专题03 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以韦达定理应用为主线，通过四题型分层突破，系统提炼解题步骤与易错点，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01 直接应用|1典例+3变式|“化一般式→读a,b,c→代公式”三步法，强调符号与Δ|从韦达定理概念到基础应用，突出公式直接迁移| |题型02 已知一根求参数|1典例+3变式|代入法与韦达法（优先积关系）双路径|深化根与系数关系，训练参数求解的灵活思维| |题型03 对称式求值|1典例+3变式|“算S/P→目标式转化→代值计算”三步走|构建对称式与S/P的关联，培养代数变形能力| |题型04 含参方程应用|1典例+3变式|“韦达列关系式→解参→验Δ与a≠0”四步法|综合应用韦达定理与方程根的条件，强化逻辑推理|

专题03 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） （题型突破·举一反三） 题型01 韦达定理的直接应用 题型02 已知一根，求另一根及参数 题型03 对称式求值 题型04 含参方程的韦达定理应用 ▌题型01 韦达定理的直接应用 1. 基础：对于一元二次方程（为常数，且），当（即方程有实数根）时，设它的两根为，则， 2. 方法：先化为一般式⇒读（带符号）⇒代公式。注意的负号易漏。 3. 思维提醒：最高频扣分点两个 (1) 符号读错（尤其c，移项后才定）； (2) 忘记前有个负号，只有b为负时这个负号才“消掉”。 【典例1】（2026·河北邯郸·二模）已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先通过判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，逐一判断选项即可． 【详解】解：方程的判别式为：， 方程有两个不相等的实数根，即， 故选项A、D错误； 根据根与系数的关系得：，， 为任意实数， ，不是固定值， 故选项B错误，选项C正确． 【变式1-1】（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 【变式1-2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和． 【详解】解：由题意得，在一元二次方程中，． 【变式1-3】（2026·河北唐山·二模）设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， 先求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解: ， 是方程的两个根， 由根与系数的关系得∶ ， ， 将，代入 得:． ▌题型02 已知一根，求另一根及参数 1. 基础：两根均未知⇒用韦达联立；一根已知⇒两种路径： (1) 代入法（把已知根代回方程求参，再解求另一根）； (2) 韦达法（由，直接求另一根，参也可同步求）。 2. 方法：首选韦达的“积”：（当已知非零）；若给的是和的形式更直接。含参时两种方法等价，但韦达更快。 【典例2】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； （3）解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． 【变式2-1】（2026·江西萍乡·二模）已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是___． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为，由根与系数的关系可得， ，即方程的另一根为． 【变式2-2】（2026·山东济宁·二模）关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】1 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得：， 将代入等式得：， 解得：． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． ▌题型03 对称式求值 1. 基础：常见对称式（关于轮换对称）都可以用表示： 2. 三步走 (1) 由方程读，算S、P； (2) 把目标式用S、P表示（先变形再代入，别先求根）； (3) 代S、P计算。 【典例3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 【变式3-1】（2026·安徽淮南·三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得是否符合要求． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， 判别式， 对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得 , ， ， ， 整理得：， 解得：或， 的值为或1． 【变式3-2】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 【变式3-3】（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． ▌题型04 含参方程的韦达定理应用 1. 基础：题干给“方程（含参）有两实根，且＝…或＝…，求参数”——先用韦达列参的关系式，求出参后必须验且。 2. 方法：步骤 (1) 由韦达把、用参表示； (2) 由目标对称式列参的方程； (3) 解参； (4) 验且，不合舍去。 【典例4】（2026·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根确定的取值范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式求解，最后舍去不符合范围的解得到结果. 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，，， ， 解得， 方程的两根为，，   ，， ， ， ∴ ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得： ，， ， 不符合题意，舍去， . 【变式4-1】（2026·广西崇左·三模）已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（     ） A．0 B． C．10 D．0 或10 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积，结合题意列方程求解，再根据方程有两个实数根，利用判别式检验，舍去不符合题意的解． 【详解】解：∵ 一元二次方程两根之积为， 由题意得， 整理得， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 当时，，此时方程无实数根，舍去， 当时，，符合题意， ∴的值为． 【变式4-2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）解答下列各题： (1)已知实数是方程 的两根，求 的值； (2)已知实数满足 ，且，求 的值； (3)若两个不相等的实数满足 ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式将转化为，代入计算即可； （2）先将变形，再结合，判断与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出的值； （3）联立方程作差，化简得出的关系，代入方程后利用根与系数的关系求，进而得． 【详解】（1）解：∵是方程 即的两个根， ∴，， ∴； （2）解：两边同时除以9，可得， ∵，，且，即， ∴与是方程，即的两个不相等的实数根， 对于方程， 由（1）得两根之积为，即， ∴； （3）解： ，得 ， ， ∵， ∴方程两边同时除以得，， ∴， ∴③， ④， 将④代入①，得 ， ， 将③代入②，得 ， ， ∴是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） (题型突破举一反三) 目录 题型01韦达定理的直接应用 题型02已知一根，求另一根及参数 题型03对称式求值 题型04含参方程的韦达定理应用 题型01 韦达定理的直接应用 解题必备 1. 基础：对于一元二次方程am2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，当△=b2-4ac之0（即方程 有实数根)时，设它的两根为x,x,，则+三，专5二 a b 2. 方法：先化为一般式→读。，b,c(带符号)→代公式。注意+，=一。的负号易漏。 3. 思维提醒：最高频扣分点两个 (I)a,b,c符号读错（尤其c,移项后才定）； (2) 忘记+5=- 。前有个负号，只有b为负时这个负号才“消掉”。 三典例精析 【典例1】(2026河北邯郸二模)已知x,x2是关于x的一元二次方程x2+3-3=0的两个根，下列 结论一定正确的是() A.x=x2 B.x+x2=-3 C.x2=-3 D.无实数根 上举一反三 【变式11】(2026河北石家庄二模)已知。、6是一元三次方程2-x-3=0的两个根，则。+5的 115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值为() 5 A.3 B.1 D.2 【变式1-2】(25-26八年级下·北京阶段检测)已知、是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的 两个实数根，则+x2的值为 【变式1-3】(2026河北唐山二模)设，x2是方程x2+3x-2=0的两个根，则x+x-xx2的值为 题型02已知一根，求另一根及参数 三解题必备 1. 基础：两根均未知→用韦达联立；一根已知→两种路径： (1)代入法（把已知根代回方程求参，再解求另一根）； (2) 韦达法（由+，=- ,=后直接求另根，参他可同步求)。 a, 2.方法：首选韦达的“积”： 心（当已知非零）；若给的是和的形式更直接 a 。含参时两种方法等价，但韦达更快。 三典例精析 【典例2】(25-26八年级下·安徽准北期中)己知关于x的一元二次方程2x-mx=1,其中m为实数. (1)求证：该方程有两个不相等的实数根： (2)若该方程的一个根为-1，求另一个根： (3)若该方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围. 举一反王 【变式2-1】(2026江西萍乡·二模)已知一元二次方程x2+x+6=0的一个根为-2，则它的另一个根 是 【变式22】(2026山东济宁·二模)关于x的一元二次方程x2+2x-k=0的其中一个根是=-3，则 另一个根2=一· 【变式23】(2425八年级下浙江杭州期中)如果关于x的一元二次方程ar+br+c=0(a≠0)有两个 215 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说 法正确的是() ①方程x2-6x+8=0是倍根方程； ②若(x-2(mr+1)=0是倍根方程，则m=- 4 ③若P,9满足P9=8,则关于x的方程px2-6x+9=0是倍根方程： ④若关于x的方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则2b2=9ac A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 题型03对称式求值 解题必备 1.基础：常见对称式（关于轮换对称）都可以用S=+、P=表示： 1+1=+名 x x2 xx2 x2+x2=(x+x2}-2xx (x-32)}=(x+2)}-4xx2 x2x2+xx32=x为3(x+x2) =V+x-4x2 2. 三步走 (1) 由方程读a,b,c,算S、P: (2)把目标式用S、P表示（先变形再代入，别先求根）； (3)代S、P计算。 典例精析 【典例3】(25-26八年级下·安徽六安·期末)设，x2是一元二次方程x2-4x-4=0的两个根，则 x2+x号=（) A.4 B.8 C.24 D.26 E举-反目 【变式31】(2026安徽准南三模)已知x,方是关于x的一元二次方程r-(m+3)x+2m+1=0的两个 实数根，若x+x=10,则m的值为() 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.-3 C.1或-3 D.不存在 【变式3-2)(25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测)已知一元二次方程ax2+bx-2=0的两个实根为x, 1+=2,则，的取值范围为 x:若玉方 【变式33】(2026四川眉山中考真题)若方程x2-4x-3=0的两个根是x,x2,则x,+x的值为 题型04含参方程的韦达定理应用 解题必备 1. 基础：题干给“方程+bx+c=0(含参)有两实根，且+名=或+=，求参数” 一先用韦达列参的关系式，求出参后必须验a≠0且△=-4ac20。 2.方法：步骤 (1) 由韦达把+、用参表示： (2) 由目标对称式列参的方程： (3) 解参： (4) 验a≠0且△=b-4ac20,不合舍去。 典例精析 【典例4】(2026~四川成都二模)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实 数根x2,若+2x+2x=3,则k的值为 举一反目 【变式41)(2026广西崇左·三模)已知关于x的一元二次方程x-(m-)x+m+2=0的两实数根之 积等于m2-9m+2,则的值为() A.0 B.-10 C.10 D.0或10 【变式42】(24-25八年级下，浙江金华阶段检测)解答下列各题： (①)已知实数a,b是方程x2-x=1的两根，求a2+b的值； (2)已知实数a,b满足a2-a=1,b2-3b=9,且b≠3a,求ab的值： 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若两个不相等的实数p,9满足p2+mp-1=9,q+mg-1=p,求p9-m的值. 【变式43】(25-26八年级下浙江嘉兴期末)定义：若关于x的一元二次方程ar+br+c=0(a≠0)中 的常数项℃是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程。 (1)已知关于x的方程x2+2x+c=0是理想方程，求C的值： (2)当b,c满足什么条件时，方程x+bx+C=0是理想方程： (3)关于x的理想方程ax2+bx+c=0的两个实根为，x2,若c=2a,求+x的取值范围. 5/5函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） (题型突破举一反三) 目录 题型01韦达定理的直接应用 题型02已知一根，求另一根及参数 题型03对称式求值 题型04含参方程的韦达定理应用 1题型01 韦达定理的直接应用 典例精析 【典例1】【答案】C 三举一反目 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】-2 【变式1-3】【答案】-1 题型02已知一根，求另一根及参数 三 典例精析 【典例2】 【答案】(1)证明：一元二次方程2x2-mx=1化为一般形式为2x2-x-1=0, △=(-m)-4×2×(-1)=m2+8>0, ∴，该方程有两个不相等的实数根： (2)解：将x=-1代入方程2x2-x=1得，2×(-1-m×(-)=1,解得m=-1, .此方程为2x2+x-1=0, 115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 = :另-根为=号()： (3)解：设方程2x2-mx=1的两个实数根为a,b, .a+b=-m_m 1 22,ab= 2 ~方程2x2-mx=1的一个根大于2，另一个根小于2， .(a-2)b-2)<0. ∴.ab-2(a+b)+4<0 、、12×"+4<0，解得、7 2 举一反三 【变式2-1】【答案】-3 【变式2-2】【答案】1 【变式2-3】【答案】B 题型03对称式求值 典例精析 【典例3】【答案】C 举一反目 【变式3-1】【答案】C 【变式3-2】【答案】a≥-2且a≠0 【变式3-3】【答案】-12 题型04含参方程的韦达定理应用 典例精析 【典例4】【答案】5 举一反三 215 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式41】(【答案】C 【变式4-2】 【答案】(1)解：：a,b是方程x2-x=1即x2-x-1=0的两个根， .a2+b2=(a+b)2-2ab=1P-2×(-1)=3: ®)解：一9两边同时除以9，可得 .3 b 六a与是方程x2-x=1?即xr2-x-1=0的两个不相等的实数根， 对于方程x2-x-1=0, 由山少得两根之积为1，即0号1， -1 .ab=-3: (3)解：p2+mp-1=g①，g2+mg-1=p② ①-②，得p2-g2+m(p-q）=q-p, .(p-q)p+q)+m(p-q)=-(p-q), 卫≠9， ∴方程两边同时除以(p-q)得，(p+q)+m=-1, .p+9=-1-m, p=-1-m-9③，9=-1-m-p④， 将④代入①，得p+p-1=-1-m-p, p2+(m+1)p+m=0, 将③代入②，得92+mg-1=-1-m-9, .q2+(m+1)q+m=0. P,q是一元二次方程x+(m+)x+m=0的两个根， ∴.Pg=m」 .pq-m=0 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式43】 【答案】(1)解：：x2+2x+c=0是理想方程， .c是方程x2+2x+c=0的解， .c2+3c=0 解得c=0或c=-3； (2)解：，方程x+bx+c=0是理想方程， c2+bc+c=c(c+b+1)=0. ∴，c=0或b+c+1=0, 即当c=0或b+c+1=0时，方程x2+bx+c=0是理想方程； (3)解：，方程有两个实数根， ∴.△=b2-4ac20, 由理想方程的定义知c是方程ax2+bx+c=0的解， ..ac2+bc+c=c(ac+b+1)=0. .c=2a,且a≠0， .ac+b+1=0. ∴.b=-ac-1=-2a2-1, .（-2a2-1-4a-2a≥0， (2a2-1020, 这个不等式对于所有非0实数a都成立， b 由根与系数关系得+=-日（其中a≠0）， 又由理想方程定义知有一根为C, 1 不妨设x=c,则= a' 1 .+3=c+ 2a+1 a a, +2W2≥22 a>0 -22<-22 a<0 4/5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上所述，：+x的取值范围是+x2≤-2W2或x+x2≥2V2 5/5