2027年广东省普通高中学期学业水平考试 数学模拟卷16

**基本信息** 聚焦高考复习需求，通过仓库选址优化、机床次品数统计等真实情境题考查数学建模与数据分析能力，立体几何折叠问题强化空间观念，适配学业水平考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|集合、复数、函数定义域等基础|注重概念辨析，如充要条件判断| |填空题|6/36|概率、向量、不等式|考查运算能力，如独立事件概率计算| |简答题|4/42|函数应用、统计、解三角形、立体几何|19题用基本不等式解决费用最小化，20题通过方差分析机床性能，22题折叠问题培养空间观念|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷16 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，则（ ） A B C. D. 2. 复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. “” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是奇函数，时，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 抽取 8 名学生成绩：76,79,82,85,88,91,93,95，样本第 75 百分位数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 9. 为得到图像，只需把图像（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 10. 已知，，则最大值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知为直线，为平面，命题正确的是（） A. B. C. D. 12. 函数，方程有 2 个不同实根，则取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.事件相互独立，，，则_______ 14.中，为中点，为中点，，则_______ 15.设，且，则_______ 16.不等式的解集为_______ 17.已知，则_______ 18.圆台轴截面是等腰梯形，上底，下底，腰，直线与下底面所成角的正弦值为_____ 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 20.甲、乙两台机床同时生产同一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0，1，2，2，0，2，3，3，3，4； 乙：1，3，1，1，0，2，0，1，0，1. （1）求甲，乙机床每天生产的次品数的平均数 （2）哪台机床性能更好？ 21.内角对边，已知. (1) 求角； (2) 若，为角平分线，求长度. 22.把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角B-AC-D为直二面角. （1）证明：AC⊥BD; （2）求直线BD与平面ABC所成角的大小. 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷16解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，则（ ） A B C. D. 【答案】D 【详解】求并集. 2.复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 3.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】，定义域 4.“” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】一定能推出；不能推出（如），充分不必要 5.已知是奇函数，时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】奇函数满足 ， 6.设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 7.抽取 8 名学生成绩：76,79,82,85,88,91,93,95，样本第 75 百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】百分位数计算：，整数，取第 6、7 个数平均值 第 6 个：91，第 7 个：93， 8.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】，在第二象限，余弦为负， 9.为得到图像，只需把图像（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 【答案】A 【详解】三角函数平移 “左加右减”，加，向左平移 10.已知，，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】基本不等式 ，取等 11.已知为直线，为平面，命题正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 12.函数，方程有 2 个不同实根，则取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】图像是 V 型，最低点 与图像有 2 个交点，即 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.事件相互独立，，，则_______ 【答案】 【详解】，独立事件 14.中，为中点，为中点，，则_______ 【答案】 【详解】, 15.设，且，则_______ 【答案】 【详解】对数换底：， 16.不等式的解集为_______ 【答案】 【详解】原不等式等价于，即，所以原不等式的解集是 17.已知，则_______ 【答案】 【详解】诱导公式，= 18.圆台轴截面是等腰梯形，上底，下底，腰，直线与下底面所成角的正弦值为_____ 【答案】 【详解】圆台高 下底圆心，作，， ，线面角为， 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 解：设，，当时，，，，， ，，两项费用之和为. 当且仅当时，即当时等号成立. 即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为万元. 20.甲、乙两台机床同时生产同一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0，1，2，2，0，2，3，3，3，4； 乙：1，3，1，1，0，2，0，1，0，1. （1）求甲，乙机床每天生产的次品数的平均数 （2）哪台机床性能更好？ 解：（1）由题意，可得甲机床每天生产的次品数的平均数为==2， 乙机床每天生产的次品数的平均数为==1， （2）方差为=×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(0-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(3-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=1.6； 方差为=×[(1-1)2+(3-1)2+(1-1)2+(1-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(0-1)2+(1-1)2]=0.8. 比较发现乙机床每天生产的次品数的平均数较小而且方差也较小，所以乙机床的性能更好. 21.内角对边，已知. (1) 求角； (2) 若，为角平分线，求长度. 解：(1) 余弦定理：，故 (2) 角平分线面积公式： 设， ， ，即 22.把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角B-AC-D为直二面角. （1）证明：AC⊥BD; （2）求直线BD与平面ABC所成角的大小. （1）证明：如图所示，记E为AC的中点，连接BE，DE，所以AC⊥BE，AC⊥DE，又BE∩DE=E， BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，又BD⊂平面BED，所以AC⊥BD （2）解：依题意，∠BED是二面角B-AC-D的平面角，所以∠BED=，所以DE⊥BE，又DE⊥AC，BE∩AC=E，BE，AC⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以直线BD和平面ABC所成的角即为∠EBD， 因为tan∠EBD==1，故∠EBD=，所以直线BD与平面ABC所成角的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $