专题14 函数的应用（一）（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题14 函数的应用（一） 1、会利用已知函数模型解决实际问题（一次函数、二次函数、分段函数模型） 2、能建立函数模型解决实际问题 3、运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题 知识点一：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点二：对钩函数（耐克函数） 1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 对点集训一：一次函数模型 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东·阶段练习）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 【答案】 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据题意分析得时的原价，进而求得促销后的费用的解析式，从而得解. 【详解】因为当时，元， 所以. 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【知识点】求二次函数的值域或最值、建立拟合函数模型解决实际问题、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 精练 1．（多选）（22-23高一·全国·单元测试）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（    ） A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 【答案】BC 【知识点】函数图象的应用 【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案． 【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价， 当时，，则为固定成本； 由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确； 由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误； 故选：BC． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系． 【答案】 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】设从上海调运台到A市，则从上海调运台到B市，从杭州调运台到A市，根据题意，列出函数关系即可． 【详解】设从上海调运台到A市，则从上海调运台到B市，从杭州调运台到A市， 从杭州调运台到B市， 根据题意，， 其中且，解得， 所以． 对点集训二：二次函数模型 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【知识点】分式型函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 例题2．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第3年 (2)第7年平均利润最大，为12万元 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，万元时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 精练 1．（23-24高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元； (3) 【知识点】待定系数法、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得； （3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和即可. 【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为； （2）设销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450， ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元； （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴， 又， ∴． 2．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【答案】(1) (2)第三年 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据题意，即可得出函数； （2）由，得出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. （2）当时，开始盈利， 即，整理可得， 解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 3．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)，400万元． (2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【详解】（1）当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． （2）当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 对点集训三：分式函数模型（基本不等式工具） 典型例题 例题1．（23-242高一上·甘肃庆阳·期末）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据已知条件，分，两种情况讨论，即可求解． （2）当时，通过二次函数的配方法可得，取得最大值，当时，结合均值不等式公式可得，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）当时 ， 当时， ， 所以. （2）当时 ， 当时，取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元． 例题2．（2024海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片 【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得， 当时，， 当时，， 故 （2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时． 当时，，当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片． 精练 1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 【答案】， 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长，从而便可得到总造价与的解析式. 【详解】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米, ∴长方体的底面积为16，侧面积为，由题意得： ，, 故答案为：，. 2．（23-24高一上·四川凉山·期末）某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，年利润最大，最大值为万元 【知识点】分段函数模型的应用、基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意，分段求出年利润即可求解； （2）对每一段函数求出最大值，再进行比较即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 所以当时，利润取最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时利润取最大值， 因为，所以该企业年产量为千件时，所获得的利润最大，为万元. 3．（24-25高一上·江苏泰州·期中）冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】(1) (2)当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）分为分别求解即可； （2）分为两种情况，利用二次函数、基本不等式求解即可． 【详解】（1）当时， 当时，， 所以． （2）当时，， ∴当时，取得最大值为500； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值580， 综上，当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元． 对点集训四：分段函数模型 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【知识点】分段函数模型的应用、方程与不等式、函数 【分析】（1）根据题意列出分段函数式，根据函数单调性即可求解最值； （2）根据关于的函数关系式，得到不等式，即可求解. 【详解】（1）由题知，， 即， 所以在上递减，此时， 且在上递减，此时， 综上，该函数的最大值为. （2）由（1）知，， 则令，解得， 所以此时； 令，解得， 综上，的取值范围为. 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解. （2）根据条件列不等式，解不等式时要注意. 【详解】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 精练 1．（2024·海南·模拟预测）某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 【答案】(1)第8个月的月利润最大，为7万元 (2)第6，7，8，9，10月. 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）对分段函数进行分段考虑，运用换元法和配方法分别求出的最大值，最后综合比较即得； （2）根据（1）的结果判断超过3万元的月份只可能在后面的7个月中，通过解不等式求得，取整即得. 【详解】（1）当时，令，则，且， 则， 因，故时，即时，取得最大值3；            当时， 因，故时，取得最大值7. 综上，第8个月的月利润最大，为7万元. （2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里， 即，由可得，， 解得. 又，所以， 故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月. 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 【答案】(1) (2)立方米 (3)元 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解. 【详解】（1）因为某户该月用水立方米， 按收费标准可知，当时，； 当时，； 当时，． 所以 （2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档， 所以， 解得． 所以该月的用水量为立方米． （3）因为， 所以． 当时，，此时． 所以此时两户一共需要支付的水费是元． 3．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利（单位：元）的表达式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用、解分段函数不等式 【分析】（1）分、写出分段函数即可； （2）解分段函数不等式，即可求出. 【详解】（1）当，时，； 当，时，． 故 （2）当，时，由，解得； 当，时，由，解得． 故的取值范围是． 对点集训五：对钩函数及其应用 典型例题 例题1．（23-24高三上·山东菏泽·期中）菏泽市某高中为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为. (1)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值； (2)如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的倍，那么怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值. 【答案】(1)矩形栏目的高为，宽为时可使矩形海报的面积最小为 (2)矩形栏目的高为，宽为，可使矩形海报的面积最小为 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】（1）设矩形栏目的高为，宽为，根据题意可知，矩形海报的面积，然后再根据基本不等式，即可求出矩形海报的面积最小； （2）由题意可知，，，可得，由（1）可得，再根据函数的单调性即可求出结果. 【详解】（1）解：设矩形栏目的高为，宽为， 则，矩形海报的高为，宽为（其中，），矩形海报的面积， 当且仅当，即，时取等号， 所以矩形栏目的高为，宽为时可使矩形海报的面积最小为. （2）解：由题意得，，，解得， 由（1）可得， 令，易知函数在上单调递减， 所以当时，矩形海报的面积最小为. 故当矩形栏目的高为，宽为，可使矩形海报的面积最小为. 例题2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设.（公共通道DE所占面积忽略不计） （1）令，求y关于x的函数关系式并写出定义域； （2）若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值. 【答案】（1），；（2）当时，造价最小为元；当或时，造价最大为元. 【知识点】三角形面积公式及其应用、对勾函数求最值、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知条件得，再根据三角形的面积公式可求得答案； （2）在中，利用余弦定理得.设函数，运用函数的单调性可求得造价的最小值和最大值，以及所对就的x的值. 【详解】解：（1）∵，∴， ∴，即，其中. （2）在中，由余弦定理得，整理得. 设函数，. 又函数在上单调递减，在上单调递增. 又，. 所以当时，通道长，造价最小为元； 当或时，通道长，造价最大为元. 精练 1．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)4米，28800元 (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用、对勾函数求最值 【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立. 即，从而恒成立， 令， 又在为单调增函数，故.所以. 2．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游.  2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元. 在动员户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先户从事种植的所有农户年总收入. (1)求的取值范围； (2)要使从事乡村旅游的这户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求的最大值. （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)最大值为 【知识点】对勾函数求最值、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）由题意可得，解出即可； （2）分别表示出从事乡村旅游的户农民年总收入、户从事种植业的农户总年收入，然后建立不等式求解即可. 【详解】（1）依题意得， 整理得，解得， 又， 所以的取值范围为. （2）从事乡村旅游的户农民年总收入为万元， 户从事种植业的农户总年收入为 依题意得恒成立， 即恒成立， 所以恒成立. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，最小，又，所以或者. … 当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为 一、单选题 1．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【答案】D 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】分别令和，求出后检验是否符合范围. 【详解】令，解得；令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 故选：D 2．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数图像的识别、二次函数的图象分析与判断 【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可. 【详解】由一次函数的图象可知：，， 所以二次函数的图象开口向下， 且对称轴为：， 故选：D. 3．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、二次函数的图象分析与判断 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 4．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 5．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、解分段函数不等式、分段函数模型的应用 【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时. 故选:C 6．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 【答案】B 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解 【详解】设灯具商店每月的利润为z元， 则， ， 故选：B 7．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【知识点】分式型函数模型的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 8．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 【答案】A 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】先求得利润的表达式，然后结合二次函数的性质求得利润取得最大值时对应的生产数量. 【详解】利润 . 所以当时，L(x)有最大值. 故选：A 【点睛】本小题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题. 二、多选题 9．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 10．（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 【答案】AC 【知识点】函数图象的应用 【分析】结合函数图象分析得进水速度是出水速度的，从而分段分析第3个图形的进水与出水情况，从而得解. 【详解】由①②两图知，进水速度是出水速度的， 所以由图③可知，0点到3点不出水，A正确； 3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确； 4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解. 【详解】由题意及，可得，即， ∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 12．我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 【答案】 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，函数有最大值，当时，函数值为， 所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量大于， 当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于， 故答案为：. 四、解答题 13．某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)，定义域为 (2)40万套， 520万元 【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据分段代入计算即可； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以，且定义域为. （2）当时，生产线利润，易知二次函数开口向下，对称轴， 所以当时，有最大，最大值为500； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为520； 综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元 14．春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当游客量为60万台时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 【知识点】分段函数模型的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，由函数单调性求出最大值，当时，由基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当万人时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 15．某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出. (1)将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由已知求得，结合每件产品的销售价格，可得出利润； （2）利用基本不等式求解最大利润即可． 【详解】（1）由已知得，当时，，则，得，故.     故每件产品的销售价格为， 故利润. （2）因为当时，， 所以，     当且仅当，即时等号成立. 即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元. 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】函数图象的应用、分段函数的值域或最值 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 2．（24-25高一上·天津西青·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则 ；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税 元. 【答案】 3344 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据表格中数据，得到函数表达式，并得到小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额，代入表达式，求出答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故； 小华全年综合所得收入额为220000元时，应纳税所得额 ， ，故， 故他全年应缴纳个税3344元. 故答案为：；3344 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，且仅有一个零点. (1)求； (2)若为奇函数，求的值； (3)设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【知识点】求函数值、根据函数零点的个数求参数范围、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用特殊值法，令，可得，令，可得 （2）根据奇函数的定义可求得； （3）由（2）知，则有，则在和上均单调递增.将在区间上的值域为转化为是方程的两个实根，从而得解. 【详解】（1）令，得， 即. 因为，所以. 令，得，所以， 因为，所以. （2）若）是奇函数，则， 因为仅有一个零点，且由（1）知. 所以. 当时，因为， 所以，即是奇函数. 综上，. （3）由（2）知，所以， 所以，则在和上均单调递增. 则所以是方程的两个实根， 所以方程在上有两个不相等的实根. 设，则解得， 故实数的取值范围是. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 函数的应用（一） 1、会利用已知函数模型解决实际问题（一次函数、二次函数、分段函数模型） 2、能建立函数模型解决实际问题 3、运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题 知识点一：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点二：对钩函数（耐克函数） 1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 对点集训一：一次函数模型 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东·阶段练习）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 精练 1．（多选）（22-23高一·全国·单元测试）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（    ） A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 2．（23-24高一·上海·课堂例题）某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系． 对点集训二：二次函数模型 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 例题2．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 精练 1．（23-24高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 2．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 3．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 对点集训三：分式函数模型（基本不等式工具） 典型例题 例题1．（23-242高一上·甘肃庆阳·期末）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润. 例题2．（2024海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 精练 1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 2．（23-24高一上·四川凉山·期末）某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产千件，需另投入生产成本（万元）.若年产量低于100千件，则生产成本；若年产量不低于100千件时，则生产成本.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完.（“年利润”“年总收入”“生产成本”“固定成本”） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？ 3．（24-25高一上·江苏泰州·期中）冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 对点集训四：分段函数模型 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 精练 1．（2024·海南·模拟预测）某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 3．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利（单位：元）的表达式； (2)若，求的取值范围． 对点集训五：对钩函数及其应用 典型例题 例题1．（23-24高三上·山东菏泽·期中）菏泽市某高中为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为. (1)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值； (2)如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的倍，那么怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值. 例题2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设.（公共通道DE所占面积忽略不计） （1）令，求y关于x的函数关系式并写出定义域； （2）若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值. 精练 1．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 2．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游.  2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元. 在动员户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先户从事种植的所有农户年总收入. (1)求的取值范围； (2)要使从事乡村旅游的这户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求的最大值. （参考数据：，，） 一、单选题 1．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 2．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 4．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 5．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 6．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 7．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 8．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 二、多选题 9．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 10．（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 三、填空题 11．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 12．我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 四、解答题 13．某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 14．春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 15．某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出. (1)将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·天津西青·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额，税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其它扣除.②其中，“基本减除费用”（免征颁）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 3 0 2 10 2520 3 20 16920 已知小华缴纳的专项扣除：基本养老保险，基本医疗保险费，失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是52800元，依法确定的其它扣除是4560元.设小华全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，则 ；如果小华全年综合所得收入额为220000元，那么他全年应缴纳个税 元. 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，且仅有一个零点. (1)求； (2)若为奇函数，求的值； (3)设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$