第07讲 不等式的基本性质（2大知识点+7大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第07讲 不等式的基本性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、符号法则与比较大小 3 知识点二、不等式的性质 3 知识点三、比较两代数式大小的方法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：不等式组表示不等关系 5 题型 2：作差法比较大小 5 题型 3：不等式性质判断命题真假 6 题型 4：不等式性质证明不等式 6 题型 5：不等式性质比较大小 8 题型 6：求代数式的取值范围 8 题型 7：作商法比较大小 9 04 过关测试 11 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型 1：不等式组表示不等关系 例1．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·高三·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高一·广东中山·阶段检测）4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式2．一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高一·江西南昌·期中）已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三角形的形状不变，请你构建不等关系，求出它第三条高长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型 2：作差法比较大小 例4．（2026·高一·北京·期中）比大小：________（填“，或”） 例5．（2026·高一·天津河北·阶段检测），，，则有P____Q（请填“<”、“=”、“>”、“≥”、“≤”） 例6．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知，则___________．（填“>”或“<”） 变式4．（2026·高一·上海·期中）设，，则与的大小关系是______ 变式5．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知，则与的大小关系为______． 变式6．（2026·高一·江苏·期中）__________.（填“＞”或“＜”） 题型 3：不等式性质判断命题真假 例7．（2026·高二·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 例8．（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例9．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式7．（2026·湖南株洲·模拟预测）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 变式8．（2026·高三·全国·一轮复习）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式9．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型 4：不等式性质证明不等式 例10．已知，求证:. 例11．（2026·高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 例12．（2026·高一·重庆·阶段检测）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； (3)求证：，且． 变式10．已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 变式11．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 题型 5：不等式性质比较大小 例13．设，则M与N的大小关系是___________． 例14．已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是_________． 例15．________．（填“>”“<”或“=”） 变式12．若，，则、、从小到大的排列为______． 变式13．（2026·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________． 题型 6：求代数式的取值范围 例16．（2026·高一·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 例17．（2026·高一·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 例18．已知，求的取值范围． 变式14．（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 变式15．（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 变式16．（2026·高二·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 变式17．（2026·高一·山东枣庄·期中）已知，，则的取值范围为___________． 题型 7：作商法比较大小 例19．（2026·高一·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 例20．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 例21．若，求证：． 变式18．试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 变式19．设x，y为正数，比较与的大小. 变式20．（1）若，试比较和的大小； （2）若，求证：. 1．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·四川绵阳·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2026·高一·湖南邵阳·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·上海·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 6．（2026·高一·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖北十堰·自主招生）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2026·高一·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（多选题）（2026·高一·湖南湘西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·山东菏泽·期中）关于的不等式组的最小整数解为0，则的取值范围是___________. 13．（2026·高一·辽宁·阶段检测）（1）已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根. （2）设，，，证明： 14．（2026·高一·江苏·期中）已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 15．（2026·高一·江西上饶·期中）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 16．（2026·高一·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 17．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 18．（2026·高一·北京·阶段检测）若，比较和的大小，并证明． 19．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）（1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明； （2）已知，求证：的充要条件是. 20．（2026·高一·湖南永州·阶段检测）（1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）； （ii）与． （2）已知，，求的取值范围． 21．（2026·高一·上海·阶段检测）已知 (1)若且，证明､､至少有一个不小于； (2)若，分别比较与､与的大小. 22．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）（1）已知，，求证：. （2）若，，，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 不等式的基本性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、符号法则与比较大小 3 知识点二、不等式的性质 3 知识点三、比较两代数式大小的方法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：不等式组表示不等关系 5 题型 2：作差法比较大小 7 题型 3：不等式性质判断命题真假 8 题型 4：不等式性质证明不等式 10 题型 5：不等式性质比较大小 13 题型 6：求代数式的取值范围 14 题型 7：作商法比较大小 17 04 过关测试 20 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型 1：不等式组表示不等关系 例1．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 例2．（2026·高三·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 例3．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 变式1．（2026·高一·广东中山·阶段检测）4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 变式2．一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 变式3．（2026·高一·江西南昌·期中）已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三角形的形状不变，请你构建不等关系，求出它第三条高长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，边上的高为，边上的高为，边上的高为，的面积为，则， 所以，显然， 因为， 所以，即，解得， 故选：C． 题型 2：作差法比较大小 例4．（2026·高一·北京·期中）比大小：________（填“，或”） 【答案】 【解析】因为，， 因为， 所以. 所以，所以. 故答案为：. 例5．（2026·高一·天津河北·阶段检测），，，则有P____Q（请填“<”、“=”、“>”、“≥”、“≤”） 【答案】 【解析】因为 ，当且仅当时，等号成立. 所以 故答案为： 例6．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知，则___________．（填“>”或“<”） 【答案】 【解析】， 所以， 故答案为：. 变式4．（2026·高一·上海·期中）设，，则与的大小关系是______ 【答案】 【解析】，， 则， 则. 故答案为： 变式5．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知，则与的大小关系为______． 【答案】 【解析】由，得， 所以. 故答案为： 变式6．（2026·高一·江苏·期中）__________.（填“＞”或“＜”） 【答案】 【解析】，， ∵且 ∴， 即． 故答案为：. 题型 3：不等式性质判断命题真假 例7．（2026·高二·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【解析】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 例8．（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 例9．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 变式7．（2026·湖南株洲·模拟预测）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知实数，满足，则，故A正确，B错误； ， ，故，即，故C，D错误． 变式8．（2026·高三·全国·一轮复习）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，时，ABD显然错误； 由可得，由不等式性质可得，，故C正确. 变式9．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 题型 4：不等式性质证明不等式 例10．已知，求证:. 【解析】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 例11．（2026·高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【解析】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，，所以， 所以，又，所以. 例12．（2026·高一·重庆·阶段检测）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； (3)求证：，且． 【解析】（1）提炼出的不等式为. 证明如下：. 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （2）由（1）及是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. （3）由（1）可知. 取，则 ，故有 ， 则有， 因为， 所以 ， 故，且. 变式10．已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 【解析】假设，都不小于，即，， ∵，，∴，. ∴. 即，这与已知矛盾. ∴，中至少有一个小于. 变式11．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【解析】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 题型 5：不等式性质比较大小 例13．设，则M与N的大小关系是___________． 【答案】 【解析】因为，所以． 例14．已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是_________． 【答案】 【解析】由可得， 即， 因，，则有， 故得：， 由可得，由可得， 于是有． 故答案为：. 例15．________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】分母有理化有， 显然，所以． 故答案为：. 变式12．若，，则、、从小到大的排列为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 变式13．（2026·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 题型 6：求代数式的取值范围 例16．（2026·高一·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 例17．（2026·高一·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 例18．已知，求的取值范围． 【解析】令，，则. 解方程组可得 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为． 故答案为： 变式14．（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【解析】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 变式15．（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 变式16．（2026·高二·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 变式17．（2026·高一·山东枣庄·期中）已知，，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为，，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 故答案为：. 题型 7：作商法比较大小 例19．（2026·高一·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【解析】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 例20．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【解析】（1）因为，所以 （2）当时，因为，所以 例21．若，求证：． 【解析】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 变式18．试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【解析】（1），， 因为， 所以， 即； （2） ． 因为，，所以，， 所以， 即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以， 所以． 变式19．设x，y为正数，比较与的大小. 【解析】因为为整数，则且， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 变式20．（1）若，试比较和的大小； （2）若，求证：. 【解析】（1）作差得：； 所以当时，； 当时，； 当时，； （2）作商得：， ∵，∴，且， ∴，因此. 1．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 2．（2026·高一·四川绵阳·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：因为，所以， 所以，又， 所以，故，故A正确； 选项B：若，则，， ，， ，故，不满足， 若，则，不满足，故B错误； 选项C：，，， ，则，故C错误； 选项D：，， ，则，故D错误． 故选：A． 3．（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A项：因为：，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：若，则，所以C选项错误； 对于D项：由，得：， 所以得：，故D项正确. 故选：D. 4．（2026·高一·湖南邵阳·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，故B正确，D错误； 再由对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以若，则；若，则，所以AC选项不一定成立. 故选：B 5．（2026·高一·上海·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【解析】若，，所以，A为真命题； 若，则，所以，B为真命题； 若，因为，不等式两边同乘得，C为真命题； 若且，当均为负数时，例如，满足， 当时，D为假命题； 故选：D 6．（2026·高一·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ，， . 故选：C. 7．（2026·高一·湖北十堰·自主招生）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意知，一共有三种命题组合方式， ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么. 对于命题①，如果，，那么. 因为，，所以，，可得，所以命题①为真命题. 对于命题②，如果，，那么. 因为，所以，又，所以， 所以，则，所以命题②为真命题. 对于命题③，如果，，那么. 因为，所以，所以，所以命题③为真命题. 所以组成真命题的个数为3. 故选：D. 8．（2026·高一·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，所以， 所以. 故选：A. 9．（多选题）（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 10．（多选题）（2026·高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【解析】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 11．（多选题）（2026·高一·湖南湘西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，，则， 则，，A选项正确，B选项正确； 当时，，C选项错误； 当时，，D选项错误； 故选：AB. 12．（2026·高一·山东菏泽·期中）关于的不等式组的最小整数解为0，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】解不等式组可得，即 显然不等式组有解，若最小整数解为0，需要满足， 解得； 即的取值范围是. 故答案为： 13．（2026·高一·辽宁·阶段检测）（1）已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根. （2）设，，，证明： 【解析】（1）证明：假设三个方程，，都没有两个相异实根. 则， ， ， 上述三个式子相加得，，同乘以2得， 即，即， 所以，这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾，因此假设不成立， 故三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根. （2）由于，，， 由不等式的性质知，，，， 所以， 又，可得， 同理可得，， 所以， 所以 14．（2026·高一·江苏·期中）已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 【解析】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 15．（2026·高一·江西上饶·期中）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 16．（2026·高一·云南楚雄·阶段检测）已知，，求 (1)的范围； (2)的范围； (3)的范围 【解析】（1），， ，， . （2），， ，， . （3），， ， . 17．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 18．（2026·高一·北京·阶段检测）若，比较和的大小，并证明． 【解析】. 证明： ， 又 ， ， 即． 19．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）（1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明； （2）已知，求证：的充要条件是. 【解析】（1）由 都是正实数，且， 即. （2）充分性：如果， 所以， 必要性：如果， 那么 由于，则 所以，即 综上知，的充要条件是. 20．（2026·高一·湖南永州·阶段检测）（1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）； （ii）与． （2）已知，，求的取值范围． 【解析】（1）（i）由， 所以； （ii）由， 所以． （2）由不等式， 令，可得，且， 所以， 因为，可得， 所以，即. 21．（2026·高一·上海·阶段检测）已知 (1)若且，证明､､至少有一个不小于； (2)若，分别比较与､与的大小. 【解析】（1）假设､､都小于，即，，. 那么. 已知，，. 将､､相加，得到. 化简得到. 因为，这与矛盾. 因此，假设不成立，即､､至少有一个不小于. （2） 因为，所以. 令，解得或. 所以当或时，，即. 当时，，即. 当或时，，即. . 因为，所以. 因此. 22．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）（1）已知，，求证：. （2）若，，，求的取值范围. 【解析】（1）由，， 得， 所以. （2）依题意，，而，， 则，，因此， 所以的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $