第2章 微素养·专题突破三 中垂线与角平分线的应用（主书）-【精彩三年·就练这一本】2025-2026学年八年级上册数学教师用书配套word（浙教版·新教材）

**基本信息** 以中垂线、角平分线性质及折叠变换为核心，通过“例题+变式”构建“性质应用—等量转化—综合计算”的方法体系，逻辑链清晰，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中垂线的应用|1例+3变式|垂直平分线性质→线段相等→周长/角度转化|中垂线性质→等量关系建立→几何量计算| |角平分线的应用|1例+3变式|角平分线性质→距离相等→面积/全等证明|角平分线性质→辅助线构造→图形关系推导| |折叠问题|1例+3变式|折叠性质→对应边/角相等→勾股定理列方程|折叠变换→轴对称性质→代数化求解|

　三　中垂线与角平分线的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　中垂线的应用 　　【例1】 如图,在△ABC中,DE垂直平分边AC,分别交边AC,AB于点D,E,连结CE,且CE平分∠ACB。 (1)若AB=9,BC=5,求△BCE的周长。 (2)设∠A=α,∠B=β,试用含α的式子表示β,再求当α=28°时,β的值。 解:(1)因为DE垂直平分边AC, 所以EA=EC,所以△BCE的周长=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=14。 (2)因为EA=EC,所以∠ECA=∠A=α。 因为CE平分∠ACB,所以∠BCE=∠ECA=α, 所以β=180°-3α。 当α=28°时,β=180°-3×28°=96°。 【变式1】 如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D,E。已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm,则BD的长为 (　B　) 　　A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 　　【变式2】 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,分别以A,B为圆心画弧,两弧分别交于E,F,直线EF交BC于点D,则△ACD的周长等于 (　A　) A.21 B.24 C.27 D.30 【解析】 由题意可知,EF是边AB的垂直平分线,所以AD=DB, 所以AD+CD=BD+CD=CB, 所以△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+CB=21。 　　【变式3】 如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线DM,EN相交于点O,M,N在BC边上,若∠MAN=20°,则∠BAC的度数为　100°　。  【解析】 因为DM,EN分别垂直平分AB,AC, 所以AM=BM,AN=CN, 所以∠B=∠BAM,∠C=∠CAN。 因为∠B+∠BAM+∠C+∠CAN+∠MAN=180°, 所以2(∠B+∠C)+∠MAN=180°。 因为∠MAN=20°, 所以∠B+∠C=×(180°-20°)=80°, 所以∠BAC=180°-(∠B+∠C)=100°。 类型2　角平分线的应用 【例2】 在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB。 (1)如图1,求∠BDC的度数。 (2)如图2,连结AD,作DE⊥AB于点E,DE=2,AC=4,求△ADC的面积。 解:(1)因为BD平分∠ABC, 所以∠DBC=∠ABC=×60°=30°。 因为CD平分∠ACB, 所以∠DCB=∠ACB=×40°=20°, 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-30°-20°=130°。 (2)作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H,如图。 因为BD平分∠ABC,DE⊥AB, DH⊥BC, 所以DH=DE=2。 因为CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC, 所以DF=DH=2, 所以△ADC的面积=DF·AC=×2×4=4。 　　【变式1】 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D。若AD=2,则点D到BC的距离为 (　D　) 　　A.1　　B.　　C.　　D.2 　　【变式2】 如图,△ABC的面积为10 cm2,BP平分∠ABC,过点A作AP⊥BP于点P。则△PBC的面积为　5　cm2。  　　【解析】 延长AP交BC于E,如图。 因为BP平分∠ABC, 所以∠ABP=∠EBP。 因为AP⊥BP, 所以∠APB=∠EPB=90°。 在△ABP和△EBP中, 所以△ABP≌△EBP(ASA), 所以AP=PE, 所以S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP, 所以S△PBC=S△ABC=×10=5(cm2)。 【变式3】 如图,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,若BD=CD,BE=CF。求证:AD平分∠BAC。 　　证明:因为DE⊥AE,DF⊥AC, 所以∠E=∠DFC=90°。 在Rt△BDE和Rt△CDF中, 因为 所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), 所以DE=DF, 所以AD平分∠BAC。 类型3　折叠问题 【例3】 如图,有一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,求折痕的长度。 　　 解:如图,折痕为DE。 因为在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm, 所以根据勾股定理得, AB==10 cm。 设CE=x cm,由折叠的性质得 BD=AD=5 cm,BE=AE=(8-x) cm。 在Rt△BCE中,根据勾股定理可知,BC2+CE2=BE2, 即62+x2=(8-x)2,解得x=, 故折痕长DE== cm。 　　【变式1】 如图,有一张直角三角形纸片,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,现将△ABC折叠,使边AC与AB重合,点C的对应点为点D,折痕为AE,则CE的长为 (　C　) A.1 cm B.2 cm C. cm D. cm 　　【变式2】 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B'处,两条折痕与斜边AB分别交于点E,F,则线段CE的长等于　4.8　,线段B'F的长等于　1.6　。  【变式3】 小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图1);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图2).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意他的说法吗?请你说明理由。 　　解:同意。 理由:设AD与EF交于点G。 由第一次折叠知AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD。 由第二次折叠知,∠AGE=∠DGE。 又因为∠AGE+∠DGE=180°, 所以∠AGE=∠DGE=90°, 所以∠AGE=∠AGF=90°, 所以∠AEF=∠AFE, 所以AE=AF, 即△AEF为等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $