是将原价为x元的商品以元的价格出售，请用恰当的文字语言表达这次促销方法：_______________________ 【答案】先降价15元，再打8折 【分析】本题主要考查了代数式的意义，根据表达式，可知先执行减法运算，再执行乘法运算（乘以），即先降价15元，然后打8折． 【详解】解：表达式表示原价x元先减去15元，再乘以（即打8折）， 因此用文字语言描述为“先降价15元，再打8折”． 故答案为：先降价15元，再打8折． 19．代数式“”可以解释为：长为，宽为的长方形，其周长为．请再赋予代数式“”一个实际意义：__________． 【答案】购买单价为a元的甲商品2件和单价为b元的乙商品2件，总费用为元（答案不唯一）． 【分析】代数式“2a+2b”可以表示为两个数的和的两倍，常见实际意义包括几何周长或总成本等．为避免与给定长方形周长例子重复，选择总成本作为实际意义，其中a和b分别表示两种商品的单价，2a+2b表示购买2件a商品和2件b商品的总费用． 【详解】解：代数式“”可以解释为：购买单价为a元的甲商品2件和单价为b元的乙商品2件，总费用为元（答案不唯一）． 故答案为：购买单价为a元的甲商品2件和单价为b元的乙商品2件，总费用为元（答案不唯一）． 20．写出下列代数式的意义： (1)一个三角形的一边长是，该边上的高是，那么表示什么？ (2)汽车每小时行驶，那么表示什么？ 【答案】(1)的意义是三角形面积的倍 (2)表示汽车行驶所用的时间 【分析】本题考查了代数式所表示的实际意义，根据题意，正确得出整式的具体意义是解题的关键． （1）先根据三角形的面积公式得出：，然后乘以即可得出，进而得出答案； （2）行程问题中，时间=路程÷速度，由此得出． 【详解】（1）解：由题意得，三角形的面积，， 所以的意义是三角形面积的倍； （2）解：汽车每小时行驶，则表示汽车行驶所用的时间． 题型5 已知字母的值求代数式的值 21．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值和完全平方数的非负性可求出、的值，再计算即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ． 22．若，且，则的值为（   ） A．5或 B．或 C．5或7 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，求代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 根据绝对值与平方的性质求出x、y的所有可能取值，，再分情况讨论即可得解． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， 当，时，，满足题意，此时； 当，时，，满足题意，此时； 当，时，，不满足题意； 当，时，，不满足题意； 综上所述，或． 故选：C． 23．当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 【答案】 【分析】根据已知得出，进而将和代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵当时，代数式值为2026， ∴，即， 当时，． 24．三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算和有理数的乘方，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 根据两组表示对应相等且三个数互不相等，可得，，，分别求解即可． 【详解】解：由于三个互不相等的有理数可以表示为，，或，，， 因此这两组数对应相等， 当时，则， 那么，，， ； 当时，则， 此时，与三个互不相等的有理数矛盾； 当时， 若，，则，与三个互不相等的有理数矛盾， 若，则不成立； 故， 故答案为：． 25．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 【易错警示】 已知字母求值时，代入数值要准确，负数、分数代入务必添括号。严格遵循运算顺序，先乘方再乘除后加减，认真核对符号。切忌代错数、漏括号、乱算乘方，细心分步计算，避免低级运算失误。 题型6 已知式子的值求代数式的值 26．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 27．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将所求代数式展开化简，整理出含的式子，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 展开化简所求代数式： ， 把代入得： 原式， ∴代数式的值为． 28．若，则_____________． 【答案】2024 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 29．若关于x的方程，则代数式的值是_________． 【答案】5 【分析】根据已知方程得到，对所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：， ， ． 30．当时，代数式的值为，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到，再整体代入所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：当时，代数式的值为， ∴， 即， ． 题型7 程序流程图与代数式求值 31．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 把选项中的x，y值代入检验，即可求解． 【详解】解：A、当时，，输出结果为，不符合题目要求； B、当时，，输出结果为，不符合题目要求； C、当时，，输出结果为，符合题目要求； D、当时，，输出结果为，不符合题目要求． 故选：C． 32．按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，把的值代入运算程序中进行计算，直到运算结果大于为止． 【详解】解：当时， 可得：, 当时， 可得：, 当时， 可得：, 输出的值为． 故选：C． 33．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【分析】利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． 34．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 【答案】 【分析】先分别将、代入、求得m、n的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵、， ∴，， ∴． 35．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，对于密文“L d ”，如果给一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序：，如果规定a又接在z后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L d →I a ，这样就能把密文“L d ”破译成明文“I a ”，从而解读出密文的意思了． 请你研究以下问题： (1)将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．对于密文“26 2 19 7”，给出密文与明文之间关系如下： 当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为． 请将密文破译成用英文字母表示的明文． (2)请你和同学利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，并互相合作，通过游戏试一试如何进行保密通信． 【答案】(1)m a t h (2)见解析 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再找出每个数字对应的明文序号，最后用英文字母表示的明文，即可作答； （2）先充分理解题意，利用数学式子来设计一种明文与密文的关系，即可作答． 【详解】（1）解：将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．如下表： 根据：当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为. 密文“26 2 19 7”对应的序号分别是“13 1 20 8”，这组序号对应的英文字母是“m a t h”. （2）当数据中明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号为，当数据中明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号为，按照此规定，将明码“”译成密码为（　　 ）. 明码h对应数字8，是偶数，密码为数字对应的字母r， 明码o对应数字15，是奇数，密码为数字对应的字母i， 明码p对应数字16，是偶数，密码为数字对应的字母v， 明码e对应数字5，是奇数，密码为数字对应的字母d， 所以将明码“”译成密码为“”. 题型8 用代数式表示数的规律 36．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 37．如图，下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（    ） A．175 B．170 C．80 D．62 【答案】B 【分析】本题主要考查了用代数式表示数字变化规律，先观察数字变化特点可知左上角的数字是序号数，左下角的数字比左上角的数字大1，右上角的数字是左下角数字的2倍，右下角的数字是左下角与右上角数字的乘积，再加上左上角的数字，然后根据规律求出a，b，即可得出x的值． 【详解】解：根据题意得，， 所以． 故选：B． 38．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． 39．观察下列一组代数式：，根据该组代数式的排列规律，可推断出第（为正整数）个代数式是_____． 【答案】 【分析】根据题意分别找出分子和分母的排列规律即可解题． 【详解】解：观察这组代数式的分子部分，依次为 ， 因此第个代数式的分子为， 观察这组代数式的分母部分，依次为 ，是连续奇数， 因此第个代数式的分母为， 因此第个代数式是． 40．观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示运算规律，涉及有理数的混合运算，关键是观察等式中分母的变化规律并概括． （1）通过观察前4个等式，找到第个等式分母的两个数为和，代入即可写出第6个等式； （2）根据前几个等式的共性，用含的代数式表示出第个等式的分母及裂项形式； （3）利用裂项相消法，将每一项展开后，中间的项相互抵消，最后计算剩余的部分即可求出总和． 【详解】（1）解：观察等式可知，第个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即，当时，，， ； （2）解：由前个等式的规律可得，第个等式的分母为， ； （3）解： ． 【易错警示】 用代数式表示数的规律时，需认真观察数列、图形变化特征，准确找出通用数量规律。切忌片面套用前几项、忽略符号与奇偶变化，书写通用式子要严谨，验证多组数据，避免规律总结片面、式子写错。 题型9 用代数式表示图形的规律 41．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A．15 B．17 C．19 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出是解题的关键．由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形个，第③个图案有三角形个，第④个图案有三角形，…第n个图案有三角形个（时），由此得出规律解决问题． 【详解】解：∵第①个图案有三角形1个， 第②图案有三角形个， 第③个图案有三角形个， … ∴第n个图案有三角形个（时）， 则第⑦个图中三角形的个数是个， 故选：D． 42．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍, 则它们第2026 次相遇在边（      ）上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式在行程问题中的应用及规律，解题关键是理解甲和乙的移动方式，以及每次相遇时甲走过的距离； 根据第一次相遇走了两边，其他相遇走了一圈4边，结合相遇列式求解即可得到答案； 【详解】乙的速度是甲的速度的3倍, 设甲的速度是1，则乙的速度为3， 正方形的边长为4， ， 解得，， 甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行， 第一次相遇点在的中点上， 第二次相遇时，满足， 解得，， 第二次相遇点在的中点上， 第三次相遇时，满足， 解得，， 第三次相遇点在的中点上， 第四次相遇时，满足，解得，， 第四次相遇点在的中点上， 第五次相遇时，满足，解得，， 第四次相遇点在的中点上， 依次循环，根据，与相同， 第2026 次相遇在边的中点上， 故选：C． 43．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，⋯，请你寻找规律，指出当字母B第2023次出现时，恰好数到的数为（    ） A．6062 B．6066 C．6068 D．6072 【答案】C 【分析】本题考查数的排列规律，能根据数的方式发现字母和所数的数之间的关系，分别求出正整数1，2，3，所对应的字母，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：根据题意，列出相应的表格，如下图， 字母所对应数是2，6，8，12，14，18， 通过观察奇数次出现的规律，可知， 字母第1次出现，数到的数是； 字母第3次出现，数到的数是； 字母第5次出现，数到的数是； 所以字母第2023次出现，数到的数是， 故选：C． 44．如图，这是一种长方形桌子，按照如下方式摆放，一张长方形桌子可以坐6个人，两张桌子可以坐10人，三张桌子可以坐14人……则张桌子可以坐_______人 【答案】/ 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形的变化，找出“n张桌子最多可坐（n为正整数）人”是解题的关键．根据一张、两张、三张、桌子最多可坐的人数，可得出n张桌子最多可坐（n为正整数）人． 【详解】解：∵一张桌子最多坐（人）， 两张桌子最多坐（人）， 三张桌子最多坐（人）， ∴n张桌子最多可坐（n为正整数）人， 故答案为：． 45．从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳，它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【提出问题】 在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）存在一定的数量关系．若a取定值，请探究格点多边形的面积S与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系． 【特例感知】 当取时，小明利用归纳的策略完成以下探究.在正方形网格纸中（每个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的图形（图1、图2、图3）． 根据图1、图2、图3得到的数据如下： b S 图1 4 3 图2 6 4 图3 7 ① ①处应填______； 由此发现规律：格点多边形的面积S=______（用含b的代数式表示）． 【问题解决】 在内部格点为2的格点多边形中，如果，那么格点多边形的面积S=_____． 【联系拓广】 如图4，在等边三角形网格纸中（每个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）有新的数量关系．请你按照以上的归纳策略继续探究，得到内部格点为2的格点多边形的面积S 与边上的格点数b（含顶点）之间的数量关系为______；当时，格点多边形的面积S=______． 【答案】【特例感知】4.5，；【问题解决】8.5；【联系拓广】，12 【分析】此题考查的是格点多边形的面积问题，解决本题的关键是关键由特殊找出规律得出结论． 特例感知：观察图中特例计算出对应的数据，再由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 问题解决：由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 联系拓广：由特殊情况计算找出规律即可得出结论，再将图4中的a和b代入即可得解； 【详解】解：特例感知： 图3边上的格点数，面积为，①处应填4.5； 观察图1至图3数据可得； 故答案为：4.5，； 问题解决： 当时，， 故答案为：8.5； 联系拓广：如图 图中正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，数据如下表： b S 图5 6 8 图6 8 10 图n 观察表格数据可得：， 所以时，， 故答案为：；12． 1．某校组织了师生共人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵师生共人，全部上车后还剩个位置， ∴所有租用观光车的总座位数为个， ∵每辆观光车可乘坐人， ∴租用观光车的辆数为 辆． 2．已知，则代数式的值等于（　　） A．5 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题可通过对所求代数式变形，利用整体代入法，结合已知条件计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴将代入得：， 故选：C． 3．已知代数式的值是6，则代数式的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先根据已知条件得到的值，再对所求代数式变形，将整体代入计算即可． 【详解】解：∵代数式的值是6， ∴， ∴， ∴ ． 4．按一定规律排列的代数式：，，，，…第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的规律探索，分别拆分系数和a的指数，找出对应变化规律即可求解． 【详解】解：∵ 观察给出的代数式： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ... 可得，的指数等于该代数式的序号，系数是从1开始的连续奇数，第个奇数为， ∴ 第个代数式为． 5．下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 6．若，为有理数，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握非负性的意义． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分均为零，从而求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 且，且， ∴且， ∴且， ∴，代入得， ． 故选：B． 7．已知一个三位数，其百位数字为x，十位数字比百位数字小2，个位数字比百位数字的2倍大3．用代数式表示这个三位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，十进制整数及表示方法，解题关键是掌握十进制数表示方法． 根据百位、十位、个位数字的关系，直接列出代数式表示三位数． 【详解】解：∵百位数字为，十位数字比百位数字小2， ∴十位数字为． ∵个位数字比百位数字的2倍大3， ∴个位数字为． ∴这个三位数为百位十位个位， 故选：B． 8．观察图中正方形四个顶点所标数的规律，可知数2025应标在（    ） A．第506个正方形的左上角 B．第506个正方形的左下角 C．第507个正方形的右上角 D．第507个正方形的右下角 【答案】D 【分析】本题主要考查了用代数式表示规律问题， 先根据图形的变化特点可得数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可知每个正方形有4个数，按照右下，右上，左上，左下四个数字依次增加1， ∵， ∴数2025应标在第507个正方形的右下角． 故选：D． 9．/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图形，得到后一个图形比前一个图形多8根小木棒，列出代数式即可． 【详解】解：第1个图案中小木棒的根数为； 第2个图案中小木棒的根数为； 第3个图案中小木棒的根数为 依此规律，第个图案中小木棒的根数为． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入中计算即可． 【详解】解：∵， 当时，得：， ∴， ∴． 11．已知，则_____． 【答案】11 【分析】先将所求代数式变形，提取公因式后，把已知等式整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 12．已知 ，则_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性与平方的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数都为，据此求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解： ，，且 ， 解得， ． 13．若，则代数式的值为_____． 【答案】 【详解】解：， ， ． 14．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第n个图中三角形的个数是：__________ 【答案】 【分析】根据前几个图形的变化发现规律，进而可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图中有4个三角形，即， 第2个图中有7个三角形，即， 第3个图中有10个三角形，即， ， 第n个图中有个三角形． 15．观察下列算式：；；；；；若字母表示自然数，请你观察到的规律用含式子表示出来：__． 【答案】 【分析】观察算式可得，等式左边是两个相邻自然数的平方的差，等式右边是这两个相邻自然数的和，据此规律求解即可． 【详解】解：观察算式可得，等式左边是两个相邻自然数的平方的差，等式右边是这两个相邻自然数的和， 若字母表示自然数，则有：． 16．若，，，是从1，2这两个数中取值的一列数，，则在，，，中，取值为1的个数为_____． 【答案】 【分析】设，，，中第n个数表示为，其中且为正整数，根据题意，或，从而可得或1，根据运算结果为，可得在个加项中，有个加项结果为1，即，，，中有个数的取值为2，最后根据总个数为计算即可． 【详解】解：设，，，中第n个数表示为，其中且为正整数， 根据题意得，当时，，则， 当时，，则， ， ，，，，中，有个算式结果为1，即，，，中有个数的取值为2， （个）， 则取值为1的个数为． 17．对于任意非零有理数和任意非零有理数b规定，那么的值是___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的要求可得原式，再根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 18．整式的值随x取值变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值，当时，______． x … 0 1 … … 4 … 【答案】9 【分析】本题考查代数式求值，把代入，得到，进而得到，再把和代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， 当时，； 故答案为：9 19．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．当时，代数 的值为m，求当时， 求代数式 ________ 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键．把代入，得到，再把代入代数式，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴当时， ； 故答案为：． 20．北京时间2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船成功发射，某校科技小组用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图，如图，第n个图案需要__________个基本图形用含n的代数式表示 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． 根据题意如图，第1个图案需要1个基本图形，第2个图案需要5个基本图形，第3个图案需要9个基本图形，进而找到规律即可求解． 【详解】解：∵第1个图案需要1个基本图形，， 第2个图案需要5个基本图形，， 第3个图案需要9个基本图形，， 第4个图案需要13个基本图形，， 第5个图案需要17个基本图形，， 第6个图案需要21个基本图形，， …… ∴第n个图案需要个基本图形， 故答案为：． 21．已知若a、b互为相反数，m的绝对值为4． (1)直接写出，m的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据相反数的性质和绝对值的意义即可求出对应值； （2）将（1）中求出的值代入所求代数式，分类计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数， ∴， ∵m的绝对值为4， ∴； （2）解：当时，； 当时，， 综上，原式的值为0． 22．已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得4的数．求代数式的值． 【答案】或9 【分析】根据相反数，倒数，平方求出，，，再分两种情况代入求出答案即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得4的数， ∴，，， ∴当时， ； 当时， ． 综上所述，代数式的值为或9． 23．当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ； 24．如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ． （2）解：当，时， ． 25．按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合图形的特点可知阴影部分由长、宽的长方形和边长为的正方形两部分组成，依此列出代数式并化简； （2）将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ； （2）解：将，代入得， ． 26．观察表格中两个多项式及其相应的值，回答问题： x … 0 1 2 … … 8 6 4 2 a … … b … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：______；________． 【归纳规律】 （2）表中的值的变化规律：x的值每增加1，的值就减少2．类似的，的值的变化规律：x的值每增加1，的值就________． 【问题解决】 （3）请直接写出一个含x的多项式，要求x的值每增加1，多项式的值就减小5，且当时，多项式的值为6． 【答案】（1）0，1；（2）增加3；（3） 【分析】本题考查了代数式求值和数值变化规律，解题关键是准确进行计算，发现题目中数字变化规律与x的系数之间的关系． （1）把代入两个代数式即可求值； （2）根据表中数据，写出变化规律即可； （3）按照题目的要求可知x的系数为，再根据时，多项式的值为6确定常数项即可． 【详解】（1）解：把代入得，，则； 把x=2代入得，，则； 故答案为：0，1； （2）解：的值的变化规律：x的值每增加1，的值就增加3． 故答案为：增加3． （3）解：x的值每增加1，多项式的值就减小5，可知x的系数为，设这个多项式为， ∵时，多项式的值为6， ∴，即， ∴这个多项式为． 27．把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．设其中一个正方形的边长为xcm，面积为，另一个正方形的面积为． (1)用含有x的代数式表示：_________，_________； (2)结合情境，观察式子，围绕和提一个问题，并给出解答或解答思路． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的面积公式，先由已知边长表示出一个正方形的面积；再利用绳子总长和正方形周长公式，求出另一个正方形的边长，进而表示出它的面积． （2）围绕和提出求代数式值的问题，将的具体值代入和的表达式中，计算出对应的面积值． 【详解】（1）解：， 另一段绳子的长度：，另一个正方形的边长：， ∴； （2）解：示例问题：当时，求的值． ∵，， ∴当时， ． 28．从2021年开始，某市中考总分要加大体育分值，实验学校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批足球和跳绳，在查阅网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）； (2)若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)， (2)A网店 (3)先到A网店买60个足球，再到B网店购买40条跳绳更为合算，此时付款9480元 【分析】（1）根据甲乙各自的优惠方式分别列代数式，再化简即可； （2）把代入（1）中的代数式，计算后进行比较即可； （3）当时，在A网店购买60个足球赠送60根跳绳，再在B网店购买40条跳绳：此时最合算． 【详解】（1）解：由A网店的优惠方案得， 买60个足球，x条跳绳（）的总费用为： （元）， 由B网店的优惠方案得， 买60个足球，x条跳绳（）的总费用为： （元）． （2）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴到A网店购买比较合算； （3）解：先到A网店买60个足球，获赠60条跳绳， 再到B网店购买条跳绳所用的总费用为： （元）， ∵， ∴先到A网店买60个足球，再到B网店购买40条跳绳更为合算，此时付款9480元． 29．图1是由绳索编织成的网状带实物图，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”（结点数记为），内部每个封闭小区域称为“网眼”（网眼数记为），围成网眼的线段称为“边”（边数记为）．例如，图2中该图形结点数，网眼数，边数． (1)观察图形，根据规律填表： 图3 图4 … 六边形个数（） 2 … 结点数（） … 网眼数（） 6 9 … 边数（） … 表中，，； (2)小明通过观察，猜想，验证，发现这种网状图形满足等式：，请说明他的结论是正确的，并再写一条不同于小明发现的，关于、、三个量的等式； (3)小丽想用绳索编织一条如图5所示的两端封口且长度不超过的带子，其中带子中的六边形均是边长为的正六边形，编织时需在每个结点处打一个绳结，则小丽最多需要打个绳结． 【答案】(1)3，，； (2)解：； 验证： 由题意可得，，，， ； (3)． 【分析】（1）从图中数出来即可； （2）找规律，结点数由左端封口处3个，每多一个正六边形，结点数多5个；网眼数每多一个正六边形，网眼数多3个；边数由左端封口处2个，每多一个正六边形，边数多8个；由此分别列出它们关于六边形个数的表达式，找关于、、三个量的等式即可； （3）算出两端需要多长的带子，每加一个正六边形需要多长的带子，得出的带子可以编织出多少个正六边形，再计算结点数即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ； （3）解：由题意可得每多编织一个正六边形需要带子， 如图，把左端平移到右端是这样的， 的长度明显小于正六边形两条边长的和，即， ， 的带子最多可以编织个正六边形， 小丽最多需要打个绳结． 30．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式 的值为7，求代数式 的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为 ，所以 ，所以，所以代数式 的值为5． (1)方法运用： 若代数式 的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值． (3)拓展应用：若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3）解：，， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $