25.3（第1课时）几何问题与一元二次方程（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦几何问题与一元二次方程的应用，以海螺黄金螺旋线情境引入，连接黄金分割与方程求解，结合已学的一元二次方程解法，构建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于情境生活化与典例分层设计，通过黄金分割推导培养抽象能力和几何直观，养鸡场方案设计等问题发展模型意识和应用意识，帮助学生用数学思维解决实际问题，教师可通过多样化案例提升教学效果。

人教版(新教材) 九年级上册 25.3(第1课时) 几何问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 海边的海螺藏着数学密码.沿着海螺壳盘旋的纹理勾勒曲线，我们便能得到流畅匀称的黄金螺旋线；而支撑这条曲线完美形态的核心，正是经典的黄金分割比例.接下来，就让我们从一枚小小的海螺出发，走进黄金分割的奇妙世界. 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果 ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比. A B C 解：由 ，得AC 2＝AB·BC ，设AB＝1，AC＝x， ∴ x2＝1×(1－x) 即x2＋x－1＝0 解这个方程，得 （不合题意，舍去） 则BC＝1－x . 所以，黄金比 一此有关线段成比例的问题，往往可转化为利用一元二次方程求解的问题，再通过求解方程，获得问题的答案. 25.3-1 几何问题与一元二次方程 黄金分割 A B C 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点. D 并且AD＝BC，AC＝BD. 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 B E M N A C D 黄金分割数在很多优美的图案中都有体现，如在常见的正五角星中存在黄金分割数.在随后的“相似”内容的学习，通过解一元二次方程，可以证明 再如，观察“情境引入”中鹦鹉螺外壳的截面，可以看出其轮廓形如螺线，而黄金螺线恰恰是通过黄金分割数得到的. 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 黄金分割在生活、艺术等方面还有很多应用....... 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 长期以米，很多人认为黄金分割数是一个很特别的数，早在古希腊时期，《原本》中就有关于“内外比”的记载，即我们所说的黄金分割数，在古希腊以及文艺复兴时期的许多艺木设计中，都能发现黄金分割数的“身影”.因此，黄金分割数也与被视作一种数学眼光下的美的标准. 优选法是一种0.618法具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献.1985年6月12日，华罗庚去世前几小时，仍在进行题为《理论数学及其应用》的学术报告，报告主要内容即优选法.华罗庚曾说过，他要工作到人生的最后一刻，他践行了自己的诺言！ 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数 由勾股定理，得 x²+(x+1)²=(x+2)² 解方程,得 x1=3，x2= –1（不符合题意，舍去） 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长 分别为3,4,5. 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A．−2 B．±2 C．±1 D．1 有没有这样一个数，先计算它的平方，然后加上它的3倍，运算结果与这个数的相反数减4相同． 豆包 内容由AI生成 解：设这个数为x，∴ ， 整理得， ， ∴ ， 解得，x=−2， ∴这个数是−2 ． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x ，则最大数为 ，根据题意得出： ， 解得 ： ， （不合题意舍去），故最小的数为9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18，最大的数为25，故这6个数的和为100． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为x m,由周长为40m：可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长 为(20−x)m,再由矩形的面积为96 m2，得 x(20−x)=96， 解方程，得 x1=12，x2=8 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成， 这样的矩形是否唯一？ 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成， 这样的矩形是否唯一？ 例题中设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10–x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗？ 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，求小路的宽． 解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等于长为(100–2x)m， 宽为(50–2x)m的矩形的面积， 依题意得： ， 解得： （不合题意，舍去）， 答：小路的宽是5m． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为160 m2的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为36 m． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ (1)解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(36–2x)m， ∴ ， 解得： ， ； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为10米或8米． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【方案设计】 (2)若墙的长度为18 m，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ (2)解：当x=10，则平行于墙的一边长为： 符合题意； 当x=8，则平行于墙的一边长为： ， 不符合题意； 答：若墙的长度为18 m，则垂直于墙的一边长应设计为10米． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为180 m2是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． (3)解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y m，则平行于墙的一边长为(36–2y)m， ∴ ，整理得： ， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如： , ， ，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现： ， ， ，…． (1)如果将53写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______； 解：(1)由题中规律可得， ，如果将53写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是21； 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)如果将n3写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______． (2)由题意可得规律为， 将n3写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是 ， 则 ， ， ∵n为正整数， ∴n–1和n是相邻的两个正整数，则 由可知，n=9． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 黄金分割 实际问题与一元二次方程(1) 根据题意设未知数，注意题中的特殊条件 根据题意设未知数，注意数字的取值范围 数字问题 几何问题 生活中的应用 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 解：∵设这块田地的宽为步x，宽比长少12步，∴长为步(x+12)， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为864平方步， ∴可列方程为 ． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 解：由题意可得：前n行的点数之和为 ， A．当前n行的点数之和为28，则 ，解得：n=7或–8（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则 ，解得： 都不是整数，不可能，故B符合题意；同理C和D选项都成立，故选：B． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 解：由题意，得 ． 整理得 ． 解得 ．因为m是正数， 所以 ． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 解：设较小的偶数为x，则较大的偶数为x+2， 由题意得： ， 故答案为： ． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 解：由题意可得方程为 ， 化为一般形式为 . 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为72平方米的矩形苗圃园，其中一边靠18米的墙，另外三边是周长为30米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． 依题意可列方程为：___________________； 其中x的取值范围为：__________________ . 解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，根据题意得 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为7–x， 根据题意，得 ， 整理，得 ，解得 ， ， 当x=2时，7–x=5，原来的两位数为25； 当x=2时，7–x=2，原来的两位数为52； 答：原来的两位数为25或52． 25.3-1 几何问题与一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边AB长为x米，则BC=________（用含x的代数式表示）； ②当AB为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ 解：②由①知AB长为x米，BC=(36–3x)米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴ ，解得 ， ． 根据墙的最大可用长度可知： ， 解得 ，即AB为7米. (36–3x) 25.3-1 几何问题与一元二次方程 $