第2章 微素养·专题突破五 与三角形有关的综合与实践问题（主书）-【精彩三年·就练这一本】2025-2026学年八年级上册数学教师用书配套word（浙教版·新教材）

**基本信息** 聚焦三角形综合实践，通过概念建构-性质应用-探究拓展的逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表格类综合实践|例1+变式|角度互余推导、等积法证明、概念迁移应用|从“等角三角形”概念引入，到剪拼法验证勾股定理，实现从概念理解到定理证明的递进| |探究类综合实践|例2+变式|等腰三角形性质转化、全等判定（AAS）、三线合一应用|以等腰三角形为载体，通过角平分线、垂直条件构建推理链条，拓展至跨图形性质关联|

　五　与三角形有关的综合与实践问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　表格中的综合与实践 　　【例1】 根据引入概念,理解应用概念。 经历数学概念的学习过程 引入 概念 概念1 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等,那么称这两个三角形互为“等角三角形”。 概念2 连结不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段,将不等边三角形分成两个小三角形,若一个小三角形为等腰三角形,另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角形”,我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”。 问题解决 理解 概念 任务1 (1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,写出图中两对“等角三角形”。 ①　△ACD与△CBD　;②　△ABC与△ACD(答案不唯一)　。  任务2 (2)如图2,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°。 证明CD是△ABC的“等角分割线”。 解:任务1:(1)因为CD⊥AB, 所以∠ADC=∠CDB=90°, 所以∠B+∠BCD=90°。 因为∠ACB=90°, 所以∠BCD+∠ACD=90°, 所以∠B=∠ACD, 所以△ACD与△CBD互为“等角三角形”,△ABC与△ACD互为“等角三角形”,△CBD与△ABC互为“等角三角形”,写出两对即可。 故答案为①△ACD与△CBD;②△ABC与△ACD(答案不唯一)。 任务2:(2)证明:因为∠A=40°,∠B=60°, 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。 因为CD为角平分线, 所以∠ACD=∠BCD=40°, 所以∠ACD=∠A, 所以CD=AD, 所以△ACD是等腰三角形。 因为∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°, 所以∠BDC=180°-100°=80°, 所以∠BDC=∠ACB,∠B=∠B, 所以△ABC与△CBD是“等角三角形”, 所以CD为△ABC的“等角分割线”。 　　【变式】 某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究,并制表如下: 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达•芬奇证明勾股定理的剪拼法。 步骤 ①在纸片上绘制两个边长分别为a,b的正方形 ②将左右两部分剪开 ③将右侧部分翻折,并平移 ④左右两部分拼接在一起 说明:①中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上;步骤①中多边形的面积为S1,步骤④中多边形的面积为S2。 问题解决 任务 (1)请用含a,b,c的代数式分别表示S1,S2。 解:S1=a2+b2+2×ab=a2+b2+ab, S2=c2+2×ab=c2+ab。 (2)请利用等积法证明勾股定理。 解:由S1=S2得a2+b2+ab=c2+ab, 所以a2+b2=c2。 类型2　探究类的综合与实践 【例2】 【问题情境】如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC>90°,CD与直线AB垂直,垂足为D,∠BCD的平分线CE交BD于点E,点H在线段AC上,HE的延长线与CD的延长线相交于点F。 【探索求证】(1)求证:∠ACE=45°。 【深入探究】(2)若FH⊥AC,请判断CF与AE有怎样的数量关系,并说明理由。 解:(1)证明:因为AB=BC, 所以∠A=∠ACB。 因为CE平分∠BCD, 所以∠BCE=∠DCE。 因为CD⊥直线AB, 所以∠ADC=90°, 所以∠A+∠ACB+∠BCE+∠DCE=90°, 即2(∠ACB+∠BCE)=90°, 所以∠ACB+∠BCE=45°, 即∠ACE=45°。 (2)CF=AE,理由: 因为FH⊥AC,所以∠EHC=90°。 又因为∠ACE=45°, 所以∠HEC=45°, 所以△EHC为等腰直角三角形, 所以EH=CH。 因为FH⊥AC,所以∠EHA=∠EHC=90°, 所以∠F+∠ACD=90°。 因为∠ADC=90°, 所以∠A+∠ACD=90°, 所以∠A=∠F, 所以△AEH≌△FCH(AAS), 所以CF=AE。 【变式】 【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要。如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,若∠C=58°,则∠BAD的度数为　32°　。  【数学应用】如图2,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,AD,AG分别为△ABC和△AEF的中线,若∠BAF=110°,∠CAE=24°,求∠DAG的度数。 【拓展】如图3,在△ABC和△ABE中,AB=AC,AB=AE,AD,AF分别为△ABC和△ABE的中线,AD与BE交于点O,若∠AOF=69°,则∠CAE的度数为　42°　。  　　解:【数学知识】因为AB=AC,AD是中线,∠C=58°, 所以∠B=∠C=58°,AD⊥BC, 所以∠B+∠BAD=90°, 所以∠BAD=32°, 故答案为32°。 【数学应用】因为AB=AC,AE=AF,AD,AG分别为△ABC和△AEF的中线, 所以∠DAC=∠BAC,∠EAG=∠EAF, 所以∠DAG=∠DAC+∠CAE+∠EAG=∠BAC+∠CAE+∠EAF=∠BAF+∠CAE。 因为∠BAF=110°,∠CAE=24°, 所以∠DAG=55°+12°=67°。 【拓展】因为AB=AC,AB=AE,AD,AF分别为△ABC和△ABE的中线, 所以AF⊥BE,∠BAF=∠BAE,∠BAD=∠BAC, 所以∠AOF+∠OAF=90°。 因为∠AOF=69°, 所以∠OAF=21°, 所以∠BAF-∠BAD=∠BAE-∠BAC=21°, 所以∠BAE-∠BAC=42°, 所以∠CAE=∠BAE-∠BAC=42°。 故答案为42°。 学科网（北京）股份有限公司 $