第10讲 函数的表示法（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第10讲 函数的表示法 预习目标 知识回顾 1．掌握解析法、图象法、列表法三种函数表示形式，能区分各自优缺点并按需选用。 2．理解分段函数定义，明确分段函数是单一函数，学会合并各段定义域与值域。 3．会辨析分段函数相关易错点，能规范绘制分段函数图像，区分端点虚实画法。 1．掌握函数定义与四大特征，能利用定义判断对应关系是否属于函数。 2．理解函数三要素，掌握同一函数判定条件，熟练规范书写各类区间。 3．熟记四类基础函数定义域、值域，能快速求解基础函数取值范围。 新知导图 预习精讲 想一想 我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种方法吗？ 知识点01 函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 表示方法 优点 缺点 三者联系 解析法 1.简洁完整概括变量间对应关系 2.可代入定义域内任意自变量求出函数值 3.便于研究函数各类性质 1.并非所有函数都存在解析式 2.无法直观观察函数变化趋势 解析法、图象法、列表法各有优缺点，实际使用时可根据需求选择合适的方式表示函数 图象法 1.直观展现自变量与函数值的变化趋势 2.可借助图像直接分析函数性质 1.部分函数无法绘制图像 2.难以精确计算出自变量对应的函数值 列表法 无需计算，能直接读取给定自变量对应的函数值 1.仅能展示有限组对应数据，覆盖范围小 2.无法清晰体现函数整体变化规律 【即学即练】 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 故选：C． 2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 知识点02 分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意 （1）分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 【即学即练】 3．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 4．已知函数，则__________. 【答案】1 【分析】 【详解】. 题型速练 题型01 函数三种表示法的应用 【例1】周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 【例2】（多选）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 【答案】BD 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 必记结论 1．解析法适合研究函数整体性质，可任意代入求值；图象法直观体现增减变化；列表法适合有限数据快速读数。 2．实际问题可混合使用三种表示方法，根据场景灵活切换；部分函数无法同时用三种形式表达。 3．应用题中，有连续变化关系优先解析法；需要直观趋势看图象法；数据样本有限用列表法。 【小试牛刀】 【变式1-1】已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【答案】10 【详解】当时，，则. 故答案为：10 【变式1-2】如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为水的流速一样，所以相同时间内流出水的体积一样， 因为容器的特征是上下细，中间粗，使得关于的变化是:下降由快到慢，再变快，只有C选项符合. 故选：C 【变式1-3】（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ）（多选） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 【答案】ACD 【详解】对于A，由表格可知，，，故A正确； 对于B，函数的定义域是． 则当时，； 当时，； 当时，． 所以函数的值域为，故B错误； 对于C，当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 综上，方程的解集为，故C正确； 对于D，，，，，，， ∴满足的值为，故D正确． 题型02 待定系数法求解析式 【例3】已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 【例4】设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 必记结论 1．已知函数类型（一次、二次、反比例等），设含参数标准解析式，代入点坐标构造方程求解参数。 2．n次多项式函数，需要n+1个点才能完全解出全部系数。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知反比例函数的图象过点，则________． 【答案】 【详解】设反比例函数， 由题意可得：，解得， 可得，所以. 故答案为：. 【变式2-2】已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【答案】 【详解】由题意可设，所以， 解之得，即. 故答案为：. 【变式2-3】已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 【答案】 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 题型03 换元法求解析式 【例5】若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 【例6】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 必记结论 1．已知f(g(x))，令t=g(x)，用t表示x，代入原式得到f(t)，最后把t换为x。 2．换元同步确定新元t的取值范围，该范围就是f(x)的定义域。 【小试牛刀】 【变式3-1】若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 则有， 故. 故选：B. 【变式3-2】若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 【答案】B 【详解】∵＝， ∴. 【变式3-3】已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 题型04 配凑法求解析式 【例7】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以． 故选：D 【例8】已知，求的解析式． 【答案】 【详解】因为， 所以． 必记结论 1．对f(g(x))右侧代数式变形，配凑出含g(x)的整体结构，直接替换得到f(x)。 2．配凑完成后，结合中间整体的取值范围确定f(x)定义域。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以． 故选：B． 【变式4-2】已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 题型05 方程组法求解析式 【例9】已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 【例10】已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 必记结论 1．出现f(x)与f(-x)、f(x)与f(1/x)类式子时，用-x或1/x替换原式x，联立二元一次方程组消元求f(x)。 2．化简结果后标注函数定义域。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】已知函数满足，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 即，解得. 故答案为： 【变式5-3】已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 题型06 求分段函数的值或自变量 【例11】设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 【例12】已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 易错点 1．自变量区间判断错误，错用分段解析式。 2．解方程得到多组解，未结合区间舍去不在范围内的根。 3．分段端点处重复计算或遗漏，分不清该归左段还是右段。 【小试牛刀】 【变式6-1】函数，则______． 【答案】3 【详解】由题意可得，， 所以. 【变式6-2】已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 【变式6-3】已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 题型07 分段函数的值域 【例13】已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【答案】 【详解】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 作出图象如图所示． 利用数形结合易知的定义域为，值域为． 【例14】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 必记结论 1．分段函数值域等于每一段函数值域的并集，分段单独求范围再合并。 2．每一段结合解析式、区间求出最值或边界，最后整合所有取值。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知函数，则的值域是_______． 【答案】 【详解】当，则，则有， 当时，，故， 因为，所以，故的值域为. 故答案为：. 【变式7-2】函数的值域是___________． 【答案】 【详解】当时，．当时，． 故函数的值域是． 故答案为：. 【变式7-3】已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）画出的图像，如图所示.    （2），，. 因为在上的值域为， 所以结合图象可得，即的取值范围为. 题型08 解分段不等式 【例15】设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 而，故，故， 而即为或，故或， 故不等式的解集为. 【例16】已知，，则的解集为________． 【答案】 【详解】， 当时，，即，解得，所以， 当时，，即，解集为R，所以， 综上，的解集为. 易错点 1．不分段直接列式，忽略自变量取值限制。 2．求解后不与分段区间取交集，产生无效解。 3．不等号方向变形出错，合并解集时混淆交集、并集。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． 【变式8-2】已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 当时，，不合题意； 当时，， 不等式可得，解得，所以； 当时，， 所以不等式等价于，即得解得， 所以. 综上可得. 故选：A 【变式8-3】已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 【答案】(1)，； (2)或1或； (3). 【分析】 【详解】（1）由，得，. （2）当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得或，则， 所以的值为或1或. （3）当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，，即，解得，则， 所以不等式的解集为． 题型09 函数图象的识别 【例17】已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 【例18】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 【小试牛刀】 【变式9-1】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 【变式9-2】向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件， 故选：C. 【变式9-3】在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】开始时，即时价格与平均价格相同，故排除C； 买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故排除B； 买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故排除D； 故选：A. 题型10 做出函数图象 【例19】作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【详解】先作函数的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图象，如下图所示： 【例20】已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【分析】 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 【小试牛刀】 【变式10-1】如图，梯形是直角梯形，．记梯形位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式，并画出函数的图象． 【答案】， 【详解】当时，设直线与线段分别交于点， 因为，则， 设直线的方程为，代入得， 则直线的方程为，则， 此时. 当时，设直线与线段分别交于点， 则，，， 则， 当时，此时. 则函数的解析式为. 作出函数图象如下： 【变式10-2】已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【答案】(1) (2)或0 (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）； （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：    【变式10-3】已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 题型11 新定义题 【例21】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 【例22】（多选）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 【小试牛刀】 【变式11-1】若函数的定义域为，对任意，都有，则称为单射函数．若函数，则“”是“是单射函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，，所以不是单射函数． 当时，是单射函数． 故“”是“是单射函数”的既不充分也不必要条件． 故选: D. 【变式11-2】（多选）波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AB 【详解】对于选项A，当时，，当时，，而， 当时，，若是无理数，则是无理数，有， 若是有理数，则是有理数，当（为正整数，为最简真分数）， 则（为正整数，为最简真分数），此时， 综上，时，所以选项A正确， 对于选项B，当和无理数时，，显然有， 当是正整数，是最简真分数时， ，，故， 当时，，有 当时，，，有 当为无理数，时，，有 综上，所以选项B正确； 对于选项C，取，则，而，所以选项C错误， 对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立， 当（为正整数，互质），由，得到， 整理得到，又为正整数，互质，所以或均满足，所以可以取或，所以选项D错误， 故选：AB. 【变式11-3】（多选）已知全集是实数集 为有理数集， 为整数集，定义的子集的特征函数 下列说法正确的是（   ） A． B． C．存在数集 D．对任意数集 【答案】BCD 【详解】对于A，，当时，，满足； 当但时，，不满足，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，若；，满足； 若；，满足； 若，，满足； 所以存在数集满足，故C正确； 对于D，对任意数集，时，， 满足； 时或，则，满足；故D正确. 故选：BCD 基础过关 1．函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 2．设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由已知， 所以. 3．已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由已知， 所以. 4．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 5．直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的方程为， 当，. 当时，. 所以， 对应的图象为C选项. 故选：C 6．已知，若对任意，均有，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，当时，不妨取，则， 此时不成立，即不成立，A错误； 对于B，，当时，不妨取，则， 则不成立，即不成立，B错误； 对于C，，不妨取，则， 此时不成立，即不成立，C错误； 对于D，，当时，则， 此时恒成立，即成立， 当时，则，此时恒成立，即成立， 故对任意，均有，D正确， 故选：D 7．（多选）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【详解】由表可得，，，， 所以，的值可以是1，2或4. 故选：ABD 8．（多选）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 【答案】AC 【详解】因为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，又，所以. 综上所述或. 故选：AC. 9．某市推行“垃圾回收积分奖励计划”，居民通过智能回收箱投放可回收物可获得积分．当单次可回收物投放重量（单位：）不超过时，奖励积分；当时，其中部分奖励10积分，超出的部分奖励积分．若居民甲单次投放的可回收物，获得积分为______；若居民乙单次投放可回收物，获得积分为______． 【答案】 7.5 22 【详解】设奖励积分为 ，则： ， 居民甲：投放 kg，满足 ， 所以：； 居民乙：投放 kg，满足 ， 所以：. 故答案为：； 10．已知函数满足，则__________. 【答案】 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 11．已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，则， 解得，， ∴； （2）由（1）知， ∴. 12．作出下列各函数的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【详解】（1）由，其函数图象如下， （2）由， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，函数图象如下， 能力提升 13．已知，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】计算可以得到，，，，，，， 故是以为周期的函数，，因此. 14．设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 15．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 16．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 17．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 挑战一刻 18．已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将图象向右平移1个单位，可得图象. 将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象. 将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意. 故选：C 19．已知函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】画出的图象，如图， 已知， 当时，且，即时，； 当，且时，即时，恒成立； 当，且时，即时，恒成立. 综上，. 故选：B 20．设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 21．对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，若，则_____________. 【答案】8 【详解】由，得到，令，则， 所以，则，解得，即， 由，得到，所以， 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的表示法 预习目标 知识回顾 1．掌握解析法、图象法、列表法三种函数表示形式，能区分各自优缺点并按需选用。 2．理解分段函数定义，明确分段函数是单一函数，学会合并各段定义域与值域。 3．会辨析分段函数相关易错点，能规范绘制分段函数图像，区分端点虚实画法。 1．掌握函数定义与四大特征，能利用定义判断对应关系是否属于函数。 2．理解函数三要素，掌握同一函数判定条件，熟练规范书写各类区间。 3．熟记四类基础函数定义域、值域，能快速求解基础函数取值范围。 新知导图 预习精讲 想一想 我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种方法吗？ 知识点01 函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 表示方法 优点 缺点 三者联系 解析法 1.简洁完整概括变量间对应关系 2.可代入定义域内任意自变量求出函数值 3.便于研究函数各类性质 1.并非所有函数都存在解析式 2.无法直观观察函数变化趋势 解析法、图象法、列表法各有优缺点，实际使用时可根据需求选择合适的方式表示函数 图象法 1.直观展现自变量与函数值的变化趋势 2.可借助图像直接分析函数性质 1.部分函数无法绘制图像 2.难以精确计算出自变量对应的函数值 列表法 无需计算，能直接读取给定自变量对应的函数值 1.仅能展示有限组对应数据，覆盖范围小 2.无法清晰体现函数整体变化规律 【即学即练】 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    知识点02 分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意 （1）分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 【即学即练】 3．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 4．已知函数，则__________. 题型速练 题型01 函数三种表示法的应用 【例1】周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 必记结论 1．解析法适合研究函数整体性质，可任意代入求值；图象法直观体现增减变化；列表法适合有限数据快速读数。 2．实际问题可混合使用三种表示方法，根据场景灵活切换；部分函数无法同时用三种形式表达。 3．应用题中，有连续变化关系优先解析法；需要直观趋势看图象法；数据样本有限用列表法。 【小试牛刀】 【变式1-1】已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【变式1-2】如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ）（多选） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 题型02 待定系数法求解析式 【例3】已知函数是一次函数，若，则______． 【例4】设是二次函数，且，则_____. 必记结论 1．已知函数类型（一次、二次、反比例等），设含参数标准解析式，代入点坐标构造方程求解参数。 2．n次多项式函数，需要n+1个点才能完全解出全部系数。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知反比例函数的图象过点，则________． 【变式2-2】已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【变式2-3】已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 题型03 换元法求解析式 【例5】若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 必记结论 1．已知f(g(x))，令t=g(x)，用t表示x，代入原式得到f(t)，最后把t换为x。 2．换元同步确定新元t的取值范围，该范围就是f(x)的定义域。 【小试牛刀】 【变式3-1】若函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 【变式3-3】已知 ，则函数的解析式为_________. 题型04 配凑法求解析式 【例7】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【例8】已知，求的解析式． 必记结论 1．对f(g(x))右侧代数式变形，配凑出含g(x)的整体结构，直接替换得到f(x)。 2．配凑完成后，结合中间整体的取值范围确定f(x)定义域。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数，则的解析式为______. 【变式4-3】已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 题型05 方程组法求解析式 【例9】已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【例10】已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 必记结论 1．出现f(x)与f(-x)、f(x)与f(1/x)类式子时，用-x或1/x替换原式x，联立二元一次方程组消元求f(x)。 2．化简结果后标注函数定义域。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知函数对任意的都有，则________． 【变式5-2】已知函数满足，则__________. 【变式5-3】已知且，求函数的解析式． 题型06 求分段函数的值或自变量 【例11】设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【例12】已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 易错点 1．自变量区间判断错误，错用分段解析式。 2．解方程得到多组解，未结合区间舍去不在范围内的根。 3．分段端点处重复计算或遗漏，分不清该归左段还是右段。 【小试牛刀】 【变式6-1】函数，则______． 【变式6-2】已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-3】已知函数，若，则实数的值为__________. 题型07 分段函数的值域 【例13】已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【例14】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 必记结论 1．分段函数值域等于每一段函数值域的并集，分段单独求范围再合并。 2．每一段结合解析式、区间求出最值或边界，最后整合所有取值。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知函数，则的值域是_______． 【变式7-2】函数的值域是___________． 【变式7-3】已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 题型08 解分段不等式 【例15】设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知，，则的解集为________． 易错点 1．不分段直接列式，忽略自变量取值限制。 2．求解后不与分段区间取交集，产生无效解。 3．不等号方向变形出错，合并解集时混淆交集、并集。 【小试牛刀】 【变式8-1】已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 题型09 函数图象的识别 【例17】已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【例18】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式9-1】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【变式9-3】在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线（实线表示）；另一种是平均价格曲线（虚线表示）.如是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；表示二个小时内的平均价格为3元，下列给出的图象中，可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型10 做出函数图象 【例19】作出函数的图象. 【例20】已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【小试牛刀】 【变式10-1】如图，梯形是直角梯形，．记梯形位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式，并画出函数的图象． 【变式10-2】已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【变式10-3】已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 题型11 新定义题 【例21】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【例22】（多选）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【小试牛刀】 【变式11-1】若函数的定义域为，对任意，都有，则称为单射函数．若函数，则“”是“是单射函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式11-2】（多选）波恩哈德·黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【变式11-3】（多选）已知全集是实数集 为有理数集， 为整数集，定义的子集的特征函数 下列说法正确的是（   ） A． B． C．存在数集 D．对任意数集 基础过关 1．函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 2．设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3．已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 5．直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．已知，若对任意，均有，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（多选）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 9．某市推行“垃圾回收积分奖励计划”，居民通过智能回收箱投放可回收物可获得积分．当单次可回收物投放重量（单位：）不超过时，奖励积分；当时，其中部分奖励10积分，超出的部分奖励积分．若居民甲单次投放的可回收物，获得积分为______；若居民乙单次投放可回收物，获得积分为______． 10．已知函数满足，则__________. 11．已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 12．作出下列各函数的图象： (1)； (2). 能力提升 13．已知，记，则（   ） A． B． C． D． 14．设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 17．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 挑战一刻 18．已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 19．已知函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 20．设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 21．对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，若，则_____________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $