精品解析：江苏省常州高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末质量检查数学试题

江苏省常州高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末质量检查数学试题 命题人：汤宁 审卷人：蒋亚红 2026.6 说明：1．请将答案填写在答卷上． 2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由为纯虚数，则，可得. 2. 数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】易知共6个数据，且， 因此第60百分位数取第四个数即可，即为5. 3. 已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径和体积公式求出高，利用勾股定理即可求解. 【详解】记圆锥高为h，底面半径为r， 因为该圆锥底面面积为，所以， 故底面半径．体积，解得， 故母线长． 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误； 对于B，若，，则或或l与相交，故B错误； 对于C，若，，，则或或l与相交不垂直或l与垂直，故C错误； 对于D，若，，则，又因为，则，故D正确. 5. 甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 6. 如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】矩形中，，分别为，的中点，为中点， 故 . 7. 如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，得到的坐标及平面的法向量，根据向量的数量积可得向量夹角的余弦值，进而得结果. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 所以， 设和平面所成角为， 则，即和平面所成角的正弦值为. 故选：C. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A选项，因为， 所以复数 z 对应的点为，在第一象限，故 A 错误； ，故B正确； ，故C正确； ，的虚部为1，故D正确. 10. 下列值为的式子有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式可判断A和C，根据二倍角公式可判断B，利用两角差的正余弦公式化简可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以 ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确. 11. 棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面PMN截正方体表面所得截面为五边形 B. 平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 C. 若与的夹角为，则Q点的轨迹长度为 D. 若交于，正方形的四个顶点绕着在上底面逆时针旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】作出正方体被平面截得的截面，得出截面为正六边形即可判断A；建系后写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可判断B；由线线角确定点的轨迹，即可求得轨迹长判断C；作出十面体，将该十面体放在一个四棱台中，根据棱台体积及三棱锥体积计算公式即可判断D． 【详解】A，因M，N，P分别为棱，，的中点，而点同在平面和平面上， 点同在平面和平面上，点同在平面和平面上， 故平面PMN截正方体所得截面为六边形，可作图如下： 其中点分别是边的中点，分别连接， 易证，，， 故得，同理可得， 故平面PMN截正方体所得截面为六边形，故A错误； B，如图建立空间直角坐标系. 则，， 设平面的法向量为，则，故可取. 又平面的一个法向量显然为， 设平面与平面夹角为，则，故B正确； C，若与的夹角为，则Q点轨迹是以为顶点，为轴，母线与的夹角为的圆锥被平面PMN所截得到的曲线，由平面PMN可得轨迹为圆， 由对称性可得点到平面PMN的距离为，所以该轨迹圆的半径为， 所以Q点的轨迹长度为，故C正确； D，如图所示，即为侧面均为三角形的十面体， 在平面内，分别过点作的平行线，过点作的平行线， 设平行线依次相交于点，连接，则易得为正方形， 而是上底面和下底面都是正方形的四棱台，底面边长为和1，高为1， 故， 因为， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的内角所对的边分别为，若，，则角________． 【答案】## 【解析】 【分析】已知两边及一边的对角，根据正弦定理求另一边的对角即可． 【详解】由正弦定理可知，化简得， 因为，故． 13. 已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】把空间问题降维，转化在轴截面中进行研究，需要理解轴截面的概念，利用等面积法及勾股定理建立等式求解． 【详解】解：如图， 在轴截面梯形中，，， 设球O的半径为r， ． ， 解得：， 因为， 所以， 所以球O的表面积为， 故答案为：． 14. 甲､乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】固定乙的出牌顺序，从而得到甲的所有出牌顺序个数，及甲的总得分不小于2的出牌顺序个数，得到答案 【详解】不妨设乙的出牌的顺序为， 而甲的卡片上分别标有数字，1有4个位置可以选择，7有3个位置可以选择， 剩余的两个3位置确定，故出牌的顺序有种情况， 其中甲要多得分，需保证出牌时，用3对乙的2，用7对乙的4，故最多得2分， 若甲的总得分为2，则甲的出牌顺序为或或或，有4种选择， 甲的总得分不小于2的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式及辅助角公式求出，进而求出其周期； （2）由（1）及已知求出，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解． 【小问1详解】 依题意， ， 所以函数的最小正周期． 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以 ． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面. 【答案】（1） ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面. ∵四边形是菱形，∴. 又平面，平面平面， ∴平面． （2） 取棱的中点，连接. ∵分别是棱的中点， ∴∥，∥. ∵∥，∴∥. ∵平面，平面， ∴∥平面； 同理由∥，得∥平面. ∵平面， ∴平面∥平面； 又平面，∴∥平面. 【解析】 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质定理可得平面，再由平面与平面垂直的判定定理得平面平面，最后由平面与平面垂直的性质定理得平面； （2）取棱的中点，连接，由平面与平面平行的判定定理得平面∥平面，进而证得∥平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】（1），平均年龄为 （2） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，根据各个小长方形面积总和为1列式进行计算a的值； （2）先根据分层抽样确定第四组和第五组抽到的使者人数，根据古典概型计算公式进行计算概率即可． 【小问1详解】 由，解得； 则平均年龄为 ； 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知 第四组的频率为，抽到的人数为； 第五组的频率为，抽到的人数为； 由甲年龄36岁可知，甲在第四组；乙年龄42岁可知，乙在第五组； 随机抽取2名作为组长： 选甲未选乙的概率为； 选乙未选甲的概率为； 甲乙都选的概率为； 综上，甲、乙两人至少有一人被选上的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面与交于点． （1）设平面交平面于直线，求证：； （2）若，且是棱的中点，点到平面，平面，平面的距离分别为．求的值； （3）若分别是线段、线段上的点，且满足，设与所成的角为，与所成的角为，求的最大值． 【答案】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理以及性质求解即可. （2）根据等体积法得到，再由棱锥的体积公式，即可求解. （3）作，由可得，根据角的关系可得，然后即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面，底面是正方形，， 依题意可得， 所以， 其中， ， 因为，所以，， 即，解得． 【小问3详解】 作，与BC交于点R，连接RQ，如图． 因为，所以， 又，所以， 所以， 因为底面是正方形，所以. 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，则，所以， 则，，且， 所以， 当时，取得最大值为． 19. 已知的内角所对的边分别为的角平分线交于. （1）若，求的值； （2）若，证明：； （3）若的三条角平分线相交于点的面积为，求. 【答案】（1） （2）因为，所以， 整理得，又，则， 在中，由余弦定理， 整理得，所以，， 则，，， 所以，又，则， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与面积之比建立方程组，即可求解； （2）根据条件，利用得到，再由余弦定理可得，，进而求出，即可求解； （3）根据条件，求出内切圆的半径，过作于，即可求解. 【小问1详解】 因为是的平分线，则， 则，其中是边上的高， 又，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是的三条角平分线的交点，所以是内切圆的圆心， 设内切圆的半径为，则，又的面积为， 则，解得， 过作于，则，又， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末质量检查数学试题 命题人：汤宁 审卷人：蒋亚红 2026.6 说明：1．请将答案填写在答卷上． 2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为1 10. 下列值为的式子有（ ） A. B. C. D. 11. 棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面PMN截正方体表面所得截面为五边形 B. 平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 C. 若与的夹角为，则Q点的轨迹长度为 D. 若交于，正方形的四个顶点绕着在上底面逆时针旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的内角所对的边分别为，若，，则角________． 13. 已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为______． 14. 甲､乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求的值． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面. 17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面与交于点． （1）设平面交平面于直线，求证：； （2）若，且是棱的中点，点到平面，平面，平面的距离分别为．求的值； （3）若分别是线段、线段上的点，且满足，设与所成的角为，与所成的角为，求的最大值． 19. 已知的内角所对的边分别为的角平分线交于. （1）若，求的值； （2）若，证明：； （3）若的三条角平分线相交于点的面积为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $