精品解析：江苏淮安市淮安区2025-2026学年高一下学期6月期末调研考试数学试题

2025～2026学年度第二学期高一期末调研考试 数学 2025.6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置． 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁、不折叠、不破损． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球 C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，至少摸出个白球与摸出个白球个红球不是互斥事件； 对于B，至少摸出个红球与摸出个白球个红球不是互斥事件； 对于C，摸出个白球与摸出个白球个红球是互斥而不对立事件； 对于D，摸出个白球或摸出个红球与摸出个白球个红球是互斥也是对立事件. 故选：C． 2. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是 A. 63、64、66 B. 65、65、67 C. 65、64、66 D. 64、65、64 【答案】B 【解析】 【分析】①在频率直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值；②中位数是所有小长方形的面积和相等的分界线；③平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和． 【详解】解：由频率直方图可知，众数=； 由，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65； 平均数=．故选B． 【点睛】本题主要考查频率直方图的众数、中位数、平均数，需理解并牢记公式． 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角形内角和定理可得. 【详解】因为，，， 由正弦定理可得，即， 因为，所以或， 当时，，不满足， 所以. 故选：A 4. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 5. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可. 【详解】依题意，在中，，，则，； 在中，，，则; 又中，，则. 故塔尖之间的距离为. 故选：B. 6. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可 【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形 故选：D 7. 某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而恰有一人是由感染的，由此可计算出概率． 【详解】设直接受感染分别为事件，则事件是相互独立的， ，，，由题意可知，除了外，二人中恰有一人是由感染的， 由于二人中恰有一人是由感染的事件是，并且，， 所以， 所以中恰有两人直接受感染的概率是，故C正确. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，.是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题设，结合辅助角公式求出，由余弦定理得到，由题干条件结合余弦定理表示出，对转化成，然后三角代换后即可求解. 【详解】根据，由辅助角公式，，即， 又，则，即， 在中，由余弦定理可得， 如图可知，， 在中，由余弦定理，， 由可得， 设，则， 不妨取，由图可知， 又，进而解得， 由代入的表达式中可得， . 当时，， 则 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，三棱锥的体积为定值 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥外接球体积为 D. 若M为中点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由在线段上运动，结合正方体的结构特征有平面，应用等体积法及体积公式判断；B由在线段上运动，且，，根据周长最小有最小，求出最小值判断；C由为的中点，进而确定三棱锥外接球的球心在直线上，再求出其半径，即可判断；D由在平面内，若关于平面的对称点为，则即可得. 【详解】A：由，易知在线段上运动，由正方体的结构特征知平面， 所以平面，故到平面的距离为定值， 又，为定值，故三棱锥的体积为定值，对； B：当，则在线段上运动，且，， 由正方体的结构特征知，平面，平面， 平面，平面，则，， 要使的周长最小，即最小，显然， 所以周长的最小值为，错； C：若，则为的中点，即为上底面的中心，若为下底面的中心， 所以平面，且为等腰直角三角形，如下图示， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，设其半径为，则， 所以，故外接球体积为，对； D：由题设在平面内，若关于平面的对称点为， 易知为的中点，则，故， 又，则，故的最小值为，对. 故选：ACD 10. 已知正方体的棱长为，点是 的中点，点是侧面 内的动点，且满足，下列选项正确的是（ ） A. 动点轨迹的长度是 B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 C. 直线与所成的角为，则的最小值是 D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立坐标系，由可得出动点动点轨迹为线段，然后结合勾股定理，异面直线所成角，线面角，体积公式等逐一判断即可 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ，即， 取得中点，则动点轨迹为线段， 对于A：动点轨迹为线段，且，故A正确； 对于B：三角形在正方体内运动形成几何体为三棱锥， 且，故B正确； 对于C：， 直线与所成的角为， 又，则的最小值是，故C正确； 对于D：易知与重合时，直线与平面所成的角最大， 且为，， ， 所以不存在某个位置，使得直线与平面所成的角为， 故D错误； 故选：ABC 11. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知， ，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上投影的数量为 D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，得，根据全等三角形得，同理可得，即点到三边的距离相等，进而得出点是的内心. 【详解】解：对于A：，与的夹角为锐角， 可得，且与 不共线，， 即有，且， 解得且，则实数的取值范围是且，故A错误； 对于B：向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确； 对于C：若，则在方向上的投影的数量为，故C错误； 对于D：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，如图， 三个不共线的向量，满足， ，即， 即，易得≌，则， 同理可得，即点到三边的距离相等，则是的内心，故D正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学在公路、两点处测得基站顶部处的仰角分别为、，且.该同学沿着公路的边缘从处走至处一共走了.则山高为__________m.（该同学的身高忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】设，则，然后利用直角三角形，直角三角形，结合三角函数的定义表示出，，最后在三角形中，利用余弦定理列出关于的方程求解即可． 【详解】如图，设，则， 又由已知得，为直角三角形， 且，， 所以由，为直角三角形得： ，， 解得，， 在中，又，， 由余弦定理得：， 即， 解得． 故答案为：． 13. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得. 【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以， 又， 则，所以， 两式相加可得，化简可得， 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值. 14. 在长方体中，，E，F分别为棱上一点，且，则过点C，E，F的平面截该长方体所得的面面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取，连接，易得截面即为且是平行四边形求解. 【详解】解：如图所示： 连接，取，连接， 则由长方体的特征知：，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，即为所求截面， 因为， 所以， 则， 所以截面的面积为， 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，，证明四边形为平行四边形，得出，即可得证． （2）根据棱台的体积公式计算即可． 【小问1详解】 连接交于点，连接，， 因为为三棱台，，所以， 又为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 设的面积为，则由题意知的面积为，的面积为， 设三棱台的高为，则， 所以． 16. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】 （1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得； （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长. 【详解】（1） 由正弦定理得： 即： （2） 由余弦定理得： 的周长 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型. 17. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值； （2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可知：， 由，故， ∴ ∴， ∴，又， 所以； 【小问2详解】 根据数量积的定义，由，得， 又，在中由余弦定理得： ∵，∴， 所以 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． （1）求的值； （2）若，，求的面积； （3）若，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，可求的值； （2）由内角平分线性质可求得，进而在，中，利用余弦定理可求得，进而可求的面积； （3）设，由，可求得，进而可求实数k的取值范围. 【小问1详解】 由，结合正弦定理可得， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得，所以； 【小问2详解】 因为平分内角A，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 又， 所以，所以，所以，， 又， 所以是直角三角形，且， 所以，又， 所以； 【小问3详解】 设， 因为， 所以， 若，则， 又，即 所以， 又，所以， 所以. 所以实数k的取值范围为． 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论． 【小问1详解】 证明：在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以； 【小问2详解】 ①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，， 在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又由（1）可知，所以， 又，，，，，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接，交于点，所以， 所以，到平面的距离之比， 所以； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为， 在平面内过点作的平行线交于点，连接， 易得，因为平面，所以平面， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要最小即可， 因为，所以，所以， 设，因为为圆的直径，所以， 所以，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以，因此为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 在中，由勾股定理得，所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期高一期末调研考试 数学 2025.6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置． 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁、不折叠、不破损． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球 C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球 2. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是 A. 63、64、66 B. 65、65、67 C. 65、64、66 D. 64、65、64 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 7. 某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，，.是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，三棱锥的体积为定值 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥外接球体积为 D. 若M为中点，则的最小值为 10. 已知正方体的棱长为，点是 的中点，点是侧面 内的动点，且满足，下列选项正确的是（ ） A. 动点轨迹的长度是 B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 C. 直线与所成的角为，则的最小值是 D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 11. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知， ，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上投影的数量为 D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学在公路、两点处测得基站顶部处的仰角分别为、，且.该同学沿着公路的边缘从处走至处一共走了.则山高为__________m.（该同学的身高忽略不计） 13. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为__________. 14. 在长方体中，，E，F分别为棱上一点，且，则过点C，E，F的平面截该长方体所得的面面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 16. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 17. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． （1）求的值； （2）若，，求的面积； （3）若，求实数k的取值范围． 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $