第06讲 有理数的加法（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第06讲 有理数的加法 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、有理数加法的基本运算 · 题型2、加法运算律的简便运算 · 题型3、加法运算中的符号判断与绝对值计算 · 题型4、利用加法解决实际问题 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则； 2、熟练进行有理数的加法运算，并能准确判断和的符号； 3、掌握加法交换律和结合律，能运用运算律进行简便运算； 4、体会分类讨论思想在有理数加法中的应用。 【生活情境引入】 同学们，想象一下你在操场上玩“前进后退”的游戏。规定向前为正，向后为负。如果你先向前走 3 步（+3），再向前走 2 步（+2），你一共向前走了 5 步（+5）。但如果你先向前走 5 步（+5），再向后走 3 步（-3），你实际上相当于向前走了 2 步（+2）。在数学中，把这两次移动的步数合在一起，就是“有理数的加法”。 【思考互动】 【思考 1】 如果先向前走 4 步，再向后走 4 步，最后停在什么位置？ - 提示：(+4) + (-4) = 0，回到原点。 【思考 2】 如果先向后走 2 步，再向后走 3 步，一共向后走了几步？ - 提示：(-2) + (-3) = -5，一共向后走了 5 步。 【课外阅读：负数的历史】 中国古代数学名著《九章算术》中，就已经提出了正负数的加减法则，称为“正负术”。书中记载：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。”这是世界上最早的关于有理数加法的明确记载，比欧洲早了一千多年！ 1. 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 互为相反数的两个数相加得 0； 一个数同 0 相加，仍得这个数。 2. 有理数加法运算律 加法交换律： 加法结合律： 题型1、有理数加法的基本运算 【解题技巧】第一步：判断两个加数的符号（同号还是异号）； 第二步：确定和的符号； 第三步：计算绝对值的和或差。 【例题 1】 计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) 。 【例题 2】 若  是最大的负整数，  的绝对值是3，且  ，求  的值。 题型2、加法运算律的简便运算 【解题技巧】 凑整结合：将相加能得到整数或 0 的数优先结合； 同分母结合：将分母相同的分数优先结合； 同号结合：将正数与正数、负数与负数分别结合。 【例题 3】 计算：(-8)+(+15)+(-2)+(+5)。 【例题 4】 计算  题型3、加法运算中的符号判断与绝对值计算 【解题技巧】 已知和的符号与其中一个加数，求另一个加数时，可逆向运用加法法则； 遇到字母表示的有理数加法，需分类讨论。 【例题 5】 已知 ，，且 ，求 的值。 题型4、加法运算中的符号判断与绝对值计算 【解题技巧】 将实际问题中的相反意义的量用正负数表示； 列出加法算式，注意单位。 【例题 6】 某河流警戒水位为0米，一周内水位变化如下（单位：米）：+0.2, -0.3, +0.1, -0.1, +0.4, -0.2, -0.1。问周末水位比周初升高还是降低了？变化了多少？ 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 5．下列选项中与4的和为0的是（     ） A． B． C． D．4 6．规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（     ） A． B． C． D． 7．计算：___________． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 10．计算： (1)； (2)． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 13．下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 14．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 15．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 16．如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 17．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 18．与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 19．将改写成省略加号的和的形式应为__________． 20．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 21．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 22．某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 23．手机移动支付给生活带来了便捷，如图是杨老师2024年10月25日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），杨老师当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入21元 B．收入4元 C．支出5元 D．支出12元 24．某城市早上时气温是，中午时上升了，则中午时的气温是（    ） A． B． C． D． 25．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，．问：若出车地记为，则最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ 26．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 27．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 28．嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 29．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 30．计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 31．如图，这是嘉嘉作业的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） ① ② A．①②都是加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①是加法交换律，②是加法结合律 D．①是加法结合律，②是加法交换律 32．用简便方法计算： (1)； (2)． 33．阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 34．计算：_______． 35．计算： (1)； (2)． 36．计算： (1)； (2)． 37．一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 38．分别写出含有3个加数且满足条件的等式： (1)所有的加数都是负数，和是． (2)至少有一个加数是正整数，和是． 39．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，， ，，， ，，… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①；②． 40．阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的加法 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、有理数加法的基本运算 · 题型2、加法运算律的简便运算 · 题型3、加法运算中的符号判断与绝对值计算 · 题型4、利用加法解决实际问题 · 基础通关 · 拓展提优 1、理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则； 2、熟练进行有理数的加法运算，并能准确判断和的符号； 3、掌握加法交换律和结合律，能运用运算律进行简便运算； 4、体会分类讨论思想在有理数加法中的应用。 【生活情境引入】 同学们，想象一下你在操场上玩“前进后退”的游戏。规定向前为正，向后为负。如果你先向前走 3 步（+3），再向前走 2 步（+2），你一共向前走了 5 步（+5）。但如果你先向前走 5 步（+5），再向后走 3 步（-3），你实际上相当于向前走了 2 步（+2）。在数学中，把这两次移动的步数合在一起，就是“有理数的加法”。 【思考互动】 【思考 1】 如果先向前走 4 步，再向后走 4 步，最后停在什么位置？ - 提示：(+4) + (-4) = 0，回到原点。 【思考 2】 如果先向后走 2 步，再向后走 3 步，一共向后走了几步？ - 提示：(-2) + (-3) = -5，一共向后走了 5 步。 【课外阅读：负数的历史】 中国古代数学名著《九章算术》中，就已经提出了正负数的加减法则，称为“正负术”。书中记载：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。”这是世界上最早的关于有理数加法的明确记载，比欧洲早了一千多年！ 1. 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 互为相反数的两个数相加得 0； 一个数同 0 相加，仍得这个数。 2. 有理数加法运算律 加法交换律： 加法结合律： 题型1、有理数加法的基本运算 【解题技巧】第一步：判断两个加数的符号（同号还是异号）； 第二步：确定和的符号； 第三步：计算绝对值的和或差。 【例题 1】 计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】 (1) -8；(2) -3；(3) 0。 【解析】 (1) 同号相加，取负号，绝对值相加：； (2) 异号相加，取绝对值较大数（-7）的符号，绝对值相减：； (3) 互为相反数相加，结果为 0。 【例题 2】 若  是最大的负整数，  的绝对值是3，且  ，求  的值。 【解析】 最大的负整数  。  ，则  或  。因为  ，即  ，所以  必须是  。此时  。 答案：  题型2、加法运算律的简便运算 【解题技巧】 凑整结合：将相加能得到整数或 0 的数优先结合； 同分母结合：将分母相同的分数优先结合； 同号结合：将正数与正数、负数与负数分别结合。 【例题 3】 计算：(-8)+(+15)+(-2)+(+5)。 【答案】 10 【解析】 原式 =[(-8)+(-2)]+[(+15)+(+5)] （运用交换律和结合律） =(-10)+(+20) =10 【例题 4】 计算  解析： 观察发现  和  可以凑成整数  ，两个  可以凑成  。利用交换律和结合律：原式  。 答案：  题型3、加法运算中的符号判断与绝对值计算 【解题技巧】 已知和的符号与其中一个加数，求另一个加数时，可逆向运用加法法则； 遇到字母表示的有理数加法，需分类讨论。 【例题 5】 已知 ，，且 ，求 的值。 【答案】 -3 或 -11 【解析】 因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 又因为 ，所以： ① 当 时， 必须为 ，此时 ； ② 当 时， 可以为 ，此时 。（若 ，则 ，舍去） 综上， 的值为 -3 或 -11。 题型4、加法运算中的符号判断与绝对值计算 【解题技巧】 将实际问题中的相反意义的量用正负数表示； 列出加法算式，注意单位。 【例题 6】 某河流警戒水位为0米，一周内水位变化如下（单位：米）：+0.2, -0.3, +0.1, -0.1, +0.4, -0.2, -0.1。问周末水位比周初升高还是降低了？变化了多少？ 解析： 将所有变化量相加：  。可以将正数和负数分别相加：正数和  ，负数和  。总和为  。 答案： 水位没有变化（或变化了0米）。 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数加法中异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 【详解】解：∵ ，， ∴ 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，选项符合题意． 3．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 根据法则进行计算即可． 【详解】解：， . 5．下列选项中与4的和为0的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴与4的和为0的是. 6．规定：（→）表示向右移动，记作，则按照（→），（←）移动两次，可以用算式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定相反方向移动的记数规则，将两次移动的记数相加即可得到所求算式． 【详解】解：∵规定向右移动记作，向右与向左是相反意义的方向， ∴向左移动记作负数， ∵两次移动分别为向右移动，向左移动， ∴向右移动记作，向左移动记作，列算式得． 7．计算：___________． 【答案】2 【详解】解：原式． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据同号两数相加，和取相同的符号．且和的绝对值等于加数的绝对值的和计算即可； （2）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （3）根据一个数与0相加，仍得这个数计算即可； （4）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （5）根据绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差计算即可； （6）根据同号两数相加，和取相同的符号．且和的绝对值等于加数的绝对值的和计算即可 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式 ； （6）解∶原式 ． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法的结合律计算即可； （4）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （5）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （6）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 12．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 13．下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 14．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 15．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 16．如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 17．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 18．与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 19．将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 21．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 22．某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目规定的正负意义，将初始温度和两次温度变化转化为正确的有理数加法算式，即可选出正确选项. 【详解】解：∵题目规定温度下调记为负，上调记为正，初始温度为， ∴下调记为，上调记为， ∴调整后冷库的温度为：. 23．手机移动支付给生活带来了便捷，如图是杨老师2024年10月25日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），杨老师当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入21元 B．收入4元 C．支出5元 D．支出12元 【答案】B 【分析】将三个数求和后，进行判断即可. 【详解】解：（元）； 故杨老师当天微信收支的最终结果是收入4元. 24．某城市早上时气温是，中午时上升了，则中午时的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：中午时的气温为． 25．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，．问：若出车地记为，则最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ 【答案】千米 【详解】解：， ∴送完最后一名老师后，在出车地点的西边千米处． 答：小王距出车地点的距离是千米． 26．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 27．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 28．嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键；要使计算简便，应选择分母与已知分数相同的选项，从而利用结合律先计算同分母分数之和，然后问题可求解． 【详解】解：∵原式为， 若，则先计算， 再计算，过程简便； 其他选项分母均不同，无法直接简化计算； ∴■中应填； 故选D． 29．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】小明通过重新排列和分组项，简化了计算过程，运用了加法交换律改变项的顺序，并运用加法结合律改变分组． 【详解】解： ， 通过加法交换律，将 与 交换位置， 可得：原式， 再通过加法结合律，分组为 ， 该同学运用了加法交换律和结合律． 故选：C． 30．计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，等式左边到右边的变形涉及加数顺序的调整和分组的改变，因此同时运用了加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：原式先通过加法交换律改变顺序为，再通过加法结合律分组为，故依据是加法交换律和结合律， 故选：D． 31．如图，这是嘉嘉作业的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） ① ② A．①②都是加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①是加法交换律，②是加法结合律 D．①是加法结合律，②是加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律和结合律的识别；加法交换律形式为；加法结合律形式为，据此判断所使用的运算律即可． 【详解】解：∵原式为，步骤①将其改写为， ∴将的位置从末尾调整到第二位，改变了加数的顺序， ∴应用了加法交换律， ∵步骤②将算式分为，通过添加括号将原式分组计算，改变了加法的运算顺序， ∴应用了加法结合律. ∴①是加法交换律，②是加法结合律． 故选：C． 32．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 33．阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 34．计算：_______． 【答案】1008 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键． （1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可； （2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）先化简绝对值与去括号，再利用加法运算律将互为相反数的项合并，最后计算剩余部分即可得到结果； （2）先化简绝对值与去括号，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数与小数分别分组计算，最后求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地南边，相距117千米 (2)这一天共耗油57升 【分析】（1）求出8个记录的代数和，即可得出答案； （2）求出8个记录的绝对值的和，再乘以0.2即可得出答案． 【详解】（1）解：（千米）， ∴地在地南边，相距117千米； （2）解：（千米）， （升）， 答：这一天共耗油57升． 38．分别写出含有3个加数且满足条件的等式： (1)所有的加数都是负数，和是． (2)至少有一个加数是正整数，和是． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查的是有理数的加法. （1）根据加数为负整数，和为，列式即可； （2）由至少有一个加数是正整数，和是，再列式即可. 【详解】（1）解：（答案不唯一） （2）解：（答案不唯一） 39．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，， ，，， ，，… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①；②． 【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值 (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可． 【详解】（1）解：两个数相乘加，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值； 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：① ； ② ． 40．阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $