精品解析：江苏省淮安市淮安区2024-2025学年高一下学期期末调研数学试题

2024-2025学年度第二学期期末高一调研 数学试题 2025.06 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名､考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满､涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一､单选题：共8小题满分40分 1. 已知为虚数单位，复数， A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可． 【详解】，所以 故选C． 【点睛】本题主要考查复数的运算及复数长度的计算，比较基础． 2. 已知，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，且，则. 故选：D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定得到，，展开计算得到答案. 【详解】，，， 故， . 故选：A 4. 已知点为外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出是以为直角的等腰直角三角形，结合投影向量的定义可得出结果. 【详解】因为，所以，，即， 即为的中点，所以是圆的直径. 又因为，所以是以为直角的等腰直角三角形. 所以，，所以在上的投影向量为. 故选：B. 5. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ） A. 成绩在分的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000人 C. 考生竞赛成绩的平均分约70 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分 【答案】D 【解析】 【分析】A.矩形越高，则频率越大，那么考生人数越多，B.频率分布直方图中频数样本容量频率，C.根据公式直接计算平均分，D.根据中位数两侧的频率为，直接计算中位数. 【详解】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确； 由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确； 由频率分布直方图可得：平均分等于，故C正确； 因为成绩在的频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算中位数，平均数，频数，频率等数字特征，属于基础题型，本题关键是熟练掌握频率分布直方图中的概念. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果. 【详解】因为，，且，所以， 即， 由正弦定理得：, 又因为三角形中,, ， 因为,所以. 故选：C. 7. 如图，一种棱台形状无盖容器(无上底面)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4 cm2，9 cm2，且.若该容器模型的体积为cm3，则该容器模型的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据体积求得模型的高，进而求得侧面的高，从而求得模型的表面积. 【详解】依题意可知，上底面边长为，下底面边长为， 设模型的高为，则， 所以侧面等腰梯形的高， 所以模型的表面积为. 故选：A 8. 已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1，，，，则此球的表面积等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱锥的体积，求的长度，由，，利用余弦定理求，可得外接圆的半径，利用勾股定理可得球半径，即可求解. 【详解】因为，， 由可得 又 因为平面，该棱锥体积为1， 所以， 设外接圆的半径为，则，， 所以球的半径 球的表面积，故选D. 【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的问题，余弦定理，球的表面积，三棱锥的体积，属于中档题. 二､多选题：共3小题满分18分 9. 已知平面平面，平面平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若直线，，则 B. 若平面，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A、B选项，根据立体几何中给出的公理、定理及推论进行分析即可得出两命题是真命题，对于C、D选项可以借助具体的情境，比如以正方体为载体，进行举反例，即可判断选择C、D错误. 【详解】对于选项A，如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线也与它们的交线平行，故A正确； 对于选项A，如果一个平面与两个相交平面都垂直，那么这个平面与它们的交线也垂直，故B正确； 对于选项C，如图， 在正方体中，记平面为，平面为， 为直线m，为直线n，则，但与平面不垂直，故C错误； 对于选项D，如图，在正方体中，记平面为，平面为， 取正方体的外接球球心为O，中点为P，平面，则， 但不垂直于平面，故D错误. 故选:AB. 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判定A,根据可判定B,根据古典概型的概率公式求解，可判定CD. 【详解】对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次和第二次都是数字4 ，故A错误； 对于B，对于事件与事件， , 事件与事件是相互独立事件,故B正确； 对于C，,所以，故C正确； 对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确. ​​​​​​​故选:BCD. 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为1 B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据三棱锥体积公式计算，结合正方体的性质，可得答案； 对于B，根据线面垂直，证得线线垂直，利用线面垂直判定定理，可得答案； 对于C，根据异面直线夹角的定义，利用几何法，结合余弦定理，可得答案； 对于D，利用平行进行平面延拓，根据正六边形的面积公式，可得答案. 【详解】对于A，取中点，连接，，，，如下图： 分别为的中点，平面， 设正方形的面积，， ，故A正确； 对于B，连接、、，如下图： 分别为的中点，且为正方形的对角线，， 在正方体中，平面，且平面，，，平面，平面， 平面，，同理可得， 分别是的中点，，，即，，，平面， 平面，故B正确； 对于C，连接，，，，，如下图： 分别为的中点，，，则， 故为异面直线与所成的角或其补角， ，，， ， 异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； 对于D，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，，如下图： 易知，，，且正六边形为过点作正方体的截面，则其面积为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：共3小题满分15分 12. 已知一组数据的方差为，则数据、、……、的方差为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的性质即可求得结果. 【详解】设原数据、、、的方差为，根据方差的性质新数据的方差为：. 故答案为：. 13. 已知三个内角，，的对边分别为，，，若，，且为锐角三角形，则面积的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，由余弦定理， 由基本不等式可知：，即， 当且仅当时等号成立. 当时，，满足为锐角三角形，由可知. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，已知，，，，当三棱锥的外接球体积取得最小值时，记与平面所成的角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知和外接圆的半径，比较可得球心在外心处，根据球的性质可知平面，再利用等体积法可求点到平面的距离，即可求. 【详解】设外接圆圆心为，半径为，中点为，连接， 因为，，，， 所以，， 是直角三角形，则为外接圆圆心，半径， 所以三棱锥的外接球体积取得最小值时，球心在外心处，外接球半径为， 根据球的性质，截面圆心与球心的连线垂直于截面，即平面， ，则， 又，所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以. 故答案为：. 四､解答题：共5大题满分77分 15. 已知函数. （1）化简； （2）已知都是锐角，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可； （2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，最后根据及两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为角为锐角，且，所以. 因为，所以， 又因为，所以， 所以 . 16. 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求出得值，根据平均数公式求出平均值. （2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解. 【小问1详解】 由题意得，解得. 由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值： . 【小问2详解】 根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和， 从中任取2件，样本空间可记为，，，，，， ，，，，，，，，共15个， 记事件：至少有一件为航天级芯片,则，，，，， ，，，共9个， 所以. 17. 已知的内角、、的对边分别为、、，. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式可求出的值，结合余弦定理可得出的值，由此可得出的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，故， 由余弦定理得， 因为，故. 【小问2详解】 由三角形的面积公式得，可得， 由余弦定理得， 解得，故的周长为. 18. 如图，在正三棱柱中，，，D是AC的中点，点E在上且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理易得，，再由线面垂直判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【小问1详解】 如图所示： 连接BD，． 由已知可得，，，， 所以，，，所以， 所以，同理， 又平面， 所以平面． 【小问2详解】 在中，，，则． 在中，，，则． 设点到平面的距离为d， 由，得， 得，解得 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案； （3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围. 【小问1详解】 因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则， 过作交于点，则为的平面角． 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以． 在三角形中，由余弦定理得. 【小问3详解】 过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连结， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离． 因为，所以， 所以点在角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末高一调研 数学试题 2025.06 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名､考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满､涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一､单选题：共8小题满分40分 1. 已知为虚数单位，复数， A. 1 B. 2 C. D. 5 2. 已知，，，若，则值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点为外接圆的圆心，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ） A. 成绩在分的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000人 C. 考生竞赛成绩的平均分约70 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分 6. 在中，角，，对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为4 cm2，9 cm2，且.若该容器模型的体积为cm3，则该容器模型的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1，，，，则此球的表面积等于 A. B. C. D. 二､多选题：共3小题满分18分 9. 已知平面平面，平面平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若直线，，则 B. 若平面，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. D. 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为1 B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是 三､填空题：共3小题满分15分 12. 已知一组数据的方差为，则数据、、……、的方差为______. 13. 已知三个内角，，的对边分别为，，，若，，且为锐角三角形，则面积的最大值为_____. 14. 在三棱锥中，已知，，，，当三棱锥的外接球体积取得最小值时，记与平面所成的角为，则______. 四､解答题：共5大题满分77分 15. 已知函数. （1）化简； （2）已知都是锐角，，求的值. 16. 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生频率作为相应事件发生的概率． （1）求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 17. 已知的内角、、的对边分别为、、，. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 如图，在正三棱柱中，，，D是AC的中点，点E在上且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$