专题04 动态平衡和临界、极值问题（重难点训练）（安徽专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法分类-题型匹配-情境应用”为主线，系统构建动态平衡与临界极值问题的解题体系，融合科学推理与模型建构，实现知识逻辑与应试能力的统一。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解构|2大知识点|解析法、图解法等5种动态平衡方法；极限法等3种临界极值方法|从概念定义到方法分类，再到三类动态平衡问题与临界极值类型的应用拓展| |基础演练|10题|结合足球悬挂、攀岩等情境，强化图解法与数学分析法|题型与方法一一对应，通过变式训练巩固科学推理能力| |重难创新|3题|传统工艺抖空竹、售票机读卡等新情境，深化辅助圆法与极值条件分析|以真实问题为载体，培养模型建构与质疑创新素养| |真题实战|3题|2024-2026年高考真题，聚焦动摩擦因数极值等高频考点|对接高考命题趋势，提升基于证据的科学论证能力|

专题04 动态平衡和临界、极值问题（重难点训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C A A C D A D 重难·创新演练 题号 1 2 3 答案 B A B 真题·实战演练 题号 1 2 3 答案 B BC AD 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 动态平衡和临界、极值问题（重难点训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 1 知识点1 动态平衡问题 1 知识点2 平衡中的临界、极值问题 3 模拟·基础演练 4 题型01 动态平衡问题 4 题型02平衡中的临界和极值问题 7 重难·创新演练 8 真题·实战演练 9 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 动态平衡问题 湖南T9 浙江1月T3 —— 临界和极值问题 四川T10 —— 山东T2 考情分析 题型与考向： 动态平衡和临界极值问题多以选择题形式命题，单项选择题或多项选择题，是高考考查的重点内容，涉及重力、绳拉力、接触面弹力，改变一些几何量，例如距离或角度等，分析各个力的变化情况。极值问题，常需借助一元二次函数、三角函数或者导数等数学方法求解，用到较多的数学知识，这类问题难度较大，具有较高的区分度。 情境与立意： 细绳悬吊重物、利用滑轮向高处运输建筑材料、小车运输货物、板夹着球体 物理实验类：探究力的平行四边形定则，改变弹力方向夹角 复习目标 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题。 巩固·知识解构 知识点1 动态平衡问题 1.动态平衡问题 动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡． 2.解题方法 常用解题方法有：解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 (1)解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化． (2)图解法 图解法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题．一般按照以下流程解题． (3)相似三角形法 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算． (4)正弦定理法 涉及三个力的变化问题，三个力构成闭合三角形，根据正弦定理列出三个力和对应角度的关系，由角度变化情况得到力的变化。 3.三类常见的动态平衡问题 类型一：图解法求解 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。 若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ，如图乙。 (2)类型二：相似三角形求解 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：。 类型三：辅助圆求解 一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 、、 柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中，重物受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示。F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小， ( ✨ 得分速记 ： (1)对于使用相似三角法解决的动态平衡问题，通过审题判断是否有对应的几何三角形存在，若存在与力对应的几何边形成的三角形，可首先考虑相似三角形解决问题。 (2)可利用一些特殊位置，求出对应的力，利用排除法排除部分选项，提高解题速率。 ) ( ⚠ 特别提醒： 类型一问题，在作图时要保证恒力的线段长度和方向不变，根据题目告知的条件改变某个力的方向画出正确的三个力构成的三角形。 ) 知识点2 平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 ( ✨ 得分速记 ： 利用数学分析法写出函数关系式，可利用求导数求出对应的极值和取极值的条件。 ) 模拟·基础演练 考查重点：动态平衡、解析法、图解法、相似三角形法、临界和极值问题 ⏳题型01 动态平衡问题 1．（25-26高三上·安徽·）如图所示，一个轻质网兜把一个足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球的质量为m，悬绳与竖直墙壁夹角为，重力加速度为g，下列说法中正确的是 A．墙壁对足球的弹力大小为 B．悬绳对足球的拉力大小为 C．若换成同等质量半径更大的足球，墙壁对足球的弹力变小 D．若换成同等质量半径更大的足球，悬绳对足球的拉力变大 2.（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示是某运动员攀岩的情景示意图，通过用力拉手中的绳子使自己身体垂直岩壁缓慢竖直上升，不考虑脚与岩壁的摩擦力，则绳子的拉力F和岩壁对人的支持力FN如何变化（ ） A．F变大，FN变大 B．F变大，FN不变 C．F变小，FN变大 D．F变小，FN变小 3．▶新考法◀（2025·广东·一模）如图，光滑圆环竖直固定在水平地面上，细线通过圆环最高点的小孔与套在圆环上的小球相连，拉住细线使小球静止于处。设小球的重力为，细线与圆环竖直直径的夹角为，细线对小球的拉力大小为。拉动细线使小球缓慢沿圆环向上移动，则下列随变化的图像可能正确的是（ ） A．B．C．D． 4．（2026·山西晋中·三模）先秦《诗经·小雅·斯干》中：“约之阁阁，椓之橐橐。”记载了古人营造宫室的场景，匠人手持绳墨定准方位，用版筑之法夯实土墙。如图所示，古代建筑工地中，绳OP一端连接轻质光滑滑轮，另一端固定在P点，工人抓住跨过滑轮的轻绳一端沿水平地面缓慢向左走动将建材吊起，在此过程中，下列说法正确的是（ ） A．绳OP上的拉力保持不变 B．绳OP上的拉力逐渐变大 C．地面对人的摩擦力逐渐变大 D．地面对人的支持力逐渐减小 5．（2024·四川德阳·二模）如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，圆心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上的质量为m的小球连接，另一端系在固定竖直杆上的B点，一质量为m0的钩码挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。除圆柱体与地面之间的摩擦以外，其它摩擦不计，绳的总长不变。将B点缓慢移动到C点的过程，下列说法正确的是（ ） A．地面对圆柱体P的支持力不变 B．地面对圆柱体P的摩擦力减小 C．轻绳的张力增大 D．若增大钩码的质量，整个装置再次处于静止状态时，小球依然处于圆柱体P上，则轻绳的张力增大 6. ▶新情境◀（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图1所示为生活中常用来搬运重物的小车，图2为其简图。紧靠“”形挡板放置一个表面光滑的匀质圆柱形物体，挡板P与挡板Q垂直，当挡板Q与水平方向的夹角从缓慢增大到的过程中，挡板P对圆柱形物体的支持力和挡板Q对圆柱形物体的支持力的变化情况是（ ） A．逐渐增大 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】A 【详解】对圆柱形物体进行受力分析，物体受到重力、挡板P的支持力和挡板Q的支持力。由于挡板P与挡板Q垂直，所以与互相垂直。物体处于动态平衡状态，这三个力构成一个封闭的直角三角形，其中重力G对应斜边。 根据几何关系，挡板Q与水平方向夹角为，则支持力与竖直方向夹角也为。 由平衡条件可得， 当从0°缓慢增大到的过程中，逐渐增大，逐渐减小； 所以逐渐增大，逐渐减小，故A正确，BCD错误。 故选A。 7．（24-25高三上·福建福州·）如图所示，质量为的小球用轻绳、连接，端固定，在端施加拉力，使小球静止。开始时处于水平状态，现把小球向右上方缓慢拉起至绳水平，在整个运动过程中始终保持与的夹角不变。下列说法正确的是（ ） A．拉力先变大后变小 B．上的拉力先变小后变大 C．拉力的最大值为 D．上的拉力的最小值 ⏳题型02平衡中的临界和极值问题 8．（2026·安徽黄山·一模）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在木板上，质量分别为和的物块，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接。的接触面、轻绳均与木板平行。间动摩擦因数，木板上表面光滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将木板一端从水平位置缓慢抬起，为保证物块不发生相对滑动，木板与水平地面的夹角不得大于（ ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江金华·三模）如图所示，甲，乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河南洛阳·）如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角，光滑球体的质量为m，支架的质量为，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为（ ） A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新:传统工艺抖空竹(T1);轻质动滑轮受力(T2);售票机读卡装置(T3) 1．▶新情境◀（25-26高三上·安徽·阶段检测）抖空竹是一种传统杂技节目，叫“抖空钟”，南方也叫“扯铃”。表演者用两根短竿系上绳子，将空竹（也有用壶盖或酒瓶）扯动使之旋转，并表演出各种身段，如图甲所示。表演者保持一只手A不动，另一只手B沿图乙中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细绳间的摩擦力，且认为细绳不可伸长。下列说法正确的是（ ） A．细绳B端沿虚线a向左移动时，细绳对空竹的合力增大 B．细绳B端沿虚线b向上移动时，细绳的拉力大小不变 C．细绳B端沿虚线c斜向上移动时，细绳的拉力大小不变 D．细绳B端沿虚线d向右移动时，细绳的拉力减小 2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）如图，轻质滑轮Q用轻杆固定在天花板上，轻绳a跨过滑轮Q，一端连接轻滑轮P，水平拉力F作用于另一端O；另有一跨过滑轮P的轻绳b一端固定在竖直墙壁上A点，另一端连接物块B。开始时系统静止且AP段水平，现保持拉力F的方向不变，缓慢移动O点，使轻绳的AP段和BP段成120°。不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ） A．移动前轻绳a的PQ段与竖直方向的夹角θ=45° B．缓慢移动过程中，轻绳a的张力逐渐增大 C．缓慢移动过程中固定滑轮Q的轻杆弹力大小逐渐增大 D．缓慢移动过程中固定滑轮Q的轻杆弹力方向与竖直方向的夹角逐渐增大 3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图所示售票机的读卡处设计成倾角为θ的斜面。若卡片与斜面之间不存在磁力，卡片与斜面之间的动摩擦因数为μ，卡片质量为m，重力加速度为g。为使卡片不从斜面上滑落，乘客应至少沿垂直斜面方向所施加的力的大小为（ ） A． B． C． D． 真题·实战演练 高频考点：动摩擦因数极值、共点力平衡、极值问题 1. （2024·山东·高考真题） 如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（ ） A. B. C. D. 2. （2026·湖南·高考真题）（多选）如图，某同学将两个相同的球形氦气球用等长的轻绳系在一起，拉着绳使气球随人一起做水平匀速运动。运动过程中，球心始终在绳的延长线上且球心连线水平，两绳所构成的平面与水平面的夹角为（），两球间的弹力为。气球受到空气阻力的大小与相对空气的速率成正比，空气始终相对于地面静止，忽略气球形状的变化。该同学沿原方向运动速度缓慢增大，下列说法正确的是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 3. （2026·四川·高考真题）（多选）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（ ） A. 时，演员保持平衡状态，大小可能为 B. 时，演员可以通过增大往上移动 C. 时，演员不可能保持平衡状态 D. 演员要保持平衡状态，的最小值为 $ 专题04 动态平衡和临界、极值问题（重难点训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 1 知识点1 动态平衡问题 1 知识点2 平衡中的临界、极值问题 3 模拟·基础演练 4 题型01 动态平衡问题 4 题型02 平衡中的临界和极值问题 10 重难·创新演练 12 真题·实战演练 15 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 动态平衡问题 湖南T9 浙江1月T3 —— 临界和极值问题 四川T10 —— 山东T2 考情分析 题型与考向： 动态平衡和临界极值问题多以选择题形式命题，单项选择题或多项选择题，是高考考查的重点内容，涉及重力、绳拉力、接触面弹力，改变一些几何量，例如距离或角度等，分析各个力的变化情况。极值问题，常需借助一元二次函数、三角函数或者导数等数学方法求解，用到较多的数学知识，这类问题难度较大，具有较高的区分度。 情境与立意： 细绳悬吊重物、利用滑轮向高处运输建筑材料、小车运输货物、板夹着球体 物理实验类：探究力的平行四边形定则，改变弹力方向夹角 复习目标 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题。 巩固·知识解构 知识点1 动态平衡问题 1.动态平衡问题 动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡． 2.解题方法 常用解题方法有：解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 (1)解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化． (2)图解法 图解法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题．一般按照以下流程解题． (3)相似三角形法 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算． (4)正弦定理法 涉及三个力的变化问题，三个力构成闭合三角形，根据正弦定理列出三个力和对应角度的关系，由角度变化情况得到力的变化。 3.三类常见的动态平衡问题 类型一：图解法求解 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。 若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ，如图乙。 (2)类型二：相似三角形求解 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成的矢量三角形与△ACO几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图所示 基本关系式：。 类型三：辅助圆求解 一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 、、 柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中，重物受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示。F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小， ( ✨ 得分速记 ： (1)对于使用相似三角法解决的动态平衡问题，通过审题判断是否有对应的几何三角形存在，若存在与力对应的几何边形成的三角形，可首先考虑相似三角形解决问题。 (2)可利用一些特殊位置，求出对应的力，利用排除法排除部分选项，提高解题速率。 ) ( ⚠ 特别提醒： 类型一问题，在作图时要保证恒力的线段长度和方向不变，根据题目告知的条件改变某个力的方向画出正确的三个力构成的三角形。 ) 知识点2 平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 ( ✨ 得分速记 ： 利用数学分析法写出函数关系式，可利用求导数求出对应的极值和取极值的条件。 ) 模拟·基础演练 考查重点：动态平衡、解析法、图解法、相似三角形法、临界和极值问题 ⏳题型01 动态平衡问题 1．（25-26高三上·安徽·）如图所示，一个轻质网兜把一个足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球的质量为m，悬绳与竖直墙壁夹角为，重力加速度为g，下列说法中正确的是 A．墙壁对足球的弹力大小为 B．悬绳对足球的拉力大小为 C．若换成同等质量半径更大的足球，墙壁对足球的弹力变小 D．若换成同等质量半径更大的足球，悬绳对足球的拉力变大 【答案】D 【详解】AB．对足球进行受力分析，根据三角函数可知， 故墙壁对足球的弹力大小为 悬绳对足球的拉力大小为，故AB错误； CD．若换成同等质量半径更大的足球，角变大，则、T都增大，故C错误，D正确。 故选D。 2.（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示是某运动员攀岩的情景示意图，通过用力拉手中的绳子使自己身体垂直岩壁缓慢竖直上升，不考虑脚与岩壁的摩擦力，则绳子的拉力F和岩壁对人的支持力FN如何变化（ ） A．F变大，FN变大 B．F变大，FN不变 C．F变小，FN变大 D．F变小，FN变小 【答案】A 【详解】设人的质量为m，以人为对象，受力分析如图所示 根据平衡条件可得， 可得， 人缓慢竖直上升过程，逐渐变大，则变大，变大。 故选A。 3．▶新考法◀（2025·广东·一模）如图，光滑圆环竖直固定在水平地面上，细线通过圆环最高点的小孔与套在圆环上的小球相连，拉住细线使小球静止于处。设小球的重力为，细线与圆环竖直直径的夹角为，细线对小球的拉力大小为。拉动细线使小球缓慢沿圆环向上移动，则下列随变化的图像可能正确的是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】令圆环的圆心为O，半径为R，对小球进行分析，小球受到重力G、绳的拉力T与圆环的弹力FN三个力的作用，如图 则重力方向平行于图中虚线表示的直径，绳拉力方向沿绳，圆环弹力方向沿半径指向圆心，根据相似三角形有 根据几何关系有xPQ=2Rcosθ 解得T=2Gcosθ 可知，T随θ变化的图像为余弦曲线关系，且最大值为2G。 故选A。 4．（2026·山西晋中·三模）先秦《诗经·小雅·斯干》中：“约之阁阁，椓之橐橐。”记载了古人营造宫室的场景，匠人手持绳墨定准方位，用版筑之法夯实土墙。如图所示，古代建筑工地中，绳OP一端连接轻质光滑滑轮，另一端固定在P点，工人抓住跨过滑轮的轻绳一端沿水平地面缓慢向左走动将建材吊起，在此过程中，下列说法正确的是（ ） A．绳OP上的拉力保持不变 B．绳OP上的拉力逐渐变大 C．地面对人的摩擦力逐渐变大 D．地面对人的支持力逐渐减小 【答案】C 【详解】AB．设滑轮左侧绳子与竖直方向夹角，在此过程中，滑轮两侧的绳子拉力大小T均等于重物重力大小mg，对滑轮，由平衡条件可知，绳OP上的拉力 在此过程中，增大，因此F减小，故AB错误； CD．根据平衡条件，人在水平方向有 竖直方向上有 在此过程中，增大，因此地面对人的摩擦力逐渐变大，地面对人的支持力逐渐增大，故C正确，D错误。 故选C。 5．（2024·四川德阳·二模）如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，圆心O的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上的质量为m的小球连接，另一端系在固定竖直杆上的B点，一质量为m0的钩码挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。除圆柱体与地面之间的摩擦以外，其它摩擦不计，绳的总长不变。将B点缓慢移动到C点的过程，下列说法正确的是（ ） A．地面对圆柱体P的支持力不变 B．地面对圆柱体P的摩擦力减小 C．轻绳的张力增大 D．若增大钩码的质量，整个装置再次处于静止状态时，小球依然处于圆柱体P上，则轻绳的张力增大 【答案】A 【详解】C．通过A点作一条竖直线，该线与CB之间的距离为d，AB之间的绳长为L，对m0和m进行受力分析如图所示 根据几何关系可得 将B点缓慢移动到C点过程，d和L不变，则不变，对m0分析，根据平衡条件可得 解得 所以绳拉力不变，故C错误； AB．由于绳拉力大小和方向均不变，则m受力情况不变，所以地面对圆柱体P的支持力不变，地面对圆柱体P的摩擦力不变，故A正确，B错误； D．对m分析，根据三角形相似可得 若增大钩码的质量，小球向上运动，AP减小，则F减小，轻绳的张力减小，故D错误。 故选A。 6. ▶新情境◀（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图1所示为生活中常用来搬运重物的小车，图2为其简图。紧靠“”形挡板放置一个表面光滑的匀质圆柱形物体，挡板P与挡板Q垂直，当挡板Q与水平方向的夹角从缓慢增大到的过程中，挡板P对圆柱形物体的支持力和挡板Q对圆柱形物体的支持力的变化情况是（ ） A．逐渐增大 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】A 【详解】对圆柱形物体进行受力分析，物体受到重力、挡板P的支持力和挡板Q的支持力。由于挡板P与挡板Q垂直，所以与互相垂直。物体处于动态平衡状态，这三个力构成一个封闭的直角三角形，其中重力G对应斜边。 根据几何关系，挡板Q与水平方向夹角为，则支持力与竖直方向夹角也为。 由平衡条件可得， 当从0°缓慢增大到的过程中，逐渐增大，逐渐减小； 所以逐渐增大，逐渐减小，故A正确，BCD错误。 故选A。 7．（24-25高三上·福建福州·）如图所示，质量为的小球用轻绳、连接，端固定，在端施加拉力，使小球静止。开始时处于水平状态，现把小球向右上方缓慢拉起至绳水平，在整个运动过程中始终保持与的夹角不变。下列说法正确的是（ ） A．拉力先变大后变小 B．上的拉力先变小后变大 C．拉力的最大值为 D．上的拉力的最小值 【答案】C 【详解】AB．以小球为研究对象，小球受到重力mg、拉力F、绳子OA的拉力FT三个力的作用，三个力构成矢量三角形，如图所示 由图可知拉力F一直变大，OA上的拉力一直变小，故AB错误； CD．拉力的最大值为 OA上的拉力的最小值 故C正确，D错误。 故选C。 ⏳题型02平衡中的临界和极值问题 8．（2026·安徽黄山·一模）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在木板上，质量分别为和的物块，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接。的接触面、轻绳均与木板平行。间动摩擦因数，木板上表面光滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将木板一端从水平位置缓慢抬起，为保证物块不发生相对滑动，木板与水平地面的夹角不得大于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】恰好发生相对滑动的临界问题 【详解】根据题意分析，物块A、B刚好要滑动时，应该是物体A相对物体B向下滑动，设绳子拉力为F，对A受力分析，由平衡条件得 对B受力分析，由平衡条件得 联立解得 可知 故选D。 9．（2024·浙江金华·三模）如图所示，甲，乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析可知，只要摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的摩擦因数最小。整体分析有 设与水平面的夹角，对甲，由平衡条件得 联立解得 可知角越小，f越大，由几何关系得，最小为30°。则 解得 故选A。 10．（24-25高三上·河南洛阳·）如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角，光滑球体的质量为m，支架的质量为，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对光滑球体受力分析如图所示 根据平衡条件可得 对支架受力分析如图所示 根据牛顿第三定律可知 对支架由平衡条件可得 又 联立解得 可知支架和地面间的动摩擦因数至少为。 故选D。 重难·创新演练 设题创新:传统工艺抖空竹(T1);轻质动滑轮受力(T2);售票机读卡装置(T3) 1．▶新情境◀（25-26高三上·安徽·阶段检测）抖空竹是一种传统杂技节目，叫“抖空钟”，南方也叫“扯铃”。表演者用两根短竿系上绳子，将空竹（也有用壶盖或酒瓶）扯动使之旋转，并表演出各种身段，如图甲所示。表演者保持一只手A不动，另一只手B沿图乙中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细绳间的摩擦力，且认为细绳不可伸长。下列说法正确的是（ ） A．细绳B端沿虚线a向左移动时，细绳对空竹的合力增大 B．细绳B端沿虚线b向上移动时，细绳的拉力大小不变 C．细绳B端沿虚线c斜向上移动时，细绳的拉力大小不变 D．细绳B端沿虚线d向右移动时，细绳的拉力减小 【答案】B 【详解】A．细绳B端沿虚线a向左移动时，细绳对空竹的合力与重力等大反向，可知合力大小不变，A错误； B．设AB两点水平间距为d，绳长为L，细绳与竖直方向的夹角为，由几何关系可知，由平衡条件可知绳子拉力 细绳B端沿虚线b向上移动时d、L均不变，则不变，则细绳的拉力大小不变，B正确； CD．细绳B端沿虚线c斜向上移动或沿虚线d向右移动时，d变大、L不变，则θ变大，变小，可知细绳的拉力增大，C、D错误。 故选B。 2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）如图，轻质滑轮Q用轻杆固定在天花板上，轻绳a跨过滑轮Q，一端连接轻滑轮P，水平拉力F作用于另一端O；另有一跨过滑轮P的轻绳b一端固定在竖直墙壁上A点，另一端连接物块B。开始时系统静止且AP段水平，现保持拉力F的方向不变，缓慢移动O点，使轻绳的AP段和BP段成120°。不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ） A．移动前轻绳a的PQ段与竖直方向的夹角θ=45° B．缓慢移动过程中，轻绳a的张力逐渐增大 C．缓慢移动过程中固定滑轮Q的轻杆弹力大小逐渐增大 D．缓慢移动过程中固定滑轮Q的轻杆弹力方向与竖直方向的夹角逐渐增大 【答案】A 【详解】A．对滑轮P，受水平拉力FA、竖直拉力FB和绳a 的斜拉力FQP三力平衡，因 根据力的合成可得 根据几何知识易知方向左偏上45°，即θ=45°，故A正确； B．缓慢移动过程中，仍有 因FA、FB的夹角变大，合力变小，所以绳a的张力FQP变小，且θ逐渐变大，故B错误； CD．对滑轮Q，受三个力即水平力F、斜拉力FQP及连接杆的弹力，又F =FQP，因FQP逐渐减小且水平力F、斜拉力FQP两者夹角逐渐增大，所以其合力大小逐渐减小，即连接杆的弹力逐渐减小，连接杆的弹力方向与竖直方向的夹角也逐渐减小，故CD错误。 故选A。 3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图所示售票机的读卡处设计成倾角为θ的斜面。若卡片与斜面之间不存在磁力，卡片与斜面之间的动摩擦因数为μ，卡片质量为m，重力加速度为g。为使卡片不从斜面上滑落，乘客应至少沿垂直斜面方向所施加的力的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】卡片受力分析如图所示 为使卡片不从斜面上滑落，沿斜面方向 垂直斜面方向 又静摩擦力刚好达到最大时有 联立解得 故选B。 真题·实战演练 高频考点：动摩擦因数极值、共点力平衡、极值问题 1. （2024·山东·高考真题） 如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知机器人“天工”它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有 可得 故选B。 2. （2026·湖南·高考真题）（多选）如图，某同学将两个相同的球形氦气球用等长的轻绳系在一起，拉着绳使气球随人一起做水平匀速运动。运动过程中，球心始终在绳的延长线上且球心连线水平，两绳所构成的平面与水平面的夹角为（），两球间的弹力为。气球受到空气阻力的大小与相对空气的速率成正比，空气始终相对于地面静止，忽略气球形状的变化。该同学沿原方向运动速度缓慢增大，下列说法正确的是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】BC 【详解】AB．根据题意，设每根绳子的拉力为，两根绳子之间的夹角为，每个气球受到空气阻力，浮力为，对整体受力分析，由平衡条件，竖直方向上有 水平方向上有 整理可得 运动速度缓慢增大，减小，则减小，增大，故A错误，B正确； CD．对单个气球受力分析，由平衡条件有 由于不变，增大，则增大，故C正确，D错误。 故选BC。 3. （2026·四川·高考真题）（多选）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（ ） A. 时，演员保持平衡状态，大小可能为 B. 时，演员可以通过增大往上移动 C. 时，演员不可能保持平衡状态 D. 演员要保持平衡状态，的最小值为 【答案】AD 【详解】设球心O到单侧手的作用点连线与竖直轴的夹角为，由几何关系得， 演员受力平衡：水平分量抵消，竖直方向两个手的支持力和摩擦力的竖直分量平衡重力，整理得 最大静摩擦力满足 当静摩擦力取最大值时，联立可得 A．时，代入数据解得 由于 可知的范围为 大小可能为，故A正确； B．根据题目分析可知时，演员可以处于平衡状态，在保持平衡状态的前提下，当增大时，静摩擦力变小，合力始终不变，能否上升与N无关，故B错误； C．根据结合题意 当时，解得平衡临界，故C错误； D．根据结合辅助角公式可得 可得的最小值，故D正确。 故选AD。 $