考点03 根的判别式和根与系数的关系的应用3考点5题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

考点03 根的判别式和根与系数的关系的应用 考点一：根的判别式（Δ=b²−4ac） 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）： Δ>0：两个不相等的实数根； Δ=0：两个相等的实数根； Δ<0：无实数根。 作用：定根的个数、求待定系数、判断方程与函数/几何的关系。 例1：判断方程 的根的情况。 例2：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 考点二：根与系数的关系（韦达定理） 若方程 ax²+bx+c=0（a≠0） 的两根为x₁、x₂，则： 两根之和： 两根之积： 前提：a≠0且Δ≥0（必须有实根）。 例3：已知方程 的两根为x₁、x₂，求x₁+x₂和x₁x₂。 例4：方程 的两根x₁、x₂满足x₁=3x₂，求m的值。 考点三：常见代数式变形（韦达定理常用） （x₁x₂≠0） 例5：已知x₁、x₂是方程 的两根，求 的值。 题型一：利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 步骤1：先判定是不是一元二次方程 必须先看二次项系数：若二次项系数含字母，先讨论系数是否为0 系数=0：不是一元二次方程，退化为一元一次方程，直接求根判断 系数≠0：才可用根的判别式 步骤2：确定 把方程化成一般形式，准确写出含字母的 。 步骤3：计算 展开、化简判别式，整理成完全平方+常数或整式形式。 步骤4：配方/变形判断 正负 利用平方非负：，判断 大于0、等于0还是小于0。 步骤5：下结论 对应写出根的三种情况。 1.忘记二次项系数不为0：含字母系数直接套判别式，忽略前提，字母使二次项系数为0时不是二次方程，不能用。 2.找错 符号：方程没化成一般式， 带负号漏掉负号，导致 计算全错。 3.化简 不彻底，不会配方：算出 后不整理、不配方，看不出正负，无法判断根的情况。 4.认为 就一定有两个根：只有 时， 才有两个实数根；若 只有一个根。 5.字母取值范围遗漏限制：题目有隐含条件（整数、正数、取值范围），判断后不结合范围取舍。 6.混淆“实数根”和“两个相等实数根”： 是两个相等实数根，不能说成“一个实数根”。 【例1】求证关于 的方程 总有两个不相等实数根。 解： 1.二次项系数：，恒不为0，是一元二次方程。 2. 3. 4.，即 5.结论：方程总有两个不相等实数根。 【变式1-1】（25-26九年级下·河南新乡·期中）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式1-2】（2026·河南漯河·一模）已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式1-3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【变式1-4】（25-26九年级下·四川南充·期中）为实数，关于的方程为． (1)求证：原方程一定有实数根． (2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值． 【变式1-5】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 题型二：利用根的判别式和根与系数的关系求值 1.先定二次项系数：必须保证 2.先算判别式 ：有实数根前提，这是最容易漏的一步 3.再用韦达定理：写出 、 4.代数式变形：把所求式子化成只含 、 再整体代入 易错点1：忽略二次项系数 题目含参数 时，默认是一元二次方程，一定要先写 限制参数范围，否则会多出增根。 易错点2：只用韦达定理，不检验 只要题目说“方程有两个实数根/存在两根”，必须先 求参数范围，再代入求值；很多同学直接套韦达算出答案，参数超出有根范围，答案直接错。 易错点3：混淆韦达定理符号 记死：和是 ，积是 ；最常见错：把两根和写成 ，符号反了全盘错。 易错点4：代数式变形出错 求 忘记 减 ；求 忘记 减 。 易错点5：题目没说一元二次方程，当成二次方程做 题目只说“方程有实数根”，要分两种情况：① 一次方程 ；② 二次方程 。 易错点6：分式求值不考虑分母不为0 求 类，要隐含 ，即 。 【例2】已知 是方程 的两实数根，求 的最小值。 1. 2.有实根： 3. 韦达： 4. 变形： 再在 或 范围内求二次函数最小值。 【变式2-1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【变式2-2】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）若关于x的方程有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（   ） A．c B． C． D． 【变式2-3】（2026·河北·二模）已知、是关于x的一元二次方程的两实根，且，求的值． 【变式2-4】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【变式2-5】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 【变式2-6】（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 题型三：利用根与系数的关系解决新定义问题 【例3】（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 题型四：利用根与系数的关系解决几何问题 【例4】（25-26九年级下·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，且分别为的两条直角边的长度，则该直角三角形的斜边长为_______ 【变式4-1】（25-26九年级下·四川成都·自主招生）若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是________． 【变式4-2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． 【变式4-3】（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 题型五：利用根与系数的关系解决论证与猜想问题 【例5】（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． (1)当时，求证：方程总有实数根； (2)若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】 （1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】 （2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】 （3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【变式5-3】（25-26九年级上·福建南平·月考）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1．我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为． (1)代数式的正值是_____； (2)判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由； (3)①若关于x的代数式的正域值为0，求a的值； ②若关于x的代数式的正域值为正整数，求整数b的值． 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 2．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 3．（25-26九年级上·江西新余·月考）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”． (1)若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 根的判别式和根与系数的关系的应用 考点一：根的判别式（Δ=b²−4ac） 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）： Δ>0：两个不相等的实数根； Δ=0：两个相等的实数根； Δ<0：无实数根。 作用：定根的个数、求待定系数、判断方程与函数/几何的关系。 例1：判断方程 的根的情况。 解：a=2，b=−3，c=1 Δ=b²−4ac=(−3)²−4×2×1=9−8=1>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 例2：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 解：需满足： Δ=16+8k>0 ⇒ k>−2 ∴k的取值范围：。 考点二：根与系数的关系（韦达定理） 若方程 ax²+bx+c=0（a≠0） 的两根为x₁、x₂，则： 两根之和： 两根之积： 前提：a≠0且Δ≥0（必须有实根）。 例3：已知方程 的两根为x₁、x₂，求x₁+x₂和x₁x₂。 解：a=1，b=−5，c=6 ，。 例4：方程 的两根x₁、x₂满足x₁=3x₂，求m的值。 解：，又x₁=3x₂ ⇒ 3x₂+x₂=8 ⇒ x₂=2，x₁=6 。 考点三：常见代数式变形（韦达定理常用） （x₁x₂≠0） 例5：已知x₁、x₂是方程 的两根，求 的值。 解：， 。 题型一：利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 步骤1：先判定是不是一元二次方程 必须先看二次项系数：若二次项系数含字母，先讨论系数是否为0 系数=0：不是一元二次方程，退化为一元一次方程，直接求根判断 系数≠0：才可用根的判别式 步骤2：确定 把方程化成一般形式，准确写出含字母的 。 步骤3：计算 展开、化简判别式，整理成完全平方+常数或整式形式。 步骤4：配方/变形判断 正负 利用平方非负：，判断 大于0、等于0还是小于0。 步骤5：下结论 对应写出根的三种情况。 1.忘记二次项系数不为0：含字母系数直接套判别式，忽略前提，字母使二次项系数为0时不是二次方程，不能用。 2.找错 符号：方程没化成一般式， 带负号漏掉负号，导致 计算全错。 3.化简 不彻底，不会配方：算出 后不整理、不配方，看不出正负，无法判断根的情况。 4.认为 就一定有两个根：只有 时， 才有两个实数根；若 只有一个根。 5.字母取值范围遗漏限制：题目有隐含条件（整数、正数、取值范围），判断后不结合范围取舍。 6.混淆“实数根”和“两个相等实数根”： 是两个相等实数根，不能说成“一个实数根”。 【例1】求证关于 的方程 总有两个不相等实数根。 解： 1.二次项系数：，恒不为0，是一元二次方程。 2. 3. 4.，即 5.结论：方程总有两个不相等实数根。 【变式1-1】（25-26九年级下·河南新乡·期中）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：根据新运算定义可得， 整理方程得， ， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1-2】（2026·河南漯河·一模）已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程，， 根据图象可得，， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式1-3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【详解】（1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 【变式1-4】（25-26九年级下·四川南充·期中）为实数，关于的方程为． (1)求证：原方程一定有实数根． (2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数的值． 【详解】（1）证明：当时，． 此时原方程为．有实数根． 当时， ， ∴原方程有两个实数根， 综上，原方程一定有实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 则， ． 由，知是6的因数． ， ． 当，即时，（舍）． 当，即时，（舍）． 当，即时，． 当，即时，． 综上，a的值为2或5． 【变式1-5】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 这里，，， ， 无论k取何值，这个方程总有实数根． （2）解：当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8， 将代入方程，得， 解得， 将代入方程，得， 解得，， 所以这个等腰三角形的周长为：， 当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根， 所以，即， 所以方程为，解得， 所以这个等腰三角形的周长为：， 综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18． 题型二：利用根的判别式和根与系数的关系求值 1.先定二次项系数：必须保证 2.先算判别式 ：有实数根前提，这是最容易漏的一步 3.再用韦达定理：写出 、 4.代数式变形：把所求式子化成只含 、 再整体代入 易错点1：忽略二次项系数 题目含参数 时，默认是一元二次方程，一定要先写 限制参数范围，否则会多出增根。 易错点2：只用韦达定理，不检验 只要题目说“方程有两个实数根/存在两根”，必须先 求参数范围，再代入求值；很多同学直接套韦达算出答案，参数超出有根范围，答案直接错。 易错点3：混淆韦达定理符号 记死：和是 ，积是 ；最常见错：把两根和写成 ，符号反了全盘错。 易错点4：代数式变形出错 求 忘记 减 ；求 忘记 减 。 易错点5：题目没说一元二次方程，当成二次方程做 题目只说“方程有实数根”，要分两种情况：① 一次方程 ；② 二次方程 。 易错点6：分式求值不考虑分母不为0 求 类，要隐含 ，即 。 【例2】已知 是方程 的两实数根，求 的最小值。 1. 2.有实根： 3. 韦达： 4. 变形： 再在 或 范围内求二次函数最小值。 【变式2-1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（    ） A．5 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个根 ∴根据根与系数的关系可得， 又∵ 将 代入，得， 解得， 将 代入，得 ， ∴，即， 整理得，因此， 检验：当时，该方程的判别式，符合题意， 故m的值为． 【变式2-2】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）若关于x的方程有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为（   ） A．c B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【详解】解：去分母得 ， 整理为一元二次方程标准形式：， ∵ 方程有两个绝对值相同，符号相反的根，即两根互为相反数， ∴ 两根之和为0，且二次项系数不为0， ∵ 一元二次方程两根和为 ，且， ∴ ， 展开得 ， 提取公因式得 ， ∴ ． 【变式2-3】（2026·河北·二模）已知、是关于x的一元二次方程的两实根，且，求的值． 【答案】2 【难度】0.44 【详解】解 ∵是一元二次方程的两实根， ∴判别式， 解得； 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ∵， ∴ 将，，代入得 解得，， ∵， ∴舍去，得， ∴． 【变式2-4】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式2-5】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵、是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，． 【变式2-6】（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 题型三：利用根与系数的关系解决新定义问题 【例3】（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵“二次方值点”满足纵坐标是横坐标的平方，即， ∴联立与， 得， 整理得， ∵函数图象在第一象限存在两个不同的“二次方值点”，说明该一元二次方程有两个不相等的正实数根， 故方程有两个不等实根， ∴， 解得， 又∵两个根均为正数（第一象限横坐标），对于该方程，两根之和，满足两根均为正数， 则还需满足两根之积大于， 两根之积， 解得， 综上，的取值范围是． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）材料1．若一个整数的平方等于另一个整数，那么这个整数叫做完全平方数（也叫平方数）．例如：，，，则1、4、9都是完全平方数． 材料2．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”． (1)已知关于的一元二次方程（为整数，为正整数）有两个整数根，且两根的平方和为，求的值． (2)证明：两个连续正整数之积不能是完全平方数． (3)若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，求所有满足条件的的和． 【详解】（1）解：设方程两根为、，由根与系数的关系得： ，， ∵， ∴ 即， 解得． （2）方法一：假设存在正整数、，使得，整理为一元二次方程： ∴． ∵是正整数， ∴，即介于两个连续完全平方数之间，不是完全平方数． 因此方程无正整数解，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． 方法二：假设存在正整数、，使得， 将方程两边乘以4，变形为， ∴ 因为、都是正整数，故有， 解得，与假设矛盾，故两个连续正整数之积不能是完全平方数． （3）解：是一个“双倍快乐数”， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ， ，若能被6整除， 设， ， 能被6整除，即能被6整除， 由条件可知既能被2整除又能被3整除，而112只能被2整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， 所有满足条件的的和为． 题型四：利用根与系数的关系解决几何问题 【例4】（25-26九年级下·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，且分别为的两条直角边的长度，则该直角三角形的斜边长为_______ 【答案】 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵a，b分别为的两条直角边的长度， ∴该直角三角形的斜边长． 【变式4-1】（25-26九年级下·四川成都·自主招生）若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是________． 【答案】 【详解】解：设的两条直角边长分别为，，斜边长为， 方程的两根是两条直角边的长， 由根与系数的关系可得：，， 由勾股定理得： ． 【变式4-2】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． 【答案】 【详解】解：四边形是边长为的菱形， ，，，， ， ， 对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ，， ， ， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， ， ，即， ． 【变式4-3】（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】或 【详解】解：∵关于x的方程， ∴，，， ∴，， ∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根， ∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且， ∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则； ②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则． ∴综上所述，的值为或． 题型五：利用根与系数的关系解决论证与猜想问题 【例5】（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． (1)当时，求证：方程总有实数根； (2)若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵ ∴方程总有实数根． （2）解：由（1）可知，方程总有实数根， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ，． ∴①；②． ②①得：，即，所以，即． ∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：，，， ， 所以该方程总有实数根； （2）存在实数m，使得代数式的值为，理由如下： 由根与系数的关系可知， ， ， ， ， ． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】 （1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】 （2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】 （3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【详解】解：（1）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为12，2； （2）不存在， 理由：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴方程组无解， ∴不存在； （3）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程有解， 又，， ∴方程有正数解， ∴方程组有正数解， ∴无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【变式5-3】（25-26九年级上·福建南平·月考）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1．我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为． (1)代数式的正值是_____； (2)判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由； (3)①若关于x的代数式的正域值为0，求a的值； ②若关于x的代数式的正域值为正整数，求整数b的值． 【详解】（1）解：，则，即，解得或4， 故答案为：或4； （2）解：无正值，理由如下： 令，则， ∵， ∴方程无解， ∴代数式无正值； （3）解：①正域值为0，说明“正值”只有1个（最大、最小正值相等）． 令，整理得， ∵方程有两个相等的实数根，故， ∴， 化简得，即， 解得； ②令， 则 设两根为， 则 正域值为：， 先将化简： ∴， 由于正域值为正整数，且为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去， 因此整数的值为． 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 2．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 【答案】(1)②③ (2)①方程②的根为，  ；方程③的根为 ；② (3)或，理由见解析 【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程； ②中，是“和差”的二次方程； ③中，是“和差”的二次方程； ④中，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； （2）解：①解方程， ， ， ， ； 解方程， ， ； ②设方程的另一根是， 由韦达定理可得，． ， ， 即， 解得：； （3）解：∴      或   ． 理由：是“和差”二次方程的两个根， ， 又， ， ， ， ， 或， 或． 3．（25-26九年级上·江西新余·月考）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由（1）知，方程的“最值码”为， 方程的“最值码”为： ， 由于两个方程的“最值码”相等， 则， 整理得：， 因此 = ． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程” (2)k的值不存在 (3)m的取值范围为或 【详解】（1）解：是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； （2） 即 ，， ， ， 即， 由于， 则无解， 故k的值不存在； （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 此方程有两个不相等的实数根， ，即， 且， 分类讨论：①当，时， ， ， ， ， 当，时， ， ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”． (1)若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，， 【详解】（1）解：， 解得，， ， 该方程的“派生点”Q的坐标为； （2）解：方程为， ， ，或，， ①当，即时，“派生点”Q的坐标为． ∵点Q在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时，“派生点”Q的坐标为， ∵点Q在直线上， 代入得， ，符合题意； 综上，m的值为或； （3）解：存在，满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的“派生点”Q为， 即，， ，． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【详解】（1）解：由得， ，， 则， 所以①符合题意； 由得， ，， 则， 所以②不符合题意． 故答案为：①； （2）解：由得， ， 因为此方程是“差根方程”， 所以， 解得； （3）解：由题知，不妨令， 因为，的长为， 则 因为、的长是一个“差根方程”的两个实数根， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 同理可得，， 所以，， 则这个差根方程为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $