第12讲 弧长及扇形的面积（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第12讲 弧长及扇形的面积 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 弧长的有关计算 题型2 扇形的有关计算 题型3 圆锥面积的计算 题型4 组合图形面积的计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 弧长计算公式 扇形面积公式 扇形面积第二公式 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面积与全面积 点的旋转轨迹与弧长 组合图形阴影面积 弓形面积与割补法 1.掌握弧长计算公式(的推导过程，能熟练将圆心角、半径和弧长三个量进行互求，并运用公式解决圆弧路径和弧线长度的基本计算问题。 2.掌握扇形面积的两种计算公式，能根据题目给定的已知条件（圆心角或弧长），选择最便捷的公式计算扇形面积。 3.理解圆锥的侧面展开图是一个扇形，掌握圆锥侧面积、全面积的计算方法，能准确建立“圆锥母线长=扇形的半径”、“圆锥底面周长=扇形的弧长”的等量转换关系。 4.能运用割补法、整体减空白法等思想方法，将圆、扇形、三角形、矩形等组合图形中的不规则阴影面积转化为规则图形面积的和或差，体会转化与化归的数学思想。 5.能综合运用弧长和扇形面积公式，解决生产生活中如弯道路程计算、旋转体扫过的面积、圆柱形水管的流水截面积、钟表指针扫过的面积等实际问题，体会数学模型在解决实际问题中的工具价值。 学习重点：掌握弧长公式和扇形面积的两种计算公式；理解圆锥与其侧面展开图（扇形）之间的等量转换关系，熟练求解圆锥的侧面积和全面积；能运用割补法或和差法，将组合图形的阴影面积转化为规则图形的面积进行计算。 学习难点：灵活选用扇形面积公式，并能运用方程思想进行公式的逆运算（如已知弧长或面积反求半径或圆心角）；在复杂的旋转动态问题、拼接图形中，准确识别弧的半径和旋转角度；将实际问题（如流水截面、过弯路径、扇子面积等）抽象转化为弧长、扇形面积模型，并能对计算结果与实际意义进行合理的取舍与解释。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 弧长公式 1.弧长公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式: (弧是圆的一部分); 即时即练如图，A、B、C三点在上，若，且的半径为1，则的长是_________（结果保留）． 【易错提醒】 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量。 知识点02 扇形的面积 1．扇形的定义 由组成 和 所围成的图形叫做扇形。 2．扇形面积公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 即时即练如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点为圆心的扇形，已知雨刮器的总长为，其中橡胶部分的长为．若其中一个雨刮器在车窗上从位置摆动至位置，则橡胶部分扫过的图形面积为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量； (3)扇形面积公式S扇形=，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：。 知识点03 圆锥的侧面积和全面积 连接圆锥 和 的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积 ， 圆锥的全面积： 即时即练草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长。因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的。 题型1 弧长的有关计算 【例1】如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为________． 【例2】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）处理旋转路径问题时，要看清是求哪个点的轨迹，该点的旋转中心和旋转半径分别是什么。旋转的“角度”直接对应弧长公式中的圆心角n。 【变式1-1】如图，边长为2的等边，将边不改变长度，变为弧，得到以A为圆心，为半径的扇形，由三角形变成扇形，下列量的变化情况是：的度数______，图形的面积______．（空格处填“变大”，“变小”或“不变”） 【变式1-2】如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（ ） A． B． C． D． 题型2 扇形的有关计算 【例3】中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【例4】如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）扇形面积的两套公式： （2）在旋转类的阴影面积问题中，善于观察哪些面积可以“抵消”，把不规则的阴影部分拼接或转化为一个完整的扇形或三角形求解，简化计算过程。 【变式2-1】在扇形中，，，以为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． 【变式2-2】如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 题型3 圆锥面积的计算 【例5】如图，小明作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为，母线长为，则圆锥形纸帽的侧面积为__________（结果保留含的式子）． 【例6】如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积． (2)围成的圆锥的全面积． 【易错提醒】 （1）核心等量关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，扇形的半径=圆锥的母线长。 （2）切勿把底面圆的半径直接当成扇形半径，或者把圆锥的高当成扇形半径，看清题干求的是“母线长”还是“圆锥的高”。 【变式3-1】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的圆心角度数为______． 题型4 组合图形面积的计算 【例7】如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【例8】如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 割补法与和差法：组合图形的阴影面积，核心思想是“整体法”或“割补法”。通常写为：；。 【变式4-1】如图，阴影部分是某个品牌商标的图案，为了研究它的面积，小明通过数学知识找到弧所在圆的圆心，经测量，，则商标的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D．2 A组 基础过关 1．已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（　　） A．8π B．6π C．4π D．2π 2．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（ ） A．5 B．10 C．20 D． 3．已知，如图，的半径为6，正六边形与相切于点C、F，则的长度是_______． 4．将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若，则点A经过的路径长度为___________． 5．如图所示，边长为1的正方形网格中，O、 A 、B 、C 、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为________． 6．在我省新农村建设中，“农村路灯亮化助力美丽乡村”太阳能路灯公益项目为我省许多乡镇安装了太阳能路灯．该路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线米，半径米，则圆锥的侧面积是______平方米（结果保留）． 7．已知扇形的半径为6 cm，圆心角为150°，则此扇形的面积等于_______cm2（结果保留π）． 8．如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是______． 9．如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度（取）． 10．如图，是的内接正三角形，半径为1，连接，． (1)求阴影部分的面积． (2)求的面积． B组 综合提升 11．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（ ） A．6 B．10 C．12 D．24 12．在中，，，．把它沿边所在直线旋转一周．求所得几何体的全面积． 13．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ） A． B． C．4 D． 14．如图，正六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接六边形，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ） A． B． C． D．2 16．一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长，宽的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ） A． B． C． D． 17．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是，则此扇形的圆心角等于______． 18．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为________． 19．如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 20．如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，             （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． C组 挑战突破 21．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（ ） A． B． C． D． 22．如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为（ ） A． B． C． D． 23．如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为______cm． 24．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( ) A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π 25．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　　） A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2 C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2 26．扇形的圆心角是120°，面积是3π cm²，则扇形的弧长是___________cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为_________cm． 27．如图，，，两两不相交，且半径都等于，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为______．（结果保留） 28．将图中的破轮子复原，已知弧上三点，用尺规画出该轮子的圆心． 29．如图，点都在上，过点C作AC//BD交延长线于点A，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)求的半径长． (3)求由弦与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留）． 30．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，，均在格点（小正方形的顶点）上，为的中点，点在上，连接，，，则图中阴影部分的面积为____________． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 弧长及扇形的面积 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 弧长的有关计算 题型2 扇形的有关计算 题型3 圆锥面积的计算 题型4 组合图形面积的计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 弧长计算公式 扇形面积公式 扇形面积第二公式 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面积与全面积 点的旋转轨迹与弧长 组合图形阴影面积 弓形面积与割补法 1.掌握弧长计算公式(的推导过程，能熟练将圆心角、半径和弧长三个量进行互求，并运用公式解决圆弧路径和弧线长度的基本计算问题。 2.掌握扇形面积的两种计算公式，能根据题目给定的已知条件（圆心角或弧长），选择最便捷的公式计算扇形面积。 3.理解圆锥的侧面展开图是一个扇形，掌握圆锥侧面积、全面积的计算方法，能准确建立“圆锥母线长=扇形的半径”、“圆锥底面周长=扇形的弧长”的等量转换关系。 4.能运用割补法、整体减空白法等思想方法，将圆、扇形、三角形、矩形等组合图形中的不规则阴影面积转化为规则图形面积的和或差，体会转化与化归的数学思想。 5.能综合运用弧长和扇形面积公式，解决生产生活中如弯道路程计算、旋转体扫过的面积、圆柱形水管的流水截面积、钟表指针扫过的面积等实际问题，体会数学模型在解决实际问题中的工具价值。 学习重点：掌握弧长公式和扇形面积的两种计算公式；理解圆锥与其侧面展开图（扇形）之间的等量转换关系，熟练求解圆锥的侧面积和全面积；能运用割补法或和差法，将组合图形的阴影面积转化为规则图形的面积进行计算。 学习难点：灵活选用扇形面积公式，并能运用方程思想进行公式的逆运算（如已知弧长或面积反求半径或圆心角）；在复杂的旋转动态问题、拼接图形中，准确识别弧的半径和旋转角度；将实际问题（如流水截面、过弯路径、扇子面积等）抽象转化为弧长、扇形面积模型，并能对计算结果与实际意义进行合理的取舍与解释。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 弧长公式 1.弧长公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式:(弧是圆的一部分); 即时即练如图，A、B、C三点在上，若，且的半径为1，则的长是_________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式及圆周角定理是解题的关键． 连接，根据圆周角定理，先求出的度数，再结合弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 的半径为1， ， 故答案为：． 【易错提醒】 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量。 知识点02 扇形的面积 1．扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 2．扇形面积公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 即时即练如图，汽车雨刮器摆动的轨迹是以点为圆心的扇形，已知雨刮器的总长为，其中橡胶部分的长为．若其中一个雨刮器在车窗上从位置摆动至位置，则橡胶部分扫过的图形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据、求出，结合扇形的面积公式，根据橡胶部分扫过的图形面积计算即可． 【详解】解：，， ， ， 橡胶部分扫过的图形面积 ． 故选：D． 【易错提醒】 (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量； (3)扇形面积公式S扇形=，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：。 知识点03 圆锥的侧面积和全面积 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积， 圆锥的全面积： 即时即练草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径，高， ∴母线长 ， ∴该模型的侧面积为． 故选：B． 【易错提醒】 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长。因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的。 题型1 弧长的有关计算 【例1】如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：的长为 ． 故答案为： ． 【例2】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 【易错提醒】 （1）处理旋转路径问题时，要看清是求哪个点的轨迹，该点的旋转中心和旋转半径分别是什么。旋转的“角度”直接对应弧长公式中的圆心角n。 【变式1-1】如图，边长为2的等边，将边不改变长度，变为弧，得到以A为圆心，为半径的扇形，由三角形变成扇形，下列量的变化情况是：的度数______，图形的面积______．（空格处填“变大”，“变小”或“不变”） 【答案】 变小 变大 【分析】根据扇形面积公式求出圆心角的度数，与原来的度数比较，分别求出扇形和等边三角形的面积，比较即可得到答案． 【详解】解：设的度数大小由变为， 由题意得， ∵， ∴， 即的度数变小， 以A为圆心，为半径的扇形的面积为， 边长为2的等边的面积为， ∵， ∴图形的面积变大． 故答案为：变小，变大 【变式1-2】如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，若，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出∠ACA′，然后利用弧长公式即可求出结论． 【详解】解：由题意可知：∠A=30°，∠ABC=90° ∴∠ACB=90°－∠A=60° ∴∠ACA′=180°－∠ACB=120° ∴顶点从开始到结束所经过的路径为以C为圆心，AC为半径的弧上 ∴顶点从开始到结束所经过的路径长为 故选A． 题型2 扇形的有关计算 【例3】中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式． 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【例4】如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【易错提醒】 （1）扇形面积的两套公式： （2）在旋转类的阴影面积问题中，善于观察哪些面积可以“抵消”，把不规则的阴影部分拼接或转化为一个完整的扇形或三角形求解，简化计算过程。 【变式2-1】在扇形中，，，以为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、扇形的性质、圆面积公式等知识．根据扇形和勾股定理求出长，半圆面积和直角三角形的面积之和减去扇形面积即可求出答案． 【详解】解：在中，． 则 ． 【变式2-2】如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 【答案】(1) (2)4π 【分析】本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积． （1）由旋转的性质得到：，，根据弧长公式即可解答； （2）由旋转的性质得到阴影的面积，结合扇形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到：，， ∴， ∴点A扫过的弧长是； （2）解：由旋转的性质得到：，，的面积的面积， ∵阴影的面积 ∴阴影的面积 题型3 圆锥面积的计算 【例5】如图，小明作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为，母线长为，则圆锥形纸帽的侧面积为__________（结果保留含的式子）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，实数的混合运算等知识点，熟练掌握圆锥侧面积底面圆的周长母线长是解题的关键． 根据圆锥侧面积底面圆的周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥侧面积底面圆的周长母线长 ， 故答案为：． 【例6】如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积． (2)围成的圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查求圆锥的侧面积和全面积，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）圆锥由扇形和一个圆组成，将两个面积相加即可得到圆锥的全面积 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）扇形的弧长是，则底面半径是2，底面面积是， 则围成的圆锥的全面积是． 【易错提醒】 （1）核心等量关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，扇形的半径=圆锥的母线长。 （2）切勿把底面圆的半径直接当成扇形半径，或者把圆锥的高当成扇形半径，看清题干求的是“母线长”还是“圆锥的高”。 【变式3-1】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 【变式3-2】如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的圆心角度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，弧长公式，如图，根据题意得，，由直角三角形性质可得，所以圆锥侧面展开图的弧长为，设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴圆锥侧面展开图的弧长为， 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， ∴，解得：， ∴圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 题型4 组合图形面积的计算 【例7】如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，根据切线的性质可得，可得到四边形和四边形为矩形，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：连接交于点，如图， 以为直径的半圆与相切于点， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形和四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：A． 【例8】如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，求出它们的面积，再用两个扇形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之差来求解． 【详解】解：如图： 正方形的面积；① 两个扇形的面积；② ②①，得：． 故选：A． 【易错提醒】 割补法与和差法：组合图形的阴影面积，核心思想是“整体法”或“割补法”。通常写为：；。 【变式4-1】如图，阴影部分是某个品牌商标的图案，为了研究它的面积，小明通过数学知识找到弧所在圆的圆心，经测量，，则商标的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用勾股定理求出，得到为等边三角形，利用阴影部分面积等于扇形的面积减去三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴商标的面积； 故选A． 【变式4-2】如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是． 【详解】解：，， ， ． 又绕A点逆时针旋转后得到， ， ． 故选：B． A组 基础过关 1．已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（　　） A．8π B．6π C．4π D．2π 【答案】C 【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可． 【详解】解：根据弧长的公式l＝， 得到：l＝＝4π， 故选：C． 2．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（ ） A．5 B．10 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用此关系列方程求解． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为 ， ∵ 圆锥底面圆的周长为 ，且扇形弧长为 ， ∴， 解得 ． 故选B． 3．已知，如图，的半径为6，正六边形与相切于点C、F，则的长度是_______． 【答案】 【分析】 连接、，根据与正六边形相切于点C，F，得到，求出的度数，根据弧长公式计算可得答案． 【详解】 解：连接、，    ∵与正六边形相切于点C，F， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若，则点A经过的路径长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式、旋转性质，根据弧长公式（r为扇形半径，n为扇形圆心角的度数）求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴点A经过的路径长度为， 故答案为：． 5．如图所示，边长为1的正方形网格中，O、 A 、B 、C 、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键． 根据勾股定理分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，，, 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 6．在我省新农村建设中，“农村路灯亮化助力美丽乡村”太阳能路灯公益项目为我省许多乡镇安装了太阳能路灯．该路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线米，半径米，则圆锥的侧面积是______平方米（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，确定侧面扇形的弧长和半径是解题关键． 【详解】解：由题意得：圆锥的侧面扇形的半径长为：（米）， 弧长为：（米） ∴圆锥的侧面积是：（平方米）， 故答案为：． 7．已知扇形的半径为6 cm，圆心角为150°，则此扇形的面积等于_______cm2（结果保留π）． 【答案】15π． 【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为：15π． 8．如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积的和，根据扇形的面积公式计算即可． 此题主要考查了扇形面积的计算，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ，D是的中点， ， 图中阴影部分的面积是 故答案为： 9．如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度（取）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．根据图中管道的展直长度等于与两条圆弧的长度之和即可得． 【详解】解：由图可知， ， 答：图中管道的展直长度为． 10．如图，是的内接正三角形，半径为1，连接，． (1)求阴影部分的面积． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，根据圆周角定理求出，根据扇形面积公式进行计算即可； （2）连接并延长交于点E，证明，得出，根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，求出，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是的内接正三角形， ∴， ∴， （2）解：如图，连接并延长交于点E， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ∴， ． B组 综合提升 11．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（ ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 12．在中，，，．把它沿边所在直线旋转一周．求所得几何体的全面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的表面积公式，先由勾股定理可得，旋转之后所得几何体为圆锥，底面半径为6，母线长为10，再由圆锥的表面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， ∵把它沿边所在直线旋转一周， ∴所得几何体为圆锥，底面半径为6，母线长为10．     ，     ． 13．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据题目的条件和图形可以判断点B、分别绕两个定点以边长1为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到． 【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为120°，半径为1的扇形弧长， 所以点从开始至结束所走过的路径长度为：． 故选B． 14．如图，正六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接六边形，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接CO，DO，可知△OCD内的弓形的面积等于扇形OCD的面积－△OCD的面积． 【详解】解：如图，连接OA，OB，作OG⊥AB于点G， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=2， ∴AG=1， ∴， ， ∴S阴影部分＝6(S扇形OAB﹣S正三角形OAB) ＝ ＝． 故选A． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8， ∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4， 由题意得：AC=CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴的长为：＝， 故选：B． 16．一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长，宽的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知受污染土地由两类长分别为，，宽分别为的矩形，及四个能组成一个以半径为的圆组成，求出面积和即可． 【详解】解：根据题意可知受污染土地由两类长分别为，，宽分别为的矩形，及四个能组成一个以半径为的圆组成， 面积为：， 故选：B． 17．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是，则此扇形的圆心角等于______． 【答案】60°/60度 【分析】根据变形为n=计算即可． 【详解】∵扇形的半径是18cm，且它的弧长是，且 ∴n===60°， 故答案为：60°． 18．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为________． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，列出方程计算即可，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，是解此题的关键． 【详解】解：由题意得；， 解得：， 该圆锥的底面圆的半径长为， 故答案为：． 19．如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了扇形的面积，先求出总的面积，再减去空白部分半圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：整个图形的面积为， ∴阴影部分的面积（平方厘米）， 答：图中阴影部分的面积是平方厘米． 20．如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，             （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h． 【详解】∵在等腰中，， ∴， ∵AD是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积. （2）设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得，解得， 这个圆锥的高． C组 挑战突破 21．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 22．如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作,垂足为C，根据题意可得OC=，因此可得,所以可得圆心角,进而计算的的长. 【详解】根据题意作,垂足为C 沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3 , 圆心角 = 故选C. 23．如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为______cm． 【答案】20 【分析】过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高． 【详解】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°， ∴OE=OA=30cm， ∴弧CD的长==20π（cm）， 设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10， ∴圆锥的高==20（cm）． 故答案为：20． 24．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( ) A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π 【答案】A 【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴所扫过的面积为． 故选：A． 25．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　　） A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2 C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2 【答案】C 【分析】由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵底面圆半径DE=2m， ∴圆柱的底面积为：；故A正确； 圆柱的侧面积为：；故B正确； 圆锥的母线为：；故C错误； 圆锥的侧面积为：；故D正确； 故选：C 26．扇形的圆心角是120°，面积是3π cm²，则扇形的弧长是___________cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为_________cm． 【答案】 2π 1 【分析】先根据扇形的面积公式即可求得半径，然后根据扇形的面积公式,即可求得弧长．利用圆的周长公式可以求出底面圆的半径． 【详解】解：设扇形的半径是rcm，则，解得：r=3cm， 设扇形的弧长是l，则，解得：l=2π（cm）， 将此扇形卷成一个圆锥，设底面圆的半径为Rcm，则2πR=2π，解得R=1， 故答案为2π，1． 27．如图，，，两两不相交，且半径都等于，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为______．（结果保留） 【答案】 【分析】根据三个扇形的半径都是，由扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：三个扇形的半径都是， 而三个圆心角的和是， 图中的三个扇形即三个阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 28．将图中的破轮子复原，已知弧上三点，用尺规画出该轮子的圆心． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，解题的关键是作出线段和的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题． 分别作弦和的垂直平分线，和的垂直平分线的交点即为圆心O． 【详解】解：如图所示，点即为所求的圆心． 29．如图，点都在上，过点C作AC//BD交延长线于点A，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)求的半径长． (3)求由弦与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)证明见解析 (2)⊙O的半径长为6cm (3)阴影部分的面积为6πcm2 【分析】（1）由圆周角定理解得∠BOC＝60°，再根据AC//BD得到∠A＝∠OBD＝30°，继而解得∠ACO＝90°，据此解答； （2）设OC 、BD相交于点E，由垂径定理解得，再根据含30°角直角三角形的性质解得OB＝6； （3）由ASA证明△CDE≌△OBE，再利用扇形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵∠CDB＝∠OBD＝30°， ∴∠BOC＝60° ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠OBD＝30° ∴∠ACO＝90° ∴AC为⊙O切线． （2）解：设OC 、BD相交于点E ∵∠ACO＝90°，AC//BD， ∴∠BEO＝∠ACO＝90° 在Rt△BEO中，∠OBD＝30° ∴OE=3 ∴OB＝6 即⊙O的半径长为6cm． （3）解：∵∠CDB＝∠OBD＝30°， 又∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED， ∴△CDE≌△OBE（ASA） 答：阴影部分的面积为6πcm2． 30．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，，均在格点（小正方形的顶点）上，为的中点，点在上，连接，，，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】取格点，连接，连接，，过点作于，根据可得为所在圆的圆心，利用求解即可. 【详解】解：取格点，连接，连接，，过点作于， ∵， ∴为所在圆的圆心， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∵， ∴， ． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $