第15讲 相似三角形的性质及其应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第15讲 相似三角形的性质及其应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用相似三角形的性质解题 题型2 相似三角形的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形 相似比 对应边成比例 对应角相等 周长比、面积比、对应高、对应中线、对应角平分线 实际应用 1.理解相似三角形的性质，掌握“对应角相等、对应边成比例”的基本结论，能够根据相似关系准确写出对应边的比例式。 2.掌握相似三角形中对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，并能利用这些性质求线段长度。 3.掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，能够区分“边长比、周长比”和“面积比”的不同用法。 4.能够在平行线、位似图形、网格图形等问题中识别相似三角形，并利用相似三角形的性质求线段比、坐标或图形个数。 5.能够将测高、影长、路灯照射、凸透镜成像、平面镜反射等实际问题转化为相似三角形问题，并通过建立比例关系解决实际应用题。 6.能够在三角形内接正方形、矩形等综合问题中，通过作高、设未知数、找平行线构造相似三角形，并利用比例关系建立方程求解。 学习重点：掌握相似三角形的性质及其应用，尤其是对应边、对应角、对应高、对应中线、对应角平分线、周长和面积之间的比例关系。学习时要重点理解相似比的顺序性，能够根据题目中的相似关系准确找出对应线段，并正确列出比例式。同时，要熟练运用“面积比等于相似比的平方”这一性质，避免把面积比直接当作边长比使用。 学习难点：复杂图形和实际应用题中相似三角形的识别与比例关系的建立。实际问题往往需要先把物高、影长、像高、焦距、路灯高度、镜中像等实际量转化为几何线段，再通过平行、垂直、公共角、反射角相等等条件构造相似三角形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的性质 1.相似三角形的性质 （1）相似三角形的基本性质:由定义引申相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 （2）相似三角形对应线段的比 ①对应角平分线的比：两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 ②对应高线的比：两个相似三角形对应高线长之比等于相似比。 ③对应中线的比：两个相似三角形对应中线的比等于相似比。 （3）相似三角形的周长与面积 ①周长比：相似三角形的周长之比等于相似比。 ②面积比：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 2.三角形的重心及其性质 ①重心的定义：三角形的三条中线相交于一点，这一点叫作三角形的重心。 ②重心的重要性质：三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。即重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。 即时即练1两个相似三角形的面积之差为，周长比是2：3，那么较小的三角形面积是______． 【答案】 【分析】根据三角形相似的性质得到面积比，设较小三角形的面积为4S，则较大三角形的面积为9S，列出等量解出S的值即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形的周长比是2：3， ∴两个三角形的面积比等于4：9， 设较小的三角形的面积为4S， 则较大的三角形面积为9S， ∴9S-4S=3， 解得S= ∴较小三角形的面积为4S=． 故答案为： 即时即练2如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）证明： ， ，， ，， ，， ，， ． （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 【易错提醒】 (1)要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 (2)相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 知识点02 相似三角形的实际应用 1.地图比例尺与面积转换 已知地图上的三角形图形与实际地块相似。利用比例尺（相似比）推算实际周长与面积。 2.测量高度 ①镜子反射法：利用光的反射定律，入射角等于反射角，构造相似直角三角形，列比例式求解树高或物高。 ②影子测量法：同一时刻的太阳光看作平行光，物高与影长成正比例，直接通过相似三角形计算高度。 3.几何图形分割与裁剪 ①平行线分割面积：过顶点作平行线分割三角形，结合面积比反推边长比。 ②内接特殊图形：三角形余料加工成正方形等，利用高线的比例关系，构造方程求解边长。 即时即练在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 【答案】米 【分析】根据题意可证，结合三角形相似的性质计算长度即可． 【详解】解：∵点 是线段的十等分点，且， ∴ （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得， （米）． 【易错提醒】 实际应用题要先把“物高、像高、影长、焦距、路灯高度”等实际量转化为几何线段，再找平行、垂直、公共角等条件判定相似 题型1 利用相似三角形的性质解题 【例1】如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（ ） A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6 【答案】B 【分析】先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴ADE∽ABC， ∴， 又∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴ODE∽OCB， ∴． 故选：B． 【例2】如图，中，，面积，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定相似三角形，结合已知面积关系推导相似三角形的面积比，再根据相似三角形面积比与相似比的平方关系求解线段比．首先根据已知的面积等式，推导出与的面积之比；由可判定，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，计算得出的比值． 【详解】解：设()， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【易错提醒】 涉及面积关系时，要先把小三角形面积、梯形面积、整个大三角形面积之间的关系理清，再用“相似三角形面积比等于相似比的平方”求边长比，不能把面积比直接当成边长比。 【变式1-1】如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 【变式1-2】如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 题型2 相似三角形的实际应用 【例3】凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴物体缩小为原来的． 【例4】如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 【易错提醒】 （1）凸透镜成像、影子变化、路灯照射等问题中，常通过直角和一组锐角相等判定直角三角形相似，列比例时要分清“原物高度”和“成像高度”或“影长”的对应关系。 （2）正方形内接三角形这类问题常需要设未知数并作高，利用平行线得到小三角形与大三角形相似；易错点是正方形边长既是水平线段，也是高度的一部分，因此常出现“总高减去正方形边长”的关系。 【变式2-1】如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可． 【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图， ∵△ABC的面积是6， ∴BC•AH=6， ∴AH==3， 设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴，即，解得x=， 即正方形DEFG的边长为， 故答案为． 【变式2-2】如图，路灯到地面的距离是，身高的小明从点处沿所在的直线行走到达点时，小明的影子的长度（ ） A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，可证明得到，，则，，根据得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴小明的影子的长度变短， 故选：D． A组 基础过关 1．两个相似三角形的面积比为，则它们对应角平分线的比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”和“相似三角形对应角平分线的比等于相似比”进行求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为，且相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个三角形的相似比为， ∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴它们对应角平分线的比为． 2．如果，的三边长分别为、、，的最小边的长为，那么的周长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意容易判断，两个三角形的相似比为，再利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 与的相似比为 ， 又∵ 的周长为 ， ∴的周长为． 3．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 4．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ） ①  ②  ③  ④ A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    5．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（ ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 6．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接AE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE ∴当DE最短时， 即当 时，DE有最小值 ∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴DE的最小值是2 故答案为：B． 7．如图，与相交于点，，，则______________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 8．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 9．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为__________． 【答案】/5厘米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质在凸透镜成像中的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质，由物距与像距的比例关系，得到物高与像高的比例关系，进而求出像的长度． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 【答案】3 【分析】本题考查了平面镜反射和相似三角形的应用，根据题意得出是解题关键．由已知得，则根据相似三角形的性质可得，解答即可． 【详解】解：由题意知：， ∵于点B，于点D， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：3． B组 综合提升 11．如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，同理可证，解答即可． 【详解】解：点 、 分别是、  的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 由， ∴． 12．如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（ ） A．9 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】证明，然后根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长的周长． ∵的周长为6， ∴的周长为∶． 13．如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 14．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 15．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 16．如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为或1或6． 故选：C． 17．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（ ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 【答案】(1)和相似，见解析 (2)见详解 【分析】（1）结合图形及勾股定理确定，的长度，进而可得，即可得解； （2）取格点，连接，易得，结合即可证明． 【详解】（1）解：和相似，理由如下： 根据图形可知，， ， ∴， ∴； （2）如下图，点即为所求： 理由如下：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 19．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）根据已知条件证得，即可得出结论； （2）首先，根据，得到，接着，由（1）得，，，得到，进而得，再由及已知数据即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为9． 20．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，过点E作与交于点G，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）根据正方形的性质，得到，再利用余角的性质，得到，即可证明结论； （2）根据正方形的性质，得到，，，再根据，得出，从而得到，然后证明，得出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：正方形的边长为4，点E为的中点， ，，， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， ． C组 挑战突破 21．如图，点，，，在射线上，点，， 在射线上，且 ，．若，的面积分别为，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，的面积分别为2，8，且易得两三角形相似，因此可得出，由平行得与是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据的面积为8，可求出的面积为4，同理可求出和的面积．即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ∽ 又∵，的面积分别为， 同理可得： ∴与是等高不等底的三角形 ， 又∵的面积是， 的面积为 同理可得：的面积 的面积 三个阴影面积之和 故选：． 22．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上，AH⊥BC，垂足为H，AH交DG于点P，已知BC＝6，AH＝4．当矩形DEFG面积最大时，HP的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先设，将AP用含x的代数式表示出来，运用矩形的性质、相似三角形的判定与性质表示出DG，根据矩形DEFG的面积S＝DG×DE，得到二次函数，用配方法求出函数的最大值． 【详解】解：设HP＝x，则DE＝GF＝x， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG＝EF，DE＝GF＝HP＝x，DG∥EF， ∵AH⊥BC， ∴AH⊥DG， ∵DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴， ∴， 解得：DG＝， ∴矩形DEFG的面积S＝DG×DE＝x＝-（x-2）2+6， ∵-＜0， ∴S有最大值，当x＝2时，S的最大值是6， 即当HP＝2时，矩形DEFG的面积最大， 故选：B． 23．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是边AD中点， 点F在边CD上，且FE⊥BE，设BD与EF交于点G，则△DEG的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题解析：过点G作GM⊥AD于M,如图, ∵FE⊥BE， 而 ∴∠ABE=∠DEF， 而∠A=∠EDF， ∴△ABE∽△DEF， ∴AB:DE=AE:DF，即2:1=1:DF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴△DGM为等腰直角三角形， ∴DM=MG， 设DM=x，则MG=x，EM=1−x， ∵MGDF， ∴△EMG∽△EDF， ∴MG:DF=EM:ED,即解得 故选B. 24．如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（ ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】C 【分析】连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴ ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，故选项C符合题意； 无法得出的面积、的面积、的面积与的面积相等，故A、B、D不符合题意． 25．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 【答案】D 【分析】设AG交CE于点H，通过得出，即可得出EH的长，将阴影部分的面积分为和的和，分别求出两个菱形的高即可． 【详解】如图，设AG交CE于点H， ∵菱形ABCD的边AB∥CD， ∴， ∴CH：AB＝GC：GB， 即， 解得， 所以，EH＝CE﹣CH＝ ∵∠B＝120°， ∴∠BCD＝∠FEC＝180°﹣120°＝60°， ∴点B到CD的距离为， 点F到CE的距离为， ∴阴影部分的面积＝S△AEH+S△GEH ＝ 故选：D． 26．将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（ ） A． B． C．或5 D．或5 【答案】C 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点， ∴， 设， ∵， ∴， 当， ∴， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， ∴， 解得， ∴； ∴的长是或5． 27．如图，若△ABC 内一点 P 满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则称点 P 为△ABC 的布洛卡点．问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，∠EDF＝90°，若点 Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ＝1，则 EQ+FQ＝（ ） A．5 B．4 C．3+ D．2+ 【答案】D 【分析】根据新定义得∠2=∠3,△DQF∽△FQE,运用对应边成比例即可解题. 【详解】解：如下图,在等腰直角三角形DEF中, ∠EDF＝90°，DE=DF,∠1=∠2=∠3, ∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°, ∴∠QEF=∠DFQ, ∵∠2=∠3 ∴△DQF∽△FQE, ∴===, ∵DQ＝1， ∴FQ=,EQ=2, ∴EQ+FQ＝ 2+ 故选D. 28．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【答案】B 【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）． 故选：B． 29．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以D，， 为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】根据题意得，，. 连接，，，. 故，∴. 同理可找到，和相似.故选B. 30．小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 【答案】(1)小军到平面镜的距离为2米 (2)米 (3)的长不会改变．理由如下： 无论的长如何变化都有， 只要小军的立足点不变，与的高之比就不变，即始终成立， 为定值，都等于0.72米． 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米． （2）解：由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高， ， ， ， 即， 米． （3）略 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 相似三角形的性质及其应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用相似三角形的性质解题 题型2 相似三角形的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形 相似比 对应边成比例 对应角相等 周长比、面积比、对应高、对应中线、对应角平分线 实际应用 1.理解相似三角形的性质，掌握“对应角相等、对应边成比例”的基本结论，能够根据相似关系准确写出对应边的比例式。 2.掌握相似三角形中对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，并能利用这些性质求线段长度。 3.掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，能够区分“边长比、周长比”和“面积比”的不同用法。 4.能够在平行线、位似图形、网格图形等问题中识别相似三角形，并利用相似三角形的性质求线段比、坐标或图形个数。 5.能够将测高、影长、路灯照射、凸透镜成像、平面镜反射等实际问题转化为相似三角形问题，并通过建立比例关系解决实际应用题。 6.能够在三角形内接正方形、矩形等综合问题中，通过作高、设未知数、找平行线构造相似三角形，并利用比例关系建立方程求解。 学习重点：掌握相似三角形的性质及其应用，尤其是对应边、对应角、对应高、对应中线、对应角平分线、周长和面积之间的比例关系。学习时要重点理解相似比的顺序性，能够根据题目中的相似关系准确找出对应线段，并正确列出比例式。同时，要熟练运用“面积比等于相似比的平方”这一性质，避免把面积比直接当作边长比使用。 学习难点：复杂图形和实际应用题中相似三角形的识别与比例关系的建立。实际问题往往需要先把物高、影长、像高、焦距、路灯高度、镜中像等实际量转化为几何线段，再通过平行、垂直、公共角、反射角相等等条件构造相似三角形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的性质 1.相似三角形的性质 （1）相似三角形的基本性质:由定义引申相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 （2）相似三角形对应线段的比 ①对应角平分线的比：两个相似三角形对应 等于 。 ②对应高线的比：两个相似三角形对应 等于 。 ③对应中线的比：两个相似三角形对应 等于 。 （3）相似三角形的周长与面积 ①周长比：相似三角形的 等于 。 ②面积比：相似三角形的 等于 。 2.三角形的重心及其性质 ①重心的定义：三角形的三条 相交于一点，这一点叫作三角形的 。 ②重心的重要性质：三角形的重心分每一条中线成 的两条线段。即重心到顶点的距离是到对边中点距离的 。 即时即练1两个相似三角形的面积之差为，周长比是2：3，那么较小的三角形面积是______． 即时即练2如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【易错提醒】 (1)要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 (2)相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 知识点02 相似三角形的实际应用 1.地图比例尺与面积转换 已知地图上的三角形图形与实际地块相似。利用比例尺（ ）推算实际周长与面积。 2.测量高度 ①镜子反射法：利用光的反射定律，入射角等于反射角，构造相似直角三角形，列比例式求解树高或物高。 ②影子测量法：同一时刻的太阳光看作平行光，物高与影长成正比例，直接通过相似三角形计算高度。 3.几何图形分割与裁剪 ①平行线分割面积：过顶点作平行线分割三角形，结合面积比反推边长比。 ②内接特殊图形：三角形余料加工成正方形等，利用高线的比例关系，构造方程求解边长。 即时即练在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 【易错提醒】 实际应用题要先把“物高、像高、影长、焦距、路灯高度”等实际量转化为几何线段，再找平行、垂直、公共角等条件判定相似 题型1 利用相似三角形的性质解题 【例1】如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（ ） A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6 【例2】如图，中，，面积，则（  ） A． B． C． D． 【易错提醒】 涉及面积关系时，要先把小三角形面积、梯形面积、整个大三角形面积之间的关系理清，再用“相似三角形面积比等于相似比的平方”求边长比，不能把面积比直接当成边长比。 【变式1-1】如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 相似三角形的实际应用 【例3】凸透镜成像的原理如图所示，O为凸透镜的中心，， ，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的(　　) A． B． C． D． 【例4】如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【易错提醒】 （1）凸透镜成像、影子变化、路灯照射等问题中，常通过直角和一组锐角相等判定直角三角形相似，列比例时要分清“原物高度”和“成像高度”或“影长”的对应关系。 （2）正方形内接三角形这类问题常需要设未知数并作高，利用平行线得到小三角形与大三角形相似；易错点是正方形边长既是水平线段，也是高度的一部分，因此常出现“总高减去正方形边长”的关系。 【变式2-1】如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____． 【变式2-2】如图，路灯到地面的距离是，身高的小明从点处沿所在的直线行走到达点时，小明的影子的长度（ ） A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 A组 基础过关 1．两个相似三角形的面积比为，则它们对应角平分线的比为（ ） A． B． C． D． 2．如果，的三边长分别为、、，的最小边的长为，那么的周长是（ ）． A． B． C． D． 3．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ） A． B． C． D． 4．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ） ①  ②  ③  ④ A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 5．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（ ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 6．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 7．如图，与相交于点，，，则______________． 8．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 9．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为__________． 10．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． B组 综合提升 11．如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（ ） A． B． C． D． 12．如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（ ） A．9 B．5 C．4 D．2 13．如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（ ） A．2 B． C． D． 14．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 15．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 16．如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（ ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 19．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 20．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，过点E作与交于点G，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)求的面积． C组 挑战突破 21．如图，点，，，在射线上，点，， 在射线上，且 ，．若，的面积分别为，8，则图中三个阴影三角形面积之和为（ ） A． B． C． D． 22．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上，AH⊥BC，垂足为H，AH交DG于点P，已知BC＝6，AH＝4．当矩形DEFG面积最大时，HP的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是边AD中点， 点F在边CD上，且FE⊥BE，设BD与EF交于点G，则△DEG的面积是（　　） A． B． C． D． 24．如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（ ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 25．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 26．将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（ ） A． B． C．或5 D．或5 27．如图，若△ABC 内一点 P 满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则称点 P 为△ABC 的布洛卡点．问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，∠EDF＝90°，若点 Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ＝1，则 EQ+FQ＝（ ） A．5 B．4 C．3+ D．2+ 28．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 29．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 30．小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $