第01讲 集合（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素与集合关系、集合间基本关系、交并补运算等内容，按“概念-关系-运算”逻辑架构梳理知识，通过考情分析、知识归纳、重难突破、分层集训四环节，帮助学生系统构建知识网络，突破高频考点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如用数轴分析集合关系培养几何直观，通过新定义问题训练创新意识。设置基础演练、能力进阶、真题实战分层练习，配合方法技巧总结，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第01讲 集合 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 元素与集合 知识点2 集合的基本关系 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 元素与集合的关系 方法技巧 利用元素的特性解决集合问题 考点02 集合与集合间的关系 方法技巧 利用集合间的关系求参数 考点03 有限集合的子集问题 考点04 集合的交并补运算 考点05 韦恩图在集合中的应用 考点06 利用集合的交并补运算结果求参数 方法技巧 利用集合间的关系求参数 考点07 集合的新定义问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。 2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 3．在具体情境中，了解全集与空集的含义。 4．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 5．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。 7．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 集合的含义与表示 全国甲卷（文）T2 全国甲卷（理）T1 集合的运算 全国一卷T2 全国二卷T3 全国Ⅰ卷T1 全国甲卷（文）T2 全国甲卷（理）T1 考情解读 集合是高考数学必考基础考点，常以一元一次、一元二次不等式为载体，结合有限集、无限集考查集合的交、并、补基本运算，也会涉及集合符号、元素性质、包含关系等辨识。试题多以选择题形式出现在第1题，难度较低，侧重基础运算与概念理解。 备考策略 集合备考需先理解并熟练掌握集合的表示方法，能准确判断元素与集合、集合与集合的关系，熟练进行交、并、补运算。重点强化一元一次、一元二次不等式解法，会用数轴、韦恩图辅助解题。同时掌握简单高次不等式与单绝对值不等式的求解技巧，注意端点取舍与空集情况。 知识・归纳梳理 知识点1 元素与集合 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 知识点2 集合的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. ✅ 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 必记结论 集合的运算性质： ① ； ②； ③； ④ ； ⑤. 重难・核心突破 考点01 元素与集合的关系 典例1．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 典例2．已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【详解】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述：或1.故选：B. 方法技巧 利用元素的特性解决集合问题 （1） 解决集合问题的核心是明确集合中的元素，解题时首先要确定集合内的研究对象是什么。 （2） 集合中的元素满足三大特性：确定性、互异性、无序性，即元素确定、互不相同，且书写时不计顺序。 （3）利用集合元素特性求解参数时，先依据确定性列出所有可能取值，再用互异性检验排除矛盾结果，解题过程中要灵活运用分类讨论思想，确保结果完整、严谨。 【考法预测1】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 【考法预测2】已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 【考法预测3】集合，则中元素的个数为（     ） A．136 B．133 C．134 D．135 【答案】C 【详解】由集合， 因为，， 设集合中的元素为， 令且，解得且，共有正整数， 所以中的元素个数为个. 故选：C. 考点02 集合与集合间的关系 典例1．已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. ，则. 典例2．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 方法技巧 利用集合间的关系求参数 （1）若集合为连续型数集，通常利用数轴分析集合间的关系并建立不等式求解，解题时需特别注意区间端点对应数轴上为实点（含等号）或虚点（不含等号）。 （2）若集合为离散型数集，一般依据集合包含关系的定义，通过建立方程求解，解题过程中要合理运用分类讨论思想，避免遗漏情况。 【考法预测1】已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 【考法预测2】已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 【考法预测3】已知a，，若，则______. 【答案】 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. 考点03 有限集合的子集问题 典例1．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 【答案】D 【详解】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 典例2．集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】由题可得，因为，所以为4的倍数且满足，故，此时对应的，满足题意，故，非空子集为，共7个. 故选：B 【考法预测1】集合的非空子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，解得，所以， 所以集合A的非空子集的个数为. 故选：A 【考法预测2】已知集合，则所有非空子集中元素和的总和为_________________.（用数字作答） 【答案】 【详解】集合的子集共有个，那么集合非空子集的个数有个， 对于集合中任意一个元素，它在子集中出现的情况分为两种：包含该元素和不包含该元素， 除了该元素本身，其余9个元素构成的子集个数为个， 集合中每个元素在所有非空子集中出现的次数都是次， 集合所有元素的和, 所有非空子集中元素和的总和为. 故答案为：. 【考法预测3】方程的解集有且仅有两个子集，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【详解】因为方程的解集有且仅有两个子集， 所以方程有两个相等实数解， 所以，即， 解得，即，所以实数的取值集合为. 故答案为： 考点04 集合的交并补运算 典例1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ， 则. 典例2.（江西南昌市八一中学等校2026届高三临门一练数学试题）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 则，值域. ，所以A错误，B正确； 集合之间不用连接，所以CD错误. 【考法预测1】已知集合，，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，集合，故. 【考法预测2】已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以， 则或， 又因为，所以. 【考法预测3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以； 由，得，所以，所以或， 所以. 考点05 韦恩图在集合中的应用 典例1．如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 典例2．已知全集均为的子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据图，阴影部分为，显然集合与无公共部分， 所以． 【考法预测1】若全集，是的定义域，则下列韦恩图表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知, 由是的定义域可得， 因此交集为空集，只有D符合题意. 【考法预测2】已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：. 【考法预测3】（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 考点06 利用集合的交并补运算结果求参数 典例1．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 典例2．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 方法技巧 利用集合运算结果求参数/集合 （1）先把集合的运算关系转化为集合之间的基本关系。若集合中的元素可以一一列举，可通过观察法判断不同集合元素间的关系；若集合与不等式相关，则借助数轴直观分析不同集合之间的包含、相等或交集、并集关系。 （2）再把集合之间的关系，进一步转化为对应方程（组）或不等式（组）是否有解、解集如何的问题，通过解方程或解不等式完成最终判断。 【考法预测1】已知全集，则__________. 【答案】 【详解】 ，所以. 故答案为： 【考法预测2】已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 【考法预测3】设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 考点07 集合的新定义问题 典例1．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【详解】由题意得：，所以. 典例2．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 【考法预测1】已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 【考法预测2】对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 【考法预测3】设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，又，所以， 又，所以. 2．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 【答案】A 【详解】由，得，即， 解得，所以， 所以集合的子集个数是. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 则集合必包含元素，可能包含元素，所以，，故A正确，BD错误， 因为，且，所以，故C错误. 4．已知集合，集合，求的子集个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，解得或， 因为，解得，所以， 所以，有2个子集. 5．（2026·河南许昌·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 选项A：空集是集合，不是元素，不能用符号连接，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 6．（2026·福建三明·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以，又， 由，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 7．设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 8．已知集合,若,则的取值是___. 【答案】2或3 【详解】因为，且，所以. 由集合中元素的互异性可知，所以或. 9．集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为，所以集合， 又因为集合，，且， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合为集合的非空子集，且，若，则______． 【答案】 【详解】由，则，又，所以. 故答案为：. 11．（2025·26高三上·四川内江·期中）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）解不等式得或， 所以或， 或， 所以或. （2）由得， 当，即时，，符合题意； 当，即时， 则，解得， 综上所述，， 所以实数的取值范围为. 12．（2025·26高一下·四川内江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 由，即，显然， 解得， 又， 当时， 所以； （2），，， ，解得，则，满足， 所以； （3）因为， 所以或，又，， 所以或，解得或． 所以的取值范围是或． 能力进阶 1．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 2．（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，所以，故A正确； 对于任意，则，又，所以，所以，故B正确； 若，则，又，则，则， 与矛盾，所以，同理，，故，故C正确； 若时，可得不成立，故D错误. 3．（2025·26高三下·山东日照·阶段检测）（新考法）已知集合，表示不超过的最大整数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 4．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 5．（2025·26高三下·湖北襄阳·月考）（多选）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 【答案】AB 【详解】对于A，因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故A正确； 对于B，因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，故， 所以，故B正确； 对于C，令，显然不是的子集，此时， 故C错误； 对于D，令，显然，但，所以的充要条件不是，故D错误； 6．（2026·四川成都·模拟预测）（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 【答案】AB 【详解】对于A，当时，则，， 由，解得，因此，A正确； 对于B，直线过定点， 表示直线上所有的点，因此，B正确； 对于C，，若，则；若，则直线 与直线平行，且，于是，解得， 因此当或时，，C错误； 对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误. 7．（2026·河南许昌·三模）（新角度）已知，，，，若且，则____________． 【答案】或 【详解】由题意知. 满足,因为. 则必有. 若,联立，两式相加得， 代入得，解得. 若,联立，两式相加得， 代入得,解得. 8．（2026·上海普陀·二模）（新考法）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 9．（2025·26高三上·上海普陀·期末）（新角度）设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【详解】由可知所有非空子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素1，则所有非空子集均不含元素1，即是集合非空子集， 集合的非空子集个数为，且这些子集的并集必不含1，满足条件. 假设，要满足所有非空子集的并集不等于集合，必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是1，那么个非空子集都不含元素1， 即每个子集都是集合的非空子集， 而集合只有个不同的非空子集， 所以无法从中取出至少16个不同的非空子集， 因此假设不成立，必须小于16，所以的最大值为15， 故选：A. 真题实战 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故选：D. 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 7．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 8．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 故选：D. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其运算 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 元素与集合 知识点2 集合的基本关系 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 元素与集合的关系 方法技巧 利用元素的特性解决集合问题 考点02 集合与集合间的关系 方法技巧 利用集合间的关系求参数 考点03 有限集合的子集问题 考点04 集合的交并补运算 考点05 韦恩图在集合中的应用 考点06 利用集合的交并补运算结果求参数 方法技巧 利用集合间的关系求参数 考点07 集合的新定义问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。 2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 3．在具体情境中，了解全集与空集的含义。 4．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 5．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。 7．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 集合的含义与表示 全国甲卷（文）T2 全国甲卷（理）T1 集合的运算 全国一卷T2 全国二卷T3 全国Ⅰ卷T1 全国甲卷（文）T2 全国甲卷（理）T1 考情解读 集合是高考数学必考基础考点，常以一元一次、一元二次不等式为载体，结合有限集、无限集考查集合的交、并、补基本运算，也会涉及集合符号、元素性质、包含关系等辨识。试题多以选择题形式出现在第1题，难度较低，侧重基础运算与概念理解。 备考策略 集合备考需先理解并熟练掌握集合的表示方法，能准确判断元素与集合、集合与集合的关系，熟练进行交、并、补运算。重点强化一元一次、一元二次不等式解法，会用数轴、韦恩图辅助解题。同时掌握简单高次不等式与单绝对值不等式的求解技巧，注意端点取舍与空集情况。 知识・归纳梳理 知识点1 元素与集合 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 知识点2 集合的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. ✅ 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 必记结论 集合的运算性质： ① ； ②； ③； ④ ； ⑤. 重难・核心突破 考点01 元素与集合的关系 典例1．已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 典例2．已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 方法技巧 利用元素的特性解决集合问题 （1） 解决集合问题的核心是明确集合中的元素，解题时首先要确定集合内的研究对象是什么。 （2） 集合中的元素满足三大特性：确定性、互异性、无序性，即元素确定、互不相同，且书写时不计顺序。 （3）利用集合元素特性求解参数时，先依据确定性列出所有可能取值，再用互异性检验排除矛盾结果，解题过程中要灵活运用分类讨论思想，确保结果完整、严谨。 【考法预测1】已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考法预测2】已知集合，且，则___________． 【考法预测3】集合，则中元素的个数为（     ） A．136 B．133 C．134 D．135 考点02 集合与集合间的关系 典例1．已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 典例2．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 方法技巧 利用集合间的关系求参数 （1）若集合为连续型数集，通常利用数轴分析集合间的关系并建立不等式求解，解题时需特别注意区间端点对应数轴上为实点（含等号）或虚点（不含等号）。 （2）若集合为离散型数集，一般依据集合包含关系的定义，通过建立方程求解，解题过程中要合理运用分类讨论思想，避免遗漏情况。 【考法预测1】已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知a，，若，则______. 考点03 有限集合的子集问题 典例1．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 典例2．集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【考法预测1】集合的非空子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考法预测2】已知集合，则所有非空子集中元素和的总和为_________________.（用数字作答） 【考法预测3】方程的解集有且仅有两个子集，则实数的取值集合为__________. 考点04 集合的交并补运算 典例1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 典例2.（江西南昌市八一中学等校2026届高三临门一练数学试题）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【考法预测1】已知集合，，则＝（　　） A． B． C． D． 【考法预测2】已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 考点05 韦恩图在集合中的应用 典例1．如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 典例2．已知全集均为的子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】若全集，是的定义域，则下列韦恩图表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点06 利用集合的交并补运算结果求参数 典例1．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 典例2．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 方法技巧 利用集合运算结果求参数/集合 （1）先把集合的运算关系转化为集合之间的基本关系。若集合中的元素可以一一列举，可通过观察法判断不同集合元素间的关系；若集合与不等式相关，则借助数轴直观分析不同集合之间的包含、相等或交集、并集关系。 （2）再把集合之间的关系，进一步转化为对应方程（组）或不等式（组）是否有解、解集如何的问题，通过解方程或解不等式完成最终判断。 【考法预测1】已知全集，则__________. 【考法预测2】已知集合，，若，则的取值范围为______ 【考法预测3】设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 考点07 集合的新定义问题 典例1．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 典例2．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【考法预测1】已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【考法预测2】对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【考法预测3】设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，求的子集个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·河南许昌·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建三明·二模）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．设集合，，若，则的值为________． 8．已知集合,若,则的取值是___. 9．集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合为集合的非空子集，且，若，则______． 11．（2025·26高三上·四川内江·期中）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 12．（2025·26高一下·四川内江·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 能力进阶 1．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 2．（2026·广东梅州·一模）已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·26高三下·山东日照·阶段检测）（新考法）已知集合，表示不超过的最大整数，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·26高三下·湖北襄阳·月考）（多选）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 6．（2026·四川成都·模拟预测）（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 7．（2026·河南许昌·三模）（新角度）已知，，，，若且，则____________． 8．（2026·上海普陀·二模）（新考法）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 9．（2025·26高三上·上海普陀·期末）（新角度）设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 真题实战 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 7．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $