精品解析：江苏省苏州市昆山市2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

初一数学 （满分130分，时间120分钟） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则，合并同类项的法则，根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、原计算错误，不符合题意， 故选：C． 2. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．各项利用不等式的基本性质判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 3. 我国最新研发的型号为T1000的高性能碳纤维材料，抗拉强度极高，是钢材料的7到8倍，主要应用于航空航天、轨道交通等领域，该材料单丝直径为米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 4. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程的解满足方程，将给定的解代入原方程即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴将，代入方程，得， 解得 ． 5. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则， 【答案】A 【解析】 【分析】运用等式的性质，有理数乘法法则和不等式的性质，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：对于选项A，若，必有，选项A是真命题； 对于选项B，若，则或，当、时也满足，因此选项B是假命题； 对于选项C，若，当时，，不满足，因此选项C是假命题； 对于选项D，根据有理数乘法“同号得正”的法则，若，则、也满足条件，因此选项D是假命题． 6. 已知正方形的边长为（），若将各边长均增加2后得到新正方形，则新正方形的面积增加了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先根据正方形面积公式求出原正方形和新正方形的面积，再计算面积差，化简后即可得到结果． 【详解】解：∵ 原正方形边长为， ∴ 原正方形面积为 ， ∵ 边长增加2后，新正方形边长为 ， ∴ 新正方形面积为 ， 计算面积增加量： ， 因此新正方形面积增加了． 7. 如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点落在上，延长交于点，若，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，的度数，进而可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】由旋转的性质可得，， ， ． 8. 如图，点是线段上一点，在的上方分别以，为边长作正方形和正方形，点是的中点，连接，，，．若，则四边形的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设，，且，根据点是的中点，得出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：设，，且， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴ ． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 已知命题“如果，那么”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【解析】 【分析】是求出满足的所有的值，判断结论是否一定成立，即可判断命题的真假． 【详解】解：根据平方根的定义，若，则或． 因此当条件成立时，结论不一定成立， 所以该命题是假命题． 11. 将方程写成用含的代数式表示的形式为______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：将方程写成用含的代数式表示的形式为． 12. 若多项式与某个单项式的和是一个完全平方式，则该单项式可以是______．（填一个符合要求的单项式即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构特征，分情况讨论即可得到符合要求的单项式， 写出任意一个符合条件的结果即可． 【详解】解：分三种情况： ①当两个平方项为和常数项时，完全平方式为， 若完全平方式为， 则 ，是单项式，符合要求； 若完全平方式为， 则 ，是单项式，符合要求； ②当平方项为，一次项为时，完全平方式为， 则 ，是单项式，符合要求； ③当一次项为，常数项时，完全平方式为， 则，是单项式，符合要求； 综上，所有符合要求的单项式为、、​、，任选一个作答即可． 13. 已知和都是关于，的二元一次方程（其中，是常数，且）的解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】因为方程的解满足方程，所以将两组解分别代入，得到关于、的二元一次方程组，进行整理．利用平方差公式变形，将之前得到的式子代入计算即可． 【详解】解：因为和​​都是方程的解， 将代入方程得：，整理得 ， 将代入方程得：，整理得 ， 所以． 14. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 15. 如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折得到，此时恰好经过点，若，则值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由翻折的性质可知​，且，以此为突破口，建立和的面积关系．设 ， ． 因为是和的公共部分，所以​，且 ​，由此得到等量关系，并化简可得．因为和同高，所以二者面积比等于底与的比，结合前面得到的面积比例即可求解． 【详解】解：由翻折可知 ， ， 设 ，则 ， 设 ． 因为​，且 ​， 又， 所以，  解得 ，即 ． 同高三角形面积比等于底之比，和 同顶点，底边在同一直线上，二者高相同， 因此面积比等于底边长之比： ． 16. 如图，在四边形纸片中，，点，分别在，上，连接，将纸片沿折叠，点，分别落在点，处，且边经过点，交于点，连接，．若，，则的度数为______． 【答案】18 【解析】 【分析】设，，则，根据平行线的性质和折叠的性质得出，，根据平行线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【详解】解：设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， 即． 三．解答题（本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算即可． （2）先利用平方差公式计算，再根据单项式乘多项式法则计算，然后再去括号合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ​ ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先处理整式的乘法运算，再进行整式的加减运算，得到最简整式。最后代入求值，因为已经得到化简后的式子，所以把代入最简整式计算结果． 【详解】解： ， 当​时，原式． 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）突破口是完全平方和的展开公式，因为已知和的值，所以将展开为，变形后即可代入已知条件求解． （2）突破口是完全平方差与完全平方和的关系，因为已经求得且已知，所以将展开为，代入对应数值即可求解． 【小问1详解】 解：  代入已知条件，， 得； 【小问2详解】 解： 代入，， 得． 20. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：​， 得：，解得 ； 把代入①得：，解得 ． ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解：解不等式，得 ； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为 ． 21. 已知：如图，在四边形中，点，分别在，上，连接，．求证：． 【答案】证明：如图所示，过点B作， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】过点B作，则，可证明，得到，则可证明，进而可证明． 【详解】略 22. 已知关于，的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）把代入求出，把代入，然后求出的值即可； （）得，，根据，列出不等式，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴把代入得： ， 解得：． 【小问2详解】 解：， 得，， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将沿翻折后得到，点的对应点为点． （1）如图1，若，求的度数； （2）尺规作图：用直尺和圆规在图2中作出点，使沿翻折后，点落在的延长线上．（保留作图痕迹，并标注相应字母，不写作法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠得，，根据平行的性质得到，求出，再利用三角形外角性质即可求得答案； （2）过点C作的垂线，再在的延长线上截取即可． 【小问1详解】 解：由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 24. 某饮品店果汁的价格如下表所示： 杯型 容量（毫升/杯） 价格（元/杯） 小杯 350 8 大杯 500 10 （1）某天该店果汁的总销量为57升，收入为1200元，求这天该店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯？ （2）若某天该店小杯果汁、大杯果汁一共卖了150杯，且总收入不低于1375元．那么小杯果汁最多卖多少杯？ 【答案】（1）这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯； （2）小杯果汁最多卖杯． 【解析】 【分析】（1）这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设小杯果汁卖了杯，则大杯果汁卖了杯，根据题意列出一元一次不等式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯， 根据题意得， 解得， 答：这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯； 【小问2详解】 解：设小杯果汁卖了杯，则大杯果汁卖了杯， 根据题意得， 解得， 因为是正整数， 所以最大取62， 答：小杯果汁最多卖杯． 25. 按要求解题： （1）如图1，中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数； （2）如图2，四边形中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义求出，，再利用三角形外角性质求出的度数； （2）根据四边形内角和求出，结合角平分线定义及三角形外角性质推出的度数． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 26. 用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） （1）若现有长方形纸板张，正方形纸板张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； （2）有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的张长方形纸板或张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 【答案】（1）加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个 （2）用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张 【解析】 【分析】（1）设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用长方形纸板张，正方形纸板张，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得解； （2）设加工横式纸箱个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得解． 【小问1详解】 解：设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个， 根据题意得：， 解得； 答：加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个． 【小问2详解】 解：设加工横式纸箱个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张． 根据题意得：， 解得， ； 答：用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张． 27. 对于任意个数，，，…，（是整数，），规定表示，，，…，这个数中最小的数，表示，，，…，这个数中最大的数．例如：，． （1）填空： ；若，，则 ； （2）已知三个代数式，，，且它们的值互不相等，若，求的取值范围； （3）当时，若，求的值． 【答案】（1）， （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据题意得出，解不等式组即可； （3）先根据，得出，再分两种情况：当时，当时，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，2，， 又∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：且； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，即时，， 根据题意得：， 解得：，不符合题意； 当，即时，， 根据题意得：， 解得：； 综上，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 （满分130分，时间120分钟） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 我国最新研发的型号为T1000的高性能碳纤维材料，抗拉强度极高，是钢材料的7到8倍，主要应用于航空航天、轨道交通等领域，该材料单丝直径为米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则， 6. 已知正方形的边长为（），若将各边长均增加2后得到新正方形，则新正方形的面积增加了（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点落在上，延长交于点，若，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是线段上一点，在的上方分别以，为边长作正方形和正方形，点是的中点，连接，，，．若，则四边形的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上） 9. 计算：______． 10. 已知命题“如果，那么”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 11. 将方程写成用含的代数式表示的形式为______． 12. 若多项式与某个单项式的和是一个完全平方式，则该单项式可以是______．（填一个符合要求的单项式即可） 13. 已知和都是关于，的二元一次方程（其中，是常数，且）的解，则______． 14. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 15. 如图，在中，点是边上一点，连接，将沿翻折得到，此时恰好经过点，若，则值等于______． 16. 如图，在四边形纸片中，，点，分别在，上，连接，将纸片沿折叠，点，分别落在点，处，且边经过点，交于点，连接，．若，，则的度数为______． 三．解答题（本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 20. 解方程组或不等式组： （1）； （2）． 21. 已知：如图，在四边形中，点，分别在，上，连接，．求证：． 22. 已知关于，的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足不等式，求的取值范围． 23. 如图，在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将沿翻折后得到，点的对应点为点． （1）如图1，若，求的度数； （2）尺规作图：用直尺和圆规在图2中作出点，使沿翻折后，点落在的延长线上．（保留作图痕迹，并标注相应字母，不写作法） 24. 某饮品店果汁的价格如下表所示： 杯型 容量（毫升/杯） 价格（元/杯） 小杯 350 8 大杯 500 10 （1）某天该店果汁的总销量为57升，收入为1200元，求这天该店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯？ （2）若某天该店小杯果汁、大杯果汁一共卖了150杯，且总收入不低于1375元．那么小杯果汁最多卖多少杯？ 25. 按要求解题： （1）如图1，中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数； （2）如图2，四边形中，点是的延长线上一点，的角平分线与的角平分线交于点，若，，求的度数． 26. 用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） （1）若现有长方形纸板张，正方形纸板张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； （2）有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的张长方形纸板或张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 27. 对于任意个数，，，…，（是整数，），规定表示，，，…，这个数中最小的数，表示，，，…，这个数中最大的数．例如：，． （1）填空： ；若，，则 ； （2）已知三个代数式，，，且它们的值互不相等，若，求的取值范围； （3）当时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $