第6讲 1.3用反比例函数解决问题（第2课时）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第6讲　1.3用反比例函数解决问题（第2课时） 【学习目标】 1. 能综合运用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 1. 能利用反比例函数的增减性解决“至少” “最多”等取值范围问题。 1. 掌握物理问题、经济问题中的反比例关系，能用反比例函数解决跨学科问题。 1. 经历“实际问题→建立模型→拓展应用”的过程，形成完整的解题思路。 【知识梳理】 一、反比例函数的增减性在解题中的应用 在解决实际问题时，常需要利用反比例函数的增减性判断两个变量的变化趋势。 的符号 增减性 实际意义 在每一象限内，随的增大而减小 一个量增大，另一个量反而减小 在每一象限内，随的增大而增大 一个量增大，另一个量也随之增大 实际中常见：实际问题中，，因此只需考虑第一象限的情形。此时，随的增大而减小——这与“一个量增大，另一个量反而减小”的直观感受一致。 二、常见的反比例关系模型（补充） 类型 关系式 说明 物理问题（欧姆定律） 电压一定时，电流与电阻成反比例 物理问题（杠杆原理） 阻力阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例 经济问题 总价一定时，单价与数量成反比例 三、解决“至少/最多”问题的方法 当题目中出现“至少” “最多” “不超过” “不少于”等关键词时，按以下步骤求解： 1. 代入边界值求临界点：将条件中的临界值代入函数表达式，求出对应的自变量或函数值； 1. 利用增减性说明：由，在第一象限内随的增大而减小，确定取值范围方向； 1. 结合实际意义得出结论：检验结果是否符合实际意义，写出完整答案。 做一做（即时练习）： 1. 在反比例函数（）中，随的增大而______（填“增大”或“减小”）。 1. 电路中，电压 V保持不变，电流（A）与电阻（Ω）的函数表达式为______。 1. 杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂。若阻力阻力臂，则动力与动力臂的函数表达式为______。 1. 某气球内气压（kPa）与体积（m³）成反比例，且，则当时，______kPa；当时，的取值范围为______。 1. 已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式： ．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例精讲】 【例1】在某一电路中，保持电压不变，电流（A）与电阻（Ω）成反比例。当电阻 Ω时，电流 A。 （1）求与的函数表达式； （2）当电阻 Ω时，电流是多少？ （3）若电路中的电流不能超过 A，电阻至少应为多少欧姆？ 【分析】 电压一定时，电流与电阻成反比例。先由已知条件求出，再利用反比例函数的增减性求解取值范围。 【解答】 （1）设。 当时，， ∴ 。 ∴ （）。 答：与的函数表达式为（）。 （2）当时， （A）。 答：电流为 A。 （3）由，当时， ，解得。 ∵ ，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：电阻至少应为 Ω。 【例2】杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”。已知阻力和阻力臂分别为 N和 m，动力为 N，动力臂为 m。 （1）写出关于的函数表达式； （2）当动力臂为 m时，动力是多少？ （3）若动力不能超过 N，动力臂至少应为多少米？ 【分析】 阻力和阻力臂的乘积为定值，动力与动力臂成反比例。利用增减性求解第（3）问。 【解答】 （1）由杠杆平衡条件，得 。 ∴ （）。 答：关于的函数表达式为（）。 （2）当时， （N）。 答：动力为 N。 （3）由，当时， ，解得。 ∵ ，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：动力臂至少应为 m。 【例3】某公司计划采购一批办公桌椅，总预算为元。每套桌椅的单价为元，可购买的数量为套。 （1）写出与的函数表达式； （2）若每套桌椅单价为元，可购买多少套？ （3）若公司至少需要购买套，则每套桌椅的单价最多为多少元？ 【分析】 总价一定时，单价与数量成反比例。利用增减性求解第（3）问。 【解答】 （1）由题意，， ∴ （）。 答：与的函数表达式为（）。 （2）当时， （套）。 答：可购买套。 （3）由，当时， ，解得。 ∵ ，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：每套桌椅的单价最多为元。 【例4】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（kPa）是气体体积（m³）的反比例函数，其图象经过点。 （1）求关于的函数表达式； （2）当气体体积为 m³时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于 kPa时，气球将爆炸。为了安全起见，气体的体积应不小于多少立方米？ 【分析】 先由图象上的点求出，再利用反比例函数的增减性求解取值范围。 【解答】 （1）设（）。 代入，得 ， 解得。 ∴ （）。 答：关于的函数表达式为（）。 （2）当时， （kPa）。 答：气压为 kPa。 （3）由，当时， ，解得。 ∵ ，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：气体的体积应不小于 m³。 【跟踪练习1】 1. 在某一电路中，保持电压不变，电流（A）与电阻（Ω）成反比例。当电阻 Ω时，电流 A。 （1）求与的函数表达式； （2）当电阻 Ω时，电流是多少？ （3）若电流不能超过 A，电阻至少应为多少欧姆？ 1. 某工厂用元购买了一批原材料，每千克的价格为元，购买了千克。 （1）写出与的函数表达式； （2）若每千克价格为元，购买了多少千克？ （3）若工厂需要购买千克原材料，则每千克价格最多为多少元？ 1. 某气球内气压（kPa）与体积（m³）成反比例，且。 （1）当体积为 m³时，气压是多少？ （2）若气球内的气压不超过 kPa，体积至少为多少立方米？ 【举一反三】 1. 在反比例函数（）中，若增大，则______（填“增大”或“减小”）。 1. 某电器中，电压 V保持不变，电流（A）与电阻（Ω）成反比例，则与的函数表达式为______。 1. 杠杆平衡时，动力与动力臂成反比例。若，则当时，______N。 1. 某公司用元采购办公用品，单价为元，数量为件，则与的函数表达式为______。 1. 利用反比例函数的______可以解决实际问题中的“至少” “最多”问题。 1. 某气球内气压与体积成反比例，当时，则______。 1. 在反比例函数（）中，若，则的取值范围为______。 1. 某矩形面积为，长为，宽为。若宽不超过，则长至少为______。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 在反比例函数（）中，随的增大而______。 1. 电路中，电压 V保持不变，电流（A）与电阻（Ω）的函数表达式为______。 1. 杠杆平衡时，阻力阻力臂，则动力与动力臂的函数表达式为______。 1. 某公司用元采购商品，单价为元，数量为件，则与的函数表达式为______。 1. 在反比例函数（）中，若，则的取值范围为______。 1. 某气球内气压（kPa）与体积（m³）成反比例，且，当时，______kPa。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 在时，反比例函数中随的增大而增大。（　　） 1. 实际问题中，利用反比例函数的增减性可以求解取值范围。（　　） 1. 欧姆定律中，与成正比例关系。（　　） 1. 杠杆平衡时，动力臂越长越省力。（　　） 三、选择题。 1. 在反比例函数（）中，若增大，则（　　） · A. 增大　　B. 减小　　C. 不变　　D. 无法确定 1. 某气球内气压（kPa）与体积（m³）成反比例，当时，则当时，为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 某公司用元采购商品，单价为元，数量为件。若单价为元，可购买件；若单价为元，可购买（　　） · A. 件　　B. 件　　C. 件　　D. 件 1. 现有五种合金的密度如下表： 种类 甲 乙 丙 丁 戊 密度（） 8.5 2.8 4.4 6.9 8 当合金的质量一定时，密度与体积成反比例．现测得某种合金的体积约为，密度与体积满足的函数关系如图所示，则该种合金的种类是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 · ◆ B组·能力提升 15.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了______．    1. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（kPa）是气体体积（m³）的反比例函数。当时，。 （1）求关于的函数表达式； （2）当时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于 kPa时，气球将爆炸。为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 1. 某运输公司要运送一批货物，每辆车的载重量为吨，需要辆车，已知与成反比例，且当时，。 （1）写出与的函数表达式； （2）如果每辆车的载重量为吨，需要多少辆车？ （3）若公司只有辆车，每辆车至少应装载多少吨？ ◆ C组·思维拓展 18.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流I（A）与电阻R（）的关系图象，该图象经过点． (1)求I与R之间的函数表达式； (2)当时，求I的取值范围． 19.（2024·安徽·中考真题改编） 某校科技小组进行野外考察，利用木板、钢索等器材搭建了一个简易的临时桥梁。桥面承受的压力（N）与桥面受力面积（m²）成反比例关系。 （1）当时，，求关于的函数表达式； （2）当受力面积为 m²时，桥面承受的压力是多少？ （3）若桥面能承受的最大压力为 N，则受力面积至少应为多少平方米？ 20. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．） (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 21.综合与实践 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 增减性应用 时，随的增大而减小 用于判断取值范围方向 物理模型 欧姆定律、杠杆原理 乘积为定值，成反比例关系 经济模型 总价一定，单价与数量成反比例 “至少/最多”问题 先求临界点，再用增减性说明 三步法：代入边界值→增减性→结论 常见错误提醒 错误类型 正确理解 利用增减性时忽略“在每一象限内”的前提 实际问题中，只需考虑第一象限 解不等式时方向判断错误 结合增减性确定不等号方向，避免机械运算出错 忘记标注自变量的取值范围 实际问题中所有量都有实际意义，必须标注范围 学习建议 1. 遇到“至少” “最多”问题，按三步法：先求临界点，再用增减性说明，最后得出结论。 1. 物理问题注意单位的统一性。 1. 养成“列式→求解→检验→作答”的完整答题习惯。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：减小 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案：； 解析：，当时，。 由，在第一象限内随的增大而减小。当时，因此时。结合，得。 1. 答案： 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案： （1），（）； （2）当时，（A）； （3）由，当时，，解得。 由，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：电阻至少应为 Ω。 1. 答案： （1）（）； （2）当时，（千克）； （3）由，当时，，解得。 由，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：每千克价格最多为元。 1. 答案： （1），当时，（kPa）； （2）由，当时，，解得。 由，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：体积至少为 m³。 举一反三 1. 答案：减小 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案：增减性 1. 答案：（） 1. 答案： 解析：当时，，解得。由，在第一象限内随的增大而减小，因此时。 1. 答案： 解析：。当时，，解得。由，在第一象限内随的增大而减小，因此时。 A组·基础过关 1. 答案：减小 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案：（） 1. 答案： 解析：当时，，解得。由，在第一象限内随的增大而减小，因此时。 1. 答案：（） 1. 答案：×（时随的增大而减小） 1. 答案：√ 1. 答案：×（与成反比例关系） 1. 答案：√（动力臂越长，动力越小，越省力） 1. 答案：B 1. 答案：B（，当时） 1. 答案：B（，，） 1. 答案：D B组·能力提升 1. 答案：20 解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 1. 答案： （1），（）； （2）当时，（kPa）； （3）由，当时，，解得。 由，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：体积应不小于 m³。 1. 答案： （1），（）； （2）当时，（辆）； （3）由，当时，，解得。 由，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：每辆车至少应装载吨。 C组·思维拓展 1. 答案： （1）解：设I与R之间的函数表达式：， 图象经过点， ， 解得：， I与R之间的函数表达式：； （2）解：当时，， 当时，， 当时，求I的取值范围． 1. 答案： （1），代入，，， ∴ （）； （2）当时，（N）； （3）由，当时，，解得。 由，在第一象限内随的增大而减小， ∴ 若，则。 答：受力面积至少应为 m²。 1. 答案： （1）解：由题意可得， 则， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力； （3）解：他不能撬动这块石头，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴他不能撬动这块石头． 21.解：（1）依题意，设的解析式为，将点代入得：， 解得：， ， 当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ； （2）由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为13小时， ， 第二天早上不能驾车出行． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（4题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $