第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式讲义（7大知识点+7大题型）-2026-2027学年新高一苏教版数学暑假进阶

第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：一元二次不等式的概念 3 知识点二：二次函数的零点 3 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 3 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 3 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 4 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 4 知识点七：简单的分式不等式的解法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：解无参数一元二次不等式 5 题型 2：由不等式解集确定参数 7 题型 3：含参一元二次不等式解法 9 题型 4：一次分式不等式解法 13 题型 5：一元二次不等式实际应用 14 题型 6：不等式恒成立问题 16 题型 7：一元二次方程根的分布 18 04 过关测试 22 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 题型 1：解无参数一元二次不等式 例1．（2026·高一·湖南张家界·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 例2．（2026·高一·安徽合肥·期末）解下列不等式 (1) (2) 【解析】（1）由，得，则， 则，解得， 所以原不等式的解为. （2）不等式化为， 即，则，解得， 所以原不等式的解为. 例3．（2026·高一·福建福州·期中）解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【解析】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 变式1．（2026·高一·安徽阜阳·期中）解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【解析】（1），即，即， 则不等式的解集为； （2）因，且的开口朝上， 则不等式的解集为. 变式2．（2026·高一·新疆喀什·期中）解下列不等式： (1) (2) 【解析】（1）不等式化为， 解得，故不等式的解集为； （2）不等式化为， 因为恒成立，故不等式的解集为. 变式3．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期中）解不等式： (1) (2) (3) 【解析】（1），即，故， 所以不等式的解集为 （2），其中， 故的解集为； （3），其中， 故的解集为. 题型 2：由不等式解集确定参数 例4．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 又，则，当且仅当时取等号， 所以其最小值为. 例5．（2026·高一·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式，得，解得或， 又，所以不成立， 故原不等式组等价于， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有两个整数解，所以整数解为， 所以，解得. 例6．（2026·高一·河南开封·开学考试）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得是方程的两个根， 则，解得，则. 变式4．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】由题中条件可知，是方程的两个根， 则，, 所以， 又，令， 可知该函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 则的最小值为． 故选：C 变式5．（2026·高一·安徽宿州·期末）已知关于的不等式的解集为，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以有. 故选：D 变式6．（2026·高一·山东淄博·期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为关于的不等式的解集是 所以，方程的两个实数根 所以，，即， 所以， 因为， 所以，分解因式，解得 所以不等式的解集为 故选：A 题型 3：含参一元二次不等式解法 例7．已知函数，解关于的不等式. 【解析】由可得，，即， 当，即时，解得， 当时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 例8．解关于的不等式. 【解析】由题意，，即， 由于方程的根为， ①当时，，故原不等式的解为； ②当时，，原不等式为，故原不等式无实数解； ③当时，，故原不等式的解为； 综上所述： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 例9．解关于的不等式 【解析】当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 变式7．已知函数，解关于的不等式． 【解析】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解得，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，： 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 变式8．解下列关于的不等式. 【解析】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 变式9．已知二次函数，解关于x的不等式． 【解析】由二次函数知， 不等式，得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 变式10．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）(1)若的解集为，求实数的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【解析】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，，不等式即， 则解集为：； 若时，，不等式即，解集为：； 若时，不等式即，解集为：； 若时，，不等式即，解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 题型 4：一次分式不等式解法 例10．（2026·高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式可化为，即， 不等式两边同乘后得，等价于， 解得，则解集为. 例11．（2026·高二·全国·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式，可化为，整理得， 即，解得， 所以解集为. 例12．（2026·高一·广西南宁·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式等价于且， 解得. 即不等式的解集为. 变式11．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 变式12．（2026·高三·四川成都·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即，解得，故原不等式的解集为：. 题型 5：一元二次不等式实际应用 例13．（2026·高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【解析】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 例14．（2026·高一·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【答案】2 【解析】设每次倒出升溶液 第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液； 故答案为: 例15．（2026·高一·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 【答案】15 【解析】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 变式13．（2026·高一·天津·期中）某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 【答案】30 【解析】设每件售价为元， 则， 即，即， 解得， 又， 所以. 所以销售价格最高是30元. 故答案为：30. 变式14．（2026·高一·北京·期中）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元.设使用年后该设备的维修､保养费用为万元，盈利总额为万元，从第__________年开始，使用该设备开始盈利. 【答案】 【解析】由题意得，， 令，得， 又，则，故从第年开始，使用该设备开始盈利. 故答案为： 题型 6：不等式恒成立问题 例16．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 例17．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 例18．（2026·高一·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【答案】 【解析】当时，恒成立，因此符合题意； 当时，由，恒成立， 得，解得， 所以a的取值范围是. 变式15．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 变式16．（2026·高一·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【解析】由题意，，对任意恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 故答案为：（不唯一） 变式17．（2026·高一·广东中山·期末）当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 变式18．（2026·高一·山东日照·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】若“”为真命题，则， 当时，，所以此时， 所以若“”为假命题，则. 故答案为： 题型 7：一元二次方程根的分布 例19．（2026·高一·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解析】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 例20．（2026·高一·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 例21．（2026·高一·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 变式19．（2026·高一·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 变式20．（2026·高一·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 变式21．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 1．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【解析】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 2．（2026·高一·广东肇庆·期末）设集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，解得，所以， 可知且，所以是的必要不充分条件， 故选：B. 3．（2026·高一·云南文山·期末）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得或， 故解集为. 故选：A 4．（2026·高一·江苏·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，， 当时，不等式化为，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 5．（2026·高一·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 6．（2026·高一·湖北十堰·期末）设条件p：；q：，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以解得. 因为p是q的必要不充分条件，条件p：， 所以. 故选：B. 7．（2026·高一·江苏无锡·期末）已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得. 因为x，y为正实数，所以，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以. 所以. 若存在上述x，y，使得不等式有解，则，即， 解得或. 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 8．（2026·高一·陕西渭南·期末）已知关于的不等式的解集为．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设1、2是的两个根，且，所以， 所以，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 9．（多选题）（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．函数的最小值为2 C．若正实数满足，则的范围为 D．已知，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由不等式，得， 解得，故不等式的解集为，所以A正确； 对于B，由函数， 令，则，函数在是增函数， 可得，即函数的最小值为，所以B错误； 对于C，由正实数满足，当且仅当时，等号成立， 可得，解得或（舍）， 所以，所以的范围为，所以C正确； 对于D，已知，， 因为， 所以，所以D正确. 10．（多选题）（2026·高一·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．“”的否定是“” B．若，则 C．一元二次不等式的解集为，则 D．若且，则 【答案】ABC 【解析】A，由全称命题的否定的定义可知，“”的否定是“”，故A正确； B，， 因为，所以，， 所以，即，故B正确； C，一元二次不等式的解集为，可知， 由韦达定理得，解得，则，故C正确； D，，，所以，解得或（舍）， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 11．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 12．（2026·高一·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 13．（2026·高一·全国·初升高衔接）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【解析】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式，解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 14．关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 15．已知集合，．若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【解析】证明：充分性：，或，当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 16．若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 17．（2026·高一·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【解析】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18．（2026·高一·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【解析】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 19．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知关于的不等式的解集为． (1)若，，求； (2)甲、乙两人同时解该不等式，甲把一次项系数抄错了，解得，乙把常数项抄错了，解得，结合上述信息，求出该不等式正确的解集． 【解析】（1）若，，则，解得 故； （2）由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的一次项系数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 故该不等式正确的解集为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：一元二次不等式的概念 3 知识点二：二次函数的零点 3 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 3 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 3 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 4 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 4 知识点七：简单的分式不等式的解法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：解无参数一元二次不等式 5 题型 2：由不等式解集确定参数 6 题型 3：含参一元二次不等式解法 7 题型 4：一次分式不等式解法 8 题型 5：一元二次不等式实际应用 9 题型 6：不等式恒成立问题 9 题型 7：一元二次方程根的分布 10 04 过关测试 11 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 题型 1：解无参数一元二次不等式 例1．（2026·高一·湖南张家界·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 例2．（2026·高一·安徽合肥·期末）解下列不等式 (1) (2) 例3．（2026·高一·福建福州·期中）解下列一元二次不等式： (1)； (2). 变式1．（2026·高一·安徽阜阳·期中）解下列一元二次不等式： (1)； (2). 变式2．（2026·高一·新疆喀什·期中）解下列不等式： (1) (2) 变式3．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期中）解不等式： (1) (2) (3) 题型 2：由不等式解集确定参数 例4．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 例5．（2026·高一·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·高一·河南开封·开学考试）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（   ） A．8 B．12 C． D． 变式5．（2026·高一·安徽宿州·期末）已知关于的不等式的解集为，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 变式6．（2026·高一·山东淄博·期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型 3：含参一元二次不等式解法 例7．已知函数，解关于的不等式. 例8．解关于的不等式. 例9．解关于的不等式 变式7．已知函数，解关于的不等式． 变式8．解下列关于的不等式. 变式9．已知二次函数，解关于x的不等式． 变式10．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）(1)若的解集为，求实数的值； (2)求关于x的不等式的解集． 题型 4：一次分式不等式解法 例10．（2026·高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例11．（2026·高二·全国·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例12．（2026·高一·广西南宁·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式11．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 变式12．（2026·高三·四川成都·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型 5：一元二次不等式实际应用 例13．（2026·高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 例14．（2026·高一·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 例15．（2026·高一·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 变式13．（2026·高一·天津·期中）某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是____________元. 变式14．（2026·高一·北京·期中）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元.设使用年后该设备的维修､保养费用为万元，盈利总额为万元，从第__________年开始，使用该设备开始盈利. 题型 6：不等式恒成立问题 例16．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 例17．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 例18．（2026·高一·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 变式15．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 变式16．（2026·高一·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 变式17．（2026·高一·广东中山·期末）当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 变式18．（2026·高一·山东日照·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围是__________. 题型 7：一元二次方程根的分布 例19．（2026·高一·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 例20．（2026·高一·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例21．（2026·高一·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式19．（2026·高一·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 变式20．（2026·高一·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 变式21．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 1．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 2．（2026·高一·广东肇庆·期末）设集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高一·云南文山·期末）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·江苏·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 6．（2026·高一·湖北十堰·期末）设条件p：；q：，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·江苏无锡·期末）已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·陕西渭南·期末）已知关于的不等式的解集为．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．函数的最小值为2 C．若正实数满足，则的范围为 D．已知，，则 10．（多选题）（2026·高一·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．“”的否定是“” B．若，则 C．一元二次不等式的解集为，则 D．若且，则 11．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 13．（2026·高一·全国·初升高衔接）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 14．关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 15．已知集合，．若，设：，，求证：成立的充要条件为． 16．若对于，恒成立，求实数的取值范围. 17．（2026·高一·河北唐山·期中）解关于的不等式． 18．（2026·高一·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 19．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知关于的不等式的解集为． (1)若，，求； (2)甲、乙两人同时解该不等式，甲把一次项系数抄错了，解得，乙把常数项抄错了，解得，结合上述信息，求出该不等式正确的解集． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $