解答题03 圆锥曲线（7大题型专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

解答题 圆锥曲线 年份 曲线载体 三层设问主线 压轴第 (3) 问题型 核心融合模块 2024 椭圆 (1) 求标准方程(2) 动直线相交，三角形面积表达式(3) 斜率和定值，证明直线过定点 定点证明（手电筒模型） 平面向量、韦达整体代换 2025 椭圆 (1) 已知焦距、定点求椭圆方程(2) 向量数量积定值，约束直线斜率(3) 弦长构造函数，求参数取值范围 参数范围（函数值域法） 向量数量积、函数单调性 2026 双曲线 (1) 渐近线 + 定点求双曲线方程(2) 焦点弦弦长计算(3) 面积约束，斜率存在性探究 存在性判断 焦点弦、判别式临界分析 稳定命题规律 载体轮换：椭圆连续两年大题，2026 切换双曲线；2027 预测回归椭圆为主；抛物线极少作为解答大题载体，仅出填空； 设问梯度完全固化：基础求方程→直线与曲线基础运算→动态探究压轴； 通用解题逻辑统一：设直线→联立曲线→韦达定理代换，全卷无例外； 必考隐含限制：直线与曲线相交必须标注△＞0，是范围、存在性题必踩分点。 题型一 ： 曲线方程求解（第1小问必考） 【典例1】（24-25高二下·上海·期中）历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹. (1)试求到两个定点 的距离之积为常数的动点的轨迹方程（不要求化简）； (2)探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）. 定义法：椭圆；双曲线 ；抛物线 ，直接利用定义定值解题。 待定系数法：已知焦点、顶点、离心率、定点，列方程求解 ，无需复杂运算。 核心恒等式：椭圆/双曲线通用 ，离心率 。 【变式1-1】（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【变式1-2】（25-26高三·上海·二轮复习）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“类距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“类椭圆”. (1)求“类椭圆”的方程； (2)根据“类椭圆”的方程，研究“类椭圆”的范围、对称性，并说明理由. 【变式1-3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 题型二：中点弦问题（点差法专属） 【典例2】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 设 在椭圆上，代入标准方程作差： 代入中点 、弦斜率 、中线斜率 ，直接得秒杀公式： 【变式2-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【变式2-2】（23-24高二下·上海·阶段检测）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【变式2-3】已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程； (3)已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值. 题型三：弦长、面积计算（第2小问高频） 【典例3-1】（25-26高二下·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【典例3-2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）设椭圆的离心率，过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积（为坐标原点）； (3)直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值. 1. 万能弦长公式 斜率存在： 斜率不存在： 2. 三角形面积专属公式 原点为顶点： 椭圆焦点三角形：（为两焦半径夹角） 双曲线焦点三角形： 【变式3-1】（25-26高二下·上海·期中）已知直线斜率为，且过定点，椭圆. (1)求直线的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 【变式3-2】（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值（为坐标原点） 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【变式3-4】（25-26高二下·上海黄浦·期中）若点是双曲线在第一象限图像上的动点，、分别为双曲线的左、右焦点： (1)若且的面积为，求的大小 (2)在（1）的条件下，求线段的长 (3)若求当为等腰三角形时点的坐标. 题型四：参数取值范围、离心率范围问题 【典例4-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 【典例4-2】（24-25高二下·上海静安·期中）设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． (1)若，求的值； (2)设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； (3)过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 通过韦达定理，将题干几何条件转化为含 的不等式； 联立 取参数交集； 离心率范围：将条件化为 齐次式，同除 转化为 的不等式求解。 【变式4-1】（2026·上海黄浦·三模）设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． (1)若，求点的坐标； (2)若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； (3)求的取值范围． 【变式4-2】（2026·上海·模拟预测）已知双曲线，焦距为. (1)求双曲线的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值； (3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）. 【变式4-3】（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【变式4-4】（2024·上海·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 题型五：定点问题（第3问压轴最热） 【典例5】（25-26高二下·上海闵行·期末）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 特殊探点：取斜率为0、斜率不存在、过原点等特殊直线，代入算出定点坐标； 一般联立：常规设直线、联立方程、韦达化简，推导参数 等量关系； 参数分离：将动直线方程整理为 ； 定点求解：令 ，解出定点，验证特殊情况即可。 【变式5-1】（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【变式5-2】（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 【变式5-3】（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【变式5-4】（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为F，直线交于A，B两点. (1)若点F到直线的距离为，求的准线方程； (2)设直线交x轴于点E，若，三角形的面积为，求直线的倾斜角的大小； (3)设p为常数直线过焦点F，直线，分别交的准线于点C，D，证明.以为直径的圆经过两个定点. 题型六：定值问题（向量积、斜率、距离、线段和差） 【典例6】（2026·上海·模拟预测）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； (3)若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 设参联立：设直线方程，联立曲线，写出韦达定理； 列式转化：写出目标定值代数式（数量积、斜率乘积、距离等）； 整体消参：代入韦达结论，消去所有变量参数，结果为常数即为定值。 【变式6-1】（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 【变式6-2】（25-26高二下·上海·期末）已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式6-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线过点，点为其渐近线上一点．过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)若与的面积相等，求出M的坐标； (3)直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，记PQ的中点为E，判断的外接圆面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【变式6-4】（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 题型七：存在性探索问题（压轴最难） 【典例7】（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 假设存在：先假设符合条件的参数/点存在； 转化列式：将几何条件转化为方程、不等式； 求解验证：解方程/不等式，结合 、定义域、斜率存在性约束； 下定结论：有合理解则存在，无解/解不符合约束则不存在。 【变式7-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式7-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知点，均在椭圆上，点在抛物线上，坐标原点为． (1)求椭圆与抛物线的交点坐标； (2)若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标； (3)是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（25-26高二下·上海松江·期中）已知椭圆：，动直线与椭圆交于、两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若动直线经过点，则轴上是否存在定点（不同于点），使得直线与直线的倾斜角总互补？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-4】（2026·上海金山·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； (3)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-5】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴．过作直线l交椭圆于A、B两点． (1)当的周长为8，椭圆的焦距为2时，求曲线及的方程； (2)当时，已知椭圆的上顶点为，是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标； (3)当时，是否存在椭圆的切线，其与双曲线的左、右两支分别交于点、，使得？若存在，求出所有满足要求的直线的方程；若不存在，请说明理由． 1．（2026·上海·三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． (1)设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； (2)设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； (3)设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 2．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 3．（2026·上海·三模）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有，两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； (3)过的直线与相交于点、、三点，求证：． 4．（2025·上海·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆交于、两点． (1)若，求的周长； (2)若，，是否存在直线，使得在为直角三角形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由； (3)若存在，使得、中一个面积是另一个面积的两倍，求椭圆的离心率的取值范围． 5．（2026·上海·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于，两点（点在轴上方）． (1)当双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率； (2)若，点，点在双曲线上，且，求点的坐标； (3)若，点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧），且的重心在轴上，记，的面积分别为，，求的最小值． 6．（2026·上海·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限的点使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 7．（2026·上海·三模）设椭圆 (1)若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； (2)若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，.若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； (3)若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． (1)求：椭圆的标准方程； (2)若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； (3)记直线与直线的交点为，求：的最小值． 1．（2023·上海·高考真题）已知椭圆． (1)若，求椭圆的离心率； (2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值； (3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围． 2．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 3．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 4．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 6．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 8．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题 圆锥曲线 年份 曲线载体 三层设问主线 压轴第 (3) 问题型 核心融合模块 2024 椭圆 (1) 求标准方程(2) 动直线相交，三角形面积表达式(3) 斜率和定值，证明直线过定点 定点证明（手电筒模型） 平面向量、韦达整体代换 2025 椭圆 (1) 已知焦距、定点求椭圆方程(2) 向量数量积定值，约束直线斜率(3) 弦长构造函数，求参数取值范围 参数范围（函数值域法） 向量数量积、函数单调性 2026 双曲线 (1) 渐近线 + 定点求双曲线方程(2) 焦点弦弦长计算(3) 面积约束，斜率存在性探究 存在性判断 焦点弦、判别式临界分析 稳定命题规律 载体轮换：椭圆连续两年大题，2026 切换双曲线；2027 预测回归椭圆为主；抛物线极少作为解答大题载体，仅出填空； 设问梯度完全固化：基础求方程→直线与曲线基础运算→动态探究压轴； 通用解题逻辑统一：设直线→联立曲线→韦达定理代换，全卷无例外； 必考隐含限制：直线与曲线相交必须标注△＞0，是范围、存在性题必踩分点。 题型一 ： 曲线方程求解（第1小问必考） 【典例1】（24-25高二下·上海·期中）历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹. (1)试求到两个定点 的距离之积为常数的动点的轨迹方程（不要求化简）； (2)探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）. 【详解】（1）设点，根据题意得， 由，所以； （2）由（1）得， 化简整理得， 所以卡西尼卵形线方程为， 对称性：将点代入方程得，即， 所以卡西尼卵形线关于轴对称， 同理，将点代入方程得，即，所以卡西尼卵形线关于轴对称， 将点代入方程得，即，所以卡西尼卵形线关于原点中心对称， 综上所述，卡西尼卵形线关于坐标轴对称，关于原点中心对称； 令得，即，解得， 令得，化简得，解得，解得， 所以卡西尼卵形线的顶点为； 由有， 所以，即， 化简整理得，所以，解得， 所以， 又由， 令，所以， 所以，所以，解得， 所以， 综上所述，卡西尼卵形线的范围为，. 定义法：椭圆；双曲线 ；抛物线 ，直接利用定义定值解题。 待定系数法：已知焦点、顶点、离心率、定点，列方程求解 ，无需复杂运算。 核心恒等式：椭圆/双曲线通用 ，离心率 。 【变式1-1】（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【详解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 【变式1-2】（25-26高三·上海·二轮复习）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“类距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“类椭圆”. (1)求“类椭圆”的方程； (2)根据“类椭圆”的方程，研究“类椭圆”的范围、对称性，并说明理由. 【详解】（1）设“类椭圆”上任意一点为，则， 即，即， 所以“类椭圆”的方程为； （2）由方程，得， 因为，所以，即， 所以或或， 解得， 由方程，得， 即，所以，所以， 所以“类椭圆”的范围为，， 将点代入得，， 即，方程不变，所以“类椭圆”关于轴对称， 将点代入得，， 即，方程不变，所以“类椭圆”关于轴对称， 将点代入得，， 即，方程不变，所以“类椭圆”关于原点对称， 所以“类椭圆”关于轴，轴，原点对称. 【变式1-3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【详解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 题型二：中点弦问题（点差法专属） 【典例2】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【详解】（1）因为渐近线方程为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，即， 所以双曲线方程为，即. （2）设， 因为线段的中点为，则， 又因为A，是双曲线上的两点，则， 两式相减可得， 整理得， 可得，即直线的斜率， 所以直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 可得， 即直线与双曲线相交，直线符合题意， 综上所述：直线的方程为.    设 在椭圆上，代入标准方程作差： 代入中点 、弦斜率 、中线斜率 ，直接得秒杀公式： 【变式2-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 【变式2-2】（23-24高二下·上海·阶段检测）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【详解】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程 则， 经检验符合题意，则直线的方程为． （2）由（1）可知联立后的方程为， ． 【变式2-3】已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程； (3)已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值. 【详解】（1）依题意，双曲线焦点在轴上，半焦距，实半轴长，则虚半轴长， 所以双曲线C的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，否则弦中点纵坐标为0， 设直线的方程为，即，设， 由消去得：， 依题意，，由M为的中点，得，解得， 此时方程为，，符合题意， 所以直线的方程为. （3）由，得点在双曲线夹含虚轴的区域内， 又点在双曲线右支上，即， 因此， 当且仅当是线段与双曲线右支的交点时取等号， 所以的最小值为. 题型三：弦长、面积计算（第2小问高频） 【典例3-1】（25-26高二下·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【详解】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . （2）联立，得 . 设，则. 所以. 【典例3-2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）设椭圆的离心率，过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积（为坐标原点）； (3)直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值. 【详解】（1）由题意可知：， 解得：，所以椭圆方程为：； （2）直线与轴交点为，与椭圆交于，， 联立方程：，化简得：， ， 由韦达定理得：， ， 所以， ， 所以 . （3） 联立方程：， 化简得：， ， 解得：， 设，，和中点为， 则由韦达定理得：，， 且，， 若以为直径的圆过坐标原点，则, 由弦长公式可得：， 而， 所以，解得：， 验证，符合题意， 所以. 1. 万能弦长公式 斜率存在： 斜率不存在： 2. 三角形面积专属公式 原点为顶点： 椭圆焦点三角形：（为两焦半径夹角） 双曲线焦点三角形： 【变式3-1】（25-26高二下·上海·期中）已知直线斜率为，且过定点，椭圆. (1)求直线的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 【详解】（1）由题意可知，直线的方程为，即. （2）设点、，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以. 【变式3-2】（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值（为坐标原点） 【详解】（1）由题知，整理得到①， 又点在椭圆上，则②，由①②解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）易知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，得到， 所以， 又到直线的距离为， 所以， 令，则， 令，令，则， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则， 所以面积的最大值为. 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【详解】（1）由题意得，则双曲线C的渐近线方程为. （2）①设，，直线l的斜率为k， 则，两式相减，得， 即，所以，即. 直线l的方程为，即. 联立得，则， 则直线与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以，直线l的方程为. ②由①得， 则. 【变式3-4】（25-26高二下·上海黄浦·期中）若点是双曲线在第一象限图像上的动点，、分别为双曲线的左、右焦点： (1)若且的面积为，求的大小 (2)在（1）的条件下，求线段的长 (3)若求当为等腰三角形时点的坐标. 【详解】（1）当时，双曲线方程， 则，， 设，， ，得， 代入，得 则，，， 所以，， ， 所以. （2）. （3），，则，， 若为等腰三角形，则或 设，， 若，则，且，得或（舍）， 当时，，（负值舍去），则 若，则，且，得（舍）或， 当时，，（负值舍去），则 所以点的坐标分别为或. 题型四：参数取值范围、离心率范围问题 【典例4-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 【详解】（1）点在抛物线上，代入得，解得； ，， 设两直线夹角为，则， 两直线夹角为. (2)抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. （3）设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，， 则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 【典例4-2】（24-25高二下·上海静安·期中）设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． (1)若，求的值； (2)设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； (3)过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 【详解】（1）将分别代入与可得，解得，因为，所以； （2）由题设，． 、的坐标分别为、，即为的两个焦点． 因为，所以点只能在上． 由双曲线的定义，可得，故． 在中，， 故； （3）由题设，直线的方程为，与的渐近线平行，故与有且仅有一个公共点． 由圆的圆心到直线的距离， 得与相切，即与有且仅有一个公共点． 由题意，与及各有一个公共点，依次记为、，且点的横坐标大于． 由点坐标为方程组的实数解，解得 由与相切，得，直线的方程为， 代入圆的方程，解得点的坐标为． 于是，由，即解得． ． 通过韦达定理，将题干几何条件转化为含 的不等式； 联立 取参数交集； 离心率范围：将条件化为 齐次式，同除 转化为 的不等式求解。 【变式4-1】（2026·上海黄浦·三模）设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． (1)若，求点的坐标； (2)若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； (3)求的取值范围． 【详解】（1） 如图：由题意得，准线方程为：.若，则， 所以直线的方程为：，令得，所以点的坐标为. （2）当斜率不存在时直线方程为：； 当斜率存在时设直线方程为：，将之与联立得， 化简得，由题意得，解得 故过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程为：或. （3）如图： 过A作，垂足为,过B作，垂足为,设， 则，又 故，， 直线的倾斜角为, . 设，则, 设直线的方程为，则，得， 将直线的方程与联立得， 整理得，则，， ， 所以, 所以, ，当时取等号， 所以的取值范围是. 【变式4-2】（2026·上海·模拟预测）已知双曲线，焦距为. (1)求双曲线的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值； (3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）. 【详解】（1）由题意：， ， 由，得，即， 双曲线标准方程：，渐近线为. （2）设直线，设，联立， 消去，整理得：， 由，根据向量性质可知，点为的中点， 故根据中点坐标公式，得：， 由韦达定理得 ， 解方程：，方程无解. 故满足条件的斜率不存在. （3）由双曲线定义，即, 将其代入，得， 点为双曲线右支上动点，根据双曲线焦半径性质， 右支上点到右焦点的距离最小值为， 即，代入上式，得最小值： . 【变式4-3】（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线． (1)设点为左焦点，为双曲线右支上任一点，写出点坐标与直线斜率的取值范围； (2)过点作的切线， ①若切线斜率为，求实数与实数满足的关系式； ②若可以作两条这样的切线、，它们的斜率分别为、．若，求实数的取值范围及的取值范围． 【详解】（1）对于双曲线，可得， 则，即，因此左焦点， 双曲线渐近线斜率为，在右支上，当趋向无穷远时，直线斜率趋近，且永远取不到， 因此的取值范围是. （2）① 设切线方程为，即，代入双曲线方程， 整理得： ， 因为是切线，判别式，化简整理得： . ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于的方程有两个不相等的实根， 因此： ， 结合，解得或 ， 所以 的取值范围为 由韦达定理，， 当时，，得； 当时，，得， 因此的取值范围为. 【变式4-4】（2024·上海·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 题型五：定点问题（第3问压轴最热） 【典例5】（25-26高二下·上海闵行·期末）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【详解】（1）由已知 ，则 ，又，. 得 ， ， 故椭圆的离心率为； （2）由椭圆的标准方程为 ， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； (3)设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，， 由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得： ， 化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 特殊探点：取斜率为0、斜率不存在、过原点等特殊直线，代入算出定点坐标； 一般联立：常规设直线、联立方程、韦达化简，推导参数 等量关系； 参数分离：将动直线方程整理为 ； 定点求解：令 ，解出定点，验证特殊情况即可。 【变式5-1】（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【详解】（1）解：椭圆：， 则， 则椭圆的离心率； （2）解：由题可知， 点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接， 由题可知直线的斜率存在，且，设， 联立，得，解得， 则， 点到直线的距离，点到直线的距离， ，当且仅当时取等， 故四边形面积的最大值为； (3)证明：，则， 易知，设，， 联立，， ， 则，又，所以， 则， 即， ， ， 故直线过定点． 【变式5-2】（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，解得， 则双曲线：； （2）设，，联立， 消去得：， 由题意，，且，即， ， 已知，以为直径的圆过，则， ，即， ， ， 展开并整理得：，即， 当时，直线，过定点，但此时直线过双曲线右顶点，不符合题意； 当时，直线，过定点，符合题意； 所以直线过定点． （3）因为在右支， 所以， 可得，， 设中点为，则， 的垂直平分线方程为：， 已知过，代入得： 化简得：，此时，， ，， ， ， ， ，则． 【变式5-3】（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为. 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ，. 因此点到直线的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 【变式5-4】（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为F，直线交于A，B两点. (1)若点F到直线的距离为，求的准线方程； (2)设直线交x轴于点E，若，三角形的面积为，求直线的倾斜角的大小； (3)设p为常数直线过焦点F，直线，分别交的准线于点C，D，证明.以为直径的圆经过两个定点. 【详解】（1）抛物线的焦点F的坐标为. 点F到直线的距离公式为： 因为，所以. 抛物线的准线方程为. （2） 设直线的方程为与抛物线联立： 设，，. 由韦达定理：， 由，得. 又E在直线上，且E为与x轴交点，故： 代入韦达定理： 三角形的面积 已知当时，倾斜角；当时，倾斜角. 综上，倾斜角为45°或135°. （3） 抛物线（p为常数），焦点，准线. 设直线的方程为（过焦点F），与抛物线联立： 直线的方程为，与准线交于. 因为，所以. 同理.    以为直径的圆的圆心为，半径为. 化简得圆心，半径. 圆的方程为：. 整理得. 令，则或. 故圆经过定点和. 题型六：定值问题（向量积、斜率、距离、线段和差） 【典例6】（2026·上海·模拟预测）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； (3)若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 【详解】（1）由，故，，故， 故离心率． (2)设直线，的方程分别为，，,， 由，得， ，得， 又，． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线，在轴上的截距之和为0． 由四边形为菱形得，设的斜率分别为,则， 由（1）知，关于原点对称， 由椭圆的对称性知点与点，点与点均关于原点对称， 所以 ．整理得， 所以直线,之间的距离， 所以直线，之间的距离为定值． （3）由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，，四边形的面积， 因为，且，，故， 因为点到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积 设参联立：设直线方程，联立曲线，写出韦达定理； 列式转化：写出目标定值代数式（数量积、斜率乘积、距离等）； 整体消参：代入韦达结论，消去所有变量参数，结果为常数即为定值。 【变式6-1】（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 【详解】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 又点到直线的距离，所以. （3）由已知得直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为， 此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且， 则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 【变式6-2】（25-26高二下·上海·期末）已知双曲线的标准方程，如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的离心率和渐近线方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则弧所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由知，，，，则离心率，渐近线为； (2)由，的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ，得证. （3）由（2）知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为，则， 因为为劣弧，所以，则， 所以，即所对圆心角的大小为定值. 【变式6-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知双曲线过点，点为其渐近线上一点．过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)若与的面积相等，求出M的坐标； (3)直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，记PQ的中点为E，判断的外接圆面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）双曲线过点，则有， 双曲线的渐近线方程为，点为渐近线上一点，得，解得， 因此双曲线C的方程为. （2）由三点共线，和共顶点A，有公共边，底边都在直线l上， 两个三角形的高(点A到直线l的距离)相等，由面积相等可得底边长， 即M是BN的中点， 设，若M是BN中点，则N的坐标为， 将代入双曲线方程：，解得， 代入双曲线方程得，，即. （3）设过点的直线l方程为，设, 联立直线与双曲线方程得， 整理得， 由韦达定理得，， 直线AM的方程为，令得，同理得， 因为，， ， 所以PQ中点E的纵坐标恒为，即E为定点， 已知均为定点， 设外接圆方程为，代入三点坐标， 解得，所以外接圆方程为，即， 外接圆半径的平方，因此外接圆面积，为定值. 【变式6-4】（2025·上海徐汇·二模）已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； (2)由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 题型七：存在性探索问题（压轴最难） 【典例7】（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【详解】（1）双曲线的焦点，设点，则， ，因此， 而或，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以的取值范围是. (2)设直线的方程为，设， 由消去，得，， 解得，，， 因此 ， 所以是定值，该定值为0. （3）设直线的方程为，点， 由消去，得，， 解得，，直线的方程为， 令，得点的横坐标，同理得的横坐标， 则 ，而，， 由、面积相等，得，则， 解得，即，所以直线的方程为. 假设存在：先假设符合条件的参数/点存在； 转化列式：将几何条件转化为方程、不等式； 求解验证：解方程/不等式，结合 、定义域、斜率存在性约束； 下定结论：有合理解则存在，无解/解不符合约束则不存在。 【变式7-1】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意得，解得， 则双曲线． （2）设，，，或， 则， 令（或）， 当，单调递减，所以在上， 当，单调递增，所以在上， 所以，所以的取值范围为. （3）存在． 双曲线的右焦点， 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，此时， 存在，，，结论也成立． 综上，存在，使． 【变式7-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知点，均在椭圆上，点在抛物线上，坐标原点为． (1)求椭圆与抛物线的交点坐标； (2)若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标； (3)是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）联立方程，消去得，整理得，解得或（舍去）．当时，，． 交点坐标为，． （2）设，， 联立椭圆方程得， 由韦达定理得，． 重心坐标得，代入抛物线方程得． 弦长， 点到直线的距离为， 面积公式得 ， 所以， 将代入化简得， 解得或，对应或． 点的坐标为，． （3）设，，且，，则中点， 因为四边形为平行四边形，故必定在椭圆内， 故，而，故，故， 故，而， 故存在横坐标满足的点，能使得四边形为平行四边形． 【变式7-3】（25-26高二下·上海松江·期中）已知椭圆：，动直线与椭圆交于、两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若动直线经过点，则轴上是否存在定点（不同于点），使得直线与直线的倾斜角总互补？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意，椭圆：，所以，， 则，所以， 所以焦距为，离心率是. （2）因为四边形为平行四边形， 所以且，所以， 又，所以， 设直线，，， 联立，化简得， 又， 所以，， 由可知，， 即， 解得， 所以直线方程为或.    （3）假设存在点满足题意， 当直线斜率存在时，直线与直线的斜率也存在，且， 设方程为，与：联立得：， 设，，由韦达定理得，， 所以 ， 所以， 即， 所以，解得， 当直线斜率不存在时，直线与直线的倾斜角都是， 所以它们的倾斜角互补，满足题意， 综上，存在定点，使得直线与直线的倾斜角总互补．    【变式7-4】（2026·上海金山·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，分别为椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为抛物线上一点，直线与椭圆的一个交点在轴左侧，满足，求的最大值； (3)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意，在：中，，， ∴， ∴曲线的离心率为. （2）由题意及（1）得，在抛物线中，点为抛物线上一点， 设，则， 在椭圆中，设，， 易知，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得，即， 令， ∴，当且仅当时等号成立， ∴． （3）由题意，假设存在点使得，设， ∵， ∴，即， ∴，所以， 直线与椭圆交于不同的两点，，易知，关于对称， 设，（，）， 由（1）知，直线方程是，令得， 直线方程是，令得， 由，得， 又在椭圆上，∴， ∴，解得， ∴存在点，使得成立． 【变式7-5】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知椭圆的方程为，、分别为椭圆的左、右焦点．双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴．过作直线l交椭圆于A、B两点． (1)当的周长为8，椭圆的焦距为2时，求曲线及的方程； (2)当时，已知椭圆的上顶点为，是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标； (3)当时，是否存在椭圆的切线，其与双曲线的左、右两支分别交于点、，使得？若存在，求出所有满足要求的直线的方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意， 在中，的周长为8， ， ∵，， ，解得：， 椭圆的焦距为2， ∴，解得 ∴， 在双曲线中，实轴为椭圆的长轴，虚轴为椭圆的短轴， ∴. （2）由题意， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形，且是该三角形的腰， ∴①若，以点为圆心2为半径作圆，与椭圆有3个交点， 则， 解得或或， ，，， ②若，则以点为圆心2为半径作圆，与椭圆有2个交点， 一个为点，一个为点， 由对称性可知， 综上，点P的坐标为或或. （3）由题意，存在， 在中，， ∴， ∴，解得：，， 在双曲线中， 实轴为椭圆的长轴，虚轴为椭圆的短轴， ∴， 假设存在直线满足题意，切点为， 联立得， ，解得， 联立得， 设交点，则， ∴，， ∵， ∴，即， 整理，得， 其中 ∴， 化简，整理，解得， 结合，解得， ∴存在椭圆的切线l，其与双曲线的左、右两支分别交于点M、N，使， 满足要求的直线l的方程为. 1．（2026·上海·三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． (1)设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； (2)设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； (3)设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，准线为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 将代入得， 故直线与准线的交点坐标为. （2）设，，由，得到是的中点， 因为，所以， 所以，解得，则， 此时直线的方程为，即. （3）设的方程为，而， 由消去得：，显然 ， ，解得， 于是直线的方程， 由消去得， 设点的纵坐标为， 由，得， 因此， 设，求导得， 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 故. 2．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 3．（2026·上海·三模）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有，两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； (3)过的直线与相交于点、、三点，求证：． 【详解】（1）由题意可得，交点在椭圆和双曲线上， 代入可得，故， 椭圆离心率， 双曲线离心率，结合，， 解得，因此曲线的方程为. （2）由（1）可知，曲线的方程为：， 又因为切点在双曲线，所以直线是双曲线的切线， 设切线的斜率为，根据斜截式可得切线的方程：， 又因为切线过点，所以，得出， 所以切线的方程化为，联立切线方程和双曲线可得， 化简可得，即， 进一步整理可得， 所以时，对应直线与双曲线相切， 所以， 化简得，则，即， 由图可知，，所以切线方程为：，即， 联立切线方程和双曲线可得， 化简得，得出， 将代入，得，所以. （3）由题意可得的斜率存在且不为零，所以设方程为， 联立直线与双曲线方程可得， 整理可得， 所以，即且， 解得或，即， 联立直线与椭圆方程可得， 整理可得：， 所以， 解得或，即， 所以，所以， 所以. 4．（2025·上海·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆交于、两点． (1)若，求的周长； (2)若，，是否存在直线，使得在为直角三角形？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由； (3)若存在，使得、中一个面积是另一个面积的两倍，求椭圆的离心率的取值范围． 【详解】（1）， 由椭圆定义可得， 故的周长为； （2）若，，则，由，故，， 由题意可得斜率不为，设，、， 联立，消去可得， 则，， 若，由、， 则， 即 ， 解得，即； 若，由，， 则， 由，则， 故，无解， 故，结合椭圆对称性可得； 综上所述：存在直线，使得为直角三角形， 且直线的方程为，即； （3）由椭圆的对称性，不妨设， 则，即， 由题意可得、异号，故， 设，联立， 消去可得， 则，， 由，则，， 即，化简得， 即，由、，故， 即，即有，故，则. 5．（2026·上海·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于，两点（点在轴上方）． (1)当双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率； (2)若，点，点在双曲线上，且，求点的坐标； (3)若，点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧），且的重心在轴上，记，的面积分别为，，求的最小值． 【详解】（1）已知双曲线渐近线方程为，即， 又，故，则， 所以双曲线的离心率为． （2）由，故双曲线，则， 又，所以，则， 因为， （i）当点在点右侧时，有， 则直线，即， 所以，解得，，即， 则，所以点的坐标为； （ⅱ）当点在点左侧时，有， 则直线，即， 所以 ，解得，，即， 则，所以点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）若，则双曲线的方程为， 设直线，，，， ，联立得：，，， 则，， 的渐近线方程为， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 因为为的重心，所以，， 所以 ， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 6．（2026·上海·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限的点使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 【详解】（1）由椭圆知：，所以， 所以椭圆的焦距为，离心率. （2）由（1）知：，因为，所以， 若存在点，使得的面积为， 设点到直线的距离，则，即， 因为，所以直线方程为：，即， 设过点平行于直线的直线方程为， 由点到直线的距离，即直线与间的距离为， 所以，解得：或， 当时，直线方程为， 联立得：，解得：或， 因为点位于第二象限点，所以，代入解得：，即， 当时，直线方程为， 联立得：， 由，所以方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点， 综上所述：存在满足条件的点，且. （3）由题意可设直线，， 联立化简得：， 由，即， 所以， 设线段中点为，则， 所以，即，又为中点，所以， 因为，所以，即， 所以， 因为直线与轴和轴均不平行，所以，所以， 所以，整理可得：， 因为，所以，解得：，又， 所以实数的取值范围为. 7．（2026·上海·三模）设椭圆 (1)若点和均为椭圆的顶点，求椭圆的方程及焦点坐标； (2)若椭圆的方程为，和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上，.若直线在轴的截距为，求四边形面积关于的函数并直接写出面积的最大值； (3)若椭圆的方程为，，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 【详解】（1）由和可得，，所以椭圆方程为，其焦点坐 标为， （2）由和可得，，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得， ， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为 ， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑 ， 令，则，则，则 ， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. （3）如图，记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上，则. 又，，即当点位于椭圆上时，取得最大值. 令，则点在椭圆上， 易知，等号成立时当且仅当 ， 于是椭圆上的点，除点外均在椭圆的内部. 综上所述，的最大值为. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． (1)求：椭圆的标准方程； (2)若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； (3)记直线与直线的交点为，求：的最小值． 【详解】（1）因为，即，所以，即， 则直线的方程为：，令，得，即. 因为椭圆：的左右顶点分别为， 上下顶点分别为，四边形为菱形，边长为， 所以周长为，即， 又因为，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设，满足，即， 所以， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 由题意知，当时最小，所以，即. （3）由题意知直线的方程为，设， 由，得， 所以，解得， 又， 设，因为在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上，所以， 所以，所以， 所以点在直线上，所以. 1．（2023·上海·高考真题）已知椭圆． (1)若，求椭圆的离心率； (2)设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值； (3)若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围． 【详解】（1）当时，椭圆，焦点在上， 则，则. （2）因为为椭圆的左右顶点，所以， 令中，则， 若，， ， 解得：. 若，， ， 解得：. （3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线， 设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点， ①直线与双曲线的渐近线平行时， 则双曲线的渐近线为：，所以. 因为P为椭圆上一点，所以，所以不满足题意. ②直线与双曲线的渐近线不平行时， ，则， 则，解得：， 解得：，因为，所以. 又因为P为椭圆上一点，所以，则， 则，解得：， 所以，所以，综上所述：. 则m的取值范围为： 2．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. （2）设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. （3）设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 3．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 4．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 5．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 【详解】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则. （2）由代入抛物线方程有，解得，则， 设，则的中点为, 代入抛物线方程有，解得， 直线的斜率为，其方程为，即, 坐标原点到的距离为. （3）设，根据， 则，则直线方程为， 化简得， 令，则，又，， 化简得 ①对任意的 恒成立. 则, 结合，， 当时，，则，则①也成立. 综上所述:.    【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可. 6．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由，则，即离心率为； （2）由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切， 且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为， 所以，可得，则或， 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，满足； 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，不满足； 综上，. （3）由题设，直线的斜率存在，可设，， 联立，整理得， 其中，即， 所以，，则， ， 所以且，故， 当时，则且，则，此时，满足； 当，而的中点为，又， 则，即， 且， ， 所以，则， 所以，则，故 所以，则. 综上，. 7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 8．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $