第08讲 有理数的乘法（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第08讲 有理数的乘法 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、有理数乘法的基本运算 · 题型2、多个有理数相乘的符号法则 · 题型3、乘法运算律的简便运算 · 题型4、倒数 · 题型5、乘法综合应用 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则； 2、熟练掌握多个有理数相乘的符号判断方法； 3、掌握乘法交换律、结合律和分配律，能进行简便运算； 4、理解倒数的概念，会求一个有理数的倒数。 【生活情境引入】 如果每天节约用水 2 升，记作 -2 升。那么 3 天后，一共节约了多少水？列式为 (-2)×3。根据生活常识，3 天应该节约了 6 升水，所以 (-2)×3=-6。如果是 3 天前（记作 -3 天），每天浪费 2 升（记作 -2 升），那么 3 天前比现在多浪费了多少水？(-2)×(-3)=+6。负负得正，在数学中是有实际意义的！ 【思考互动】 【思考 1】 (-2)×3×(-4)×5 的结果是正数还是负数？ 提示：有 2 个负因数，偶数个负号，结果为正。 【思考 2】 0 乘以任何有理数等于多少？ 提示：等于 0。 【课外阅读：负数的历史】 为什么“负负得正”？数学家们曾为此争论了很久。后来人们发现，为了让乘法分配律在有理数范围内依然成立，就必须规定“负负得正”。例如：(-1)×[1+(-1)]=(-1)×0=0。而根据分配律，它又等于 (-1)×1+(-1)×(-1)=-1+(-1)×(-1)。要使两者相等，(-1)×(-1) 就必须等于 1。 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同 0 相乘，都得 0。 2. 多个有理数相乘的符号法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 只要有一个因数为 0，积就为 0。 3. 乘法运算律 乘法交换律： - 乘法结合律： 乘法分配律： 题型1、有理数乘法的基本运算 【解题技巧】- 先定符号，再算绝对值； - 带分数参与运算时，先化为假分数。 【例题 1】（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2、多个有理数相乘的符号法则 【解题技巧】 先数负因数的个数，奇负偶正； - 检查是否有因数 0，有 0 则积为 0。 【例题3】（2025天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 题型3、乘法运算律的简便运算 【解题技巧】 分配律逆用：，常用于提取公因数； 凑整：将相乘能得到整数（如 10, 100, -1 等）的数优先结合。 【例题4】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【例题4】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 【答案】 题型4、倒数与乘法综合应用 【解题技巧】 乘积为 1 的两个数互为倒数； 0 没有倒数； 求带分数或小数的倒数，先化为假分数或分数。 【例题5】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型5、有理数乘法的基本运算 【解题技巧】- 先定符号，再算绝对值； - 带分数参与运算时，先化为假分数。 【例题6】计算： (1) (2) 题型6、乘法综合应用 【例题7】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连市内一趟观光环线公交，从老虎滩站出发，规定向东为正，向西为负，乘车站数记录如下： ，，，，，，，． (1)计算说明最终车辆停在哪一站； (2)相邻两站平均距离，求公交车全程行驶的总路程． 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 2．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南驻马店·三模）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南信阳·模拟预测）若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 6．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是 （ ） A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D． 7．（21-22七年级上·河南焦作·期中）一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 8．（25-26七年级·全国·暑假作业）如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间，该两点为（     ） A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H 9．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）规定，求的值为( ) 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 13．（25-26六年级上·上海静安·期末）绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 14．（25-26六年级下·上海金山·期中）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 15．（2026·河南平顶山·三模）小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 16．如图，是权威机构给出的排碳计算公式．小明家某月家居用电，开车耗油，则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为________． 碳排放计算公式 家居用电的二氧化碳排放量（） =耗电量（）×0.785 开私家车的二氧化碳排放量（） =耗油量（L）×2.7 17．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． 18．计算： (1)； (2)． 19．（2026·河北·二模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 20．（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 21.计算：． 22．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4) 23．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 24．（2026·河北邯郸·一模）小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 25．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 26．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数中不存在的是（     ） A．绝对值最小的数 B．倒数等于本身的数 C．相反数等于本身的数 D．最小的有理数 27．（21-22七年级上·贵州安顺·期末）下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 28．（2023七年级下·浙江·竞赛）若规定，则________． 29．（25-26七年级上·河南开封·期中）有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 30．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）腾讯公司将等级用四个图标展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级图标为2个皇冠，则其等级为__________级． 31．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）有一列数：，，，，，，，，，，这列数的前4755个数的积是_______． 32．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 33．（2026·北京海淀·二模）某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 34．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图1，点A，B，C从左到右依次在数轴上，点B表示，且点B到点C的距离是点B到点A的距离的10倍．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图2所示．以为1个单位长度，测得A，B之间的距离为． (1)点A表示的数为________；点C表示的数为________； (2)求点A，B，C所表示的数的乘积； (3)若点D在数轴上，且点A到点C的距离是点A到点D的距离的5倍，求点D表示的数； (4)如图3，软件视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点B始终在视窗中心．如将数轴的单位长度变为，即变为原来的时，其可视范围就扩大为原来的2倍．已知软件视窗的横向距离为，当数轴的单位长度变为原来的时，点C能出现在屏幕中，直接写出k的最小整数值． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 有理数的乘法 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、有理数乘法的基本运算 · 题型2、多个有理数相乘的符号法则 · 题型3、乘法运算律的简便运算 · 题型4、倒数 · 题型5、乘法综合应用 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则； 2、熟练掌握多个有理数相乘的符号判断方法； 3、掌握乘法交换律、结合律和分配律，能进行简便运算； 4、理解倒数的概念，会求一个有理数的倒数。 【生活情境引入】 如果每天节约用水 2 升，记作 -2 升。那么 3 天后，一共节约了多少水？列式为 (-2)×3。根据生活常识，3 天应该节约了 6 升水，所以 (-2)×3=-6。如果是 3 天前（记作 -3 天），每天浪费 2 升（记作 -2 升），那么 3 天前比现在多浪费了多少水？(-2)×(-3)=+6。负负得正，在数学中是有实际意义的！ 【思考互动】 【思考 1】 (-2)×3×(-4)×5 的结果是正数还是负数？ 提示：有 2 个负因数，偶数个负号，结果为正。 【思考 2】 0 乘以任何有理数等于多少？ 提示：等于 0。 【课外阅读：负数的历史】 为什么“负负得正”？数学家们曾为此争论了很久。后来人们发现，为了让乘法分配律在有理数范围内依然成立，就必须规定“负负得正”。例如：(-1)×[1+(-1)]=(-1)×0=0。而根据分配律，它又等于 (-1)×1+(-1)×(-1)=-1+(-1)×(-1)。要使两者相等，(-1)×(-1) 就必须等于 1。 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同 0 相乘，都得 0。 2. 多个有理数相乘的符号法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 只要有一个因数为 0，积就为 0。 3. 乘法运算律 乘法交换律： - 乘法结合律： 乘法分配律： 题型1、有理数乘法的基本运算 【解题技巧】- 先定符号，再算绝对值； - 带分数参与运算时，先化为假分数。 【例题 1】（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 【例题2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型2、多个有理数相乘的符号法则 【解题技巧】 先数负因数的个数，奇负偶正； - 检查是否有因数 0，有 0 则积为 0。 【例题3】（2025天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 题型3、乘法运算律的简便运算 【解题技巧】 分配律逆用：，常用于提取公因数； 凑整：将相乘能得到整数（如 10, 100, -1 等）的数优先结合。 【例题4】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 【例题4】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数乘法分配律进行计算即可，注意不要漏乘，不要弄错符号． 【详解】解：原式 ． 题型4、倒数与乘法综合应用 【解题技巧】 乘积为 1 的两个数互为倒数； 0 没有倒数； 求带分数或小数的倒数，先化为假分数或分数。 【例题5】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 题型5、有理数乘法的基本运算 【解题技巧】- 先定符号，再算绝对值； - 带分数参与运算时，先化为假分数。 【例题6】计算： (1) (2) 【答案】(1)26 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型6、乘法综合应用 【例题7】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连市内一趟观光环线公交，从老虎滩站出发，规定向东为正，向西为负，乘车站数记录如下： ，，，，，，，． (1)计算说明最终车辆停在哪一站； (2)相邻两站平均距离，求公交车全程行驶的总路程． 【答案】(1)最终停在老虎滩站 (2)公交车全程行驶的总路程为 【分析】（1）将题干中的数据相加后判断即可； （2）将题干中的数据的绝对值相加，然后乘以即可． 【详解】（1）解：， 答：最终停在老虎滩站； （2）解：行驶的总站数为 ∴总路程为． 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）计算：（    ） A．4 B． C．21 D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法中的负号问题． 负数个数为奇数时，结果为负；偶数时为正，所有因数均非零，故结果不为零． 【详解】解：∵负数有：、、，共3个（奇数）， ∴结果为负数． 故选：B． 3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 4．（2026·河南驻马店·三模）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，， 当时，， ， 是正数． 5．（2026·河南信阳·模拟预测）若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘积为正判断两个因数同号，再结合选项特征筛选，最后计算验证即可得到答案. 【详解】解：∵ 有理数乘法中，乘积为正数时，两个因数同号，已知其中一个因数是负数， ∴ 方框内的数一定是负数， 观察选项，只有A选项是负数， 验证计算得：，符合题意. 6．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是 （ ） A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练正确处理符号． 根据得到a、b、c中负数的个数为0或2，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中负数的个数为0或2， A、当a、b、c同负时，，故该选项错误； B、当且b与c同号时，若b、c同正，则；若b、c同负，则，故可能； C、∵，无论a、c同正还是同负，则，故，故不可能； D、∵，∴，故不可能； 故选：B． 7．（21-22七年级上·河南焦作·期中）一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 【答案】D 【详解】解：一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于． 8．（25-26七年级·全国·暑假作业）如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间，该两点为（     ） A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H 【答案】D 【分析】先求出的倒数是，再结合数轴解答即可； 【详解】解：的倒数是， 从数轴可知，点对应数字，点对应数字，满足， ∴的倒数位于点和点之间． 9．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 10．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 11．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）规定，求的值为( ) 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，． 13．（25-26六年级上·上海静安·期末）绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5的有理数中包含0，根据有理数乘法法则，0与任何数相乘都得0，因此乘积为0． 【详解】解：∵绝对值小于3.5的有理数包括0， ∴所有有理数的乘积为0． 故答案为：0． 14．（25-26六年级下·上海金山·期中）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 15．（2026·河南平顶山·三模）小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】分别计算两款智能手表的加权总分，比较总分大小，选择总分更高的一款即可． 【详解】解：A手表的总分为， B手表的总分为， ∵ ∴小明应该购买B款智能手表． 16．如图，是权威机构给出的排碳计算公式．小明家某月家居用电，开车耗油，则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为________． 碳排放计算公式 家居用电的二氧化碳排放量（） =耗电量（）×0.785 开私家车的二氧化碳排放量（） =耗油量（L）×2.7 【答案】562 【详解】解：家居用电的二氧化碳排放量：， 开私家车的二氧化碳排放量：， 则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为． 17．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． 【答案】在数轴上表示：， 【详解】解：4的相反数：； 的倒数：； 绝对值等于的数：， 在数轴上表示：略 用 “” 将所有数连接起来为． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 19．（2026·河北·二模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【答案】(1)；； (2)； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 21.计算：． 【答案】 【详解】解： ． 22．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 23．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 24．（2026·河北邯郸·一模）小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 【答案】(1)一，一 (2) 【分析】（1）先根据有理数混合运算的顺序，分别检查小河和小北的每一步计算：小河在第一步计算时，违反同级运算从左到右的顺序，错误先算，因此从第一步开始出错；小北在第一步计算时，错误对除法使用分配律拆分，因此从第一步开始出错． （2）按照有理数混合运算的正确顺序：先算括号内的减法，再算乘除，最后算减法，同级运算从左到右依次计算，逐步脱式计算出正确结果． 【详解】（1）解：小河计算时，违反同级运算从左到右的计算顺序，先计算了后一项的乘法，第一步就得到错误结果，因此小河从第一步开始出现错误． 小北计算时，错误对除法使用分配律拆分，第一步就得到错误结果，因此小北从第一步开始出现错误． （2）解：正确计算过程如下： ． 25．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 【答案】(1)拆项法；乘法分配律 (2)9 (3)见解析 【分析】（1）根据拆项法和乘法分配律求解即可； （2）根据有理数的加减运算法则求解即可； （3）仿照题干方法，可将原式改写为，再利用乘法分配律和有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）解：原式 ． 26．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数中不存在的是（     ） A．绝对值最小的数 B．倒数等于本身的数 C．相反数等于本身的数 D．最小的有理数 【答案】D 【详解】解：∵所有数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是0 ，存在，故A不符合题意； ∵倒数等于本身的数是和，存在，故B不符合题意， ∵相反数等于本身的数是，存在，故C不符合题意； ∵有理数可以无限小，没有最小的有理数，不存在这样的数，故D符合题意. 27．（21-22七年级上·贵州安顺·期末）下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵一个数和它的倒数相等，则这个数是， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴，同号，且都为负数，即，， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴一定是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确； 综上，正确的结论共有个． 28．（2023七年级下·浙江·竞赛）若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 29．（25-26七年级上·河南开封·期中）有4个不同的正整数、、、满足，那么的值为__． 【答案】8100 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，根据，可得的和，即可求得． 【详解】解：设，，，， 则、、、是四个不同的整数，且， 要将4分解成四个不同整数的乘积， 只能是， 则、、、的组合是， ． 故答案为：8100． 30．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）腾讯公司将等级用四个图标展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级图标为2个皇冠，则其等级为__________级． 【答案】128 【分析】本题考查了乘法的意义． 根据等级的“满四进一”制，一个皇冠相当于级，因此两个皇冠的等级为级． 【详解】解：由题意，一个皇冠等于4个太阳，一个太阳等于4个月亮，一个月亮等于4个星星，一个星星为1级， 因此一个皇冠的等级为级， 故两个皇冠的等级为级． 故答案为：128． 31．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）有一列数：，，，，，，，，，，这列数的前4755个数的积是_______． 【答案】 4753 【分析】本题考查“有理数的乘法法则”，找到这列数的乘积的规律，发现每几个数之间的乘积为1,是解题关键． 通过观察这列数，发现第1个数是1，第2个数和第3个数的乘积为1，第4个数、第5个数和第6个数的乘积为1，从而找到这列数前几个数乘积的规律，再结合数的符号的规律和数本身的规律，将乘积为1的相邻的数进行分组，分析规律，再进行计算即可． 【详解】观察这列数，可发现 第1个数：； 第2个数和第3个数：； 第4个数、第5个数和第6个数：； 可发现，按照每n个数，n从1开始逐渐加1，其乘积为1，因此可按照这种规律分组观察规律， 时，数为； 时，数为，； 时，数为，，； 可发现，当n为奇数时，第n组数为正数，当n为偶数时，第n组数为负数，且每组数中每个数的绝对值，呈现分子从n开始，一直到1；分母从1开始，一直到n的规律排布， ∵， ∴这列数前4755个数的乘积等于97组乘积为1的数相乘，再乘第4754，4755个数， 由上文可知，第4754，4755个数对应第98组的第1个数和第2个数， 根据规律，当时，符号为负，第1个数为，第2个数为， 故乘积为， 故答案为：． 32．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 【答案】(1)①2；②这3个数字的和为 (2)计算结果的最大值为13 【分析】（1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可； ②根据题意得到摸出的3个数字为，2，5，再求和即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵摸出的3个小球上所标数字的积不为0， ∴摸出的3个数字为，2，5． ∴这3个数字的和； （2）解：当摸出的3个小球上的数字为5，0，时，计算结果最大， 即，即计算结果的最大值为13． 33．（2026·北京海淀·二模）某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【答案】 【分析】第一问，分别计算只装同一种农产品时，每箱最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值；第二问，根据每种农产品最多装2包的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）对于每箱只装同一种农产品的情况： 农产品A：总价值元； 农产品B：总价值元； 农产品C：总价值元； 农产品D：总价值元； 比较可知，一箱农产品的总价值最大为240元； （2）设装A，B，C，D的包数分别为a，b，c，d，满足，，，，a，b，c，d为非负整数， 且， 总价值，计算得： 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 其余符合重量限制的组合，总价值均小于223，因此第二问最大总价值为223元． 34．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图1，点A，B，C从左到右依次在数轴上，点B表示，且点B到点C的距离是点B到点A的距离的10倍．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图2所示．以为1个单位长度，测得A，B之间的距离为． (1)点A表示的数为________；点C表示的数为________； (2)求点A，B，C所表示的数的乘积； (3)若点D在数轴上，且点A到点C的距离是点A到点D的距离的5倍，求点D表示的数； (4)如图3，软件视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点B始终在视窗中心．如将数轴的单位长度变为，即变为原来的时，其可视范围就扩大为原来的2倍．已知软件视窗的横向距离为，当数轴的单位长度变为原来的时，点C能出现在屏幕中，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1)， (2)6000 (3)或 (4) 【分析】（1）根据已知可得，结合数轴求得点，表示的数，即可求解； （2）根据（1）的结论进行计算即可求解； （3）根据题意得出，进而分点在点的左侧与右侧两种情况讨论，即可求解； （4）根据已知得出，又个单位，进而根据题意得出比值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，以为个单位长度，测得，点在点的左侧， ∴， ∴点表示的数为， ∵点B到点C的距离是点B到点A的距离的10倍，点在点的右侧， ∴点表示的数为； （2）解：∵点，，所表示的数分别为，，， ∴点，，所表示的数的乘积为：； （3）解：∵点A到点C的距离是点A到点D的距离的5倍，， ∴， ∴点所表示的数为或； （4）解：依题意，视窗半宽为，又个单位， ∴， 依题意，， ∴的最小整数值为． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，有理数的乘法运算，用有理数表示数轴上的点等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $