第二部分 专题复习(三)勾股定理及其逆定理的应用-【暑假总复习】2023年八年级初二数学暑假衔接期末复习（沪科版）

#" ! 专题复习"三# ! 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理是三角形中的一个重要性质"沟通了 直角三角形的边角关系"三角形中有 4*; 的角"则可 以得三边之间的关系%反之"也可以由三角形的三边 关系判断三角形是不是直角三角形 ! 在中考中"与实 际生活有关的题目以及结合四边形等知识出现的题 目较多 ! 考点 ! ! 勾股定理的应用 !例 ! " ! 如图!在一次夏 令营活动中!小明从营地点 + 出发!沿北偏东 5*; 方向走了 槡+** )米到达点,!然后再沿 北偏西 )*; 方向走了 +** 米到 达目的地点 -! 求 + ! - 两地之间的距离 ! !分析" ! 本题是一道实际问题"从已知条件出发 判断出 * +,- 是直角三角形是解决问题的关键 ! 本题 涉及平行线的性质!方向角和勾股定理的应用 ! !解答" ! 由已知!得 +0 - ,1 !所以 + 0+,1 + +,115*;! 因为 )*;/ + -,+/ + +,11"2*; !所 以 + +,-14*; !即 * +,- 为直角三角形 ! 由已知可 得! ,-1+** 米! +, 槡1+** )米!由勾股定理可得! +- # 1,- # /+, # !所以 +-1 ,- # /+,槡 # 1"*** "米# ! 即 + ' - 两地之间的距离为 "*** 米 ! !方法规律总结" ! 此题运用了勾股定理%充分 体现了由'形(到'数(%再由'数(到'形(的数形结合 的思想%从中你可以体会到数形结合的奥妙 ! !例 # " ! 如图!长方体的底面边长分别为 "67 和 )67 !高为 567! 如果用一根细线从点 + 开始经 过 , 个侧面缠绕一圈到达点 , !那么所用细线最短 需要多少 67 &如果从点 + 开始经过 , 个侧面缠绕 ) 圈到达点 , !那么所用细线最短需要多少 67! !解析" ! # " $把长方体展开如图 " " <= * +1- 中 +-1)/"/)/"12 " 1-15 "由勾股定理得 +11 "* "即最短为 "*67! #$展开如图 # " +-1)/"/) /"12 " -0150)1# " 9 每圈最短细线 +01 2 # /#槡 # 槡1# "-"进而求出)圈长为 槡5 "-67% !方法规律总结" ! 求'最短路线(要把'立体图 形(转化为'平面图形(%再利用'两点之间%线段最 短(来解决问题 ! 在将几何体的表面展开时%要注意 确定展开图中两点的相应位置 ! 考点 # ! 勾股定理逆定理的应用 !例 $ " ! 如图所示!甲'乙两船同时从 + 港出 发!甲船沿北偏东 )+; 方向!以每小时 4 海里的速度 向 , 岛驶去!乙船沿另一个方向!以每小时 "# 海里 的速度向 - 岛驶去! ) 小时后两船同时 到达了目的地 ! 如果两船航行的速度不 变!且 - ! , 两岛相距 ,+ 海里!那么乙船 航行的方向是南偏东多少度+ !分析" ! 根据题意"可求出 +,1#- " +-1)5 " ,-1,+ "由此可知两船出发的方向是成直角的"即 + ,+-14*; "根据此即可求出乙船航行的方向 ! !解答" ! 由题意知 +,143)1#- "海里#! +- 1"#3)1)5 "海里#! ,-1,+ "海里#!在 * +,- 中! +, # /+- # 1#- # /)5 # 1,+ # 1,- # !所以 + ,+-1 4*;! + 0+-1"2*;!)+;!4*;1++; !所以乙船航行 的方向是南偏东 ++;% !方法规律总结" ! 本题是一道生活中的实际问 题%解决此问题的关键是构建数学模型)))直角三 角形%从而求出 + 0+- 的度数 ! 考点 $ ! 勾股定理与逆定理的综合应用 !例 % " ! + ! , ! - ! 0 四个小 城镇!它们之间"除 , ! - 外#都 有笔直的公路相连接"如图#! 公共汽车行驶于城镇之间!其票价与路程成正比 ! 已 知各城镇间的公共汽车票价如下$ +!, $ "* 元! +!- $ "#!+ 元! +!0 $ 2 元! ,!0 $ 5 元! -!0 $ ,!+ 元!为了 使 , ' - 之间交通方便!将在 , ' - 之间建成笔直的公 路!试问$当公路修成后!来往于 , ' - 城镇间的公共汽 车的票价应定为多少+ ## ! !分析" ! 根据题意"票价与路程成正比的比例 系数为" * # * & * $"可得票价与路程的关系"进而通过 * +,0 中的三边的大小"由勾股定理的逆定理可得 + ,0-14*; "进而在 <= * ,0- 中"易得 ,- 的长" 由票价与路程的关系可得答案 ! !解答" ! 根据题意!公共汽车行驶于城镇之间! 其票价与路程成正比!设其比例系数为