第07讲 实数与近似值-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第07讲 实数与近似值思维导图 知识点1 实数 一、实数的定义与分类 实数是有理数和无理数的统称。有理数包括正有理数、负有理数和0，其中正有理数又可分为正整数和正分数，负有理数可分为负整数和负分数。无理数则是无限不循环小数，如圆周率π、开方开不尽的数（如√7）等。 二、实数在数轴上的表示 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴上的点与实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点也都表示一个实数。在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。 三、相反数、倒数与绝对值 1.相反数：实数a与-a互为相反数，它们的和为0，即a+(-a)=0。在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。 2.倒数：若两个实数的乘积为1，则它们互为倒数。即，若ab=1，则a、b互为倒数。1和-1的倒数都是它们本身，0没有倒数。 3.绝对值：一个数到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。绝对值具有非负性，即|a|≥0。 四、实数的运算 实数范围内，有理数的运算律都适用，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。实数的运算顺序为先乘方、开方，再乘除，最后加减。运算过程中，要注意数字的符号和运算顺序。 五、实数的比较大小 实数的大小比较可以通过数轴、求差或求商等方法进行。在数轴上，右边的数总比左边的数大。设a、b是实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b。对于正数，绝对值大的数较大；对于负数，绝对值大的数反而小。 六、特殊实数的性质 1.平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2.立方根：一个数的立方根是指另一个数，这个数的立方等于原数。正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。 3.无理数的性质：无理数具有无限不循环性，不能用分数表示，也不能开方得到整数或有限小数。 知识点2 近似值 一、近似值与准确值 1.准确值：与实际完全符合的数据，称为准确值。 2.近似值：与准确值相近的数据，称为近似值。通常用度量工具测出的长度、质量、时间、速度等数据都是近似值。 二、近似值的精确度 1.定义：近似值的精确度是指近似值与准确值的接近程度。一般地，一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 2.表述方法： （1）用数位表示，如精确到千位、精确到千分位等； （2）用小数表示，如精确到0.1、精确到0.01等； （3）对带有单位的数用单位表示，如精确到1kg、精确到1m等。 三、取近似值的方法 1.四舍五入法：最常用的取近似值的方法。使用四舍五入法取近似值时，关键是看准精确度，需要注意的问题是近似值的舍入，只考虑精确度后面的第一个数字，且近似值小数点后末位数字是0时不能省略不写。 2.其他方法：特殊情况下使用去尾法、进一法。 四、科学记数法与近似值 把一个绝对值大于10的数记做a×10^n的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即1≤|a|<10），n是整数，这种记数法叫做科学记数法。在取近似值时，如果需要，也可以将近似值用科学记数法表示。 教材习题01 请你写出一个比小且比大的无理数 ． 教材习题02 若x是一个比大比小的有理数，则 （写出一个满足条件的值）． 教材习题03 利用计算器比较和的大小． 教材习题04 用计算器计算（结果保留小数点后两位）： （1）； （2）． 教材习题05 用计算器计算得到，则用四舍五入法取近似数为 （精确到）． 教材习题06 某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 考点一、无理数 1．下列实数是无理数的是（   ） A．1 B． C． D．2024 2．在实数和中，无理数有 个． 3．教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 考点二、实数的分类 1．在，0，3，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．3 D． 2．将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：______；分数：______；无理数：______． 3．把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 考点三、在数轴上表示无理数 1．如图所示，数轴上“？”表示的数有可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上表示实数的点可能是 ． 3．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求： (1)的值． (2)的长． 考点四、实数比较大小 1．在这四个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．比较大小： ． 3．（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 考点五、估算无理数 1．估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 2．请你写出一个无理数，使得，则为 ． 3．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 考点六、求一个数的近似数 1．用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 2．用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是 ． 3．按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 考点七、求近似数的精确度 1．有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 2．古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 3．指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3 (2)5.630 (3) (4)5.630万 (5)0.017 (6)3800． 考点八、程序下的实数 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 2．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 3．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 知识导图记忆 1．将精确到百位的结果是（    ） A． B． C． D． 2．有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为0.61803399，将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为（   ） A．0.61 B．0.62 C．0.6 D．0.618 3．下列四个实数中，最大的是（   ） A． B． C． D．6 4．如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．六亿零六十万零六十写作 ，改写成用“万”作单位是 ，省略万位后面的尾数是 ，精确到亿位是 ． 7．在大自然中充满着数学之美，向日葵上的螺旋线顺时针有21条，逆时针有13条，那么顺时针条数和逆时针条数的比值约为 ．（结果保留三位有效数字） 8．比较大小： 2．（填“<”“=”或“>”） 9．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是 ． 10．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 11．用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百分位）； (3)（精确到百万位）； (4)亿（精确到百万位）． 12．下列各数精确到什么位？请分别指出来． (1)． (2)． (3)． (4)万． 13．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                    }； 负分数：{                    }； 整数：{                    }． 14．已知的平方根是，b的立方根是，c是的整数部分． (1)请求出a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，求的算术平方根． 15．阅读与思考 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，…小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数． 则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧数，并请直接写出11的智慧分解：______； (2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：，且为整数均为智慧数，请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第2025个智慧数． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 实数与近似值思维导图 知识点1 实数 一、实数的定义与分类 实数是有理数和无理数的统称。有理数包括正有理数、负有理数和0，其中正有理数又可分为正整数和正分数，负有理数可分为负整数和负分数。无理数则是无限不循环小数，如圆周率π、开方开不尽的数（如√7）等。 二、实数在数轴上的表示 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴上的点与实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点也都表示一个实数。在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。 三、相反数、倒数与绝对值 1.相反数：实数a与-a互为相反数，它们的和为0，即a+(-a)=0。在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。 2.倒数：若两个实数的乘积为1，则它们互为倒数。即，若ab=1，则a、b互为倒数。1和-1的倒数都是它们本身，0没有倒数。 3.绝对值：一个数到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。绝对值具有非负性，即|a|≥0。 四、实数的运算 实数范围内，有理数的运算律都适用，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。实数的运算顺序为先乘方、开方，再乘除，最后加减。运算过程中，要注意数字的符号和运算顺序。 五、实数的比较大小 实数的大小比较可以通过数轴、求差或求商等方法进行。在数轴上，右边的数总比左边的数大。设a、b是实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b。对于正数，绝对值大的数较大；对于负数，绝对值大的数反而小。 六、特殊实数的性质 1.平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2.立方根：一个数的立方根是指另一个数，这个数的立方等于原数。正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。 3.无理数的性质：无理数具有无限不循环性，不能用分数表示，也不能开方得到整数或有限小数。 知识点2 近似值 一、近似值与准确值 1.准确值：与实际完全符合的数据，称为准确值。 2.近似值：与准确值相近的数据，称为近似值。通常用度量工具测出的长度、质量、时间、速度等数据都是近似值。 二、近似值的精确度 1.定义：近似值的精确度是指近似值与准确值的接近程度。一般地，一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 2.表述方法： （1）用数位表示，如精确到千位、精确到千分位等； （2）用小数表示，如精确到0.1、精确到0.01等； （3）对带有单位的数用单位表示，如精确到1kg、精确到1m等。 三、取近似值的方法 1.四舍五入法：最常用的取近似值的方法。使用四舍五入法取近似值时，关键是看准精确度，需要注意的问题是近似值的舍入，只考虑精确度后面的第一个数字，且近似值小数点后末位数字是0时不能省略不写。 2.其他方法：特殊情况下使用去尾法、进一法。 四、科学记数法与近似值 把一个绝对值大于10的数记做a×10^n的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即1≤|a|<10），n是整数，这种记数法叫做科学记数法。在取近似值时，如果需要，也可以将近似值用科学记数法表示。 教材习题01 请你写出一个比小且比大的无理数 ． 解：∵， ∴， ∴比小且比大的无理数可以是． 教材习题02 若x是一个比大比小的有理数，则 （写出一个满足条件的值）． 解：∵x是一个比大比小的有理数，且 ∴当时，满足题意 教材习题03 利用计算器比较和的大小． 解：∵≈，≈， 而>， 所以，． 教材习题04 用计算器计算（结果保留小数点后两位）： （1）； （2）． 解：（1）原式＝， ≈2.236−1.732＋0.145， ＝0.649， ≈0.65． （2）原式＝， ≈1.817−3.142−1.414， ＝−2.739， ≈−2.74． 教材习题05 用计算器计算得到，则用四舍五入法取近似数为 （精确到）． 解：（精确到） 教材习题06 某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） （1）解：把代入， 得， ∴（负值舍）， 答：这场雷雨大约能持续； （2）解：， 把代入， 得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 考点一、无理数 1．下列实数是无理数的是（   ） A．1 B． C． D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的概念，零指数幂，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．据此判断即可． 【详解】解：A、1是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、2024是有理数，不符合题意； 故选：B． 2．在实数和中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是无理数的概念．熟练掌握和运用无理数的概念是解决本题的关键．无理数是无限不循环小数． 根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：，中，无理数有和，2个． 故答案为：2． 3．教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 【答案】(1)阴影正方形面积为，阴影正方形边长为； (2)阴影正方形边长为． 【分析】（）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； （）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； 本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】（1）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为； （2）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为． 考点二、实数的分类 1．在，0，3，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类方法分析即可． 【详解】解：是负整数， 0既不是正数，也不是负数， 3是正整数， 是负无理数． 故选A． 2．将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：______；分数：______；无理数：______． 【答案】①⑤；④⑥；②⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解题的关键．根据有理数分为正整数，正分数，0，负整数，负分数；无理数是指无限不循环小数，进行解答即可． 【详解】解：， 正整数有①⑤； 分数有：④⑥； 无理数有：②⑦； 故答案为：①⑤；④⑥；②⑦． 3．把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． （1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可； （2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可； （3）根据有理数包括整数和分数解答即可； （4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可． 【详解】（1）正实数：{，…}． 故答案为：； （2）负实数：{，…}， 故答案为：； （3）有理数：{，…} 故答案为：； （4）无理数：{，…}， 故答案为：． 考点三、在数轴上表示无理数 1．如图所示，数轴上“？”表示的数有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．设数轴上“？”表示的数为x，则，再根据每个选项中的范围进行判断． 【详解】解：设数轴上“？”表示的数为x，则， ∵，，，， ∴符合x取值范围的数有， 故数轴上“？”表示的数有可能是， 故选：C． 2．如图，在数轴上表示实数的点可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 先估算的值，即可判断表示实数在数轴上的位置． 【详解】解：∵， ， ∴在数轴上表示实数的点可能是点． 故答案为：． 3．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬个单位长度到达点，再爬向点停止．已知点所表示的数为，点所表示的数为．设点所表示的数为，求： (1)的值． (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示实数，数轴上两点之间的距离，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据数轴表示实数，数轴上点的移动计算即可； （2）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，向右爬个单位长度到达点， ∴点表示的数为， ∴； （2）解：∵点所表示的数为，点表示的数为， ∴． 考点四、实数比较大小 1．在这四个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数的大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴在这四个数中，最大的数是， 故选：D． 2．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数比较大小，先整理得，再结合正数大于0,0大于负数，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较． （1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； （2）先确定和的范围，即可比较． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，， 所以． 考点五、估算无理数 1．估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数比较大小，掌握无理数估算大小，比较大小的方法是解题的关键． 根据无理数估算大小的方法即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 2．请你写出一个无理数，使得，则为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：为无理数，且， 可以为，，…… 故答案为：，（答案不唯一）． 3．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 考点六、求一个数的近似数 1．用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 【答案】C 【分析】本题考查近似数．根据精确度的要求和四舍五入法，即可解答本题． 【详解】解：， ∴用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为2.80， 故选：C． 2．用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．把百位上的数字7进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法将精确到千位，所得到的近似数为． 故答案为：． 3．按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示：一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （1）根据近似数的定义求解即可； （2）根据近似数的定义求解即可； （3）根据近似数的定义求解即可； （4）根据有效数字的定义求解即可． 【详解】（1）解：1.596精确到0.01为； （2）解：0.03057精确到千分位为； （3）解：2345000精确到万位为； （4）解：60290保留两个有效数字为． 考点七、求近似数的精确度 1．有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．还原成原数看3所在的数位即可． 【详解】解：∵， ∴该数精确到万位． 故选C． 2．古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 【答案】千位 【分析】此题考查了近似数的精确度，根据最后一位是千位可得精确度． 【详解】近似数2.9万精确到千位． 故答案为：千位． 3．指出下列各近似值精确到哪一位． (1)56.3 (2)5.630 (3) (4)5.630万 (5)0.017 (6)3800． 【答案】(1)56.3精确到十分位； (2)5.630精确到千分位； (3)精确到万位； (4)5.630万精确到十位； (5)0.017精确到千分位； (6)3800精确到个位 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （1）所给数的数位最小到十分位，据此解答即可． （2）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可． （3）所给数的数位最小到万位，据此解答即可． （4）所给数的数位最小到十位，据此解答即可． （5）所给数的数位最小到千分位，据此解答即可． （6）所给数的数位最小到个位，据此解答即可． 【详解】（1）解：56.3精确到十分位； （2）解：5.630精确到千分位； （3）解：精确到万位； （4）解：5.630万精确到十位； （5）解：0.017精确到千分位； （6）解：3800精确到个位． 考点八、程序下的实数 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，解题时要注意数值如何转换． 本题根据程序输入，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，直至算到结果是无理数，即可． 【详解】解：∵输入，16的算术平方根是4，4是有理数， ∴还需再求4的算术平方根， ∵4的算术平方根是2，2是有理数， ∴还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是．是无理数， ∴输出的值是， 故选：B． 2．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 3．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2)1，2，3； (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵ 0和1的算术平方根是它本身， ∴， 解得， ， 解得或， ∴ 所有满足要求的的值为1，2，3； 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 知识导图记忆 1．将精确到百位的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了近似数和有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．最后一位所在的位置就是精确度． 先利用近似数的精确度求解，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：精确到百位的结果是． 故选D． 2．有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为0.61803399，将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为（   ） A．0.61 B．0.62 C．0.6 D．0.618 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．把万分位上数字0进行四舍五入即可． 【详解】解：将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为． 故选：D． 3．下列四个实数中，最大的是（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较，解题关键是将所给的数排序． 先将四个数从小到大排序，再找出最大即可． 【详解】解：将，，，6，从小到大排列为<<<6， 所以最大的是6， 故选：D． 4．如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法，确定取值范围，对照数轴覆盖数的范围判定即可． 【详解】解：根据数轴信息，得到被墨迹覆盖的数x满足， A、，则不符合题意； B、，即，则符合题意； C、，即，则不符合题意； D、，则不符合题意； 故选：B． 5．如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的运算的规律，实数与数轴，熟练运用实数的运算是解题的关键．先由题意可得，点的数为2，再整理得表示的数为，故表示的数为，，同理得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵记右侧最近的整数点为， ∴点的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， 表示的数为， ， 则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， 则 同理可得；； 故选：D． 6．六亿零六十万零六十写作 ，改写成用“万”作单位是 ，省略万位后面的尾数是 ，精确到亿位是 ． 【答案】 600600060 60060.0060万 60060万 6亿 【分析】此题主要考查了整数的读法，整数的改写，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握． 根据整数的读法和四舍五入进行改写即可得到答案． 【详解】解：六亿零六十万零六十写作600600060，改写成用“万”作单位是60060.0060万, 省略万位后面的尾数是60060万，精确到亿位是6亿． 故答案为：600600060，60060.0060万，60060万，6亿． 7．在大自然中充满着数学之美，向日葵上的螺旋线顺时针有21条，逆时针有13条，那么顺时针条数和逆时针条数的比值约为 ．（结果保留三位有效数字） 【答案】 【分析】此题考查了比．根据题意列式求出比值即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 8．比较大小： 2．（填“<”“=”或“>”） 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：>． 9．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 10．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 11．用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百分位）； (3)（精确到百万位）； (4)亿（精确到百万位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查求一个数的近似数，熟练掌握四舍五入法，是解题的关键： （1）对千分位上的数字进行四舍五入即可； （2）对千分位上的数字进行四舍五入即可； （3）对十万位上的数字进行四舍五入即可； （4）对十万位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4）13.052亿 12．下列各数精确到什么位？请分别指出来． (1)． (2)． (3)． (4)万． 【答案】(1)精确到千分位 (2)精确到个位 (3)精确到百分位 (4)万精确到百位 【分析】（1）根据近似数的定义及求解方法即可求解； （2）根据近似数的定义及求解方法即可求解； （3）根据近似数的定义及求解方法即可求解； （4）根据近似数的定义及求解方法即可求解． 【详解】（1）解：精确到千分位． （2）解：精确到个位． （3）解：精确到百分位． （4）解：万精确到百位． 【点睛】本题主要考查近似数的概念及计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 13．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                    }； 负分数：{                    }； 整数：{                    }． 【答案】①⑥；②③⑦；④⑤． 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：无理数：{， } 负分数：{，，} 整数：{，} 故答案为：①⑥；②③⑦；④⑤． 14．已知的平方根是，b的立方根是，c是的整数部分． (1)请求出a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了无理数的估算，平方根和立方根的概念，求一个数的算术平方根： （1）根据平方根和立方根的概念即可求出a、b的值，估算出，即可求出c的值； （2）根据（1）所求得到，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是的立方根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为2，即； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2． 15．阅读与思考 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，…小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数． 则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧数，并请直接写出11的智慧分解：______； (2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：，且为整数均为智慧数，请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第2025个智慧数． 【答案】(1)奇数；5和6 (2)见解析 (3)第2025个智慧数是2703 【分析】本题考查了新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法． （1）由小明的探究可得，（，且为整数）是除1外，所有的奇数；根据探究可求得11的智慧分解； （2）借助小明的探究思路，可证猜想； （3）根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵（，且为整数）， ∴除1外，所有奇数都是智慧数； ∵， ∴． 故答案为：奇数；5和6； （2）证明：设，且为整数， ∵， ∴且为整数均为智慧数； （3）解：由（1）（2）可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有1为智慧数，此后每连续四个正整数中有三个智慧数， ∵，， ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$