第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 预习目标 知识回顾 1．理解一元二次不等式、二次函数零点的定义，分清零点与一元二次方程实数根的对应关系。 2．掌握一元二次不等式标准解题步骤，会结合判别式分三类情况，借助图像准确写出解集。 3．理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的图像与解集对应规律，体会数形结合。 4．掌握分式不等式转化整式不等式的方法，能规范完成分式不等式求解运算。 1．区分与，掌握二者适用范围、算术与几何平均数定义及等号成立条件。 2．熟记基本不等式求最值两大模型：积定和最小、和定积最大，严格遵循“一正二定三相等”使用前提。 3．会判断题型能否运用基本不等式，规避正数、定值、取等三类易错点，规范完整书写解题过程。 新知导图 预习精讲 想一想 初中阶段我们借助一次函数，梳理出一元一次方程、一元一次不等式三者的对应关系，借助图像关联能简化解题： 1.方程的解 等价于一次函数图像与轴交点的横坐标。 2.不等式的解集 等价于一次函数图像落在轴上方部分，所有对应取值构成的集合。 3.不等式的解集 等价于一次函数图像落在轴下方部分，所有对应取值构成的集合。 拓展思考： 类比一次函数的对应规律，思考二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间存在怎样的内在联系。 知识点01 一元二次不等式的有关概念 1．一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 2．一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 3．一元二次不等式的解法 （1）调整二次项系数符号：观察不等式二次项系数，若系数小于0，不等式两边同时乘，将二次项系数转化为正数，同时注意不等号方向改变。 （2）求解对应一元二次方程，计算判别式 写出不等式对应的一元二次方程，计算判别式，分三种情况讨论： ①，方程有两个不相等实数根，可借助十字相乘法快速因式分解求出两根，一般规定； ②，方程有两个相等实数根； ③，方程无实数根。 （3）结合不等号写出不等式解集：结合二次函数开口向上的图像特征，对照方程根的情况，根据原不等式的不等号，直接写出一元二次不等式的解集。 【即学即练】 1．（多选）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 2．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 知识点02 二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意 （1）二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标； （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点 【即学即练】 3．已知二次函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】 【详解】由题意知二次函数的零点为和3， 所以， 所以． 知识点03 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意 （1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 【即学即练】 4．关于的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】1 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根，且， 所以，解得， 所以． 知识点04 分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 【即学即练】 5．分式不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D． 题型速练 题型01 解不含参数的一元二次不等式 【例1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式等价于. 解得或， 即原不等式的解集为. 【例2】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 必记结论 1．标准解题三步：化二次项系数为正→计算判别式→结合图像写解集。 2．、存在两根时口诀：大于取两边，小于取中间。 3．时，解集为全体实数，解集为空集。 【小试牛刀】 【变式1-1】不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 【变式1-2】，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 【变式1-3】不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，解得，即不等式的解集为， 选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件； 选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件； 选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件； 选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件. 题型02 解简单的分式不等式 【例3】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】可化为，可化为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【例4】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可化为，即， 不等式两边同乘后得，等价于， 解得，则解集为. 易错点 1．分式转化整式不等式后，忽略分母不能等于0，多解或漏解。 2．不等号带等号时，直接等价相乘不限制分母，出现增根。 【小试牛刀】 【变式2-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 【变式2-2】不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：，则，化简得： 等价于，解得： 所以不等式的解集为. 【变式2-3】在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样取值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的非空真子集个数为________； 【答案】 【详解】根据题意：当， 当时，由，即，解得或， 所以， ，所以， 所以的非空真子集个数为个. 题型03 解含参数的一元二次不等式 【例5】解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 【例6】已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 必记结论 1．讨论顺序：先讨论二次项系数是否为0（区分一次/二次不等式）；再讨论；最后比较两根大小。 2．参数导致两根含字母时，需要分情况判断两根谁大谁小。 【小试牛刀】 【变式3-1】当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 【变式3-2】解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式3-3】解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 题型04 由一元二次不等式的解确定参数 【例7】已知的解集为，则的解集是_______________. 【答案】 【详解】由题意可知是方程的两根， ∴，， ∴， ∴. 【例8】已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 必记结论 1．若不等式解集端点为，则是对应一元二次方程两根，可用韦达定理列方程求参数。 2．解集方向可判断二次项系数正负，解集“两边向外”则，“中间区间”则。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故可化为 ，又因为，所以原不等式等价于，即. 所以解集为. 【变式4-2】甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】，甲写错了常数，正确计算后得到的解集为，即， 乙写错了常数，正确计算后得到的解集为，即，解得， 因此关于的一元二次不等式为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 【变式4-3】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由可得或， 由可得， 当时，不等式即为，该不等式无解； 当时，不等式的解集为， 此时，原不等式组的解集为，则， 所以，，解得； 当时，不等式的解集为， 因为若整数解包含5，则必然也包含，不满足唯一解的条件，故唯一整数解只能是, 即，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为： 题型05 一元二次方程的实根分布问题 【例9】已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 【例10】已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 易错点 1．只看判别式，缺少对称轴范围、端点函数值限制条件。 2．两根分布在区间两侧时，错误增加判别式约束，实际只需端点函数值异号。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 【变式5-2】若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【答案】. 【详解】因为关于的方程的两个不相等的实数根， 所以，解不等式得， 设方程的两个根为，则根据韦达定理，可得，， 又方程的两个不相等的实数根均小于， 所以，展开得， 代入韦达定理的结果，得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 题型06 一元二次不等式的实际应用 【例11】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 【例12】某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 【变式6-1】某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 【变式6-2】如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】设，根据矩形的性质，易知，可得, 代入可得，解得， 则矩形花坛的面积为， 令，则，解得或， 综上，或. 故答案为：. 【变式6-3】某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】(1)140万元 (2)每本不低于30元且不高于45元 【分析】 【详解】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. （2）设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 题型07 一元二次不等式恒成立问题与有解问题（判别式法） 【例13】若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 【例14】已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为“，”为假命题，所以其否定“，”是真命题， 当时，不等式变为，解得，这与矛盾，所以. 当时，要使，恒成立， 则得. 故答案为： 易错点 1．恒成立问题不讨论，直接默认二次函数使用判别式。 2．混淆“恒成立”和“有解”的判别式条件，二者结论完全相反。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 【变式7-2】“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“不等式的解集为空集”等价于“不等式在上恒成立”， 其充要条件为，即. 因为能推出，推不出， 所以“”是“不等式的解集为空集”的充分不必要条件. 【变式7-3】已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 题型08 一元二次不等式恒成立问题与有解问题（变量分离法） 【例15】命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得，所以 而恒成立，即恒成立，所以． 故选： 【例16】若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 【小试牛刀】 【变式8-1】当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 【变式8-2】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 【变式8-3】设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 基础过关 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 2．已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】首先求解不等式： 将不等式变形为，因式分解得，解得. 充分性验证：若则成立，即成立. 必要性验证：若则，但不一定成立. 所以“”是“”的充分非必要条件. 3．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：，则，化简得：， 等价于，解得：， 所以不等式的解集为. 4．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 5．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 6．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 7．（多选）下列各式可以作为“”的一个充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由于，得， 则可得是的必要不充分条件，故A不正确； 是成立的充分不必要条件，故B正确； 是成立的充分不必要条件，故C正确； 是成立的充要条件，故D不正确； 故选：BC. 8．（多选）已知a，b是关于x的方程的根，且，，则（    ） A．或 B． C．的最小值为16 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】由题意并结合韦达定理得，且，， 对于A，由题意得两根之和为正，两根之积为正，判别式非负， 即，解得，故A错误； 对于B，联立，整理得，故B正确； 对于C，，即， 设，则有，解得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为4，进而的最小值为16，故C正确； 对于D，由得，易得， 故，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 9．设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 代入得：． 10．对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【答案】 【详解】当时，恒成立，因此符合题意； 当时，由，恒成立， 得，解得， 所以a的取值范围是. 11．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 12．已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，可得，即， 所以故 （2）由，可得，即 所以，解得或. 能力提升 13．已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件（    ） A．充分必要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】由于是一元二次方程的两个正根，则： ，解得①. 充分性验证：若“且”，则由不等式的性质可得： ，所以充分性成立. 必要性验证：举反例，取，此时且， 满足“且”，但，不满足“且”，所以必要性不成立. 因此，“且”是“且”的充分不必要条件. 14．已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 15．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为， 且乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值， 可得，解得，所以不等式为， 又由，解得， 即不等式的解集为 16．设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】对于：等价于，解得：， 对于：由，得：， 又，所以； 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，解得． 17．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【分析】 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 挑战一刻 18．若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 19．（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 20．（多选）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 【答案】ABD 【详解】由，可得， A：当，显然，而，即不等式无实数解，对， B：当，则，而，故， 所以不等式组的解集可以为的形式，对， C、D：当不等式组解集恰好为，则， 所以，不等式的解集，即的解集为， 所以，可得，其中（此时不满足，舍）， 所以或（舍），故，C错，D对. 21．设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 预习目标 知识回顾 1．理解一元二次不等式、二次函数零点的定义，分清零点与一元二次方程实数根的对应关系。 2．掌握一元二次不等式标准解题步骤，会结合判别式分三类情况，借助图像准确写出解集。 3．理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的图像与解集对应规律，体会数形结合。 4．掌握分式不等式转化整式不等式的方法，能规范完成分式不等式求解运算。 1．区分与，掌握二者适用范围、算术与几何平均数定义及等号成立条件。 2．熟记基本不等式求最值两大模型：积定和最小、和定积最大，严格遵循“一正二定三相等”使用前提。 3．会判断题型能否运用基本不等式，规避正数、定值、取等三类易错点，规范完整书写解题过程。 新知导图 预习精讲 想一想 初中阶段我们借助一次函数，梳理出一元一次方程、一元一次不等式三者的对应关系，借助图像关联能简化解题： 1.方程的解 等价于一次函数图像与轴交点的横坐标。 2.不等式的解集 等价于一次函数图像落在轴上方部分，所有对应取值构成的集合。 3.不等式的解集 等价于一次函数图像落在轴下方部分，所有对应取值构成的集合。 拓展思考： 类比一次函数的对应规律，思考二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间存在怎样的内在联系。 知识点01 一元二次不等式的有关概念 1．一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 2．一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 3．一元二次不等式的解法 （1）调整二次项系数符号：观察不等式二次项系数，若系数小于0，不等式两边同时乘，将二次项系数转化为正数，同时注意不等号方向改变。 （2）求解对应一元二次方程，计算判别式 写出不等式对应的一元二次方程，计算判别式，分三种情况讨论： ①，方程有两个不相等实数根，可借助十字相乘法快速因式分解求出两根，一般规定； ②，方程有两个相等实数根； ③，方程无实数根。 （3）结合不等号写出不等式解集：结合二次函数开口向上的图像特征，对照方程根的情况，根据原不等式的不等号，直接写出一元二次不等式的解集。 【即学即练】 1．（多选）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 知识点02 二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意 （1）二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标； （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点 【即学即练】 3．已知二次函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．7 D． 知识点03 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意 （1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 【即学即练】 4．关于的不等式的解集是，则实数__________. 知识点04 分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 【即学即练】 5．分式不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 解不含参数的一元二次不等式 【例1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 必记结论 1．标准解题三步：化二次项系数为正→计算判别式→结合图像写解集。 2．、存在两根时口诀：大于取两边，小于取中间。 3．时，解集为全体实数，解集为空集。 【小试牛刀】 【变式1-1】不等式 的解集为__________． 【变式1-2】，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型02 解简单的分式不等式 【例3】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例4】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 易错点 1．分式转化整式不等式后，忽略分母不能等于0，多解或漏解。 2．不等号带等号时，直接等价相乘不限制分母，出现增根。 【小试牛刀】 【变式2-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样取值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的非空真子集个数为________； 题型03 解含参数的一元二次不等式 【例5】解关于的不等式：． 【例6】已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 必记结论 1．讨论顺序：先讨论二次项系数是否为0（区分一次/二次不等式）；再讨论；最后比较两根大小。 2．参数导致两根含字母时，需要分情况判断两根谁大谁小。 【小试牛刀】 【变式3-1】当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】解关于x的不等式：． 【变式3-3】解不等式． 题型04 由一元二次不等式的解确定参数 【例7】已知的解集为，则的解集是_______________. 【例8】已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 必记结论 1．若不等式解集端点为，则是对应一元二次方程两根，可用韦达定理列方程求参数。 2．解集方向可判断二次项系数正负，解集“两边向外”则，“中间区间”则。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 【变式4-2】甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________． 【变式4-3】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为___________． 题型05 一元二次方程的实根分布问题 【例9】已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【例10】已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 易错点 1．只看判别式，缺少对称轴范围、端点函数值限制条件。 2．两根分布在区间两侧时，错误增加判别式约束，实际只需端点函数值异号。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【变式5-2】若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【变式5-3】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 题型06 一元二次不等式的实际应用 【例11】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【变式6-1】某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【变式6-2】如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为_____． 【变式6-3】某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 题型07 一元二次不等式恒成立问题与有解问题（判别式法） 【例13】若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 易错点 1．恒成立问题不讨论，直接默认二次函数使用判别式。 2．混淆“恒成立”和“有解”的判别式条件，二者结论完全相反。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式7-2】“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-3】已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 题型08 一元二次不等式恒成立问题与有解问题（变量分离法） 【例15】命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【例16】若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【小试牛刀】 【变式8-1】当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【变式8-2】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【变式8-3】设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 基础过关 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 5．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 6．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）下列各式可以作为“”的一个充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知a，b是关于x的方程的根，且，，则（    ） A．或 B． C．的最小值为16 D．的最小值为 9．设，是方程的两个根，则的值为______． 10．对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 11．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 12．已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 能力提升 13．已知是一元二次方程的两个正根，则“且”是“且”的条件（    ） A．充分必要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 14．已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 17．设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 挑战一刻 18．若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 19．（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 20．（多选）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 21．设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $