第06讲 平方根与立方根-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第06讲 平方根与立方根思维导图 知识点1 平方根 一、平方根的定义 如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。即如果x²=a，那么x叫做a的平方根。 二、开平方的定义 求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 三、平方与开平方的关系 平方与开平方互为逆运算。例如，±3的平方等于9，9的平方根是±3。 四、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。即正数进行开平方运算有两个结果。 2.一个负数在实数范围内没有平方根，即负数不能进行开平方运算。 3.0的平方根是0。 五、算术平方根的定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定0的算术平方根是0。 六、算术平方根的性质 1.正数和零的算术平方根都只有一个。 2.当a是完全平方数时，√a是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，√a是一个无限不循环小数。 3.平方根和算术平方根的区别与联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 知识点2 立方根 一、立方根的定义： 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。用数学符号表示，如果x³=a，那么x就是a的立方根。 二、立方根的表示方法： 立方根通常用符号³√a来表示，其中a是被开方数，3是根指数，读作“三次根号a”。 三、立方根的存在条件： 在实数范围内，任何实数（无论是正数、负数还是零）都有且仅有一个立方根。 四、立方根的性质： 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 利用开立方和立方互为逆运算的关系，可以检验立方根的正确性。 求负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数。 五、立方根与平方根的比较： 平方根是求解一个数的平方等于a的数，而立方根是求解一个数的立方等于a的数。 平方根在实数范围内，正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根；而立方根在实数范围内，任何数都有且仅有一个立方根。 教材习题01 求下列各数的算术平方根： (1)64 (2)0.25 (3) (4) 教材习题02 求下列各数的平方根： (1)144；(2)12；(3)0.0625；(4)(－2)2. 教材习题03 求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点一、求算术平方根 1．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．的算术平方根是 ． 3．已知是平方根，求值 考点二、求平方根 1．的平方根为（   ） A． B． C． D． 2．的平方根是 ． 3．已知的立方根是3，的平方根是，求的值． 考点三、求立方根 1．下列说法正确的是（   ）． A．的平方根是 B．8的立方根是 C．的算术平方根是3 D． 2．的平方根是 ； . 3．已知，求的值． 考点四、算术平方根的非负性 1．已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不对 2．若与互为相反数，则 ． 3．已知直角三角形的两直角边长分别是和，斜边长是．试估计x在哪两个连续整数之间． 考点五、估算算术平方根 1．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 3．在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． (1)该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ (2)她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 考点六、算术平方根的实际应用 1．物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是（    ） A． B． C． D． 2．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ． 3．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 考点七、平方根的实际应用 1．已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 2．一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 3．综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 考点八、立方根的实际应用 1．如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 2．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的边长为 ． 3．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 考点九、利用平方根与立方根解方程 1．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2) 3．已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 考点十、(算术)平方根与立方根结合应用 1．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 2．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 3．按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 考点十一、(算术)平方根与立方根的规律问题 1．探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 2．在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 3．已知正数的两个平方根分别为和．求的值和的值； 知识导图记忆 1．（   ） A．8 B． C．4 D． 2．的值是（　　） A． B． C．5 D． 3．若与的和是单项式，则的算术平方根是（    ） A．2 B． C．3 D． 4．以下说法正确的是（    ） A． B． C．是27的立方根 D．是的一个平方根 5．已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 6．化简： ． 7．的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 8．若，则的值为 ． 9．已知，，，，则 ． 10．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ． 11．在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 12．求下列各式中的值： (1)； (2)． 13．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数． 14．已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 15．课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平方根与立方根思维导图 知识点1 平方根 一、平方根的定义 如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。即如果x²=a，那么x叫做a的平方根。 二、开平方的定义 求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 三、平方与开平方的关系 平方与开平方互为逆运算。例如，±3的平方等于9，9的平方根是±3。 四、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。即正数进行开平方运算有两个结果。 2.一个负数在实数范围内没有平方根，即负数不能进行开平方运算。 3.0的平方根是0。 五、算术平方根的定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定0的算术平方根是0。 六、算术平方根的性质 1.正数和零的算术平方根都只有一个。 2.当a是完全平方数时，√a是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，√a是一个无限不循环小数。 3.平方根和算术平方根的区别与联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 知识点2 立方根 一、立方根的定义： 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。用数学符号表示，如果x³=a，那么x就是a的立方根。 二、立方根的表示方法： 立方根通常用符号³√a来表示，其中a是被开方数，3是根指数，读作“三次根号a”。 三、立方根的存在条件： 在实数范围内，任何实数（无论是正数、负数还是零）都有且仅有一个立方根。 四、立方根的性质： 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 利用开立方和立方互为逆运算的关系，可以检验立方根的正确性。 求负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数。 五、立方根与平方根的比较： 平方根是求解一个数的平方等于a的数，而立方根是求解一个数的立方等于a的数。 平方根在实数范围内，正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根；而立方根在实数范围内，任何数都有且仅有一个立方根。 教材习题01 求下列各数的算术平方根： (1)64 (2)0.25 (3) (4) （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 教材习题02 求下列各数的平方根： (1)144；(2)12；(3)0.0625；(4)(－2)2. (1)因为(±12)2＝144，所以144的平方根为±12，即±＝±12. (2)12＝，因为(±)2＝，所以12的平方根是±，即±＝±. (3)因为(±0.25)2＝0.0625， 所以0.0625的平方根是±0.25， 即±＝±0.25. (4)因为(±2)2＝(－2)2＝4，所以(－2)2的平方根是±2，即±(－2)2＝±2． 教材习题03 求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． （1）∵， ∴的立方根是-8； （2）∵， ∴的立方根是0.2； （3）∵， ∴的立方根是； （4）∵， ∴的立方根是． 考点一、求算术平方根 1．的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：． 2．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据，故的算术平方根是，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的算术平方根是， 故答案为： 3．已知是平方根，求值 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，然后代入代数式求值即可。 【详解】解：是的平方根， 则 考点二、求平方根 1．的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：的平方根为， 故选：D． 2．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和负整数指数幂，先根据平方根的定义求出的平方根是，然后根据负整数指数幂的意义化简即可． 【详解】解∶的平方根是， 故答案为∶． 3．已知的立方根是3，的平方根是，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了已知一个数的立方根或算术平方根求参数、代数式求值和求一个数的算术平方根的知识，熟练掌握和运用立方根和算术平方根的定义是解决本题的关键； 根据题意可得，，解方程即可求得、的值，代入即可求解． 【详解】解：由题意可得，，即， 解得：，然后将其代入， 即. 考点三、求立方根 1．下列说法正确的是（   ）． A．的平方根是 B．8的立方根是 C．的算术平方根是3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，利用立方根、平方根和算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：，4的平方根是，故A选项不符合题意； 8的立方根是2，故B选项不符合题意； ，9的算术平方根是3，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意， 故选：C． 2．的平方根是 ； . 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，根据平方根的定义和立方根的定义即可得到答案，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是，， 故答案为：，． 3．已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式，根据被开方数的非负性求出x的值，进而求出y的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ． 考点四、算术平方根的非负性 1．已知实数，满足，则，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，由题意得，；分类讨论若等腰三角形的三边长为：3，3，7，若等腰三角形的三边长为：3，7，7，利用三角形三边关系加以验证即可． 【详解】解：由题意得． ∴，； 若等腰三角形的三边长为：3，3，7， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不存在； 若等腰三角形的三边长为：3，7，7， 则等腰三角形的周长为：， 故选：C． 2．若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，也考查了二元一次方程组的求解，熟知非负数的性质是解题的关键； 根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b后再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：1． 3．已知直角三角形的两直角边长分别是和，斜边长是．试估计x在哪两个连续整数之间． 【答案】x在10和11之间 【分析】本题考查勾股定理和确定实数的取值范围，先利用勾股定理求出x，再根据确定算术平方根的取值范围的方法即可得解． 【详解】解：由勾股定理得，． 因为，，且， 所以， 即x在10和11之间． 考点五、估算算术平方根 1．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的估算、不等式的基本性质，根据可知，根据不等式的基本性质一可得 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的概念，根据算术平方根的性质先确定的取值范围即可解．解题的关键是掌握无理数的概念：无限不循环小数． 【详解】解：∵是一个无理数，且， ∴， ∴可以取． 故答案为：（答案不唯一）． 3．在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． (1)该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ (2)她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2)不能实现，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该长方形壁纸的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即； （2）可求出圆的直径，再比较出原的直径和长方形壁纸宽的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：设该长方形壁纸的长为，宽为． 根据题意，得， ∴， ∴． ， ， ． 答：该长方形壁纸的长为，宽为． （2）解：她的裁剪方案不能实现．理由如下： 圆的半径为， 圆的直径为．· ，· ． 她的裁剪方案不能实现． 考点六、算术平方根的实际应用 1．物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了平方根的应用，将，代入求解即可． 【详解】解：当，时， ， 解得或（舍去）． 故选：D． 2．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，则边的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据正方形的面积求出边长，即可得到边的长． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 边的长为， 故答案为：． 3．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2) (3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 考点七、平方根的实际应用 1．已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 2．一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据公式列得方程，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得或（舍去）， ∴该运动员此时的跑步速度为米/秒， 故答案为：． 3．综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，特殊角的三角函数， 根据题意得，由四边形是矩形，可得，则再求出， 进而求出，然后根据体积公式可得答案． 【详解】解：∵长方体包装盒得底面积为288， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴该长方体包装盒得体积是． 考点八、立方根的实际应用 1．如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵二阶魔方的体积为， ∴它的棱长为， 故选：D． 2．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握求一个数的立方根的算法是解题的关键．正方体的容积为棱长的三次方，根据求一个数的三次方根的方法即可求解． 【详解】解：设正方体蓄水池的边长为， 根据题意得，， ∴， 故答案为：． 3．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 考点九、利用平方根与立方根解方程 1．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查由平方根运算、立方根运算解方程，熟练掌握平方根及立方根运算是解决问题的关键． （1）由平方根运算，直接开平方求解即可得到答案； （2）由立方根运算，直接开立方求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得或； （2）解：， ， 即， 解得． 2．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用开平方和开立方解方程， （1）移项后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）移项后开立方即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ 解得：或 （2）解： ∴ ∴ 解得： 3．已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 考点十、(算术)平方根与立方根结合应用 1．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，掌握以上定义是解题的关键． （）根据立方根和算术平方根的定义可得，，解方程即可求解； （）由（）求出的值，进而根据平方根的定义解答即可； 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 2．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 3．按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 考点十一、(算术)平方根与立方根的规律问题 1．探索与应用． (1)先填写下表，通过观察后再回答问题： ．．． 0.0001 0.01 1 100 10000 ．．． ．．． 0.01 1 100 ．．． ①表格中________；_________； ②从表格中探究与的数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： 已知，若，则___________． 已知，则___________． (2)阅读例题，然后回答问题： 例题：设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为都是有理数，所以也是有理数，由于是无理数，所以，所以，所以． 问题：设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)①，；②；； (2) 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，实数的运算，利用平方根的含义解方程，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答． （1）①根据表格信息可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，从而可得答案； ②根据①中规律解答即可； （2）把化为，可得，，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：①由题意可得：表格中；； ②∵，， ∴； ∵， ∴． （2）解： 移项得：， 是无理数， ，， 解得：，　　 ； ∴或． 2．在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 3．已知正数的两个平方根分别为和．求的值和的值； 【答案】， 【分析】本题考查平方根的定义和性质，平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数叫做 的平方根（或二次方根）．即若，则是的平方根，记作．平方根的性质：1． 正数有两个平方根，且互为相反数；2． 0的平方根是0；3．负数没有平方根．熟知上述相关内容是正确解答此题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程可求得的值，根据平方根的定义可求得的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ． 答：的值为2，的值为9. 知识导图记忆 1．（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的立方根，注意计算的准确性． 根据求一个数的立方根计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．的值是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的定义，会求一个非负数的算术平方根是解题关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3．若与的和是单项式，则的算术平方根是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据同类项的定义解得m，n的值，即可求得的值，然后求其算术平方根即可． 【详解】解：若与的和是单项式，即与为同类项， 则有， ∴， ∵， ∴的算术平方根是3． 故选：C． 4．以下说法正确的是（    ） A． B． C．是27的立方根 D．是的一个平方根 【答案】D 【分析】此题主要考查了求一个数的立方根、平方根和算术平方根，解题的关键是根据立方根、平方根的定义分析．根据立方根、平方根和算术平方根的定义判断即可． 【详解】解：A、，错误，故该选项不符合题意； B、，错误，故该选项不符合题意； C、27的立方根是3，错误，故该选项不符合题意； D、是的一个平方根，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5．已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 6．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 7．的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，根据平方根的定义和立方根的定义，进行求解即可，注意先化简，再进行开方运算． 【详解】解：的平方根是；4的平方根是；的立方根是； 故答案为：，， 8．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的求值，绝对值的非负性及算术平方根的非负性．根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到，，求，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解方程组， 解得， ∴， 故答案为：． 9．已知，，，，则 ． 【答案】1.285 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．据此进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：1.285 10．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的计算及无理数的判断；根据程序进行计算判断即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出结果为； 故答案为：． 11．在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 【答案】(1)，，2，7 (2) (3)， 【分析】本题考查了与算术平方根有关的知识点，熟练掌握算术平方根的定义以及求法是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义直接求解； （2）根据算术平方根的定义比较； （2）根据算术平方根的定义比较． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：，，2，7； （2）解：∵被开方数， ∴， 而 ∴， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， 即； 当时，， ∴， 即， 故答案为：，． 12．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查平方根以及立方根的定义，熟练掌握并利用平方根以及立方根的定义来进行方程求解是解题的关键． （1）通过移项后，根据立方根的定义开立方求解； （2）根据平方根的性质求解并考虑正负两种情况． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， ； （2）解：， 开平方得：， 或， 解得：或． 13．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根以及一元一次方程的应用等知识，理解并掌握算术平方根、平方根的定义和性质是解题关键． （1）根据算术平方根的定义可知，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列出方程，求出的值，然后求出的值，最后求出这个正数即可． 【详解】（1）解：∵，且的算术平方根为3， ∴，解得； （2）解：∵一个正数的平方根为，， 又∵，， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数为． 14．已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【答案】(1)， (2)±4 (3)2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟知三者的定义是解题的关键； （1）根据立方根的定义可求出a，根据算术平方根的定义求出b即可； （2）根据平方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； （3）根据立方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得， 因为的算术平方根是5， 所以，即， 解得． （2）解：的平方根是； （3）解：的立方根是． 15．课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【答案】(1)①两；②9；③3； (2)的平方根是，的立方根是 【分析】本题考查了立方根和平方根的知识，熟练掌握以上知识是解题关键； （1）根据题干中的思考过程，即可求解； （2）根据立方根和平方根的性质，并按照（1）中的思考过程进行作答，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵由，，而， ∴是一个两位数， ∵由个位上的数是9， ∴的个位数是9， ∵，， ∴的十位数字是3， ∴， 故答案为：两；9；3；； （2）解：①选择确定的平方根， ∵，， 又， ∴的平方根是两位数， ∵，， ∴的平方根的个位数是3或7， ∵，， 又， ∴的平方根的十位数是8， ∵，， ∴的平方根是； ②选择确定的立方根， ∵，， 又， ∴的立方根是两位数， ∵， ∴的立方根的个位数是5， ∵，， 又， ∴的立方根的十位数是4， ∴的立方根是． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$