1.3用反比例函数解决问题（讲义，8大题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦“用反比例函数解决问题”核心知识点，承接反比例函数概念与性质，通过梳理杠杆原理、压强与受力面积等8类实际场景，结合“审题-设元-建模-求k-求解-验根”六步解题法，搭配题型示例构建完整学习支架。 资料以跨学科实例（如电压与电阻、溶液浓度问题）培养数学眼光，通过规范解题步骤发展数学思维，题型分类与变式巩固助力数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过练习查漏补缺，强化知识应用能力。

第一章 反比例函数 1.3 用反比例函数解决问题 知识点一 反比例函数的实际应用 1. 当实际问题中，两个变量的乘积为定值（即满足xy=k，k为非零常数）时，这两个变量成反比例关系，可建立反比例函数模型（k≠0）解决问题。 2. 常见实际场景： 杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂（乘积为定值，动力与动力臂成反比例）； 压强与受力面积：压力不变时，压强p与受力面积S成反比例（pS=压力，压力为定值）； 体积与气压：温度不变时，气球（或容器）内气压p与气体体积V成反比例； 工作量与工作效率：工作总量不变时，完成工作的时间t与工作效率v成反比例； 成本与产量：材料成本固定时，单个产品的加工成本与加工数量成反比例，进而总成本可表示为“固定成本+反比例函数”形式。 3. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审题：明确题目中的两个变量，判断它们是否成反比例关系； ②设元：设出两个变量，并写出变量的实际意义及取值范围； ②建立模型：根据等量关系，列出反比例函数解析式（若有固定成本，需表示为，a为固定成本，k为反比例比例系数）； ③求待定系数k：结合题目给出的一组对应值（或图象上的点），代入解析式求出k的值，确定完整的函数解析式； ④求解问题：根据题目要求，代入自变量（或函数值），利用反比例函数的性质计算出对应的函数值（或自变量的值）； ⑤验根：检验所求结果是否符合实际意义（如长度、时间、数量等不能为负数），舍去不合题意的解。 即学即练 1．（2026·四川南充·二模）已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表： 等待时间x 1 2 5 10 20 满意度y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度； (3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？ 3．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图所示（）．求当液体的密度时，浸在液体中的高度h的值． 题型01 电压问题 / （1）公式：，电压定值，电流与电阻成反比，； （2）解法：定值电压代入求解析式，根据电阻求电流、限制取值； （3）易错：单位混用；忽略电阻、电流正数范围. 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：A）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． 3．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 题型02 压强问题 / （1）公式：，压力定值，压强与受力面积成反比，； （2）解法：固定压力列反比例式，求解压强、面积变化问题； （3）易错：面积换算错误；分不清压力与压强变量关系. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致． (1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式； (2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北沧州·一模）跨学科  根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 题型03 杠杆问题 / （1）公式：，力矩乘积不变，力与力臂成反比； （2）解法：代入已知力和力臂求定值，求解未知力、力臂； （3）易错：力臂长度判定出错；左右力矩等式列反. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 2．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏泰州·二模）某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期末）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）综合与实践 如图，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即如图)，受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物为，的长度为． ①关于的函数解析式是___________； ②完成表格： … … … 8 2 … 则___________ ③在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请根据图象直接写出的取值范围为___________． 题型04 液体密度与溶液浓度问题 / （1）公式：，质量定值，密度与体积反比；溶质不变，浓度与溶液体积反比； （2）解法：抓住溶质、总质量不变设函数，计算稀释、浓缩问题； （3）易错：混淆溶质、溶液质量；浓度计算比例出错. 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 变｜式｜巩｜固 1.（25-26九年级上·浙江台州·期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 17.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 2.（25-26九年级上·山东滨州·期末）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的？为什么？ 题型05 行程问题 / （1）公式：，路程定值，速度与时间反比，； （2）解法：固定路程列式，求变速用时、限定时间求最低速度； （3）易错：时间、速度单位不统一；忽略实际正数取值. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量为时，它的最快移动速度为． (1)求V关于m的函数解析式； (2)若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 2．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． 3．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 题型06 工程问题 / （1）公式：工作总量=工作效率×工作时间，工程总量为定值，工作效率v与工作时间t成反比例，（W为固定工作总量）； （2）解法：先确定题目固定工程总量，设反比例函数解析式，代入已知效率、时间求出定值，进而求解指定时间的工作效率、指定效率的完工时间，或解决增派人员、提速完工类问题； （3）易错：①混淆工作总量、工作效率、工作时间三者关系，错设函数；②多人合作工程中，误将单人效率直接当作总效率；③忽略实际取值：时间、效率、人数均为正数；④解题结果漏写单位，未根据实际情况取舍取值（如人数取整数）. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． (1)求关于的函数解析式； (2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 题型07 排水问题 / （1）公式：总水量排水速度排水时间，总量固定，速度与时间反比； （2）解法：先算总水量，建立反比例解析式，求排水时长、排水速率； （3）易错：总水量计算失误；未结合实际限制最短排水时间. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． (1)求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 变｜式｜巩｜固 1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如今太阳能进入了千家万户，一个太阳能热水器，每次排完水后再进行蓄水，且在蓄满水后能连续排水的时间y（分钟）与每分钟的排水量x（升）之间满足反比例函数关系，当每分钟的排水量x为12升时，排水时间y为20分钟． (1)求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？ 题型08 其他问题 / （1）常见模型：工作总量固定，工作效率与时间反比；总价固定，单价与数量反比； （2）解法：找准不变常量，设反比例函数，代入求值作答； （3）易错：无法识别反比例关系；作答不带实际单位、遗漏取值范围. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（   ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 2．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 反比例函数 1.3 用反比例函数解决问题 知识点一 反比例函数的实际应用 1. 当实际问题中，两个变量的乘积为定值（即满足xy=k，k为非零常数）时，这两个变量成反比例关系，可建立反比例函数模型（k≠0）解决问题。 2. 常见实际场景： 杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂（乘积为定值，动力与动力臂成反比例）； 压强与受力面积：压力不变时，压强p与受力面积S成反比例（pS=压力，压力为定值）； 体积与气压：温度不变时，气球（或容器）内气压p与气体体积V成反比例； 工作量与工作效率：工作总量不变时，完成工作的时间t与工作效率v成反比例； 成本与产量：材料成本固定时，单个产品的加工成本与加工数量成反比例，进而总成本可表示为“固定成本+反比例函数”形式。 3. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审题：明确题目中的两个变量，判断它们是否成反比例关系； ②设元：设出两个变量，并写出变量的实际意义及取值范围； ②建立模型：根据等量关系，列出反比例函数解析式（若有固定成本，需表示为，a为固定成本，k为反比例比例系数）； ③求待定系数k：结合题目给出的一组对应值（或图象上的点），代入解析式求出k的值，确定完整的函数解析式； ④求解问题：根据题目要求，代入自变量（或函数值），利用反比例函数的性质计算出对应的函数值（或自变量的值）； ⑤验根：检验所求结果是否符合实际意义（如长度、时间、数量等不能为负数），舍去不合题意的解。 即学即练 1．（2026·四川南充·二模）已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法先求出电流与电阻的函数关系式为，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， ∵当电阻R为时，电流为， ∴， ∴， ∴电流与电阻的函数关系式为， 当电阻为时，． 2.（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表： 等待时间x 1 2 5 10 20 满意度y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度； (3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？ 【答案】(1) (2)12.5 (3)10 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是： （1）观察表格发现：，然后设，把，代入求解即可； （2）把代入（1）中所求函数关系式，即可求解； （3）把代入（1）中所求函数关系式，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察表格发现：， 则设， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴学生的满意度为12.5； （3）解：当时，， 解得， 草图如下： 由图象知：当时，， ∴最多可以让学生等待10分钟． 3．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图所示（）．求当液体的密度时，浸在液体中的高度h的值． 【答案】浸在液体中的高度h的值为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好待定系数法求反比例函数的解析式是解题关键． 设h与之间的函数关系式为（k为常数，且），根据图象求出系数，再将代入解析式，求出h的值． 【详解】解：设h与之间的函数关系式为（k为常数，且）， 将坐标代入上式，得，解得， ∴h与之间的函数关系式为． 当时，． 答：浸在液体中的高度h的值为． 题型01 电压问题 / （1）公式：，电压定值，电流与电阻成反比，； （2）解法：定值电压代入求解析式，根据电阻求电流、限制取值； （3）易错：单位混用；忽略电阻、电流正数范围. 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【答案】(1) (2) 电阻 的值为 4 Ω 【分析】本题考查反比例函数的应用．熟练掌握电路中电流、电压、电阻的关系，是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将代入函数关系式解出即可． 【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，且，当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得， 答：电阻R的值为． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：A）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设I关于R的函数解析式为，再把，代入进行计算，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设I关于R的函数解析式为， 当时，， ， ； （2）解：依题意，当时，． 3．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】(1) (2)该用电器的可变电阻至少是 【分析】本题主要考查反比例函数的应用问题，掌握反比例函数的单调性质是解答本题的关键． （1）反比例函数经过点，代入反比例函数式，即可求得函数解析式． （2）当时，根据反比例函数的增减性性质，求电阻R的范围即可． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为， 将点代入得：， ∴ ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由题可知，当时，， ∵， ∴I随着R的增大而减小， ∴当时，， ∴该用电器的可变电阻至少是． 题型02 压强问题 / （1）公式：，压力定值，压强与受力面积成反比，； （2）解法：固定压力列反比例式，求解压强、面积变化问题； （3）易错：面积换算错误；分不清压力与压强变量关系. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致． (1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式； (2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强． 【答案】(1) (2)此时木桩承受的压强为1250帕 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用． （1）题中“压力不变”，说明p和S的乘积为定值，因此p是S的反比例函数，将，代入反比例函数，可求出常数k的值，进而确定函数关系式； （2）由（1）已求得p和S的关系式，将代入函数关系式，直接计算出对应的压强p． 【详解】（1）解：设p与S之间的函数关系式为，   将，代入，得， 解得：， ∴p与S之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 即此时木桩承受的压强为1250帕． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北沧州·一模）跨学科  根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据p与S的反比例关系设出表达式，先求出定值压力，再根据调整后的压强计算接触面积即可． 【详解】解：设压强与受力面积的反比例函数关系为，其中为不变的压力， ∵当 时，， ∴， 压强减小后，新的压强为：， 将和代入得： 2．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （3）解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 题型03 杠杆问题 / （1）公式：，力矩乘积不变，力与力臂成反比； （2）解法：代入已知力和力臂求定值，求解未知力、力臂； （3）易错：力臂长度判定出错；左右力矩等式列反. 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件求出F与L的函数解析式，结合反比例函数的性质及实际意义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵L最大为， ∴若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是，故C正确，不符合题意； 当原物体重量增加，，则，故D错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）设在移动前托盘中的砝码质量为，则在移动前托盘与点的距离为，根据当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据图象可知是关于的反比例函数， 设， 将代入得， 解得， ∴； （3）解：在中，当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； （4）解：设在移动前托盘中的砝码质量为， 由题意得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏泰州·二模）某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 【答案】8 【分析】根据，代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴当时，． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期末）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 【答案】关于的函数关系式为 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求解反比例函数是解题的关键． 首先设，结合题意将，代入即可求解关于的函数关系式． 【详解】解：由题意可设， ∵在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量， ∴将，代入，得：， ∴关于的函数关系式为． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）综合与实践 如图，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即如图)，受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物为，的长度为． ①关于的函数解析式是___________； ②完成表格： … … … 8 2 … 则___________ ③在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请根据图象直接写出的取值范围为___________． 【答案】(1)； (2)①；②4； (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，核心是利用杠杆平衡公式建立等量关系，结合函数与几何知识求解． （1）直接利用杠杆平衡条件代入已知数值求解重物的拉力； （2）①根据杠杆平衡条件列出等式，变形得到关于的反比例函数解析式； ②将代入解析式计算的值； ③根据反比例函数的性质描点画图； （3）先计算的长度，再根据三角形面积公式列出不等式，结合函数图象确定的取值范围． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡条件，得， 解得； 故答案为：． （2）①解：根据杠杆平衡条件，得， 整理得； 故答案为：． ②解：当时，将其代入，得，即； 故答案为：4． ③解：函数是第一象限内的反比例函数图象，选取点、、、、，在给定的直角坐标系中依次描出这些点，再用平滑的曲线连接各点，即可得到该函数的图象： （3）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵点在函数的图象上且， ∴的面积， 根据题意，即，解得， 又∵， ∴的取值范围为； 故答案为：． 题型04 液体密度与溶液浓度问题 / （1）公式：，质量定值，密度与体积反比；溶质不变，浓度与溶液体积反比； （2）解法：抓住溶质、总质量不变设函数，计算稀释、浓缩问题； （3）易错：混淆溶质、溶液质量；浓度计算比例出错. 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【答案】(1) (2)当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的、对应值代入，求出比例系数，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【详解】（1）解：设（）， 将代入上式，得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 时，溶液浓度随溶液体积的增大而减少 所以，当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于． 变｜式｜巩｜固 1.（25-26九年级上·浙江台州·期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 17.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1)0.8，1.4 (2) 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，准确求出反比例函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：∵液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数． ∴设反比例函数解析式为 把代入，得 ∴ 反比例函数解析式为 ∴当时，， 当时，， 故答案为：0.8，1.4 （2）解；当时，； 当时， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴ 2.（25-26九年级上·山东滨州·期末）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的？为什么？ 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】（1）根据函数图像，分类讨论①当时，设线段对应的函数表达式为，代入A，B坐标计算即可；②当时，设，代入B坐标计算即可； （2）令，则，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时，设线段对应的函数表达式为， 把代入，得：，解得， ， ②当时，设， 把代入，得， ， 综上所述，； （2）能，理由如下： 在函数中，令，则， ， 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内（含15天）不超过最高允许的． 题型05 行程问题 / （1）公式：，路程定值，速度与时间反比，； （2）解法：固定路程列式，求变速用时、限定时间求最低速度； （3）易错：时间、速度单位不统一；忽略实际正数取值. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 【答案】(1)； (2)它的最快移动速度． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，利用已知条件求出比例系数，再代入求值． （1）根据题意设（）；将，代入，得，解得；故与之间的函数关系式为 . （2）将代入，得；故最快移动速度为． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设函数关系式为（）． 将，代入，得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 答：当载重后总质量时，它的最快移动速度为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量为时，它的最快移动速度为． (1)求V关于m的函数解析式； (2)若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 【答案】(1)与的解析式为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入反比例函数解析式中求出，即可求解． 【详解】（1）解：总质量时，它的最快移动速度为， ， 与的解析式为； （2）解：当时，， 机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为． 2．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 60 75 80 90 t（小时） 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶速度不超过千米/小时，， ∴不能． 3．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 题型06 工程问题 / （1）公式：工作总量=工作效率×工作时间，工程总量为定值，工作效率v与工作时间t成反比例，（W为固定工作总量）； （2）解法：先确定题目固定工程总量，设反比例函数解析式，代入已知效率、时间求出定值，进而求解指定时间的工作效率、指定效率的完工时间，或解决增派人员、提速完工类问题； （3）易错：①混淆工作总量、工作效率、工作时间三者关系，错设函数；②多人合作工程中，误将单人效率直接当作总效率；③忽略实际取值：时间、效率、人数均为正数；④解题结果漏写单位，未根据实际情况取舍取值（如人数取整数）. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 【答案】(1)原计划每天加工零件25个 (2)原计划完成任务的天数最多为20天 【分析】（1）根据题意，列出分式方程，求解该方程即可得出答案； （2）不妨设原计划完成任务的天数为，那么，由题意判断出原计划的加工零件个数，结合反比例函数的性质，可得原计划完成任务的最多天数． 【详解】（1）解：设原计划每天加工个零件，根据题意得：， 解得，(舍去)， 经检验，是原分式方程的解， 答：原计划每天加工零件个． （2）解：不妨设原计划完成任务的天数为，那么，实际每天加工的零件个数为个， ∵实际每天至少要加工20个零件， ∴， ∴， ∵的图象在时，随的增大而减小， ∴当取最小值时，天数最多， 此时天数 (天) ， 答：原计划完成任务的天数最多为天． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 【答案】40 【分析】设反比例函数解析式为，结合图象上的点求出，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将点代入解析式得：， 解得：， 反比例函数解析式为， 当时，则，解得：， 即若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是米/天． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． (1)求关于的函数解析式； (2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每小时至少要卸货吨 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据实际问题建立反比例函数模型，并利用函数性质解决不等式问题． （1）根据实际问题中的数量关系建立反比例函数模型； （2）利用反比例函数的增减性解决实际最值问题，根据反比例函数的性质可知，在的范围内，随的增大而减小；因此要使卸货速度最小，需取的最大值，将代入函数解析式计算，即可得到平均每小时至少要卸货的吨数． 【详解】（1）解：根据题意，卸货总量为吨，卸货速度为吨/小时，时间为小时， 由“卸货总量=卸货速度×时间”，得，变形可得， 因此关于的函数解析式为； （2）已知卸货时间不超过小时，即， 由，可知随的增大而减小， 因此当取最大值时，取得最小值， 将代入，得， 所以平均每小时至少要卸货吨． 题型07 排水问题 / （1）公式：总水量排水速度排水时间，总量固定，速度与时间反比； （2）解法：先算总水量，建立反比例解析式，求排水时长、排水速率； （3）易错：总水量计算失误；未结合实际限制最短排水时间. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． (1)求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 【答案】(1) (2)每小时平均排水量是． 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可． 【详解】（1）解：依题意可设， 当排水总时间为时，每小时平均排水量为，则有 （2）当时 答：每小时平均排水量是 变｜式｜巩｜固 1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设反比例函数的一般形式，再代入已知的和的值求出待定系数，即可得到函数表达式. 【详解】解：因为与成反比例函数关系， 所以设， 将，代入得： ， 因此出水速度与水管横截面积的函数表达式为， 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如今太阳能进入了千家万户，一个太阳能热水器，每次排完水后再进行蓄水，且在蓄满水后能连续排水的时间y（分钟）与每分钟的排水量x（升）之间满足反比例函数关系，当每分钟的排水量x为12升时，排水时间y为20分钟． (1)求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)48分钟 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确地列式是解题的关键． （1）设，把，代入求解即可； （2）当时，求得y的值即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴该热水器连续排水的时间是48分钟． 题型08 其他问题 / （1）常见模型：工作总量固定，工作效率与时间反比；总价固定，单价与数量反比； （2）解法：找准不变常量，设反比例函数，代入求值作答； （3）易错：无法识别反比例关系；作答不带实际单位、遗漏取值范围. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为20 (2)能，见解析 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（   ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 【答案】C 【分析】设，把代入求出k，即可判断A；令，求出V，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D. 【详解】选项A：设，把代入函数关系式，则，正确，不符合题意； 选项B：将代入，得，结论正确，不符合题意； 选项C：反比例函数中， ，在时，随增大而减小． 当时，对应，不是，结论错误，符合题意； 选项D：当时，，当时，， ∴当时，，结论正确，不符合题意． 2．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出上升段的表达式，然后把代入求出时间，再把代入（1）中的函数表达式求出时间，即可求出时间差． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：设上升段的表达式为，代入可得，， 解得， ∴上升段的表达式为， 当时，则； 由（1）得下降过程中的函数， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴ 答：隔5小时需服用第二次． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $