精品解析：江苏省南通市市直学校2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、 B. 2、3 C. 1、 D. 、3 2. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在中，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 5. 在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 6. 把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，，，．点在直线上，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是的中点，，点是线段上的动点，设，．图2是点从点运动到点时随的变化关系的图象，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 已知函数是正比例函数，则_____________． 13. 某班体质健康测试中，有六名学生引体向上的个数分别为10，11，12，12，13，14，则这组数据的离差平方和为________． 14. 如图，平行四边形的对角线交于点O，且，过点A作，垂足为E．若，则的长为________． 15. 若关于x的方程（）的两根之差为，令，则的最大值为________． 16. 如图，在正方形中，，相交于点O，点E为正方形内一点，且，若，垂足为F，，垂足为G．，，则的长为________，的长为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 19. 在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，，14（部分数据被污染） 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和箱线图． 甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 13 a 1.2 乙 13 b 13 3.4 【问题解答】 （1）直接写出表格中a和b的值：_________，_________； （2）由乙组数据求出乙组草莓甜度的第一四分位数_________，第三四分位数_________； （3）如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式．请说明理由． 20. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线（）与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）直线与轴交于点，点是直线上一动点，且满足，求点坐标； （3）请直接写出不等式的解集． 22. 根据如图所示的程序解决问题：当输入x的值为2时，输出y的值为6． （1）求m的值； （2）当输出y的值不小于4时，求输入x的取值范围； （3）函数值y有最_________（填“大”或“小”）值，这个值为_________． 23. 【综合与实践】 了解敲击某同种型号玻璃杯时，声音的振动频率f（单位：）与杯中水位高度h（单位：）的关系，从数学的角度分析解决问题． 【素材1】下表是某数学兴趣小组记录的部分数据： 水位高度（） … 5 10 15 20 25 … 频率（） … 500 420 340 260 180 … 【素材2】数学兴趣小组通过查阅资料，列出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率（） （1）任务1：求敲击玻璃杯时声音的振动频率f关于水位高度h的函数解析式； （2）任务2：若该型号玻璃杯的最大水位高度为，求敲击玻璃杯时声音振动频率的取值范围； （3）任务3：已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加．若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，求此时玻璃杯中的水量为多少毫升． 24. 已知二次函数． （1）若，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： （3）将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 25. 借助平移的性质，解决以下问题： （1）【初步感受】如图1，在正方形中，点E，F，G分别是，，边上的点，连接，．若，垂足为M．将沿方向平移到，连接．求证：． （2）【迁移应用】如图2，将（1）中正方形变为矩形，，垂足为M．若，．猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，在矩形中，，．点E，F分别在，边上，．过点E作交边于点G，垂足为M．连接，．请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、 B. 2、3 C. 1、 D. 、3 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 2. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式得到k和b的符号，再根据k和b的符号判断图象经过的象限，即可得出不经过的象限． 【详解】解：∵在一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数图象不经过第四象限． 3. 如图，在中，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，又根据角平分线的定义可得，最后利用平行四边形的性质求出即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵平行四边形中， ∴. 4. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和恒为，根据题意可得内角和，再结合多边形内角和公式，其中为边数，列方程求解即可； 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵ 任意多边形的外角和为，该多边形内角和是外角和的倍，且边形内角和为， ∴ 列方程得 解得 ， 因此这个多边形的边数是六． 5. 在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据加权平均数的计算规则，将两项成绩分别乘以对应权重后求和，即可得到综合成绩． 【详解】解：∵综合成绩为两项成绩分别乘以对应权重的和， ∴小康的综合成绩为：． 6. 把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律进行求解即可． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 7. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 8. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 9. 如图，，，，，．点在直线上，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作交的延长线于点， 构造矩形和，利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理求出的长． 【详解】如图，连接，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，， 点分别为、的中点， 为的中位线， ． 10. 如图，在中，是的中点，，点是线段上的动点，设，．图2是点从点运动到点时随的变化关系的图象，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质可得，结合函数图象可知当与重合时，当与重合时，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，最后利用平行四边形面积公式求解即可． 【详解】如图，连接， ，是的中点，  ，， 当点与点重合时，，此时，，  ， 由图（2）可知，当时，，  ， 当点与点重合时，，，此时取得最大值， 由图（2）得，的最大值为，  ， 在中，由勾股定理得，  ， 即，  ， 联立， 解得， ， 的面积为． 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 12. 已知函数是正比例函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：是正比例函数， 且， 解得：； 故答案为：． 13. 某班体质健康测试中，有六名学生引体向上的个数分别为10，11，12，12，13，14，则这组数据的离差平方和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算这组数据的算术平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方的和，即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为， ∴这组数据的离差平方和为． 14. 如图，平行四边形的对角线交于点O，且，过点A作，垂足为E．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，求出平行四边形的面积，进而得到的面积，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交于点O， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 15. 若关于x的方程（）的两根之差为，令，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设关于的方程的两根为，，利用根与系数的关系得出，，结合两根之差为的条件，推导出关于的表达式，代入得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求的最大值即可． 【详解】设关于的方程的两根为，， 由根与系数的关系可得，， 由题意得， 两边平方得， ， ， 整理得， 将代入，得， 是关于的二次函数，二次项系数，开口向下，顶点处取得最大值， 当时，， 的最大值为． 16. 如图，在正方形中，，相交于点O，点E为正方形内一点，且，若，垂足为F，，垂足为G．，，则的长为________，的长为________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】过点A作于点Q，由题意易得，，，然后根据斜边中线定理可得，通过证明，可得是等腰直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：过点A作于点Q，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 两边开平方得， 即或， 解得，； 【小问2详解】 因式分解得 即或 解得，． 18. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1） 选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 19. 在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，，14（部分数据被污染） 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和箱线图． 甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 13 a 1.2 乙 13 b 13 3.4 【问题解答】 （1）直接写出表格中a和b的值：_________，_________； （2）由乙组数据求出乙组草莓甜度的第一四分位数_________，第三四分位数_________； （3）如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式．请说明理由． 【答案】（1）13，13 （2）12，14 （3）推荐采用“智能水肥一体化”技术（甲组）． 理由： 甲乙两组数据平均数、众数、中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差，方差越小说明数据波动越小，甜度更稳定、品质更均匀，符合高端超市的收购标准． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得甲组数据中被污染的两个数据和为28，由箱线图可得，甲组数据最大值为15，可得两个数据为13，15，将数据从小到大排列后，即可求得中位数，根据乙组数据中出现次数最多的是13，即可得众数； （2）根据四分位数的定义即可求解； （3）根据对甲乙两组数据的平均数、众数、中位数、方差进行比较，即可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，甲组数据中被污染的两个数据和为， 由箱线图可得，甲组数据最大值为15， ∴被污染的两个数据中有一个为15， ∴这两个数据为13，15， ∴将数据从小到大排列后，第5个和第6个数据均为13， ∴中位数， ∵乙组数据中出现次数最多的是13， ∴众数． 【小问2详解】 解：∵乙组数据从小到大排列为， 第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数为， 第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数为， 【小问3详解】 略 20. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程一定有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，把展开后整体代入即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：，， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线（）与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）直线与轴交于点，点是直线上一动点，且满足，求点坐标； （3）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，可得点的坐标，再将点，的坐标代入，即可求解； （2）先求得点，点的坐标，可得的长，设，根据，列式计算即可求解； （3）由图象即可得结论． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， ， 把，代入，得： ，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于直线， 令，得， ， 对于直线， 令，得， ， ， 如图，过点作轴于点， 设，则， ， ， 解得，， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由图可得，不等式的解集为． 22. 根据如图所示的程序解决问题：当输入x的值为2时，输出y的值为6． （1）求m的值； （2）当输出y的值不小于4时，求输入x的取值范围； （3）函数值y有最_________（填“大”或“小”）值，这个值为_________． 【答案】（1） （2）或 （3）小； 【解析】 【分析】（1）根据流程图可得方程，解方程即可得到答案； （2）当时，，可得不等式，解不等式即可；当时，，可得不等式，解不等式即可； （3）当时，，当时，，根据一次函数的性质求出y的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵当输入x的值为2时，输出y的值为6，且 ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，， ∵输出y的值不小于4，即， ∴， ∴； 当时，， ∵输出y的值不小于4，即， ， ∴； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：由（2）得，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴； 当时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴此时； 综上所述，， ∴函数值y有最小值，这个值为． 23. 【综合与实践】 了解敲击某同种型号玻璃杯时，声音的振动频率f（单位：）与杯中水位高度h（单位：）的关系，从数学的角度分析解决问题． 【素材1】下表是某数学兴趣小组记录的部分数据： 水位高度（） … 5 10 15 20 25 … 频率（） … 500 420 340 260 180 … 【素材2】数学兴趣小组通过查阅资料，列出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率（） （1）任务1：求敲击玻璃杯时声音的振动频率f关于水位高度h的函数解析式； （2）任务2：若该型号玻璃杯的最大水位高度为，求敲击玻璃杯时声音振动频率的取值范围； （3）任务3：已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加．若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，求此时玻璃杯中的水量为多少毫升． 【答案】（1） （2） （3）毫升 【解析】 【分析】本题考查了求解一次函数解析式，一次函数的性质等知识． （1）设声音的振动频率f关于水位高度h的函数解析式为：，且，代入表格中的数据即可作答； （2）根据一次函数中自变量的系数判断出声音的振动频率f随着水位高度h的增大而减小，据此即可作答； （3）想发出的音阶为，对应的频率为，即令，求出水位高度，问题随之得解． 【小问1详解】 解：设声音的振动频率f关于水位高度h的函数解析式为：，且， 代入两组表格中的数据可得：，解得：， 即：声音的振动频率f关于水位高度h的函数解析式为：， 代入表格中其他数据进行验证，可知关系式符合， 故声音的振动频率f关于水位高度h的函数解析式为：； 【小问2详解】 声音的振动频率f关于水位高度h的函数解析式为：， ∵， ∴声音的振动频率f随着水位高度h的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴敲击玻璃杯时声音振动频率的取值范围为：； 【小问3详解】 ∵想发出的音阶为，对应的频率为， ∴令， 解得：， ∵玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加， ∴此时玻璃杯中的水量为：． 24. 已知二次函数． （1）若，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数，当，时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值： （3）将在间的图象记为G，若图象G与直线有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或且 【解析】 【分析】（1）当时，，令，求出对应的自变量取值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）将函数化为顶点式，得出抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小，进而求出时，y的最大值与最小值，即可得解； （3）根据与轴的交点可得，图象G与直线始终有1个交点，分两种情况讨论：当时，在处图象上的点需在直线上或它的上方；当时，在处图象上的点需在直线上或它的下方，再考虑直线与图象相切时只有1个交点，即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， 令，则， 解得：，， 此函数与x轴的交点坐标为，； 【小问2详解】 解：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越小， 当时，为最大值； ， 当时，为最小值 时，y的最大值与最小值的差为5， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 令，则， 直线与x轴的交点坐标为， 图象与直线始终有1个交点， 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：； 当时， 当时，， 图象G与直线有2个不同的交点， 当时，， ， 解得：， 当时，整理得，， 若直线与图象相切，则， 整理得，，即 解得：，此时只有1个交点， 综上可知，若图象G与直线有2个不同的交点，a的取值范围为或且． 25. 借助平移的性质，解决以下问题： （1）【初步感受】如图1，在正方形中，点E，F，G分别是，，边上的点，连接，．若，垂足为M．将沿方向平移到，连接．求证：． （2）【迁移应用】如图2，将（1）中正方形变为矩形，，垂足为M．若，．猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，在矩形中，，．点E，F分别在，边上，．过点E作交边于点G，垂足为M．连接，．请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：由平移可得，，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵将沿方向平移到， ∴在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，点是的中点，点是的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴同理（1）可得，，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接，同理（1）可得，，即可得结论； （3）过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形，，，取的中点，的中点，同理（2）可得，，在中，可得，则，在中，可得，再由，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 取的中点，的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴同理（2）可得，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴当在一条直线上时，取得最小值， ∵， ∴取得最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $