第3章 勾股定理（暑假单元自测）新八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版初中数学勾股定理单元卷，覆盖定理应用、折叠与最短路径等核心知识点，通过生活情境与动手操作题设计，适配暑假巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|直角三角形判定（3,4,5）、第三边计算|结合数轴（第4题）考查无理数几何表示，体现几何直观| |填空|8/16|树高距离（11题）、长方体表面最短路径（13题）|勾股树规律（14题）渗透数学建模，培养空间观念| |解答|10/68|物理实验滑块问题（21题）、折纸综合（25题）|设计“问题初探-类比分析-学以致用”分层探究（26题），发展推理能力与创新意识|

第3章 勾股定理 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判定，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证即可得到结果. 【详解】解：A 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，A错误； B 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，B错误； C 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段能组成直角三角形，C正确； D 选项，最长边为， ∵ ， ∴ 三条线段不能组成直角三角形，D错误． 2．若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，当4是直角边长时和当4是斜边长时，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当3，4是直角边长时，由勾股定理得第三边长； 当4是斜边长时，由勾股定理得第三边长． 3．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 4．如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵在中，． ，， ∴， ， 点表示的数是． 5．如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理和等腰直角三角形，过点A作于点E，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，在中，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与交于O，D两点，，，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】连接，由作图知，；由勾股定理求得，进而得；设，由勾股定理建立方程求出x的值，即可求得． 【详解】解：连接，如图， 由作图知，，， ∴； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴； 设，则， 在及中，， ∴， 解得：， ∴． 7．如图，在中，，是边上的高，是边上的中线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质．在中，利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵是边上的中线，且， ∴， 故选：D． 8．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长，利用“等面积法”求出的长，根据翻折的性质得到垂直平分，进而求出，根据等腰三角形性质易求出，最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接交于点，过点作于点， 在中，，由勾股定理得： ， ， ， ， 由翻折的性质可知：、、， 垂直平分， 点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 在中，由勾股定理得： ． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．一个直角三角形的两条直角边分别为 和 ，则斜边的长为__________． 【答案】10 【详解】解：由勾股定理得，斜边的长为． 10．如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 11．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 12．如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 13．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 【答案】 【分析】分为从上表面爬到和从右侧面爬行两种情况讨论，画出对应的展开图，再利用勾股定理进行计算，对比后得出结论． 【详解】解：①当蚂蚁从上表面爬到点时，长方体表面展开如下： ∴； ②当蚂蚁从右侧面爬到点时，长方体表面展开如下： ∴， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离的平方为． 14．“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 【答案】96 【分析】由已知图形观察规律，可得到第5个图形中正方形的个数，第7个图形中正方形的个数，即可． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第5个图形中正方形有个，第7个图形中正方形有个， ∴第7个图形里的正方形比第5个图形多个． 15．如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 【答案】 【分析】由题意可知：，由勾股定理可得，则，然后由图象可得，即可得到答案． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点， ∴， 由图象可知，， ∴由勾股定理可得：， ， ， ． 16．如图， 已知D点为中点，E点在线段上，， 过点C作，垂足为点F， 若，， 则___________． 【答案】 【分析】延长到点H；使，连接．证明，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长到点H；使，连接． ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ，， ． 三、解答题（共68分） 17．如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 在中，由勾股定理得到，，据此得到方程，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 18．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理、算术平方根的应用，理解题意，求出是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用点C表示的数减去边的长可得m值，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意，小正方形对角线的长度为； （2）解：由（1）知，正方形的边，C与重合， ∴点D在数轴上表示的数， ∴． 19．如图．每个小方格均为正方形，A，B，C均为格点(每个小方格的顶点叫做格点)． (1)按要求画图： ①画线段 (D为格点)，使 ； ②画线段(E为格点)，使 ； (2)在（1）的条件下，与的位置关系是_______， 图中的所有余角为_______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)平行；、、 【分析】题目主要考查利用网格画图，勾股定理解三角形，余角的定义等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）①根据网格特点画图即可；②根据网格特点画图即可； （2）先根据网格及勾股定理得出为等腰直角三角形，确定，再由平行线的判定即可得出；再利用余角的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）根据题意得：， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵为等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的所有余角为、、， 故答案为：平行；、、． 20．已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据题意，可得，根据直角三角形两锐角互余得，根据等角对等边，可得，最后根据全等三角形的判定方法求证，即可； （2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴． 21．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 22．如图，在直角中，， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上作一点E，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则________．（若需画图，请用备用图） 【答案】(1)如图，和点即为所求； (2) 【分析】（1）利用角平分线和线段垂直平分线的作法进行作图； （2）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据等面积得出，证明，得出，假设，根据线段垂直平分线的性质以及勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ∵平分，且， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即， 解得， 在和中， ∴， ∴， 由线段的垂直平分线的性质可得， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， 即． 23．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：______． (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，思考：______． (3)如图4，是4个边长分别为、、的直角三角形和1个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系推导出、、的数量关系式． (4)如图5，直角中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将大正方形的面积拆分为3个小正方形和6个长方形的面积，据此写出恒等式； （2）将展开，根据结果判断、、的值，再求和即可； （3）将大正方形的面积分为1个小正方形和4个直角三角形，写出等式，化简后得到结果； （4）由（3）的结论可计算出，结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用面积法求出此时的长即可． 【详解】（1）解：由图可知，恒等式为； （2）解：， ∴需要张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片， ∴，，， ∴； （3）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， ∴， ∴； （4）解：由（3）可知，直角中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时， ∴的最小值为． 24．如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形． 25．综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘．某班数学学习小组就“折纸中的数学”展开主题学习．他们所用的是一张三角形纸片，，，．请根据以下信息，解答问题． (1)小组一：如图，若翻折后，点与点重合，折痕为，求的长； (2)小组二：如图，若翻折后，点落在边上的点处，折痕为．连接，，当是直角三角形时，求的长； (3)小组三：如图，点为边上一动点，沿直线翻折，点的对应点为点，连接，当的长最小时，求的面积． 【答案】(1)的长为； (2)的长为或； (3)的面积为． 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由折叠得点与点关于直线对称，则有垂直平分，所以，设，则，然后通过勾股定理即可求解； （）分当时，通过勾股定理，折叠的性质进行求解即可；当时，通过勾股定理，折叠的性质进行求解即可；由，由，则，故不存在； （）由翻折得，，又，则当点三点共线时，最小，此时，即有，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由折叠得点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，当时，此时与重合， 同上理可得：， 如图，当时， ∵沿翻折后，点落在边上的点处， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为； 由， ∵， ∴， ∴不存在， 综上可得：的长为或； （3）解：由翻折得，， ∵， ∴当点三点共线时，最小，如图， 此时， ∴， ∵与的高相同， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 26．按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】(1)解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； (2) 证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； (3) 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D． 2．若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（     ） A．4 B． C．5 D． 3．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 4．如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 6．如图，在中，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与交于O，D两点，，，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图，在中，，是边上的高，是边上的中线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．一个直角三角形的两条直角边分别为 和 ，则斜边的长为__________． 10．如图，在数轴上点A表示的实数是______． 11．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 12．如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 13．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从点向点处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______． 14．“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 15．如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 16．如图， 已知D点为中点，E点在线段上，， 过点C作，垂足为点F， 若，， 则___________． 三、解答题（共68分） 17．如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 18．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个大正方形． (1)求小正方形对角线的长度； (2)把正方形放在数轴上，如图2，使得C与重合，D在数轴上表示的数为m，求的值． 19．如图．每个小方格均为正方形，A，B，C均为格点(每个小方格的顶点叫做格点)． (1)按要求画图： ①画线段 (D为格点)，使 ； ②画线段(E为格点)，使 ； (2)在（1）的条件下，与的位置关系是_______， 图中的所有余角为_______． 20．已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 21．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 22．如图，在直角中，， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上作一点E，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则________．（若需画图，请用备用图） 23．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：______． (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，思考：______． (3)如图4，是4个边长分别为、、的直角三角形和1个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系推导出、、的数量关系式． (4)如图5，直角中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 24．如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 25．综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘．某班数学学习小组就“折纸中的数学”展开主题学习．他们所用的是一张三角形纸片，，，．请根据以下信息，解答问题． (1)小组一：如图，若翻折后，点与点重合，折痕为，求的长； (2)小组二：如图，若翻折后，点落在边上的点处，折痕为．连接，，当是直角三角形时，求的长； (3)小组三：如图，点为边上一动点，沿直线翻折，点的对应点为点，连接，当的长最小时，求的面积． 26．按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $