第11讲 圆内接四边形和正多边形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第11讲 圆内接四边形和正多边形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用圆内接四边形的对角互补性质 题型2 正多边形相关计算 题型3 正多边形与圆的综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆内接四边形 对角互补 正多边形 内角公式 中心角公式 正六边形 尺规作图 平面镶嵌 1.掌握圆内接四边形的定义及其外接圆的概念，能准确判断四个顶点是否共圆；熟练掌握“对角互补”的核心性质及“外角等于它的内对角”的推论，并能运用圆周角定理进行角度的转换与逻辑证明。 2.理解并掌握正多边形的定义（各边相等，各内角相等），能熟练运用内角公式和中心角公式进行相关计算；熟知正六边形的边长等于其外接圆半径的特殊性质，并能将其灵活运用。 3.理解正多边形轴对称与中心对称的几何特性，能根据边数n的奇偶性判断其中心对称属性；掌握用量角器等分圆心角以及用尺规作图的两种作图方法，理解并掌握正六边形、正八边形等常见正多边形的尺规作图逻辑。 4.理解平面镶嵌（密铺）的定义及成立条件，即“共顶点的各多边形的内角之和必须等于。 5.掌握任意三角形、任意四边形均能单独进行平面镶嵌的几何原理，体会利用多边形内角和拼接成360 的转化思想，能运用平面镶嵌知识解决实际图形设计与填充问题，培养数形结合与逻辑推理能力。 学习重点：圆内接四边形对角互补性质及应用；正多边形内角、中心角公式及正六边形特性；等分圆周的尺规作图；平面镶嵌的核心条件（共顶点内角和 360°）与单一、组合镶嵌类型。 学习难点：复杂图形中识别构造圆内接四边形进行条件转化；组合镶嵌求解整数方程的分类讨论（防漏解）；尺规作图的原理推导；以及理解任意三角形/四边形均可独立镶嵌的特例（打破只有正多边形能镶嵌的思维定势）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆内接四边形 1.定义与概念 圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫作圆的内接四边形。 外接圆：这个圆叫作四边形的外接圆。 2.核心性质：对角互补 性质定理：圆内接四边形的对角互补。 符号语言：若四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=，∠B+∠D=。 定理证明（利用圆周角定理）：∠A所对的弧是，∠C所对的弧是。 因为与的度数之和为（构成一个完整的圆）。 所以。 3推论 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。即如上图中，若延长BA到E，则∠DAE=∠C。 补充：符号“”表示角与弧的度数相等。 即时即练如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由平行线的性质求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选；B． 【易错提醒】 (1)当遇到圆内接四边形问题时，常通过连接对角线，构造出相等的圆周角（同弧所对的圆周角相等）。 (2)结合“对角互补”与“邻补角”的等量代换，可以完成角度的转换与证明。 知识点02 正多边形 1.正多边形的定义 定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形。 常见类型：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 2.正多边形的内角计算 计算公式：正n边形的每个内角的度数为：∘​ 3.正多边形的外接圆 性质：任何正多边形都有一个外接圆。经过一个正多边形各个顶点的圆叫作这个正多边形的外接圆，这个正多边形也叫作圆内接正多边形。 正六边形的特殊性质： 边长等于半径：正六边形相邻两个顶点与圆心构成的△AOB是等边三角形，因此正六边形的边长等于其外接圆的半径。 尺规作图：在圆上任取一点，以该圆半径为半径，依次在圆上截取六次，即可将圆六等分，顺次连接即得正六边形。 正n边形的中心角：正n边形每一条边所对的圆心角（中心角）等于​。 4.正多边形的对称性 轴对称性：所有的正多边形都是轴对称图形。正n边形有n条对称轴。 中心对称性： 当n为偶数时（如正四边形、正六边形），正n边形是中心对称图形。 当n为奇数时（如正三角形、正五边形），正n边形不是中心对称图形。 即时即练已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于（n为边数）． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是， 故选：A． 【易错提醒】 (1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； (2)各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点03 正多边形的画法 1．用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2．用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图。 ①正四、八边形 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……. 即时即练如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径作圆，只用无刻度的直尺完成以下画图． (1)在图①中画的一个内接正四边形，___________； (2)在图②中画的一个内接正六边形，__________． 【答案】(1)图见解析，32 (2)图见解析， 【分析】（1）只需要作直径、，并使得即可； （2）如图所示，取格点B，C，D，E，F，然后顺次连接A、B、C、D、E、F得到正六边形，再求出求面积． 【详解】（1）解：如图所示，正四边形即为所求； ， 故答案为32； （2）解：如图所示，正六边形即为所求； 过点O作于H， ∵正六边形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【易错提醒】 (1)画正n边形的方法：①将一个圆n等份；②顺次连结各等分点。 知识点04 平面镶嵌（拓展延伸） 1.镶嵌条件 用多边形镶嵌平面，必须满足：共顶点的各多边形的内角之和等于。 2.单一正多边形的镶嵌 只有三种正多边形能单独镶嵌平面：正三角形（内角）、正方形（内角）、正六边形（内角）。 原因：这些内角度数均可以整除。 3.组合镶嵌 如果用多种正多边形进行组合，能够镶嵌的组合形式有很多（如利用正方形与正八边形、正三角形与正六边形等组合镶嵌）。 即时即练【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 【答案】(1)；；； (2)①③ (3)或 【分析】（1）根据n边形内角和定理“n边形内角和等于求出内角和”，再除以n得到正n边形每个内角的度数； （2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答； （3）由题意得，x、y是满足的正整数解，即可求的值． 【详解】（1）解：正三角形每个内角的度数为； 正方形每个内角的度数为； 正五边形每个内角的度数为； 正六边形每个内角的度数为； …… 正n边形每个内角的度数为； 故答案为：；；；． （2）解：由（1）的方法可求出： 正三角形的每一个内角的度数是； 正五边形的每一个内角的度数是； 正六边形的每一个内角的度数是； 正七边形的每一个内角的度数是； 正八边形的每一个内角的度数是； 又，， 只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形、正六边形， 故答案为：①③． （3）解：由题意得，x、y为满足方程的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 则的值为或． 【易错提醒】 (1)共顶点：必须是指“共顶点的几个多边形的内角之和”等于360°。顶点必须重合在同一点，如果是在边上拼接但顶点不重合，不算平面镶嵌。 (2)任意形状、大小完全相同的三角形都可以单独镶嵌平面（因为内角和是180°，可以拼成360°）；任意形状、大小完全相同的四边形都可以单独镶嵌平面（因为内角和是360°）。 题型1 利用圆内接四边形的对角互补性质 【例1】如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 【例2】如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、弧与弦之间的关系、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题关键． 由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ． 故答案为：． 【易错提醒】 （1）圆内接四边形的核心性质是对角互补，外角等于它的内对角（与外角相邻内角的对角）；对角互补性质仅适用于四个顶点都在圆上的内接四边形。 （2）圆内接四边形中，推出两条弦相等（或对应弧相等），联系“等边对等角”得到等腰三角形，这是角度推导中最常用的中间桥梁，能打通已知角和未知角的联系。 【变式1-1】如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 为直径， ， ； 故答案为：． 【变式1-2】在的外接圆中，的外角平分线CD交于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E． （1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由； （2）若四边形ABCD的面积为9，求四边形ABDF的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）9 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据圆内接四边形的性质可得，进而可得，由同圆中圆周角和圆弧的关系可得，进而可得； （2）证明，进而可得四边形ABCD的面积等于四边形ABDF的面积． 【详解】（1）平分 （2） 即 四边形ABCD的面积 四边形ABDF的面积 四边形ABDF的面积为 题型2 正多边形相关计算 【例3】如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 【例4】如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 【易错提醒】 （1）只有正六边形的边长等于外接圆半径，很多同学会将该结论推广到所有正多边形，在正八边形、正十边形等题型中错误使用，导致边长、角度推导全部出错。 （2）所有正多边形与圆的计算，第一步优先连接圆心与相邻两个顶点，构造以中心角为顶角、半径为腰的等腰三角形。后续所有角度、边长计算都基于这个等腰三角形展开，是通用解题切入点。 【变式2-1】如图，在正边形中，，则的值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，得到，再根据中心角的计算公式求出的值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 【变式2-2】已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，那么以为边的正多边形的边数为___． 【答案】6或30 【分析】本题考查圆与正多边形，掌握好正多边形中心角的计算公式是解题关键． 根据正多边形的中心角公式，分别求出和所对的圆心角，再讨论劣弧和点C的相对位置，得到所对的圆心角，从而求出以为边的正多边形的边数． 【详解】解：∵是的内接正十边形的一条边，是⊙O的内接正十五边形的一条边， ∴，， ①当点在劣弧上时，如图， ， 则以为边的正多边形的边数为； ②当点在劣弧外时，如图， ， 则以为边的正多边形的边数为； 综上所述，以为边的正多边形的边数为或30． 故答案为：6或30． 题型3 正多边形与圆的综合 【例5】在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过 作于 ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 【例6】如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（ ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 【易错提醒】 正六边形线段计算的辅助线 ① 先连半径：连接中心与各顶点，快速识别等边三角形和菱形； ② 遇中点构中位线：出现多个中点时，取线段中点构造三角形中位线，直接得到线段比例关系； ③ 等线段共圆：若多条等长线段共端点，可判定端点共圆，利用直径构造直角三角形，用勾股定理求线段长。 【变式3-1】如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 【变式3-2】如图，正六边形的中心为，为的中点，为的中点，连接，若正六边形的边长为4，则的长为（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形，三点共圆，直径所对圆周角为直角，勾股定理以及三角形中位线的性质等知识． 连接，，取中点K，连接，先证明点M、N、K三点共圆，圆心为O，直径为，即可得，问题随之得解． 【详解】解：连接，，取中点K，连接，如图， ∵正六边形的中心为， ∴，即四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴也为的中点， ∵为的中点，为的中点，且在正六边形中， ∴， ∴点M、N、K三点共圆，圆心为O，直径为， ∴， ∵正六边形的中心为， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴在中，， ∴在中，． A组 基础过关 1．某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 【答案】10 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，正多边形的中心角的计算，等边对等角，确定是关键，根据题意得到正多边形每个内角，对应外角的度数，由此得到圆心角的度数，由此即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角为， ∴对应的外角的度数为， 如图所示，， ∴， ∴， ∴， ∴总共需要10个正五边形木片． 故答案为：10 ． 2．如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A～H）且顺次连接点A～H构成正八边形，则该正八边形的中心角为___________度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 3．如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为______ 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与中心角，正多边形内角和问题，根据，得出该正多边形的中心角为，从而求出该多边形为十边形，然后通过内角和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该正多边形的中心角为， ∴该多边形为十边形， 由得其内角和为， 故答案为：． 4．如图，正五边形内接于，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、弧长公式．连接，根据正五边形内接于，可以求出，根据弧长公式即可求出的长度． 【详解】解：连接， 正五边形内接于， ， 的长， 故选：A． 5．如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，圆周角定理，先根据圆周角定理求出，再用除以中心角可得边长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 故选：A． 6．如图，在正边形中，，则的值是______． 【答案】20 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，求出的值即可． 【详解】解：如图，点为正边形的外接圆的圆心，连接， 则：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 7．如图，在正n边形中，，则的值是______． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【详解】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 8．下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（ ） A．该正六边形是中心对称图形 B．该正六边形有6条对称轴 C．该正六边形的中心角为 D．该正六边形的面积为 【答案】C 【分析】首先，根据中心对称图形的定义判断正六边形是否为中心对称图形；其次，根据对称轴的定义确定正六边形的对称轴数量；然后，利用正边形中心角公式计算正六边形的中心角；最后，通过将正六边形分割为6个全等的等边三角形，计算其总面积． 【详解】解：对于A选项，∵正六边形绕其中心旋转后能与自身重合， ∴该正六边形是中心对称图形，A选项正确； 对于B选项，正六边形有6条对称轴，分别是3条对边的垂直平分线和3条过相对顶点的直线，B选项正确； 对于C选项，正六边形的中心角为，而非，C选项错误； 对于D选项，如图，正六边形的中心为，取边，作于，则． ∵正六边形的边长为，， ∴为的中点，为等边三角形，， 在中，，， ∴， ∴． ∴， ∴，D选项正确． 9．如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而结合已知证明，得出，即可得证 （2）根据正边形的定义可得，对称中心到所有顶点的距离相等，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； （2）解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 10．如图，是的内接正五边形．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据正五边形的性质求出，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论． 【详解】证明：∵是正五边形， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. B组 综合提升 11．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，根据三角形内角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，所以∠FEG=90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题． 【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形， ∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°， ∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°， ∴∠FEG=90°， ∵EF=4， ∴EG=EF=， ∴△GEF的面积=×EF•GE=， 故选：C． 12．如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为______． 【答案】// 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、含30度直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，连接，由题意可得 ，；根据等边对等角以及三角内角和定理可得；再是等边三角形可得、，易得，然后根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O为正六边形的中心，正六边形的边长为3， ∴ ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______ 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，含有角的直角三角形，求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可，掌握含有角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提． 【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1， ∴小正六边形的面积为： ， 故答案为：． 14．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知． （1）求证：； （2）若是四边形外接圆的直径，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC； （2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现． 【详解】（1）∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠B+∠ADE=180° 又∵∠EDC+∠ADE=180° ∴∠EDC=∠B 又∵∠EDC=∠C ∴∠B=∠C ∴AB=AC （2）连接AE    ∵AB是圆的直径 ∴∠AEB=90° 又∵AB=AC ∴AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠EAD ∴ 15．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．         （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在上时，求证：； （3）如图2，已知的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10 【分析】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证； （2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证； （3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴弧AB=弧AC ∴∠ADB=∠ADC； （2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠ADB+∠ACB=180°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ADC=∠ABC ∴∠ACB=∠ADC， ∴； （3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示： ∵AB=AC，BC=12， ∴BE=EC=6， ∴AE是线段BC的垂直平分线， ∵△ABC是⊙O的内接三角形， ∴圆心O在线段AE上， ∵OB=OA=， ∴在Rt△BEO中，， ∴， ∴在Rt△AEB中，． C组 挑战突破 16．如图，有一个半径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA、OB，根据圆内接正六边形的性质得到△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，求得∠AOC=，由OA=4cm，得到AC=2cm，根据勾股定理求出OC=cm． 【详解】如图，连接OA、OB，则△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C， ∵△AOB是等边三角形， ∴∠OAB=， ∴∠AOC=， ∵OA=4cm， ∴AC=2cm， ∴OC=cm， 故选：C． 17．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（　　） A．1 B．2 C． D．2 【答案】C 【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF=x，B'F=x，从而BC=x+x+x=2+，即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵重叠部分为正八边形的一半， ∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°， ∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°， ∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形， 设CG=x，则GF=x，B'F=x， ∴BG=B'G=x+x， ∴BC=x+x+x=2+， ∴x=1， ∴GF=， 故选：C． 18．如图所示的正八边形的边长为2，则对角线的长为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，根据正多边形和圆的性质，矩形的判定定理和性质确定∠DAB=∠ABC=90°，根据多边形的内角和定理确定∠DAE=∠AEF=∠FBC=135°，根据角的和差关系，平行线的判定定理确定，根据平行线的性质，矩形的判定定理和性质求出GH的长度，根据三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理求出GA和HB的长度，最后根据线段的和差关系即可求出AB的长度． 【详解】解：如下图所示，标出点C，D，E，F，连接CD，连接AC，BD交于点O，过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H． 根据图形可知直线AC和直线BD是正八边形的对称轴． ∴AC和BD是该正八边形外接圆的直径． ∴AC=BD，点O为该正八边形外接圆的圆心． ∴OA=OB=OC=OD． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠BAD=∠ABC=90°． ∵正八边形的边长为2， ∴AE=EF=FB=2，． ∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°． ∴∠AEF+∠GAE=180°． ∴． ∴∠EGH+∠GEF=180°． ∵EG⊥AB，FH⊥AB， ∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°． ∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，，． ∴四边形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF． ∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF． ∴，． ∴，． ∴． 故选：A． 19．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形． (1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF． (2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论； （2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴EF＝ED＝CD＝BC， ∴， ∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB， ∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF； （2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE， 设⊙O的半径为r， ∵∠DOE60°，OD＝OE＝r， ∴△ODE是等边三角形， ∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°， ∴∠EOG＝30°， ∴EGr， ∴OGr， ∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2， ∵⊙O的面积＝πr2， ∴． 20．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】如图1，正方形的四个顶点都在上，若点E是弧上的一点，F是上的一点，且．①试说明：；②若，求半径． 【解决问题】如图2，若点E在弧上，过点A作，请说明线段之间满足等量关系：． 【答案】【问题发现】①见解析；② 【解决问题】见解析 【分析】【问题发现】①由同弧对的圆周角相等及可证明；②连接，则；由得，，，则可得是等腰直角三角形，从而求得与，由勾股定理即可求得直径，从而求得圆的半径； 【解决问题】在上取，连接，则可证明，得，，则得；由及，从而可得，，则有，最后即可得． 【问题发现】解：①∵， ∴； ∵四边形为正方形， ∴，； ∵ ∴； ②如图，连接， ∵， ∴为的直径， ∴； ∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，； 由勾股定理得， ∴的半径为； 【解决问题】解：如图，在上取，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 圆内接四边形和正多边形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用圆内接四边形的对角互补性质 题型2 正多边形相关计算 题型3 正多边形与圆的综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆内接四边形 对角互补 正多边形 内角公式 中心角公式 正六边形 尺规作图 平面镶嵌 1.掌握圆内接四边形的定义及其外接圆的概念，能准确判断四个顶点是否共圆；熟练掌握“对角互补”的核心性质及“外角等于它的内对角”的推论，并能运用圆周角定理进行角度的转换与逻辑证明。 2.理解并掌握正多边形的定义（各边相等，各内角相等），能熟练运用内角公式和中心角公式进行相关计算；熟知正六边形的边长等于其外接圆半径的特殊性质，并能将其灵活运用。 3.理解正多边形轴对称与中心对称的几何特性，能根据边数n的奇偶性判断其中心对称属性；掌握用量角器等分圆心角以及用尺规作图的两种作图方法，理解并掌握正六边形、正八边形等常见正多边形的尺规作图逻辑。 4.理解平面镶嵌（密铺）的定义及成立条件，即“共顶点的各多边形的内角之和必须等于。 5.掌握任意三角形、任意四边形均能单独进行平面镶嵌的几何原理，体会利用多边形内角和拼接成360 的转化思想，能运用平面镶嵌知识解决实际图形设计与填充问题，培养数形结合与逻辑推理能力。 学习重点：圆内接四边形对角互补性质及应用；正多边形内角、中心角公式及正六边形特性；等分圆周的尺规作图；平面镶嵌的核心条件（共顶点内角和 360°）与单一、组合镶嵌类型。 学习难点：复杂图形中识别构造圆内接四边形进行条件转化；组合镶嵌求解整数方程的分类讨论（防漏解）；尺规作图的原理推导；以及理解任意三角形/四边形均可独立镶嵌的特例（打破只有正多边形能镶嵌的思维定势）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆内接四边形 1.定义与概念 圆内接四边形：如果一个四边形的 ，那么这个四边形叫作圆的内接四边形。 外接圆：这个圆叫作四边形的外接圆。 2.核心性质：对角互补 性质定理：圆内接四边形的对角互补。 符号语言：若四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=，∠B+∠D=。 定理证明（利用圆周角定理）：∠A所对的弧是，∠C所对的弧是。 因为与的度数之和为（构成一个完整的圆）。 所以。 3推论 圆内接四边形的任意一个 等于它的 。即如上图中，若延长BA到E，则∠DAE=∠C。 补充：符号“”表示角与弧的度数相等。 即时即练如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 (1)当遇到圆内接四边形问题时，常通过连接对角线，构造出相等的圆周角（同弧所对的圆周角相等）。 (2)结合“对角互补”与“邻补角”的等量代换，可以完成角度的转换与证明。 知识点02 正多边形 1.正多边形的定义 定义：各 相等、各 也相等的多边形叫作正多边形。 常见类型：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 2.正多边形的内角计算 计算公式：正n边形的每个内角的度数为： ∘​ 3.正多边形的外接圆 性质：任何正多边形都有一个外接圆。经过一个正多边形 的圆叫作这个正多边形的外接圆，这个正多边形也叫作 。 正六边形的特殊性质： 边长等于半径：正六边形相邻两个顶点与圆心构成的△AOB是等边三角形，因此正六边形的边长等于其外接圆的半径。 尺规作图：在圆上任取一点，以该圆半径为半径，依次在圆上截取六次，即可将圆六等分，顺次连接即得正六边形。 正n边形的中心角：正n边形每一条边所对的圆心角（中心角）等于 ​。 4.正多边形的对称性 轴对称性：所有的正多边形都是轴对称图形。正n边形有 条对称轴。 中心对称性： 当n为偶数时（如正四边形、正六边形），正n边形 中心对称图形。 当n为奇数时（如正三角形、正五边形），正n边形 中心对称图形。 即时即练已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【易错提醒】 (1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； (2)各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点03 正多边形的画法 1．用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以 ；根据同圆中相等弧所对的 相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2．用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图。 ①正四、八边形 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……. 即时即练如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径作圆，只用无刻度的直尺完成以下画图． (1)在图①中画的一个内接正四边形，___________； (2)在图②中画的一个内接正六边形，__________． 【易错提醒】 (1)画正n边形的方法：①将一个圆n等份；②顺次连结各等分点。 知识点04 平面镶嵌（拓展延伸） 1.镶嵌条件 用多边形镶嵌平面，必须满足：共顶点的各多边形的内角之和等于。 2.单一正多边形的镶嵌 只有三种正多边形能单独镶嵌平面：正三角形（内角）、正方形（内角）、正六边形（内角）。 原因：这些内角度数均可以整除。 3.组合镶嵌 如果用多种正多边形进行组合，能够镶嵌的组合形式有很多（如利用正方形与正八边形、正三角形与正六边形等组合镶嵌）。 即时即练【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． (1)【探究发现】填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 ________ ________ ________ … ________ (2)若只用一种正多边形镶嵌，则能镶嵌成一个平面图案的正多边形有________．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． (3)【拓展应用】如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，则的值为________． 【易错提醒】 (1)共顶点：必须是指“共顶点的几个多边形的内角之和”等于360°。顶点必须重合在同一点，如果是在边上拼接但顶点不重合，不算平面镶嵌。 (2)任意形状、大小完全相同的三角形都可以单独镶嵌平面（因为内角和是180°，可以拼成360°）；任意形状、大小完全相同的四边形都可以单独镶嵌平面（因为内角和是360°）。 题型1 利用圆内接四边形的对角互补性质 【例1】如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【例2】如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，，则的度数为________． 【易错提醒】 （1）圆内接四边形的核心性质是对角互补，外角等于它的内对角（与外角相邻内角的对角）；对角互补性质仅适用于四个顶点都在圆上的内接四边形。 （2）圆内接四边形中，推出两条弦相等（或对应弧相等），联系“等边对等角”得到等腰三角形，这是角度推导中最常用的中间桥梁，能打通已知角和未知角的联系。 【变式1-1】如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则______． 【变式1-2】在的外接圆中，的外角平分线CD交于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E． （1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由； （2）若四边形ABCD的面积为9，求四边形ABDF的面积． 题型2 正多边形相关计算 【例3】如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【例4】如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【易错提醒】 （1）只有正六边形的边长等于外接圆半径，很多同学会将该结论推广到所有正多边形，在正八边形、正十边形等题型中错误使用，导致边长、角度推导全部出错。 （2）所有正多边形与圆的计算，第一步优先连接圆心与相邻两个顶点，构造以中心角为顶角、半径为腰的等腰三角形。后续所有角度、边长计算都基于这个等腰三角形展开，是通用解题切入点。 【变式2-1】如图，在正边形中，，则的值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．18 【变式2-2】已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，那么以为边的正多边形的边数为___． 题型3 正多边形与圆的综合 【例5】在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 【例6】如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（ ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【易错提醒】 正六边形线段计算的辅助线 ① 先连半径：连接中心与各顶点，快速识别等边三角形和菱形； ② 遇中点构中位线：出现多个中点时，取线段中点构造三角形中位线，直接得到线段比例关系； ③ 等线段共圆：若多条等长线段共端点，可判定端点共圆，利用直径构造直角三角形，用勾股定理求线段长。 【变式3-1】如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，正六边形的中心为，为的中点，为的中点，连接，若正六边形的边长为4，则的长为（ ） A．2 B． C． D．4 A组 基础过关 1．某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 2．如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A～H）且顺次连接点A～H构成正八边形，则该正八边形的中心角为___________度． 3．如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为______ 4．如图，正五边形内接于，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 5．如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 6．如图，在正边形中，，则的值是______． 7．如图，在正n边形中，，则的值是______． 8．下列关于边长为的正六边形的说法中，错误的是（ ） A．该正六边形是中心对称图形 B．该正六边形有6条对称轴 C．该正六边形的中心角为 D．该正六边形的面积为 9．如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 10．如图，是的内接正五边形．求证：. B组 综合提升 11．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则的面积为（ ） A． B． C． D． 12．如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为______． 13．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______ 14．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知． （1）求证：； （2）若是四边形外接圆的直径，求证：． 15．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．         （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在上时，求证：； （3）如图2，已知的半径为，，求的长． C组 挑战突破 16．如图，有一个半径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）． A． B． C． D． 17．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（　　） A．1 B．2 C． D．2 18．如图所示的正八边形的边长为2，则对角线的长为（ ） A． B．4 C． D．6 19．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形． (1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF． (2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）． 20．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】如图1，正方形的四个顶点都在上，若点E是弧上的一点，F是上的一点，且．①试说明：；②若，求半径． 【解决问题】如图2，若点E在弧上，过点A作，请说明线段之间满足等量关系：． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $