第3章 勾股定理全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测·基础篇）新八年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 苏科版八年级下勾股定理基础检测卷，24题覆盖选择（10题）、填空（6题）、解答（8题），注重基础巩固与实际应用，适配暑假复习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|勾股定理计算、直角三角形判定、面积验证|结合《周髀算经》等文化素材，基础概念辨析| |填空题|6/30|勾股数、数轴表示无理数、正方形中勾股定理应用|融入尺规作图、生活场景（电脑屏幕），考察几何直观| |解答题|8/80|实际应用（梯子、货车噪声）、阅读理解（最值探究）、定理推广证明|分层设计，从基础计算到综合应用，培养推理能力与模型意识|

第3章 勾股定理全章综合检测卷（基础篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为8和15， ∴斜边长为． 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．3，7，9 D．1，1， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解：选项A：，符合勾股定理逆定理，能组成直角三角形； 选项B：，不符合勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； 选项C：，不符合勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； 选项D：，不符合勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：依题意，正方形的面积为． 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 5．（24-25八年级下·山西大同·期中）勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 6．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 7．（25-26八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 8．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 9．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，已知正方形边长为2，点E为中点，连接，取中点F，过点F 作垂线，交于点G，则的长为（     ） A． B． C． D．1.8 【答案】C 【分析】连接，结合题意可知垂直平分，易得；设，则，在和中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为边长为2的正方形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵点F为中点，且，即垂直平分， ∴， 设，则， 在和中， ，， ∴，解得， ∴． 10．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯．如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点，为扶手的两端点．抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，则这一层圆形旋转楼梯的扶手长度是（     ）（取3） A．3 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】将圆柱侧面沿母线展开，扶手即为展开矩形的对角线，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，扶手在展开图中为直角三角形的斜边， 根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 即这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股数，解题的关键是熟知勾股定理的运用．设第三个数为x，根据勾股数得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不是整数，不合题意，舍去)， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图所示的数轴，点表示的数是________． 【答案】 【分析】求出长度，进而可知点表示的数． 【详解】解：如图， 可知， 由作图可知， ∴点表示的数是． 13．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 14．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，当笔记本电脑的张角为时，顶部边缘处离桌面的高度，此时底部边缘处与处之间的距离为，则电脑屏幕的宽为_____________． 【答案】25 【详解】解：由题意可知，，，， 在中，由勾股定理得：． 15．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 16．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是______． 【答案】/150度 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形、直角三角形． 将绕点C顺时针旋转得，根据旋转的性质可证为等边三角形、是直角三角形，即可求出的度数． 【详解】解：如图，将绕点C顺时针旋转得， ∴． ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 【答案】(1)13 (2)20 【分析】利用直角三角形勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条边的长度即可求出第三条边的长度． 【详解】（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 18．（8分）（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形 【详解】解：（1）如图：即为所求， （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 19．（8分）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． (1)求梯子的底端距墙角多少米？ (2)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 【答案】(1)0.7米 (2)0.8米 【分析】（1）在中，根据勾股定理直接求解即可； （2）在中，根据勾股定理，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 答：梯子的底端到墙角的距离为0.7米； （2）解：根据题意，得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：的长为0.8米． 20．（10分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 21．（10分）（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 【答案】(1)6，4 (2) 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 22．（12分）（25-26八年级下·河南开封·阶段检测）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】(1)证明见解析； (2)教学楼会受噪声影响，原因见解析； (3)货车影响教学楼持续的时间为． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论； （3）设当时，正好影响教学楼，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据时间路程速度即可得解． 【详解】（1）证：依题得：，， ， 即， ； （2）解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； （3）解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 23．（12分）（25-26八年级下·北京·期中）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长，进而解决问题． (1)的长为 ； (2)类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】(1)15 (2)10 【分析】（1）按照所构造的图形，易得到，，再勾股定理求解即可． （2）仿照题目的构造方式，构造直角边为2和x，和4的直角三角形，然后勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图构造图形， 中，，，，则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 同（1）理，可得，， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 24．（12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理全章综合检测卷（基础篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（25-26八年级下·河北唐山·期中）以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．3，7，9 D．1，1， 3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（   ） A．5 B．13 C．20 D．25 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山西大同·期中）勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南商丘·期中）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 9．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，已知正方形边长为2，点E为中点，连接，取中点F，过点F 作垂线，交于点G，则的长为（     ） A． B． C． D．1.8 10．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯．如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点，为扶手的两端点．抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，则这一层圆形旋转楼梯的扶手长度是（     ）（取3） A．3 B．7 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为_________． 12．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图所示的数轴，点表示的数是________． 13．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 14．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，当笔记本电脑的张角为时，顶部边缘处离桌面的高度，此时底部边缘处与处之间的距离为，则电脑屏幕的宽为_____________． 15．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 16．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，点D是等边内一点，，，，则的度数是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 18．（8分）（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 19．（8分）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． (1)求梯子的底端距墙角多少米？ (2)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 20．（10分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 21．（10分）（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 22．（12分）（25-26八年级下·河南开封·阶段检测）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 23．（12分）（25-26八年级下·北京·期中）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长，进而解决问题． (1)的长为 ； (2)类比如上方法，求的最小值为 ． 24．（12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $