第07讲 有理数的减法（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第07讲 有理数的减法 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、有理数减法的基本运算 · 题型2、加减混合运算的统一 · 题型3、利用减法比较大小与求距离 · 题型4、减法在实际生活中的应用 · 基础通关 · 拓展提优 1. 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则； 1. 能熟练进行有理数的减法运算，准确将减法转化为加法； 1. 掌握加减混合运算的省略加号写法及简便计算； 1. 体会数学中的“转化”思想。 【生活情境引入】 同学们，天气预报显示，某天北京的最高气温是 3℃，最低气温是 -3℃。那么这一天的温差（最高气温减最低气温）是多少呢？列式为 3-(-3)。我们知道温差应该是 6℃，所以 3-(-3)=6。而 3+(+3) 也等于 6。这说明，减去一个负数，等于加上这个负数的相反数！ 【思考互动】 【思考1】5-8 等于多少？你能把它变成加法算式吗？ 提示：5-8=5+(-8)=-3 【思考2】减去一个数，等于加上这个数的什么？ 提示：相反数。 【课外阅读：相反数的符号表示】 有理数范围内，减法不再是独立的运算，它可以完全转化为加法。这意味着，只要掌握了加法，就掌握了减法。这种“化未知为已知”、“化新为旧”的转化思想，是数学中非常重要的一种智慧。 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母表示： 2. 加减混合运算 在加减混合运算中，可以根据减法法则，将所有的减法统一转化为加法； 转化后，可以省略加号和括号，写成代数和的形式。 例如： 可以写成 。 题型1、有理数减法的基本运算 【解题技巧】 第一步：将减号变为加号；第二步：将减数变为它的相反数；第三步：按照有理数加法法则进行计算。 【例题1】计算： (1) ； (2) ； (3) 。 【例题2】月球表面白天温度可达  ，夜间可降至  ，求月球表面的温差。 题型2、加减混合运算的统一 【解题技巧】先将所有减法转化为加法；省略加号和括号后，利用加法交换律和结合律，将正数、负数分别结合，或凑整结合。 【例题3】计算：(-8)-(-15)+(-9)-(+6)。 【例题4】 计算  题型3、利用减法比较大小与求距离 【解题技巧】数轴上两点间的距离等于这两点对应数的差（大数减小数，或取绝对值）；比较两个有理数的大小，可以作差：若 a-b>0，则 a>b。 【例题5】数轴上点 A 表示 -4，点 B 表示 3，求 A、B 两点之间的距离。 题型4、减法在实际生活中的应用 【解题技巧】找准基准量（通常为 0 或标准值）；明确“多”、“少”、“高”、“低”对应的正负号。 【例题6】某冷库的温度是 -10℃，现需将温度降低 5℃ 以保存特殊疫苗，降温后的温度是多少？ 【例题7】某股民上周五买进股票1000股，每股27元。本周每日涨跌情况如下（单位：元）：+4, +4.5, -1, -2.5, -6。问本周五收盘时，每股多少元？ 题型1 有理数的减法运算 1．下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 2．若，则中应该填入的数是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A． B． C．3 D．13 4．计算：______． 5．___________． 6．计算： 7．计算 (1) (2) (3) (4) 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 有理数的加减混合运算 9．与相等的是（     ） A． B． C． D． 10．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 12．计算∶ (1) ； (2) 13．计算： (1) (2) 14．计算：． 15．计算： (1)； (2) ． 16．解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型3 省略加号的和的形式 17．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 18．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 19．把算式改写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 20．式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 21．把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 22．请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 题型4 有理数减法的实际应用 23．如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为(     ) A． B． C． D． 24．某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 25．哈尔滨四月份的某天，中午最高气温达到之后，直到第二天凌晨气温下降了，则第二天凌晨的气温是（     ） A． B． C． D． 26．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 27．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈利还是亏损，金额是多少． (2)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 28．小薇汇总了近一周微信账单的每日收支（规定收入记为正，支出记为负），数据如下： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 收支（元） (1)这一周中，星期______收入最多，星期______支出最多，这两天的收支差额是______元； (2)计算这一周的收支总额． 29．汾阳博物馆的文物库房需要保持恒定的温度和湿度以确保文物安全．某天，智能温控系统记录下了从凌晨点到中午点的温度变化情况．在基准温度的基础上，温度的变化（单位：）如下：，，，，，，，，，，，，． 问题： (1)请计算在中午点时，文物库房的实际温度是多少摄氏度? (2)在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差多少摄氏度? 30．某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． (1)该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ (2)盈利（或亏损）了多少元 ？ 31．近期，某校校运会盛大开幕，火炬传递仪式在开幕式上顺利举行，全体师生以青春姿态致敬全运精神，本次仪式共安排12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为50米．现以50米为基准，火炬手实际里程超过50米的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．如下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 1 3 0 3 4 1 (1)第7棒火炬手的实际里程为___________米，第8棒火炬手的实际里程为___________米． (2)若第3棒火炬手的实际里程为55米，求第9棒火炬手的实际里程． 题型5 有理数的加减混合的简便运算 32．计算： 33．计算： 34．计算： 35．计算 (1) (2) (3) (4) 36．计算： (1) (2) (3) (4) 37．计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型6 有理数加减混合运算的应用 39．泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 40．做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 41．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 42．某科技公司研发了一种新型智能机器人，为测试其稳定性，技术人员设置机器人从定点开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为(单位：米)： ，，，，，，． (1)通过计算说明机器人最后是否回到了起点．若没有，请说明机器人此时是前进了还是后退了，前进了或后退了多少米？ (2)在机器人行走过程中，如果每走1米得分，则本次机器人一共得到多少分？ 43．2025年9月3日阅兵式现场，中央广播电视总台设置170个直播机位、850多个分镜头，凭借国产8K超高清转播系统创新视角拍摄，借助一系列特种拍摄设备创造震撼视觉，不少直播“神级镜头”引得网友连连赞叹．其中，在长安街和天安门广场周围启用的高点索道拍摄系统，是通过索道实现摄像机东西滑行，摄像头转向进行拍摄，全景展现受阅部队的昂扬风貌和威武声势…… 下表是当天一台高点索道系统的摄像机连续八次东西滑行的情况记录，规定以天安门广场中轴线为基准，向东滑行记为正，向西滑行记为负． 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 滑行情况 (1)根据表中记录，这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场的哪个位置？ (2)这台摄像机八次滑行总距离是多少米？ 44．已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 45．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 46．下面是2026年2月某天哈尔滨、拉萨、石家庄、海口四个城市的天气情况，则日温差最大的城市是（    ） A．哈尔滨 B．拉萨 C．石家庄 D．海口 47．如图，数轴上点表示的数为2，将点向左移动5个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 48．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 49．数轴上点，距离为6个单位长度，且点B在点A的右侧． (1)若点表示，则点表示 ； (2)若原点是中点，求，表示的数及； (3)若，直接写出点表示的数． 50．同学们，我们都知道：表示7与3的差的绝对值，实际上也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示7与的差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请尝试着完成下面的问题： (1) ______； ______； ______； (2)写出使得成立的所有整数． 51．列式并计算： (1)减去与和，求所得的差； (2)求的绝对值的相反数与相反数的和． 52．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 53．化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 有理数的减法 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、有理数减法的基本运算 · 题型2、加减混合运算的统一 · 题型3、利用减法比较大小与求距离 · 题型4、减法在实际生活中的应用 · 基础通关 · 拓展提优 1. 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则； 1. 能熟练进行有理数的减法运算，准确将减法转化为加法； 1. 掌握加减混合运算的省略加号写法及简便计算； 1. 体会数学中的“转化”思想。 【生活情境引入】 同学们，天气预报显示，某天北京的最高气温是 3℃，最低气温是 -3℃。那么这一天的温差（最高气温减最低气温）是多少呢？列式为 3-(-3)。我们知道温差应该是 6℃，所以 3-(-3)=6。而 3+(+3) 也等于 6。这说明，减去一个负数，等于加上这个负数的相反数！ 【思考互动】 【思考1】5-8 等于多少？你能把它变成加法算式吗？ 提示：5-8=5+(-8)=-3 【思考2】减去一个数，等于加上这个数的什么？ 提示：相反数。 【课外阅读：相反数的符号表示】 有理数范围内，减法不再是独立的运算，它可以完全转化为加法。这意味着，只要掌握了加法，就掌握了减法。这种“化未知为已知”、“化新为旧”的转化思想，是数学中非常重要的一种智慧。 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母表示： 2. 加减混合运算 在加减混合运算中，可以根据减法法则，将所有的减法统一转化为加法； 转化后，可以省略加号和括号，写成代数和的形式。 例如： 可以写成 。 题型1、有理数减法的基本运算 【解题技巧】 第一步：将减号变为加号；第二步：将减数变为它的相反数；第三步：按照有理数加法法则进行计算。 【例题1】计算： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】 (1) -8；(2) 7；(3) 7。 【解析】 (1) 原式 ； (2) 原式 ； (3) 原式 。 【例题2】月球表面白天温度可达  ，夜间可降至  ，求月球表面的温差。 解析： 温差 = 最高温 - 最低温。列式： 。转化为加法： 。 答案：  题型2、加减混合运算的统一 【解题技巧】先将所有减法转化为加法；省略加号和括号后，利用加法交换律和结合律，将正数、负数分别结合，或凑整结合。 【例题3】计算：(-8)-(-15)+(-9)-(+6)。 【答案】-8 【解析】原式 =(-8)+(+15)+(-9)+(-6) （统一为加法） =-8+15-9-6 （省略加号） =(15)+(-8-9-6) （正负结合） =15+(-23) =-8 【例题4】 计算  解析： 先统一成加法： 。正数一组： ；负数一组：  。最后计算： 。 答案：  题型3、利用减法比较大小与求距离 【解题技巧】数轴上两点间的距离等于这两点对应数的差（大数减小数，或取绝对值）；比较两个有理数的大小，可以作差：若 a-b>0，则 a>b。 【例题5】数轴上点 A 表示 -4，点 B 表示 3，求 A、B 两点之间的距离。 【答案】 7 【解析】 距离 =3-(-4)=3+4=7。 （或者用 -4-3=-7，距离取绝对值为 7） 题型4、减法在实际生活中的应用 【解题技巧】找准基准量（通常为 0 或标准值）；明确“多”、“少”、“高”、“低”对应的正负号。 【例题6】某冷库的温度是 -10℃，现需将温度降低 5℃ 以保存特殊疫苗，降温后的温度是多少？ 【答案】 -15℃ 【解析】 降低 5℃ 即为 -5℃。降温后的温度 =-10-5=-10+(-5)=-15 (℃)。 【例题7】某股民上周五买进股票1000股，每股27元。本周每日涨跌情况如下（单位：元）：+4, +4.5, -1, -2.5, -6。问本周五收盘时，每股多少元？ 解析： 初始价格加上所有涨跌幅。 。计算变化量总和： 。最终价格： 元。 答案：  元 题型1 有理数的减法运算 1．下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 即符合要求的数是． 2．若，则中应该填入的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴应填入． 3．计算的结果等于（   ） A． B． C．3 D．13 【答案】A 【分析】本题考查有理数的减法运算，利用有理数减法法则将减法转化为加法，即可计算出结果． 【详解】解：根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数， 得． 4．计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法求解即可． 【详解】解：． 5．___________． 【答案】 【详解】解：． 6．计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 7．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3) (4)18.18 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加法运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型2 有理数的加减混合运算 9．与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 10．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 11．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 12．计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 15．计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 16．解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化计算； （2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算； （3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算； （4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型3 省略加号的和的形式 17．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 18．将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． 19．把算式改写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，根据有理数的加减运算法则，减去一个数等于加上它的相反数，再省略加号和括号． 【详解】解：． 故选：A． 20．式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减混合运算的两种读法规则，需区分运算符号与性质符号的读法逻辑． 【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确； ② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误； ∴只有读法二正确， 故选：B． 21．把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：C． 22．请把下列各式写成省略加号的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了省略加号的和的形式，熟记省略加号的和的形式书写是解本题的关键． 直接写成省略加号的和的形式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型4 有理数减法的实际应用 23．如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将冷藏室温度减去冷冻室温度即可解答． 【详解】解：， 答：这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为． 24．某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解∶， 即冷藏室温度比冷冻室温度高． 25．哈尔滨四月份的某天，中午最高气温达到之后，直到第二天凌晨气温下降了，则第二天凌晨的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中午最高气温为，气温下降了， ∴第二天凌晨的气温为． 26．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 27．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数，并说明星期五是盈利还是亏损，金额是多少． (2)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 【答案】(1)星期五的盈亏数为，星期五是亏损，金额8元 (2)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可； （2）根据表格中数据列式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴星期五的盈亏数为； 答：星期五的盈亏数为，星期五是亏损，金额8元 （2）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 28．小薇汇总了近一周微信账单的每日收支（规定收入记为正，支出记为负），数据如下： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 收支（元） (1)这一周中，星期______收入最多，星期______支出最多，这两天的收支差额是______元； (2)计算这一周的收支总额． 【答案】(1)二，一，； (2)元． 【分析】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，正负数的实际应用． （1）根据正负数的意义及有理数的减法作答即可； （2）将各数相加即可． 【详解】（1）解：收入最多即数据中的最大值，为星期二的元； 支出最多即数据中的最小值，为星期一的元； 这两天的收支差额是（元）． 故答案为：二，一，； （2）解： （元）． 29．汾阳博物馆的文物库房需要保持恒定的温度和湿度以确保文物安全．某天，智能温控系统记录下了从凌晨点到中午点的温度变化情况．在基准温度的基础上，温度的变化（单位：）如下：，，，，，，，，，，，，． 问题： (1)请计算在中午点时，文物库房的实际温度是多少摄氏度? (2)在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差多少摄氏度? 【答案】(1)摄氏度 (2)摄氏度 【分析】（）求出温度的变化的和，再与基准温度相加即可求解； （）求出每个时间的温度，再用最高温度减去最低温度即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 答：在中午点时，文物库房的实际温度是摄氏度； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差摄氏度． 30．某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． (1)该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ (2)盈利（或亏损）了多少元 ？ 【答案】(1) 盈利 (2) 盈利了37元 【分析】本题考查正数和负数，有理数四则运算的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． （1）所得的正负数相加，然后计算出总售价，再与进价相比较即可得到答案； （2）用总售价减去进价即可． 【详解】（1）解：∵， ∴总售价为：（元）， ∵， ∴该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利了； （2）解：由（1）可知总售价为397元，总进价为360元， ∴（元）， ∴盈利了37元． 31．近期，某校校运会盛大开幕，火炬传递仪式在开幕式上顺利举行，全体师生以青春姿态致敬全运精神，本次仪式共安排12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为50米．现以50米为基准，火炬手实际里程超过50米的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．如下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 1 3 0 3 4 1 (1)第7棒火炬手的实际里程为___________米，第8棒火炬手的实际里程为___________米． (2)若第3棒火炬手的实际里程为55米，求第9棒火炬手的实际里程． 【答案】(1)50，45 (2)32米 【分析】本题考查正数和负数，有理数的加减运算，需要理解正负号在特定数学环境中的意义． （1）实际里程为基准值与波动值的和，据此作答即可； （2）根据题意，先求出第3棒火炬手的里程波动值，再求出其余人的波动值的和，然后结合所有波动值的和应该为0，据此可求得第9棒火炬手的里程波动值，从而求出其实际里程． 【详解】（1）解：第7棒火炬手的实际里程为（米）， 第8棒火炬手的实际里程为（米）， 故答案为：50，45； （2）解：∵第3棒火炬手的实际里程为55米， ∴第3棒火炬手的里程波动值为5， ， ∴第9棒火炬手的里程波动值为， ∴第9棒火炬手的实际里程为（米）， 答：第9棒火炬手的实际里程32米． 题型5 有理数的加减混合的简便运算 32．计算： 【答案】 【分析】运用加法交换律和结合律，将分母相同的带分数分组计算，简化运算过程． 【详解】解：原式 ． 33．计算： 【答案】1 【分析】根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 34．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数加法运算律计算即可． 【详解】解： 35．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)9 (3) (4)9 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 36．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可； （2）根据有理数加减运算法则求解即可； （3）首先将带分数化为假分数，再运用加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，再根据有理数减法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 37．计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算及加法运算律的应用，解题的关键是利用加法交换律和结合律，将互为相反数或同分母的数结合简化计算． （1）结合互为相反数的数与同分母分数计算； （2）结合互为相反数的数简便计算； （3）将小数化分数后，结合同分母分数计算； （4）拆分带分数，结合整数部分与分数部分分别计算． 【详解】（1） （2）解： （3） （4） 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是将小数与分数统一形式，利用加法结合律简化计算． （1）将小数化为分数，再通分计算； （2）将同分母分数结合，利用加法结合律简便计算； （3）将小数化为分数，结合同分母分数计算； （4）将小数化为分数，结合同分母分数计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型6 有理数加减混合运算的应用 39．泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解： 米， 所以下午的水位为米． 40．做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【答案】小明获胜，理由如下： 小明的得分：， 小丽的得分：， ， 小明获胜． 【分析】根据规则分别计算出小明和小丽的计算结果，通过比较得到获胜者． 【详解】略． 41．食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 【答案】(1)180，90 (2)五，一 (3)660千克 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）对表格中所有数据求和再加200即可解答； 【详解】（1）解：根据表格可知，星期四运进大米180千克，运出大米90千克； （2）解：根据表格可知，星期五只运出大米，而没有运进大米；星期一运出的大米和运进的大米同样多． （3）解： 千克， 答：如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余660千克大米． 42．某科技公司研发了一种新型智能机器人，为测试其稳定性，技术人员设置机器人从定点开始沿直线前进和后退，规定向前的路程记为正数，后退的路程记为负数．在一段时间内，机器人走过的各段路程依次为(单位：米)： ，，，，，，． (1)通过计算说明机器人最后是否回到了起点．若没有，请说明机器人此时是前进了还是后退了，前进了或后退了多少米？ (2)在机器人行走过程中，如果每走1米得分，则本次机器人一共得到多少分？ 【答案】(1)没有回到起点，前进了4米； (2)分 【分析】本题考查正负数的实际应用及有理数加减的运算，核心是理解正负数表示相反意义的量，以及绝对值在路程计算中的作用． （1）将机器人走过的各段路程的数值进行有理数的加减混合运算，根据运算结果判断是否回到起点，结果为0则回到起点，结果的正负表示前进或后退，绝对值表示距离起点的距离； （2）因为路程是实际行走的长度，与方向无关，所以先计算各段路程绝对值的和得到总路程，再乘以每米的得分即可求出总得分． 【详解】（1）解：计算机器人最终相对起点的位置： ． ∵结果为正， ∴机器人没有回到起点，前进了4米； （2）解：计算总路程：． 总得分：(分)； 答：本次机器人一共得到分． 43．2025年9月3日阅兵式现场，中央广播电视总台设置170个直播机位、850多个分镜头，凭借国产8K超高清转播系统创新视角拍摄，借助一系列特种拍摄设备创造震撼视觉，不少直播“神级镜头”引得网友连连赞叹．其中，在长安街和天安门广场周围启用的高点索道拍摄系统，是通过索道实现摄像机东西滑行，摄像头转向进行拍摄，全景展现受阅部队的昂扬风貌和威武声势…… 下表是当天一台高点索道系统的摄像机连续八次东西滑行的情况记录，规定以天安门广场中轴线为基准，向东滑行记为正，向西滑行记为负． 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 滑行情况 (1)根据表中记录，这台摄像机连续滑行八次后在天安门广场的哪个位置？ (2)这台摄像机八次滑行总距离是多少米？ 【答案】(1)在天安门广场中轴线西侧7米处 (2)353米 【分析】（1）计算滑行距离的和，正表示向东，负表示向西，0表示回到原来位置解答即可； （2） 计算变化量的绝对值即可． 本题考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： （米） 答：在天安门广场中轴线西侧7米处． （2）解： （米） 答：这台摄像机八次滑行总距离是353米． 44．已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先根据a、b的符号判断各表达式的正负与a、b的大小关系，再通过作差比较四个数的大小． 【详解】解：∵有理数，， ∴， 作差比较可得：，故； ，故； ，故， 是最大的数． 45．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由在数轴上的对应点的位置可得出，，可得出，，，，进而得出． 【详解】解：根据在数轴上的对应点的位置可知，， ∴，，，， ∴． 综上，选项B正确． 46．下面是2026年2月某天哈尔滨、拉萨、石家庄、海口四个城市的天气情况，则日温差最大的城市是（    ） A．哈尔滨 B．拉萨 C．石家庄 D．海口 【答案】B 【分析】用最高温度减去最低温度即可求出温差，然后比较大小即可． 【详解】解：A、温差为：； B、温差为：； C、温差为：； D、温差为：． ， ∴B符合题意． 47．如图，数轴上点表示的数为2，将点向左移动5个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，点表示的数是． 48．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算， 根据题意原式可化为，中间项相互抵消，只剩首项和末项，进而求解即可． 【详解】解：由题意，对于连续非零整数，有． ∴ ． 故答案为：． 49．数轴上点，距离为6个单位长度，且点B在点A的右侧． (1)若点表示，则点表示 ； (2)若原点是中点，求，表示的数及； (3)若，直接写出点表示的数． 【答案】(1)； (2)为，为3， (3)表示10或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． （1）根据“点表示”作答即可； （2）“原点是中点”得到，进而作答即可； （3）分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵，且在右侧， ∵点表示， ∴点表示． 故答案为：； （2）解：∵，原点是中点， ∴， 即为，为3，； （3）解：∵， ∴点A表示的数为4或， ∵， 当点A表示的数为4时，点B表示的数为； 当点A表示的数为时，点B表示的数为； 综上，点B表示10或2． 50．同学们，我们都知道：表示7与3的差的绝对值，实际上也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示7与的差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请尝试着完成下面的问题： (1) ______； ______； ______； (2)写出使得成立的所有整数． 【答案】(1)3；5；4 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，有理数的加减运算，数轴上两点间的距离，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义和有理数的加减运算法则求解即可； （2）根据绝对值的几何意义和数轴上两点间的距离公式可得当时，才成立，据此可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离和到表示数的点的距离之和， ∵数轴上表示数2的点与表示数的点的距离为， ∴当时，才成立， ∴使得成立的所有整数为． 51．列式并计算： (1)减去与和，求所得的差； (2)求的绝对值的相反数与相反数的和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】正确的翻译句子，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 52．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周共送餐441单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是1388元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数减去最小数即可； （2）计算表格数据的和，再加上，即可求解； （3）根据工资方案，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（单）； 故答案为：． （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周共送餐441单． （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1388元． 53．化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【答案】 【分析】（1）分别求出整理大实验台和小实验台的时间，即可得到答案； （2）根据所需要的时间，多人协作分析最优耗时得到答案． 【详解】（1）解：整理大实验台：分钟， 整理小实验台：分钟； 一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费分钟， 故答案为：； （2）解：设学生负责步骤①，学生负责步骤②，学生负责步骤③， 由题意可知，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，且必须在①②完成后再进行， 则学生和学生两个人可以在分钟内做完三个实验台的步骤①和步骤②，在此期间学生可以做一个小实验台的步骤③，耗时分钟是包含在前面两人的分钟里的，然后等学生和学生两人做完后，学生再分别整理大试验台和小试验台的步骤③，耗时分钟，所以一共是分钟． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $