精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 5. 已知平面及直线，，则下列说法错误个数是（ ）． ①若直线，与平面所成角都是，则这两条直线平行；②若直线，与平面所成角都是，则这两条直线不可能垂直；③若直线，垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直；④若直线，平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求最多出现2个紫色格子，那么一共可以传递的不同的信息有（ ） A. 36种 B. 45种 C. 46种 D. 84种 7. 已知从椭圆：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点P满足，若的面积的最大值为，则面积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为 A. B. 1 C. D. 2 二、多选题 9. 设复数（a，）（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. 若，则的虚部为2 C. 若，，则 D. 方程在复数集中有6个解 10. 下列四个结论中，正确的结论为（ ） A. 函数与函数相等 B. 若函数且的图象没有经过第二象限，则 C. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数最大值为，最小值为，则 11. 非零实数不全相等．下列说法正确的是（ ） A 若成等差数列，则，，可以构成等差数列 B. 若成等比数列，则，，必定构成等比数列 C. 若，，则 D. 若，且，则 三、填空题 12. 若求______． 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则________________． 14. 若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知公差不等于零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）当时，证明：． 18. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角的对应边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为 （1）用“三斜求积”公式证明； （2）若，且，求面积的最大值； （3）定义：四面体中，若异面棱长相等四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为.已知，且，，试用表示，并求的取值范围. 19. 新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表： 月份 201712 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04 月份编号 1 2 3 4 5 销量（万量） 0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量（万辆）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量； （2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表： 补贴金额预期值区间（万元） 频数 20 60 60 30 20 10 （i）求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值的方差及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到0.1）； （ii）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取的3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为，求的分布列及数学期望. 附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解分式不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以，而， 所以， 故选：D 2. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对A：因为，所以第百分位数为,A错误； 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将复数化简，再套用复数模的计算公式即可. 【详解】因为，所以， 故选：A 4. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法可判断两圆的位置关系. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，所以，， 因此，圆与圆相交. 故选：A. 5. 已知平面及直线，，则下列说法错误的个数是（ ）． ①若直线，与平面所成角都是，则这两条直线平行；②若直线，与平面所成角都是，则这两条直线不可能垂直；③若直线，垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直；④若直线，平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中线线和线面关系对①②③④逐一分析即可. 【详解】对①，若直线，与平面所成角都是，则这两条直线平行、相交或异面，故错误； 对②，若直线，与平面所成角都是，则这两条直线有可能垂直， 如图，直角三角形，，且点在平面内， 和可以与平面都成角，故错误； 对③，若直线，与平面垂直，则，故正确； 对④，若直线，平行，则这两条直线也可能都与平面相交，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查空间中线线和线面关系，考查学生空间想象能力，属于基础题. 6. 根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求最多出现2个紫色格子，那么一共可以传递的不同的信息有（ ） A. 36种 B. 45种 C. 46种 D. 84种 【答案】C 【解析】 【分析】分三类：（1）一个紫色格子也没出现，（2）出现1个紫色格子，（3）出现2个紫色格子，分别进行求解，然后利用分类加法原理求解即可 【详解】若一个紫色格子也没出现，可以传递1种信息； 若出现1个紫色格子，可以传递9种不同信息； 若出现2个紫色格子，可以传递种不同信息. 所以若最多出现2个紫色格子，可以传递种不同信息. 故选：C. 7. 已知从椭圆：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点P满足，若的面积的最大值为，则面积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出，求出点轨迹为圆，圆心为，半径为，得到点到轴的距离最大值为，根据的面积最大值求出，从而求出，求出，结合点到轴的距离最小值，求出面积的最小值. 【详解】设，不妨令，， 故，整理得：， 点轨迹圆，圆心为，半径为， 由题意得：， 则点到轴的距离最大值为， 所以，解得：， 故， 则， 则点到轴的距离最小值为， 故面积的最小值为. 故选：A 8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为 A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值． 【详解】 ，（其中，）， 将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到 ， ∴，，解得，故选D. 【点睛】本题主要考查辅助角公式，图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题． 二、多选题 9. 设复数（a，）（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. “”的充要条件是“” B. 若，则的虚部为2 C. 若，，则 D. 方程在复数集中有6个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由复数概念及充分、必要性定义判断；B应用复数乘方运算化简求虚部；C由复数的乘方及虚数单位乘方的周期性求值；D根据方程可得，讨论、求解的个数即可. 【详解】A：若，则，此时， 若，则，即，故，对； B：，则，故虚部为2，对； C：，则， 故，错； D：由，则， 若，则，可得，共2个解； 若，则，可得或，共4个解； 所以原方程共有6个解，对. 故选：ABD 10. 下列四个结论中，正确的结论为（ ） A. 函数与函数相等 B. 若函数且的图象没有经过第二象限，则 C. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数的最大值为，最小值为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据两个函数的值域不同可判断选项A不正确，根据指数函数图象的特点可判断选项B，分离参数得，只需，即可判断选项C， 是一个奇函数加常数，奇函数在定义域内最大值与最小值之和等于可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：函数值域为，函数值域为，所以与函数不是相等函数，故选项A不正确； 对于选项B：若函数且的图象没有经过第二象限，则，解得：，故选项B正确； 对于选项C：当时，关于的不等式恒成立， 即，令，则， 因为在单调递减，所以在单调递增， 所以，所以，故选项C不正确； 对于选项D：函数，令则 ，所以是奇函数，所以， 因此，故选项D正确， 故选：BD 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 11. 非零实数不全相等．下列说法正确的是（ ） A. 若成等差数列，则，，可以构成等差数列 B. 若成等比数列，则，，必定构成等比数列 C. 若，，则 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据等比数列的定义可判断B；构造函数，利用导数判断出其单调性可判C；设，利用导数得出得，有，再利用不等式的性质可判断D. 【详解】对于A，若，则，，不可以构成等差数列，故A错误； 对于B，若成等比数列，则，且都不为0， 则，即，，必定构成等比数列，故B正确； 对于C，若，，则，即， 令，， 当时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数， 由于，，则，故C错误； 对于D，若非零实数，，且，则，， 设，则， 当时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数， 所以，所以， 所以，可得， 又，，可得，， 且，所以，又，所以， 故，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：CD选项的解题的关键点是构造函数，再利用导数判断出单调性. 三、填空题 12. 若求______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求集合，再根据二次函数的性质求集合. 【详解】由，得，解得， 所以 二次函数的对称轴为， 因为 所以当时，，当时，， 所以 所以 故答案为： 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则________________． 【答案】或 【解析】 【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|． 【详解】由题知双曲线的一条渐近线方程为， 即，则， 又， 由双曲线的定义得， ， 或． 故答案为或 【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键． 14. 若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得方程在无解，即函数在无零点，当时直接判断，当时求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，当时利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，依题意只需，从而求出的取值范围，再结合求出的范围. 【详解】由题意可得方程在无解， 将方程变形得， 即函数在无零点， 易得的定义域为，仅在讨论零点时舍去的情况； 若时，则，当时，当时， 故在无零点，因此符合题意； 当时，则，设，则， 当时，则在单调递增，即在单调递增， 由于时，时，由零点存在性定理可知在必有、且只有一个零点， 设为，则当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，故只需令， 当时符合题意， 因此 ， 即，解得，则， 设，，则， 所以在上单调递增，又，， 所以，则； 当时，，， 故在区间必有零点，与所求不符. 综上，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题 15. 已知公差不等于零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列通项公式与等比中项即可得出； （2），利用“裂项求和”即可得出． 【详解】（1）设公差为由题得， 所以. （2）由（1）得到， 所以 . 【点睛】本题考查了等差数列通项公式与等比中项、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16. 如图，在四棱锥中，平面. （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证平面，最后利用面面垂直的判断定理即可得证； （2）过点作交于点，连接，则与平面所成角即为与平面所成角，由平面，即为直线与平面所成角，在中计算即可. 【小问1详解】 平面平面，， ，又，平面， 平面，又平面， 平面平面； 【小问2详解】 过点作交于点，连接， 则与平面所成角即为与平面所成角， 平面，为在平面上的射影， 为直线与平面所成角， ，四边形为平行四边形， ， ， 在中，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分情况讨论函数的单调性； （2）构造函数，将证明不等式转化为函数最值问题. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 又，， 所以当时，恒成立，函数在单调递增； 当时，令，解得，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，即，，可转化为， 令，则 令，解得，（舍） 单调递减 极小值 单调递增 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故不等式成立． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 18. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角的对应边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为 （1）用“三斜求积”公式证明； （2）若，且，求面积的最大值； （3）定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为.已知，且，，试用表示，并求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）直接由余弦定理、平方关系即可得证； （2）由余弦定理或者正弦定理得到，结合“三斜求积”公式得，由此即可得解； （3）由补形法可得，再由正弦定理或者等面积法得，进一步可得的表达式，取倒数，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得，所以， 所以 所以得证. 【小问2详解】 法一：因为， 由余弦定理得， 因为，代入上式化简得，所以， 所以 ， 所以当时，面积的最大值为. 法二：因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以 所以当时，面积的最大值为. 【小问3详解】 由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，设，则， 设等腰四面体的外接球半径为，所以， 所以， 法一： 在中，由余弦定理得， ， 所以， 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以 因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以， 所以，即， 所以，所以的取值范围为. 法二： 因为， 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 因为，所以，代入， ， 所以， （下同法一）. 【点睛】关键点点睛：第（3）问的关键是得出，再结合已知化简表达式，利用基本不等式即可顺利得解. 19. 新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表： 月份 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04 月份编号 1 2 3 4 5 销量（万量） 0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量（万辆）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量； （2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表： 补贴金额预期值区间（万元） 频数 20 60 60 30 20 10 （i）求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值的方差及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到0.1）； （ii）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取的3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为，求的分布列及数学期望. 附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②. 【答案】(1) ，2万辆. (2) （i）=1.7，中位数3.3万元.（ii）分布列见解析，数学期望为1.8 【解析】 【分析】（1）由题意利用最小二乘法能求出y关于t的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量． （2）（i）由题意能求出这200位拟购买新能源汽车消费者对补贴金额的心里预期值的平均值和样本方差s2及中位数的估计值． （ii）根据给定的频数表可知，任意抽取1名拟购买新能源汽车的消费者，对补贴金额的心理预期值不低于3万元的概率为，由题意可知ξ～B（3，），ξ的所有可能取值为0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及数学期望E（ξ）． 【详解】（1）由表格数据可知，，， ， ， ， 关于的线性回归方程， 根据的含义，2018年5月时，，代入可得（万辆），即2018年5月销量的预测值为2万辆. （2）（i）由表中数据可知各组频率依次为0.1，0.3，0.3，0.15，0.1，0.05， 平均值， . ， 中位数在区间内，设中位数为， 有， 解得，，中位数万元. （ii）由（i）可知，心理预期值不低于3万元的概率为， 则，可能取值为0，1，2，3. ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 故 【点睛】本题考查线性回归方程的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $